초월함수

수학에서, 초월함수는 대수함수와 ^[1]^[2]대조적으로 다항식 방정식을 만족시키지 못하는 해석함수이다.즉, 초월함수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 곱셈, 거듭제곱,^[3] 그리고 근추출의 유한한 수열로 표현될 수 없다는 점에서 대수학을 "초과"한다.

초월함수의 예로는 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등이 있습니다.

정의.

형식적으로, 하나의 실수 또는 복소 변수 z의 해석 함수 f(z)는 그 ^[4]변수로부터 대수적으로 독립되어 있으면 초월함수이다.이것은 여러 변수의 함수로 확장될 수 있습니다.

역사

그리스(히파르코스)와 인도(jya와 koti-jya)에서 입증되었듯이, 사인과 코사인 함수는 고대 물리적 측정에서 표로 작성되었다.프톨레마이오스의 화음표를 설명하면서 올라프 페데르센은 다음과 같이 썼다.

명시적 개념으로서의 연속성의 수학적 개념은 프톨레마이오스에겐 알려지지 않았다.그는 실제로 이러한 함수를 연속적인 것으로 취급하는 것은 선형 ^[5]보간법의 간단한 프로세스에 의해 독립 변수의 값에 대응하는 종속 변수의 값을 결정할 수 있다는 암묵적인 가정으로부터 나타난다.

이러한 원형 함수에 대한 혁명적인 이해는 17세기에 일어났고 1748년 레온하르트 오일러에 의해 무한대의 해석에 대한 그의 소개에서 설명되었다.이러한 고대 초월 함수는 아르키메데스가 파라볼라의 사분원을 제작한 지 2천년이 지난 1647년 생뱅센트에 의해 직사각형 쌍곡선 xy = 1의 사분원을 통해 연속 함수로 알려지게 되었다.

쌍곡선 아래의 영역은 일정한 경계 비율에 대한 일정한 면적의 스케일링 특성을 갖는 것으로 나타났습니다.이렇게 기술된 쌍곡선 로그 함수는 레온하르트 오일러가 상수 기저가 e인 지수 함수와 같이 상수가 변수 지수로 상승하는 함수와 관련지어 1748년까지 제한적으로 사용되었습니다.이러한 초월함수를 도입하고 역함수를 내포하는 바이젝션 특성에 주목함으로써 대수함수가 아니더라도 자연대수를 대수적으로 조작할 수 있는 기능이 제공되었다.

지수 함수는 exp $\exp(x)=e^{x}$ ( $\exp(x)=e^{x}$ ) $\exp(x)=e^{x}$ $\exp(x)=e^{x}$ \ $exp(x$ )= $e^{x$ 로 $\exp(x)=e^{x}$ 된다. 오일러는 무한 급수 ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ k ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ 0 ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ k / ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ ! ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ {\ $textstyle$ \ $sum$ _ ${k=0}^{\infty }x{k}/k$ 로 식별한다. 여기서 k는 k!는 k!를 나타낸다.

이 급수의 짝수 항과 홀수 항은 cosh(x)와 sinh(x)를 나타내는 합계를 제공하므로 $e^{x}=\cosh x+\sinh x$ x $=$ $e^{x}=\cosh x+\sinh x$ x + $e^{x}=\cosh x+\sinh x$ x { $style$ e $^{x$ }=\ $cosh$ x $+\sinh$ x $e^{x}=\cosh x+\sinh x$ 를 $표시$ 합니다.이러한 초월 쌍곡선 함수는 시리즈에 (-1)^k을 도입하여 순환 함수 사인 및 코사인(cosine)으로 변환할 수 있으며, 결과적으로 교대로 급수가 발생합니다.오일러 이후에, 수학자들은 종종 복소수 산술에서 오일러의 공식을 통해 로그와 지수 함수와 초월을 연관시키기 위해 사인 및 코사인(cosine)을 이런 방식으로 봅니다.

예

다음 함수는 초월적입니다.

f_{1}(x)=x^{\pi }

f_{2}(x)=c^{x}

f_{3}(x)=x^{x}

f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}=syslogrt[{x}]{x}}

f_{5}(x)=\log _{c}x

f_{6}(x)=\sin {x}

두 번째 $f_{2}(x)$ $)$ { $displaystyle f_{2}(x$ 의 경우c { $style$ c $e$ 를 $c$ 자연 로그의 밑변인 e{ $displaystyle$ e $}$ 와 $e$ 하게 $c$ 하면 $e^{x}$ x { $displaystyle$ e $^{x}$ 는 $e^{x}$ $e^{x}$ 라는 것을 알 수 있습니다.마찬가지로 c{ $displaystyle$ c $}$ 를 $c$ $e$ $f_{5}(x)$ 5 $x)$ { $displaystyle$ $f_{5}(x$ 로설정하면 $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ 5 $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ e $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ x $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ ln $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ { $displaystyle f_{5}(x$ ) = \ $log$ _ ${e}x= ln}$ $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ (자연 로그)가 됩니다. 즉, 자연 로그가 됩니다.

대수함수와 초월함수

가장 친숙한 초월함수는 로그, 지수(비사소한 기저), 삼각함수 및 쌍곡함수, 그리고 이 모든 것의 역함수입니다.감마, 타원 및 제타 함수와 같은 분석의 특수 함수는 모두 초월함수이다.일반화 초기하 함수와 베셀 함수는 일반적으로 초월적이지만 일부 특수 매개변수 값에 대해서는 대수적입니다.

초월함수가 아닌 함수는 대수함수이다.대수함수의 간단한 예로는 유리함수와 제곱근함수가 있지만 일반적으로 대수함수는 기본함수의 유한한 ^[6]공식으로 정의할 수 없다.

많은 대수함수의 무한 적분은 초월함수이다.예를 들어, 로그 함수는 쌍곡선 섹터의 면적을 찾기 위해 역함수에서 생겨났다.

미분대수는 삼각함수를 변수로 하는 다항식을 취하는 경우와 같이, 적분이 어떤 클래스와 대수적으로 독립적인 함수를 어떻게 자주 만드는지 조사한다.

초월 초월 함수

수학 물리학의 특수 함수를 포함한 가장 친숙한 초월 함수는 대수 미분 방정식의 해이다.감마 및 제타 함수와 같이 그렇지 않은 함수는 초월 초월 함수 또는 초초초초초초초전도 ^[7]함수라고 불립니다.

뛰어난 세트

f{\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 대수 $\alpha$ 이고 $\alpha$ α {\ $displaystyle \alpha}$ 가 $\alpha$ 대수 수인 $f(\alpha )$ f $)$ {\ $displaystyle$ f $(\alpha)}$ 도 $f(\alpha )$ 대수 수이다.그 반대:f 대수 α에 대한은 f(α){\displaystyle f(\alpha)}은 대수적 수{\displaystyle f}전체 초월 기능 지정된 초월 기능은 6.2.1{\displaystyle \alpha.}[8]대수 숫자 대수, 결과 집합이 뛰어난 세트라고 불린다 사실이 아니다. 의그 기능.^[9]^[10]정식으로 정의되는 것은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathcal {E} = \left \alpha \in \mathbf {Q} },:,f(\alpha) \in \light \line \mathbf {Q} 。}

대부분의 경우 예외 집합은 상당히 작습니다.예를 들어 ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ ( exp ) $=$ { $}$ , { $displaystyle$ { $mathcal$ { E $}}(exp$ )=\{ $0\}$ ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ 이 ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ 값은 1882년 Lindemann에 의해 증명되었습니다. $특히$ exp(1 $) =$ $e$ 는 초월적이다.또한 exp $(i))$ = $-1은 대수적$ 이므로 i $cannot$ 는 대수적일 수 없다는 것을 알고 있다.i는 대수적이기 $때문$ 에 이것은 $θ$ 가 초월수라는 것을 의미한다.

일반적으로, 함수의 예외적인 집합을 찾는 것은 어려운 문제이지만, 만약 그것이 계산될 수 있다면, 종종 초월수 이론의 결과로 이어질 수 있다.기타 알려진 예외 세트를 다음에 나타냅니다.

클라인의 j-불변량 ${\mathcal {E}}=\left\{\alpha \in \mathbf {H} \,,,[\mathbf {Q}(\alpha ):\mathbf {Q} = 2\right\$ 여기서 H는 상부 하프플레인이고 [Q(α): Q]는 숫자 필드Q(α)의 도입니다.이 결과는 테오도르 슈나이더 ^[11]덕분이다.
기저값 2의 지수 함수: ${E}}(2^{x})=\mathbf {Q},$ 이 결과는 겔폰드-슈나이더 정리(α $\alpha \neq 0,1$ $\beta$ 0, $\alpha \neq 0,1$ $displaystyle \alpha \neq$ 0 $,1$ 와 $\beta$ β {\ $displaystyle \alpha$ $^{\beta$ }}}가 $\beta$ 대수적이고 비합리적인 $\alpha ^{\beta }$ $\alpha ^{\beta }$ {\ $displaystyle \alpha$ ^{\beta $\alpha ^{\beta }$ }}}}는 $\alpha ^{\beta }$ 초월적이라는 정리의 결과이다.따라서^x 함수 2는 0이나 1이 아닌 임의의 대수 c에 대해 c로^x 대체될 수 있다.실제로 다음과 같은 이점이 있습니다. ${\displaystyle {\mathcal {E}(x^{x})=\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbf {Q} \setminus \{0\}}}.$
초월수론에서 샤누엘의 추측의 결과는 ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset$ ( ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset$ x ) $= {\$ \ $displaystyle$ \ $mathcal$ { $E$ } \ $left$ ( e $^$ { $x$ } \ $right$ )= \ $emptyset$ 이다.
Schanuel의 추측을 f $f(x)=\exp(1+\pi x)$ ( $f(x)=\exp(1+\pi x)$ x ) $f(x)=\exp(1+\pi x)$ $f(x)=\exp(1+\pi x)$ $f(x)=\exp(1+\pi x)$ ( $f(x)=\exp(1+\pi x)$ + $f(x)=\exp(1+\pi x)$ x $f(x)=\exp(1+\pi x)$ ) \ $displaystyle$ f ( x ) = \ $exp$ ( $1$ + $pi$ x $f(x)=\exp(1+\pi x)$ )라고 가정할 필요가 없는 예외 집합이 비어 있는 함수.

주어진 함수에 대한 예외 집합을 계산하는 것은 쉽지 않지만, 대수적 숫자의 부분 집합, 예를 들어 A가 주어지면 예외 집합이 ^[12]A인 초월 함수가 있는 것으로 알려져 있다.부분 집합이 적절할 필요는 없습니다. 즉, A는 대수적 숫자의 집합일 수 있습니다.이것은 초월수가 주어졌을 때만 초월수를 생성하는 초월함수가 존재한다는 것을 직접적으로 암시한다.Alex Wilkie는 또한 그들의 초월성에 대한 1차 논리증명이 존재하지 않는 초월함수가 존재함을 예시적인 ^[13]분석함수를 제공함으로써 증명했다.

치수 분석

차원 분석에서, 초월 함수는 그들의 주장이 (아마도 대수적 감소 후에) 차원이 없을 때에만 의미가 있기 때문에 주목할 만하다.이 때문에 초월 함수는 치수 오류를 쉽게 발견할 수 있습니다.예를 들어 log(5m)는 log(5m/3m)나 log(3m)와는 달리 무의미한 표현이다.로그 아이덴티티를 적용하여 log(5) + log(meters)를 취득할 수 있습니다.이것에 의해, 비대칭 연산을 차원에 적용하면, 의미 없는 결과가 생기는 문제가 강조됩니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ E. J. Townsend, 복합 변수의 함수, 1915, 페이지 300
^ Michiel Hazewinkel, 수학 백과사전, 1993, 9:236
^ '초월적 기능' 브리태니커 백과사전
^ M. Waldschmidt, 선형 대수군에 대한 디오판틴 근사, Springer(2000).
^ Olaf Pedersen(1974) Almagest 조사, 84페이지, Odense University Press ISBN 87-7492-087-1
^ cf. 아벨-루피니 정리
^ Rubel, Lee A. (November 1989). "A Survey of Transcendentally Transcendental Functions". The American Mathematical Monthly. 96 (9): 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR 2324840.
^ A. J. 판 데르 푸르텐'모든 대수적 숫자 필드를 그 자체로 매핑하는 초월적 전체 함수', J. Australia.수학. Soc. 8(1968), 192~198
^ D. Marques, F. M. S. Lima, 모든 대수 엔트리에 대해 초월적 값을 산출하는 일부 초월함수, (2010) arXiv:1004.1668v1.
^ N. Archinard, 초기하 급수의 예외적 집합, Journal of Number Theory 101 Issue 2(2003), 페이지 244–269.
^ T. Schneider, 산술학 Untersuchungen 타원체 Integrale, 수학.Annalen 113(1937), 페이지 1 ~ 13.
^ M. Waldschmidt, 초월수 이론의 보조 함수, 라마누잔 저널 20no 3, (2009), 페이지 341–373.
^ A. Wilkie, 대수학적으로 보수적인 초월함수, 파리 7세 프리프린트, 66번, 1998.

외부 링크

수학 백과사전의 "초월함수"의 정의

[1] E. J. Townsend, 복합 변수의 함수, 1915, 페이지 300

[2] Michiel Hazewinkel, 수학 백과사전, 1993, 9:236

[3] '초월적 기능' 브리태니커 백과사전

[4] M. Waldschmidt, 선형 대수군에 대한 디오판틴 근사, Springer(2000).

[5] Olaf Pedersen(1974) Almagest 조사, 84페이지, Odense University Press ISBN 87-7492-087-1

[6] cf. 아벨-루피니 정리

[7] Rubel, Lee A. (November 1989). "A Survey of Transcendentally Transcendental Functions". The American Mathematical Monthly. 96 (9): 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR 2324840.

[8] A. J. 판 데르 푸르텐'모든 대수적 숫자 필드를 그 자체로 매핑하는 초월적 전체 함수', J. Australia.수학. Soc. 8(1968), 192~198

[9] D. Marques, F. M. S. Lima, 모든 대수 엔트리에 대해 초월적 값을 산출하는 일부 초월함수, (2010) arXiv:1004.1668v1.

[10] N. Archinard, 초기하 급수의 예외적 집합, Journal of Number Theory 101 Issue 2(2003), 페이지 244–269.

[11] T. Schneider, 산술학 Untersuchungen 타원체 Integrale, 수학.Annalen 113(1937), 페이지 1 ~ 13.

[12] M. Waldschmidt, 초월수 이론의 보조 함수, 라마누잔 저널 20no 3, (2009), 페이지 341–373.

[13] A. Wilkie, 대수학적으로 보수적인 초월함수, 파리 7세 프리프린트, 66번, 1998.

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