일반화된 초기하함수

수학에서 일반화된 초기하급수는 n에 의해 지수화된 연속적인 계수의 비율이 n의 유리 함수인 거듭제곱급수입니다.만약 수렴한다면, 급수는 일반화된 초기하학 함수를 정의하고, 그 다음에 분석적 연속에 의해 더 넓은 영역의 인수에 걸쳐 정의될 수 있습니다.일반화된 초기하학 계열은 때때로 초기하학 계열이라고 불리기도 하지만, 이 용어는 때때로 가우스 초기하학 계열을 지칭하기도 합니다.일반화된 초기하학 함수는 특수한 경우로서 (가우스) 초기하학 함수와 합류 초기하학 함수를 포함하며, 이는 다시 기본 함수, 베셀 함수 및 고전 직교 다항식과 같은 특수한 경우로서 많은 특정 특수한 함수를 갖습니다.

표기법

초기하학 계열은 공식적으로 멱급수로 정의됩니다.

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

연속 계수의 비율이 n의 유리 함수인 경우.그것은,

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

여기서 A(n)과 B(n)은 n의 다항식입니다.

예를 들어, 지수 함수에 대한 급수의 경우,

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots,}$

다음이 있습니다.

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}={\frac {1}{n+1}}}$

따라서 이는 A(n) = 1이고 B(n) = n + 1인 정의를 만족합니다.

선행항을 인수분해하는 것이 관례이므로 β는₀ 1로 가정합니다.다항식은 a와_j b가_k 복소수인 (a_j + n)과 (b_k + n) 형태의 선형 인자로 각각 인수분해될 수 있습니다.

과거의 이유로, (1 + n)이 B의 인자라고 가정합니다.아직 이런 경우가 아니라면 A와 B 모두에 이 인자를 곱할 수 있습니다. 인자가 취소되므로 항은 변경되지 않고 일반성이 손실되지 않습니다.

연속 계수 간의 비율이 이제 형식을 갖습니다.

${\displaystyle \frac{c}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$a ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ )${\displaystyle \frac{}{\cdots }}$( ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$ p${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ n${\displaystyle \frac{}{}}$) d${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{b_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$⋯${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{q_{}}{}}$+ n${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ ${\displaystyle \frac{n}{}}$) ${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)$ ${d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n$

여기서 c와 d는 A와 B의 선행 계수입니다.그러면 시리즈는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

$⋯ {\displaystyle$$rac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots$

또는 z를 적절한 인자별로 스케일링하고 재정렬함으로써,

${\displaystyle$$}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}{\frac {z^{2}}}{2!$$}}+\cdots$

이것은 지수 생성 함수의 형태를 갖습니다.이 시리즈는 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{q};z)}$

아니면

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].$

상승 요인 또는 포치해머 기호 사용

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)\cdots(a+n-1),&n\geq 1\end{aligned}}$

쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty}}{\frac {(a_{p})_{n}}{{(b_{1})_{n}}\cdots (b_{q}_{n}},{\frac {z^{n}}}{n!}}.}$

(이와 같은 Pochhammer 기호의 사용은 표준이 아니지만, 이 경우에는 표준적인 사용입니다.)

용어.

급수의 모든 항이 정의되고 수렴 반경이 0이 아닌 경우 급수는 분석 함수를 정의합니다.이러한 함수와 그 분석적 연속을 초기하학 함수라고 합니다.

수렴반경이 0일 때 수학에서 흥미로운 계열이 많이 나옵니다. 예를 들어 불완전 감마 함수는 점근적 팽창을 갖습니다.

${\displaystyle \Gamma(a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-1)}{z^{2}}+\cdots \right)}$

ze^a−1−z F₀(1-a,1;;-z⁻¹)로 표기할 수 있습니다.그러나 하이퍼지오메트릭 시리즈라는 용어의 사용은 일반적으로 시리즈가 실제 분석 함수를 정의하는 경우로 제한됩니다.

일반적인 초기하학 계열은 그 이름에도 불구하고 다소 복잡하고 반복적인 계열인 기본 초기하학 계열과 혼동되어서는 안 됩니다."기본" 시리즈는 일반적인 초기하학 시리즈의 q-아날로그입니다.리만 대칭 공간의 구역 구면 함수에서 나오는 것을 포함하여 일반적인 초기하학 시리즈의 몇 가지 일반화가 있습니다.

분모(음을 포함한 모든 정수 n에 대해 합)에서 n!의 인자가 없는 급수를 쌍대 초기하학 급수라고 합니다.

수렴조건

계수의 분자 또는 분모가 0인 a와_j b의_k 특정 값이 있습니다.

• 만약 어떤 a가_j 양이 아닌 정수(0, -1, -2 등)라면, 급수는 유한한 수의 항만 가지며, 실제로는 차수 -a의_j 다항식입니다.
• 임의의_k b가 양이 아닌 정수이면_k(b_j < a인 이전 경우 제외) 분모는 0이 되고 시리즈는 정의되지 않습니다.

이러한 경우를 제외하고 비율 검정을 적용하여 수렴 반경을 결정할 수 있습니다.

• p < q + 1이면 계수의 비율이 0이 되는 경향이 있습니다.이것은 열이 z의 유한 값에 대해 수렴하므로 z의 전체 함수를 정의한다는 것을 의미합니다.예를 들어 지수 함수에 대한 멱급수를 들 수 있습니다.
• p = q + 1이면 계수의 비율이 1로 나타납니다.이는 직렬이 z < 1에 대해 수렴하고 z > 1에 대해 발산한다는 것을 의미합니다.z = 1에 대해 수렴하는지 여부는 결정하기가 더 어렵습니다.z 값이 클수록 분석 연속성을 사용할 수 있습니다.
• p > q + 1이면 계수의 비율이 경계 없이 증가합니다.이는 z = 0 이외에도 열이 발산한다는 것을 의미합니다.이는 발산급수 또는 점근급수이거나, 합이 공식적으로 만족하는 미분방정식의 기호적 축약어로 해석될 수 있습니다.

z가 단위 원 위에 있을 때 p=q+1에 대한 수렴 문제는 더 어렵습니다.만약 z = 1에서 series가 절대적으로 수렴한다는 것을 알 수 있습니다.

(∑ -∑a ) > ${\displaystyle$ \Re $\left(\sum$ b_${k}-\sum$ a_${j}\right)> 0$

또한, p=q+1, ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = 1 ${\displaystyle {pa}_{}}$ i ≥ ∑ ${\displaystyle j}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle b_{}}$ j ${\displaystyle \sum _{i$=$1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j$=$1}^{q}b_{j}}$이고 z가 실수라면, 다음 수렴 결과는 Quigley et al. (2013)을 보유합니다.

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow$$}{dz$}}$=\sum$ _${i=1}^{p}a_{i}-\sum$ _${j=1}^{q}b_{j$

기본속성

함수의 값을 변경하지 않고 매개 변수_j a의 순서 또는 매개_k 변수 b의 순서를 변경할 수 있다는 것은 정의에서 즉시 가능합니다.또한 매개 변수 a가_j 매개 변수 b와_k 동일한 경우 매개 변수가 양이 아닌 정수일 경우 일치하는 매개 변수를 "취소"할 수 있습니다.예를들면,

${\displaystyle {}_2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 1{\mathrm{;}}_{}}$ ${\displaystyle 1;}$ z )$=$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle 1},$ ${\displaystyle 3{\mathrm{;}}_{}}$ ${\displaystyle 1;}$ z )$=$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {}_{}3;}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \,{}_{2}F_{$)=\,{}$_{2}F_{1}$)=\,{}$_{1}F_{0}(3;z)}.$

이 취소는 맨 위 행의 매개 변수가 맨 아래 행의 매개 변수와 음이 아닌 정수만큼 다를 때마다 적용할 수 있는 축소 공식의 특수한 경우입니다.^[1]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots,a_{A},c+n\b_{1},\ldots,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum_{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\frac {prod_{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots,a_{A}+j\b_{1}+j,\ldots,b_{B}+j\end{array};z\right]}$

오일러 적분 변환

다음의 기본 항등식은 저차항등식에^[2] 대한 적분의 관점에서 고차항등식 함수를 연관시키므로 매우 유용합니다.

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots,a_{A},c\b_{1},\ldots,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma(d)}{\Gamma(c)}\int_{0}^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}_1},\ldots,a_{a}A}\b_{1},\ldots,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

차별화

일반화된 초기하함수는 다음을 만족합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{\rm {d}}z}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots,a_{j},\dots,a_{p}\b_{1},\dots,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots,a_{j}+1,\dots,a_{p}\end{array}},\dots,a_{j}+1,\b_{1},\dots,b_{q}\end{array}};z\right]\\end{aligned}}$

그리고.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{\rm {d}}z}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots,a_{p}\b_{1},\dots,b_{k},\dots,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots,a_{p}\b_{1},\dots,b_{k}-1,\dots,b_{q}\end{array}};z\right]{{text{for }}\neq 1\end{align}}}$

또한.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}\;{{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots,a_{p}\b_{1},\dots,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod_{i=1}^{p}a_{i}}{\prod_{j=1}^{b_{j}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}_{1}+1,\dots,a_{p}+1\b_{1}+1,\dots,b_{q}+1\end{array};z\right}\end{aligned}}}$

이들을 조합하면 w = F로 만족하는 미분 방정식이 됩니다.

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \prod }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{p}}}}$ (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$z ${\displaystyle d}$ d ${\displaystyle \frac{z}{}}$+ ${\displaystyle a_{}}$ n${\displaystyle {}_{})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ z ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$ ${\displaystyle \prod }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$( ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle d}$ d ${\displaystyle \frac{z}{}}$+ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle w}$ ${\displaystyl$_${n=1}^{p}\left(z{\frac {\$rm {$d}}{\rm {d}}+a_{n}\rig$ {\$rm {d}}{{\rm {d}z}\left(z{\rm {d}{\rm {d}}+b_{n}-1\right)w.$

연속 함수 및 관련 아이덴티티

다음 연산자를 사용합니다.

${\displaystyle \vartetha = z{\frac {\rm {d}}{\rm {d}}z}}}$

위에 제시된 미분 공식으로부터, 선형 공간은 다음과 같이 확장됩니다.

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z)}$

각각을 포함합니다.

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{j}+1,\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{k}-1,\dots,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z)}$

공간이 차원 2를 가지므로, 이들 p+q+2 함수 중 임의의 3개는 선형 종속 함수입니다.이러한 종속성은 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$과(와) 관련된 많은 ID를 생성하기 위해 작성될 수 있습니다$.$

예를 들어, 가장 단순한 사소하지 않은 경우에는,

${\displaystyle {}_0}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{;}}_{}}$ ${\displaystyle a;}$ ${\displaystyle z}$ )$=$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle }$; ${\displaystyle a;}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \;{}_{0}F_$)=($1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z$

$=$${}_{0}F_{1}(;a;z$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle }$; a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle z}$ )$=$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \vartheta }$) 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle }$; ${\displaystyle a}$; z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ z$\;{}_{0}F_{1}(;a+$)=($a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z$

그렇게

${\displaystyle {}_0}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle }$; ${\displaystyle \mathrm{a}}$- ${\displaystyle 1}$; z${\displaystyle }$) -${\displaystyle }$0 ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{;}}_{}}$ ${\displaystyle a;}$ ${\displaystyle z}$ )$=$ ${\displaystyle \frac{za}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{}{}}$) 0 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle }$; a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle \mathrm{z}}$) ${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1$)={\$frac {z}{a(a-1)}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}.$

이것과 다른 중요한 예들은

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a$$={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z$

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1$$={\frac {az}{b(b-1)}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z$

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a$$={\frac {bz}{c}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z$

${\displaystyle {}_2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle b;}$ ${\displaystyle c;}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}a,}$ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle 1{\mathrm{;}}_{}}$ c${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle z}$ )$=$( ${\displaystyle \frac{b}{}}$ -${\displaystyle \frac{a}{}}$) z ${\displaystyle \frac{}{}}$ 2 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}a}$+ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle 1;}$ c${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$) ${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a$+ $1, b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b$+ $1;c;z$)={\$frac {(b-a)z}{c}\;{}_{2}F_{1}(a$+ $1,b$+ $1;c$+ 1$;z$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a$$={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z$

가우스의 연속분획으로 알려진 연속분획표현식을 생성하는데 사용될 수 있습니다.

마찬가지로, 미분 공식을 두 번 적용하면, (p${\displaystyle }$+${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{q}{}}$ +${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$3 ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$) ${\$ {p $+ q$ + $3}{2}}개$의 함수가$$ 포함됩니다.

${\displaystyle \{1,\vartheta,\vartheta^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z),}$

차원이 3이므로 4개는 선형으로 종속됩니다.이를 통해 더 많은 ID가 생성되고 프로세스를 계속 진행할 수 있습니다.이렇게 생성된 ID는 서로 결합하여 다른 방식으로 새로운 ID를 생성할 수 있습니다.

매개변수_j a_k, b 중 정확히 하나에 ±1을 더하여 얻은 함수

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z)}$

를 연속이라고 합니다.

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z)}$

위에 설명된 기법을 사용하여, ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle (;}$ ${\displaystyle a;}$ ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle${}$_{0}F_{1}(;a;z)$와 관련된 2개의 연속 함수, ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle a;b}$; ${\displaystyle z)}${\$displaystyle${}$_{1}F_{1}(a;b;z)$와 관련된 6개의 ID, 그리고 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}a,}$ ${\displaystyle b;}$ ${\displaystyle c;}$ ${\displaystyle z)}$와 관련된 15개의 ID를 제공할 수 있습니다. ${\displaystyle$$e {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$ 및 해당$$ 6개의 연속 함수 중 2개가 발견되었습니다.(첫 번째는 앞 단락에서 도출한 것입니다.마지막 15점은 가우스가 1812년에 낸 논문입니다.)

아이덴티티

19세기와 20세기에 많은 다른 초기하학적 함수 정체성이 발견되었습니다.이러한 정체성을 증명하는 방법론에 20세기에 기여한 것이 에고리체프 방법입니다.

살슈츠의 정리

살슈츠의 정리^[3](살슈츠 1890)는

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c-a-b)_{n}}}$

이 정리의 확장에 대해서는 Rakha & Rathie의 연구 논문을 참조하십시오.

딕슨의 정체

딕슨(1902)에 의해 처음으로 ^[4]증명된 딕슨의 정체성은 다음과 같이 잘 포인팅된 F를₂ 1로 합합니다.

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma(1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}-c}}}}}$

딕슨의 정체성에 대한 일반화는 Lavoie 등의 논문을 참조하십시오.

더걸 공식

Dougall의 공식(Dougall 1907)은 종결과 2-균형을 이루는 매우 균형 잡힌 급수의 합을 제공합니다.

${\displaystyle {\begin{align}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&e&m\\{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}.\end{aligned}}$

종결은 m이 음이 아닌 정수임을 의미하고 2-균형은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

하이퍼지오메트릭 함수의 특수한 값에 대한 다른 많은 공식들은 특수한 경우 또는 제한적인 경우로서 이것으로부터 유도될 수 있습니다.

F에₂ 대한 쿰머의 변형과 아이덴티티의 일반화

아이덴티티 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

어디에

${\displaystyle f}$ $=$ ${\displaystyle d\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{a}{}}$- c${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyl$f = {\$frac {d(a-c+1)}{a-d$

아이덴티티 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}\rft(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}\right),}$

Bessel 함수를 F에 연결한 다음, 이는 b = 2a에 대한 쿰머의 두 번째 공식으로 줄어듭니다.

아이덴티티 3.

${\displaystyle e^{}}$ -${\displaystyle x^{}}$ 2 ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}a},$ ${\displaystyle \mathrm{2a},{}^{}x}$ )$=$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (;}$ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$; x ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \frac{16}{}}$) ${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}\,{}_{1}F_{1}(a,$)={}$_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2});{\tfrac {x^{2}}\right)}.$

아이덴티티 4.

${\displaystyle {\begin{align}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {a+i-1 \choose i}{a+i-1 \choose i}{c+i-1 \choose i}{c+i-1 \choose i}}\;{}_{1}F_1}(a+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}$

만약 b-d가 음이 아닌 정수라면 유한합입니다.

쿰머 관계

쿰머의 관계는

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

클라우젠 공식

클라우젠 공식

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}},s;c;x)^{2}}$

드 브랑주는 비버바흐 추측을 증명하기 위해 사용했습니다.

특수한 경우

수학의 특수한 함수들 중 많은 것들이 합류 초기하학 함수 또는 초기하학 함수의 특수한 경우입니다. 예를 들어 해당 기사를 참조하십시오.

시리즈₀ F

앞에서 언급한 바와 같이 ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle 0_{}}$ (${\displaystyle }$;${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {ez}^{}}$ ${\displaystyle {}_{0}$$F_{0}(;z)=e^{z$이 함수의 미분방정식은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{dz}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ = ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\frac {d}{$dz$}}w$ = $w$이며$,$ $해$는 w = ${\displaystyle {kz}^{}}$ ${\displaystyle$w=$ke^{z}$이고, k는 상수입니다.

시리즈₁ F

0 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle (;}$ ${\displaystyle a;}$ ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ 형식의 함수를 합류 초기하학적 극한 함수라고 하며$$ 베셀 함수와 밀접한 관련이 있습니다.

관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma(\alpha +1)}}{{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma(\alpha +1)}}{{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

이 함수의 미분방정식은

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

아니면

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

a가 양의 정수가 아닐 때, 치환

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

선형 독립적인 솔루션을 제공합니다.

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

그래서 일반적인 해결책은

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

여기서 k, l은 상수입니다.(a가 양의 정수라면, 독립해는 두 번째 종류의 적절한 베셀 함수로 주어집니다.)

특별한 경우는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cosz}$

시리즈₀ F

중요한 경우는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;z)=(1-z)^{-a}}$

이 함수의 미분방정식은

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

아니면

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

해결책이 있는.

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}$

여기서 k는 상수입니다.

${\displaystyle {}_{1$$}F_{0}(1;z)=\sum$ _${n\geqslant 0}z^{n$}$=$($1-z)^{-1}$는 비율 z와 계수가 1인 기하급수입니다.

${\displaystyle$$}F_{0}(2;z)=\sum$ _${n\geqslant 0} nz$^{$n}=z(1-z)^{-2}}$도 유용합니다.

시리즈₁ F

1 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle a;}$ ${\displaystyle b;}$ ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ 형식의 함수를 $M{\displaystyle }$(a; b${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle M(a;b;z)}$이라고도$$ 씁니다$.$불완전한 감마 함수 γ${\displaystyle (a,}$ ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle \gamma(a,z)}$은(는) 특수한 경우입니다.

이 함수의 미분방정식은

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}}{\frac {dz}}}$

아니면

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

b가 양의 정수가 아닐 때, 치환

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

선형 독립적인 솔루션을 제공합니다.

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

그래서 일반적인 해결책은

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

여기서 k, l은 상수입니다.

a가 양이 아닌 정수일 때 -n, 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{-n};}$ ${\displaystyle b;}$ z${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$은(는) 다항식입니다.상수 인자까지는 Laguerre 다항식입니다.이것은 Hermite 다항식들이 F로도₁ 표현될 수 있음을 의미합니다.

시리즈₂ F

다른 함수와의 관계는 특정 매개 변수 조합에 대해서만 알려져 있습니다.

함수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$; ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{},}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ 2${\displaystyle }$; -${\displaystyle }$x ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$) ${\$}}, ${\$frac {3}{2$}};-{\frac {x^{2}}}\right)}$는 기수$$ 사인의 유도체입니다.${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ $및$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle b_{1}}$의 수정된 값으로$$${\displaystyle \sin }$⁡${\displaystyle ({x\beta }^{}}$/ x ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle \sin(x^{\beta})/x^{\alpha}}$의 유도체를 얻습니다$.$

${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$; n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$;${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$) ${\$는 베셀 함수 ${\displaystyle {Jn}_{}x)}$ ${\displaystyle J_{n}(x)}$ 및$$ 그 도함수를 통해 표현할 수 있음을$$ 제안했습니다.^[6]

함수 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}1}$; ${\displaystyle a,}$ a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$; x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{1}F_{2}(1;a+1;x$)}은$($는) 기본적으로 Lommel 함수입니다.^[7]

시리즈₀ F

두 번째 종류의 합류 초기하학 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.^[8]

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right)}$

시리즈₁ F

역사적으로 가장 중요한 것은 2 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b;}$ ${\displaystyle c;}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,$ b$;c;z)}$ 형식의 함수입니다$.$이것들은 때때로 가우스의 초기하학 함수, 고전적인 표준 초기하학 또는 종종 단순히 초기하학 함수라고 불립니다.혼동의 위험이 있는 경우 함수 F에_q 대해 Generalized hypergeometric function이라는 용어를 사용합니다.이 함수는 수렴 조건을 탐구한 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의해 처음으로 자세히 연구되었습니다.

이 함수의 미분방정식은

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}}{\frac {dz}}}$

아니면

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}-ab\,w=0.}$

이것은 초기하학적 미분 방정식으로 알려져 있습니다.c가 양의 정수가 아닐 때, 치환

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

선형 독립적인 솔루션을 제공합니다.

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

따라서 z < 1에 대한 일반적인 해는

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

여기서 k, l은 상수입니다.다른 z 값에 대해 다른 해를 도출할 수 있습니다.실제로 다양한 ID를 사용하여 유도할 수 있는 Kummer 솔루션으로 알려진 24개의 솔루션이 복합 평면의 여러 영역에서 유효합니다.

a가 양이 아닌 정수일 때, -n,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

는 다항식입니다.상수 인자와 스케일링까지 자코비 다항식입니다.상수 인자까지 다른 여러 종류의 직교 다항식은 자코비 다항식의 특수한 경우이므로 F를₁ 사용하여 표현할 수도 있습니다.여기에는 Legendre 다항식과 Chebyshev 다항식이 포함됩니다.

초기하학 함수를 사용하여 기본 함수의 광범위한 적분을 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha}}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha}};1+{\tfrac {1}{\alpha}};-x^{\alpha}\right)+2{\sqrt {x^{\alpha}+1}\right\},\qquad \neq 0.}$

시리즈₀ F

이는 Mott 다항식과 관련하여 발생합니다.^[9]

시리즈₂ F

함수를

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

는 대수입니다^[10].

함수를

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

한 다항식입니다

시리즈₃ F

함수를

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

는 윌슨 다항식입니다.

5차 방정식의 모든 근은 라디칼과 브링 라디칼로 표현할 수 있으며, 이는 $x$ ${\displaystyle 5^{}}$+ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{5}$ + x + a = $0}$의 실제 해입니다$.$Bring radical은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.^[11]

${\displaystyle \operatorname {BR}(t)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}}, {\frac {2}{5}, {\frac {3}{5}, {\frac {4}{5}}, {\frac {1}{2}, {\frac {3}{4}, {\frac {5}}, {\frac {3125a^{4}}, {256}\right}.$

시리즈_q F

그 기능들은

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots,1;2,2,\ldots,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots,2;1,1,\ldots,1,z\right)}$

$q{\displaystyle }$∈${\displaystyle }$N ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$q$\in \mathbb$ {N}$_{0} 및$ p ∈ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ p$\in \mathbb$ {N$}}$에 대해 폴리로그입니다.

각각의 정수 n ≥2에 대하여, 다항식 x-x+t의 근은 적어도 한 쌍의 a와 b 매개변수를 제거함으로써 항상 감소될 수 있는 유형 F의 최대 N-1 초기하 함수의 합으로 표현될 수 있습니다.

일반화

일반화된 초기하학 함수는 Meijer G 함수와 MacRobert E 함수와 연결되어 있습니다.초기하급수는 예를 들어 폴 에밀 아펠과 조제프 캄페 드 페리에에 의해 몇 가지 변수로 일반화되었지만, 비교 가능한 일반 이론이 등장하는 데는 오랜 시간이 걸렸습니다.많은 신원들이 발견되었고 몇몇은 꽤 주목할만한 것들도 발견되었습니다.19세기 후반에 에두아르트 하이네가 일반화한, 기본 초기하학 시리즈라고 불리는 q 시리즈 유사체들을 제공했습니다.여기서 n의 유리함수 대신 연속 항으로 고려된 비율은 q의ⁿ 유리함수입니다. 또 다른 일반화인 타원 초대기하급수는 항들의 비율이 n의 타원함수(이중 주기적인 형이상함수)인 급수입니다.

20세기 동안 이것은 다른 분야와의 수많은 연관성을 가진 조합 수학의 풍부한 영역이었습니다.아오모토(Aomoto), 이스라엘 겔판(Israel Gelfand) 등에 의해 일반적인 초기하학 함수에 대한 새로운 정의가 많이 있습니다. 그리고 복잡한 N-공간에 여러 초평면을 배열하는 조합론에 대한 응용 등이 있습니다(초평면 배열 참조.

특수 초기하 함수는 리만 대칭 공간과 반단순 리 군에서 구역 구면 함수로 발생합니다.그들의 중요성과 역할은 다음의 예를 통해 이해될 수 있습니다: 초기하학 급수₁ F는 특별한 경우로서 레전드르 다항식을 가지며, 구면 조화의 형태로 고려될 때, 이 다항식들은 특정한 의미에서 두 구면의 대칭성을 반영하거나, 동등하게,Lie 그룹 SO(3)의 로테이션이 그룹의 구체적인 표현의 텐서 곱 분해에서는 F₂ 초기하학 계열로 쓸 수 있는 클레브슈-고단 계수가 충족됩니다.

양의 초기하학 계열은 양의 정수만이 아니라 모든 정수를 합산하는 초기하학 함수의 일반화입니다.

폭스-라이트 함수(Fox-Wright function)는 일반화된 초기하메트릭 함수를 일반화한 것으로, 직렬 표현식의 포치해머 기호가 인덱스 n의 선형 표현식의 감마 함수로 일반화됩니다.

참고 항목

• 애호 시리즈
• 험버트 급수
• 캄페 드 페리에 함수
• 로리셀라 초기하급수

메모들

참고문헌

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외부 링크

• A = B 책, 이 책은 인터넷에서 자유롭게 다운받을 수 있습니다.
• 수학세계
  • Weisstein, Eric W. "Generalized Hypergeometric Function". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Confluent Hypergeometric Function of the First Kind". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Confluent Hypergeometric Limit Function". MathWorld.