효율적인 선망 없는 부문

효율성과 공정성은 복지경제의 두 가지 주요 목표이다.자원 세트와 에이전트 세트가 주어진 경우 목표는 Pareto Efficient(PE; 파레토 효율)와 Envy-free(EF; 부러움 없는) 양쪽으로 자원을 에이전트 간에 나누는 것입니다.이 골은 데이비드 슈마이들러와 메나헴 야아리에 ^[1]의해 처음 정의되었다.그 후, 그러한 할당의 존재는 다양한 조건에서 증명되었다.

PEF 할당의 존재

우리는 각 대리점이 모든 상품 묶음 세트에 대한 선호 관계를 가지고 있다고 가정합니다.프리퍼런스는 완전, 전이, 클로즈드입니다.마찬가지로 각 선호 관계는 연속 효용 ^[2]^{: 79}함수로 나타낼 수 있다.

약볼록 기본 설정

정리 1(바리안):^[2]^{: 68} 모든 에이전트의 기본 설정이 볼록하고 강한 단조로울 경우 PEF 할당이 존재합니다.

증명: 증거는 동등한 수입을 가진 경쟁적 균형 존재에 의존한다.경제의 모든 자원이 에이전트 간에 균등하게 분배된다고 가정합니다.즉, 경제의 총 기부금이 E $(\$ $displaystyle$ E $)$ 인 경우, 각 $i\in 1,\dots ,n:$ i $i\in 1,\dots ,n:$ , $i\in 1,\dots ,n:$ n $i\in 1,\dots ,n:$ : {\ $display$ i $\in$ 1 $,\$ display n $:}$ 는 $i\in 1,\display,n:$ 초기 $E_{i}=E/n$ $E_{i}=E/n$ $E_{i}=E/n$ / $E_{i}=E/n$ n {i} $= E/n$ 을 받습니다.

선호도가 볼록하기 때문에 Arrow-Debreu 모델은 경쟁적 평형이 존재함을 암시한다.즉, 다음과 같은 가격 $벡터$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 와 $p$ $파티션$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 가 $x$ 있습니다.

(CE) 모든 에이전트는 예산에 따라 유틸리티를 최대한 활용합니다.즉, P $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ Y $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ P $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ i \ $displaystyle P$ \ $cdot$ Y \ $cdot$ X $_$ { $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ $i$ }일 $P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}$ 경우 Y $Y\preceq _{i}X_{i}$ i $Y\preceq _{i}X_{i}$ i \ $displaystyle$ Y \ $preceq$ _ { $i$ } 。
(EI) 모든 에이전트는 평형가격에서 동일한 소득을 갖는다: $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ i $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ i $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}$ (\ $displaystyle$ i $,j:$ $P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j$

이러한 할당은 항상 EF입니다.증명: (EI) 조건에 따라 모든 $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ 에 $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ j $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ : $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ X $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ P $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ X $i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}$ \ $displaystyle$ i $,$ : $P\cdot$ X_ ${j}\leq$ P $\cdot X_{i$ 따라서 (CE) 조건에 $X_{j}\preceq _{i}X_{i}$ $X_{j}\preceq _{i}X_{i}$ $X_{j}\preceq _{i}X_{i}$ X $X_{j}\preceq _{i}X_{i}$ \ $display style$ X_ ${j}$ \ $preceq$ _ { $i}$ X_ ${i$

선호도는 단조롭기 때문에 단조롭다는 것은 국소적인 비포화를 의미하기 때문에 그러한 할당도 PE입니다.복지 경제학의 기본 이론들을 참조하라.

예

모든 예에는 x와 y, 그리고 앨리스와 밥이라는 두 개의 에이전트가 있는 이코노미가 포함됩니다.모든 예에서 유틸리티는 약볼록하고 연속적입니다.

A. 많은 PEF 할당:기부금의 합계는 (4,4)이다.Alice와 Bob에는 대체재를 나타내는 선형 유틸리티가 있습니다.

u_{A}(x,y)=2x+y

A

u_{A}(x,y)=2x+y

(

u_{A}(x,y)=2x+y

,

u_{A}(x,y)=2x+y

)

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{A}(x,y)=2x+y

x +

u_{A}(x,y)=2x+y

( \

displaystyle u

_ {

A （

x , y ） =

2x + y

} ,

u_{B}(x,y)=x+2y

B

u_{B}(x,y)=x+2y

(

u_{B}(x,y)=x+2y

,

u_{B}(x,y)=x+2y

)

u_{B}(x,y)=x+2y

+

u_{B}(x,y)=x+2y

y {

displaystyle u

_ { B

（ x

, y ）

= x

+ 2 y

u_{B}(x,y)=x+2y

} 。

유틸리티는 약볼록 및 강단일음이라는 점에 유의하십시오.많은 PEF 할당이 존재합니다.Alice가 적어도 3개의 x를 받는다면 그녀의 효용은 6이고 그녀는 Bob을 부러워하지 않는다.마찬가지로 밥이 최소 3단위의 y를 받는다면 그는 Alice를 부러워하지 않습니다.따라서 할당 [(3,0);(1,4)]은 유틸리티(6,9)를 포함한 PEF입니다.마찬가지로 할당 [(4,0);(0,4)] 및 [(4,0.5);(0,3.5)]는 PEF입니다.한편, 할당 [(0,0);(4,4)]은 PE이지만 EF(Alice는 Bob을 부러워함)는 아니다. 할당 [(2,2);(2,2)]은 EF이지만 PE는 아니다(유틸리티는 (6,6)이지만, 예를 들어 (8,8)로 개선할 수 있다).

B. 기본적으로 단일 PEF 할당:기부금의 합계는 (4,2)이다.Alice와 Bob은 보완재를 나타내는 Leontief 유틸리티를 가지고 있습니다.

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

A

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

(

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

B (

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

)

=

(

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

){

displaystyle u_{A}(x

, y)=

u_{B}(x

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

y)=\

min(x , y

유틸리티는 약볼록이며 약모노톤에 불과하다는 점에 주의해 주십시오.PEF 할당이 아직 존재합니다.동일한 할당 [(2,1);(2,1)]은 효용 벡터(1,1)를 가진 PEF입니다.EF는 명백합니다(모든 균등한 할당은 EF입니다).PE에 관해서는 두 에이전트 모두 y만을 필요로 하기 때문에 에이전트의 유틸리티를 높이는 유일한 방법은 다른 에이전트로부터 y를 취득하는 것입니다만, 이로 인해 다른 에이전트의 효용성이 저하됩니다.[(1.5,1);(2.5,1)]와 같은 다른 PEF 할당이 있지만, 두 에이전트 모두에 ^[3]1 이상의 값을 줄 수 없기 때문에 모두 (1,1)의 효용 벡터를 가집니다.

효율적인 할당 공간의 토폴로지 조건

PEF 할당은 에이전트의 기본 설정이 볼록하지 않은 경우에도 존재합니다.특정 효율적인 효용 프로파일에 대응하는 할당 세트의 형태와 관련된 몇 가지 조건이 있습니다.utility-profile u를 지정하면 A(u) = 유틸리티 프로파일이 u인 모든 할당 세트를 정의합니다.다음과 같은 보다 일반적인 정리들이 다른 저자들에 의해 연속적으로 증명되었다.

정리 2(바리안):^[2]^{: 69}모든 에이전트의 기본 설정이 매우 단조롭다고 가정합니다.모든 Weakly Pareto Efficient 유틸리티 프로파일u에 대해 세트 A(u)가 싱글톤인 경우(즉, 2개의 WPE 할당이 없기 때문에 모든 에이전트가 서로 무관심합니다), PEF 할당이 존재합니다.

이 증명은 크나스터-쿠라토스키-마주르키에비치 법칙을 사용한다.

주의: 정리 1과 정리 2의 조건은 독립적이며, 둘 다 다른 조건을 의미하지 않습니다.그러나, 엄격한 요철 선호는 두 가지를 모두 내포하고 있다.엄밀한 볼록성이 약한 볼록성을 내포하고 있는 것은 명백하다(이론 1).이것이 정리 2의 조건을 의미하는지 확인하기 위해, 동일한 효용 프로파일 u를 가진 두 개의 다른 할당 x,y가 있다고 가정하자.z = x/2+y/2를 정의합니다.엄밀한 볼록성으로 인해 모든 작용소는 x 및 y보다 z를 엄격히 선호합니다.따라서 x와 y는 약하게 PE일 수 없습니다.

정리 3(Svenson):^[4]모든 에이전트의 프리퍼런스가 매우 단조롭고 모든 PE 유틸리티 프로파일u에 대해 세트 A(u)가 볼록한 경우 PEF 할당이 존재합니다.

그 증명은 카쿠타니 고정점 정리를 사용한다.

주의: 모든 에이전트의 선호도가 볼록한 경우(정리 1과 같이), A(u)도 볼록한 것이 명백합니다.게다가, 만약 A(u)가 (정리 2와 같이) 싱글톤이라면, 그것 또한 분명히 볼록하다.그러므로 스벤슨의 정리는 바리안 이론보다 더 일반적이다.

정리 4(디아만타라스):^[5]모든 에이전트의 기본 설정이 매우 단조롭고 모든 PE 유틸리티 프로파일u에 대해 세트 A(u)가 축소 가능한 공간(그 공간 내의 점까지 연속적으로 축소 가능)인 경우 PEF 할당이 존재합니다.

그 증명은 아일렌버그와 몽고메리의 ^[6]고정점 정리를 사용한다.

주의: 모든 볼록 집합은 수축할 수 있으므로 디아만타라스의 정리는 앞의 세 가지보다 더 일반적이다.

시그마 최적성

Svensson은 PEEF 할당의 존재에 대한 또 다른 충분한 조건을 증명했다.모든 기본 설정은 연속 효용 함수로 나타납니다.또한, 모든 효용 기능은 소비 공간 내부에서 연속적으로 구별할 수 있다.

주요 개념은 시그마 최적성이다.각 에이전트에 대해 동일한 기본 설정을 가진 k개의 복사본을 생성한다고 가정합니다.X를 원래의 경제에서 할당으로 하자.같은 에이전트의 모든 복사본이 X의 원래 에이전트와 동일한 번들을 받는 k-복제 이코노미에서 Xk를 할당으로 합니다.모든 k에 대해 할당 Xk가 파레토 최적인 경우 할당 X를 시그마 최적이라고 합니다.

Lema:^[7]^{: 528} 경쟁적 균형일 경우 할당은 시그마 최적입니다.

정리 5(센슨):^[7]^{: 531} 모든 Pareto 최적 할당이 시그마 최적 할당이면 PEF 할당이 존재합니다.

한계 수익률 증가

PEEF 할당은 모든 선호도가 볼록한 경우에도 존재하지 않을 수 있으며, 생산량이 있고 기술이 증가 평균 수익률을 가지고 있는 경우입니다.

제안 6 (Vohra):^[8] 모든 선호가 지속적으로 강하게 모노톤이고 볼록한 경제, 기술에서 비볼록성의 유일한 원천은 고정 비용이며 PEEF 할당은 존재하지 않는다.

따라서 수익의 증가는 효율성과 공정성 사이의 근본적인 상충을 초래한다.

그러나 부러움 없는 것은 다음과 같은 방법으로 약화될 수 있다.모든 에이전트 i에 대해 에이전트 i가 부럽지 않은 동일한 유틸리티 프로파일을 가진 실현 가능한 할당 Yi가 있는 경우(모든 에이전트는 X와 Yi 사이에 무관심), 할당 X는 본질적으로 부럽지 않은 것으로 정의됩니다.물론 모든 EF 할당은 EEF입니다. 왜냐하면 Yi를 모든 i에 대해 X로 간주할 수 있기 때문입니다.

정리 7(Vohra):^[8]모든 에이전트의 선호도가 강한 단조이며 연속 효용 함수로 표현된다고 가정합니다.그런 다음 파레토 효율적인 EEF 할당이 존재합니다.

PEF 할당이 존재하지 않습니다.

비볼록 기본 설정

PEEF 할당은 프리퍼런스가 볼록하지 않은 경우 프로덕션 없이 존재하지 않을 수 있습니다.

예를 들어 총 기부금이 (4,2)이고 Alice와 Bob의 오목한 유틸리티가 동일하다고 가정합니다.

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

A

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

(

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

B (

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

(

x

,

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

= {

displaystyle u _

{

A （

x , y ） =

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

u

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

_ {

B

} ( x , y ) = \

max

( x ,

y

)

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

。

동일한 할당 [(2,1);(2,1)]은 효용 벡터(2,2)를 갖는 EF입니다.또한 모든 EF 할당은 두 에이전트에게 동일한 효용성을 부여해야 하며(이러한 효용 함수는 동일하므로), 이 효용은 최대 2가 될 수 있습니다.그러나 그러한 할당은 효용 벡터가 (4,2)인 할당 [(4,0);(0,2)]에 의해 파레토 지배되므로 PE는 아니다.

우리가 선망 없는 것을 지배하지 않는 것으로 약화시켜도 존재하지 않는다. 어떤 에이전트도 다른 에이전트보다 각각의 장점을 더 많이 얻을 수 없다.

Proposition 8 (매니켓):^[9]엄격한 단조롭고 지속적이며 심지어 다른 선호도를 가진 2-좋은 3-에이전트 분할 경제가 존재하며, 모든 파레토 효율적인 할당이 지배적이다.

PEF 할당 검색

2개의 에이전트에 대해 조정된 승자 절차는 2개의 추가 속성을 가진 PEF 할당을 찾는 간단한 절차입니다.할당도 공평하며 최대 1개의 상품이 2개의 에이전트 간에 공유됩니다.

선형 유틸리티를 사용하는 3개 이상의 에이전트의 경우 내쉬 최적 할당은 PEF가 됩니다.내쉬 최적 할당은 에이전트의 효용 곱 또는 이와 동등하게 효용 로그의 합을 최대화하는 할당이다.이러한 할당을 찾는 것은 볼록한 최적화 문제입니다.

$파티션$ $~~{\text{that}}~~(X_{1},\ldots,X_{n}~{\text{는 파티션$

효율적으로 찾을 수 있습니다.내쉬 최적 배분이 PEF라는 사실은 공정한 케이크 ^[10]커팅이라는 보다 일반적인 환경에서도 사실이다.

증명: 아주 작은 케이크 한 조각을 생각해 보세요, Z.각 에이전트 i에 대해 로그 기록 $\log(u_{i}(X_{i}))$ i ( $\log(u_{i}(X_{i}))$ i $){$ $display$ style \ $log (u_{i}(X_{i$ })})에 $\log(u_{i}(X_{i}))$ $\log(u_{i}(X_{i}))$ Z의 최소 기여는 다음과 같습니다.

$Z$ $}={u_{i$ }( $Z)\over u_{$ i}( $X_{$ i $u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

따라서 Nash-optimal 규칙은 이러한 각 조각 Z를 이 표현이 가장 큰 에이전트 j에 부여합니다.

$\displaystyle \forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j})\geq {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}}$

X의 모든_j 극소 부분 집합을 합하면 다음과 같이 됩니다.

$(\displaystyle\forall i,j\in [n]):{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})\geq {u_{i}(X_{j}) \over u_{i}(X_{i})}}$

이는 선망 없는 할당의 정의를 의미합니다.

$(\displaystyle\forall i,j\in [n]):{u_{i}(X_{i})\geq {u_{i}(X_{j})}$

「」를 참조해 주세요.

Weller의 정리 - 케이크 커팅에서의 PEEF 할당의 존재에 관한 것입니다.
Hal Varian의 더 관련된 이론은 ^[11]에서 찾을 수 있다.
생산이 있는 경제에서의 PEF 할당에 관한 정리는 ^[12]에서 확인할 수 있다.
시장균형계산 - 공정하고 효율적인 경쟁균형을 계산하기 위한 알고리즘.
Tao와^[13] Cole은 유틸리티가 비선형(보완성을 가질 수 있음)일 때 PEEF 랜덤 할당의 존재를 연구합니다.
Diamantaras와^[14] Thomson은 PEEF 할당이 존재하지 않는 많은 경제에 존재하는 (PE와 함께) 선망의 개선과 확장을 연구한다.

레퍼런스

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^ 1974년^{: 70} 논문에서 PEF 배분이 존재하지 않는 예로서 유사한 경제가 나타난다.이것은 오타일 가능성이 있습니다.아래의 예 C와 같이, 「min」은 「max」여야 합니다.이 경제 스택 교환 스레드를 참조하십시오.
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[1] 데이비드 슈마이들러와 메나헴 야아리(1971년)."공정한 할당"마임오

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[3] 1974년^{: 70} 논문에서 PEF 배분이 존재하지 않는 예로서 유사한 경제가 나타난다.이것은 오타일 가능성이 있습니다.아래의 예 C와 같이, 「min」은 「max」여야 합니다.이 경제 스택 교환 스레드를 참조하십시오.

[4] Svensson, Lars-Gunnar (1983-09-01). "On the existence of fair allocations". Zeitschrift für Nationalökonomie. 43 (3): 301–308. doi:10.1007/BF01283577. ISSN 0044-3158.

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[6] Eilenberg, Samuel; Montgomery, Deane (1946). "Fixed Point Theorems for Multi-Valued Transformations". American Journal of Mathematics. 68 (2): 214–222. doi:10.2307/2371832. JSTOR 2371832.

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[:1-8] Vohra, Rajiv (1992-07-01). "Equity and efficiency in non-convex economies". Social Choice and Welfare. 9 (3): 185–202. doi:10.1007/BF00192877. ISSN 0176-1714.

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[12] Piketty, Thomas (1994-11-01). "Existence of fair allocations in economies with production". Journal of Public Economics. 55 (3): 391–405. doi:10.1016/0047-2727(93)01406-Z. ISSN 0047-2727.

[13] Cole, Richard; Tao, Yixin (2021-04-01). "On the existence of Pareto Efficient and envy-free allocations". Journal of Economic Theory. 193: 105207. arXiv:1906.07257. doi:10.1016/j.jet.2021.105207. ISSN 0022-0531.

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PEF 할당의 존재

약볼록 기본 설정

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