복지경제학의 기본이론

복지경제학에는 두 가지 근본적인 이론이 있다. 첫째는 경제적 평형상태에서 완전한 정보를 가진 완전한 시장, 완벽한 경쟁상태에서 일련의 완전한 시장이 파레토 최적(더 이상의 교환은 한 사람을 더 악화시키지 않고 더 나은 삶을 살게 할 것이라는 의미에서)이 될 것이라고 기술하고 있다. 완벽한 경쟁을 위한 요건은 다음과 같다.^[1]

1. 외적인 면이 없고 배우마다 완벽한 정보를 갖고 있다.
2. 기업과 소비자는 주어진 대로 가격을 받는다(경제적 행위자나 행위자 집단은 시장 지배력을 가지고 있지 않다).

그 정리는 때때로 아담 스미스의 "보이지 않는 손" 원칙, 즉 경쟁 시장이 자원의 효율적인 배분을 보장한다는 분석적인 확인으로 보여진다. 그러나 파레토의 만족도가 다른 자원의 효율적인 배분(예: 한 사람이 모든 것을 소유할 수 있고 다른 모든 사람은 아무것도 소유하지 않을 수 있음)^[2]이 많기 때문에 파레토의 최적 시장 결과가 사회적으로 바람직하다는 보장은 없다.

두 번째 정리에서는 어떤 파레토 최적도 일부 초기 기부금에 대한 경쟁적 평형으로서 지지될 수 있다고 기술하고 있다. 그 의미는 원하는 파레토 최적 결과가 뒷받침될 수 있다는 것이다; 파레토 효율성은 초기 부의 재분배와 함께 달성될 수 있다. 그러나 분포를 수정하려는 시도는 왜곡을 일으킬 수 있으므로 재배포로는 완전한 최적성을 달성할 수 없을 수 있다.^[3]

이 이론들은 엣지워스 박스 도표를 통해 단순한 순수 교환 경제에 대해 그래픽으로 시각화할 수 있다.

근본정리의 역사

애덤 스미스 (1776)

수입관세에 대한 토론에서 아담 스미스는 다음과 같이 썼다.

모든 개인은 사회의 연간 수입을 가능한 한 크게 만들기 위해 노력한다... 다른 많은 면에서 볼 때, 그는 자신의 의도와는 무관한 목적을 촉진하기 위해 보이지 않는 손에 이끌려 이 일을 하고 있다... 그는 자신의 이익을 추구함으로써 그가 진정으로 그것을 홍보하려고 할 때 보다 더 효과적으로 사회의 이익을 촉진하는 경우가 많다.^[4]

스미스의 사상이 구체적으로 복지경제 쪽으로 향하지 않았다는 점에 주목한다. 왜냐하면 이 경제학 분야는 당시 만들어지지 않았기 때문이다. 그러나 그의 주장은 복지경제학의 근본 이론뿐만 아니라 지부 창설에도 기여했다.^[5]

레온 왈라스 (1870년)

왈라스는 '자유경쟁 하에서 교환하는 것은 모든 당사자가 일률적인 가격으로 사고팔 수 있는 최대의 만족을 얻는 운영'이라고 썼다.^[6]

F. Y. 엣지워스(1881)

엣지워스는 생산량이 없는 순수한 교류경제를 바라보며 '수학적 심리학'에서 첫 번째 근본적인 정리를 향해 한 걸음 나아갔다. 그는 자신의 분석에 불완전한 경쟁을 포함시켰다.^[7] 평형에 대한 그의 정의는 파레토의 최적성에 대한 나중의 정의와 거의 같다: 그것은 바로 그런 점이다...

우리가 무한히 작은 걸음을 내딛는 방향에서 P와 Ⅱ[구매자와 판매자의 효용]는 함께 증가하는 것이 아니라, 하나가 증가하는 동안 다른 하나가 감소한다.^[8]

엣지워스는 평형이 파레토 최적이라고 결론짓는 대신, 평형이 당사자들의 효용 합계를 최대화한다고 결론지었다. 이는 파레토 효율성의 특별한 경우다.

이 특별한 경우에 적용되는 일반적인 동력학적 원리는 계약자의 총 쾌락에너지가 최대 상대적 또는 조건의 대상일 때 평형을 얻는 것으로 보인다... ^[9]

빌프레도 파레토(1906/9)

파레토는 그의 매뉴얼(1906년)과 프랑스어 개정(1909년)에 더 엄격한 최초의 근본적인 정리를 명시했다.^[10] 그는 가장 먼저 자신의 기준에 따라 최적성을 주장하거나 설득력 있는 주장을 펼쳐 그 주장을 뒷받침했다.^{[citation needed]}

그는 엣지워스보다 더 추상적으로 평형을 외부의 압력이^[11] 없을 때 무한정 스스로를 유지하는 상태로 정의하고, 교환 경제에서 당사자들의 무관심 곡선에 접하는 공통점이 기부를 통과하는 지점임을 보여준다.^[12]

최적성에 대한 그의 정의는 Chap에 제시되어 있다. VI:

집단성 구성원들은 집단성 안에서 각 개인이 누리는 편협성이 증가하거나 감소할 정도로 작은 한 발짝도 움직일 수 없을 때 일정한 위치에서 최대의 편협성[즉 효용성]을 누린다고 말할 것이다. [그는 이전에 개별적인 무절제한의 증가를 더 높은 무관심 곡선으로의 이동으로 정의했다.] 즉, 어떤 작은 발걸음이라도 어떤 개인의 무제한성을 높이는 동시에 다른 개인의 무제한성을 감소시킬 수밖에 없다는 것이다.^[13]

다음 단락은 우리에게 정리를 제공한다.

I형[즉, 완벽한 경쟁]의 현상에 대해, 무관심 곡선의 접선 지점에서 평형이 일어날 때, 집단성의 구성원들은 최대 오피 한계를 즐긴다.

그는 '수학의 도움 없이는 엄격한 증거가 주어질 수 없다'고 덧붙이며 그의 부록을 가리킨다.^[14]

Wicksell은 최적성에 대한 그의 정의를 언급하면서 다음과 같이 논평했다.

이러한 정의에 따르면, 이러한 소위 최대치가 자유 경쟁 하에서 얻어지는 것은 거의 자명하다. 왜냐하면 교환이 이루어진 후, 참여자에 대한 니즈의 추가적인 만족을 창출하기 위해 직간접적인 교환을 통해 추가적인 교환을 통해 가능했다면, 그 정도까지 그러한 지속적인 교환이 가능했기 때문이다.의심의 여지없이 발생했고, 원래의 위치가 최종 평형일 수는 없었다.^[15]

파레토는 그렇게 직설적이지 않았다. 그는 그의 본문에서 오직 교환에만 적용하여 도식적인 주장을 하고,^[16] 사무엘슨이 '따라하기 쉽지 않다'고 발견한 부록에서^[17] 32페이지의 수학적인 주장을 제시한다.^[18] 파레토는 생산가능성 변경에 대한 개념을 갖지 못해 어려움을 겪었는데, 파레토의 발전은 부분적으로 그의 협력자인 엔리코 바로네 덕분이었다.^[19] 그가 스스로 밝힌 '장애물에 대한 추론 곡선'은 잘못된 길이었던 것으로 보인다.

첫 번째 근본적인 정리를 말한 직후 파레토는 분배에 관한 질문을 던진다.

그 구성원의 한계를 극대화하려는 집산주의 사회를 생각해 보라. 그 문제는 두 부분으로 나뉜다. 첫째로, 우리는 분배의 문제를 가지고 있다: 사회 내의 상품들은 어떻게 그것의 구성원들 사이에 공유되어야 하는가? 그리고 둘째로, 어떻게 생산을 조직하여 재화가 그렇게 분배될 때 사회의 구성원들이 최대한의 개방성을 얻을 수 있도록 해야 하는가?

그의 대답은 제2차 정리의 비공식적인 전구다.

첫 번째 문제에 대한 해답에 따라 상품을 분배한 경우, 국가는 수집성의 구성원들이 두 번째 분배를 운영하도록 허용하거나, 두 경우 모두 자유 경쟁의 작용에 적합하게 수행되도록 해야 한다.^[20]

엔리코 바론(1908)

파레토의 동료인 Barone은 완벽한 경쟁의 최적성을 증명했다.^[21] 즉, 외생적인 가격을 가정할 때, 그것은 생산 활동으로부터의 수익의 금전적 가치를 최대화한다. 이것은 모두 원하는 비율로 섭취한 레저, 저축, 그리고 소비를 위한 상품의 가치의 합이다.^[22] 그는 시장이 선택한 가격 자체가 최적의 가격이라고 주장하지 않는다.

그의 논문은 1935년이 되어서야 영어로 번역되었다. 그것은 사무엘슨으로부터^[23] 승인받은 요약본을 받았으나 현재 상태로는 복지구성의 발전에 영향을 미치지 않은 것으로 보인다.

아바 레너 (1934년)

1934년 레너는 무관심 곡선이 접선으로 만나야 한다는 엣지워스의 교환 조건을 다시 제시하며 최적성 속성으로 제시했다. 그는 비슷한 생산 조건, 즉 그가 '생산적 무관심 곡선'이라는 대체 명칭을 붙인 생산가능성 프론티어(PPF)가 지역사회에 대한 무관심 곡선과 접선되어야 한다고 말했다. 그는 1932년 국제 무역에 관한 논문에서 PPF의 창시자 중 한 명이었다.^[24] 그는 PPF가 엣지워스 박스의 거울-이미지 무관심 곡선과 같은 역할을 하기 때문에 두 주장이 동일한 용어로 제시될 수 있음을 보여준다. 그는 또한 곡선이 뾰족한 모서리에 닿으면 같은 결과가 나오기 때문에 곡선이 다를 필요는 없다고 언급한다.

그의 최적성에 대한 정의는 파레토의 다음과 같았다.

만약... 다른 개인을 더 나쁜 위치로 옮기지 않고 한 개인을 선호하는 위치로 옮기는 것이 가능하다면... 우리는 ...의 상대적 최적치에 도달하지 않았다고 말할 수 있다.

생산에 대한 최적성 조건은 (i) 가격이 한계비용과 같아야 하고 (ii) 산출물은 (i)에 따라 최대화되어야 한다는 요건 쌍과 동일하다. 따라서 Lerner는 생산과 교환 모두에 대한 접선에 대한 최적성은 감소시키지만, PPF의 암묵적인 포인트가 자유 시장을 위한 평형 조건이어야 하는 이유는 말하지 않는다. 아마도 그는 이미 충분히 확립되어 있다고 생각했을 것이다.^[25]

Lerner는 LSE 동료인 Victor Edelberg에게 무관심 곡선의 사용을 제안한 공로를 인정한다. 사무엘슨은 르르너가 파레토의 작업과는 별개로 자신의 결과를 얻었다고 추측했다.^[26]

해롤드 호텔링(1938년)

핫텔링은 '최소한의 비용으로 판매되는 것은 최대 일반 복지의 조건'이라는 것을 보여주기 위해 새로운 주장을 내세웠다(파레토의 정의에 따르면). 그는 이러한 조건이 완벽한 경쟁에 의해 충족된다는 것을 받아들였지만, 일부 유익한 프로젝트들은 이 속도로 충전함으로써 고정비용을 회수할 수 없기 때문에(예를 들어, 자연 독점에서) 완벽한 경쟁은 최적일 수 없다고 주장했다.^[27]

오스카 랑게 (1942)

랜지의 논문 '복지경제학의 기초'는 두 가지 이론, 즉 하나의 지배 시장, 또 다른 분배의 현대적 결합의 원천이다. 그는 리오넬 로빈스의 대인관계 효용 비교에 대한 거부감을 참고하여 1차 정리에 대한 최적성의 파레토 정의를 정당화하고 ^[28]민주적으로 선출된 의회의 판결 등 2차 정리에 대해 대인관계 비교를 재도입할 수 있는 다양한 방법을 제시했다. 랜지는 그러한 의회가 자본가와 비슷한 방식으로 행동할 수 있다고 믿었다. 즉, 가격 벡터 설정을 통해 효율성과 사회적 평등을 달성하기 위한 최적의 생산 계획을 달성할 수 있다.^[29]

그의 추론은 레너의 그래픽 주장을 수학적 번역(라그랑주 승수 내)이다. 두 번째 정리는 그의 손에 익숙한 형태를 띠지 않는다. 오히려 그는 진정한 사회적 효용 함수에 대한 최적화 조건이 파레토 최적성에 대한 조건과 유사하다는 것을 보여줄 뿐이다.

아브람 버그슨과 폴 새뮤얼슨(1947)

사무엘슨(Abram Bergson의 사상의 실체를 위해 아브람 버그슨을 찬양함)은 랑지의 두 번째 복지 정리를 대략 현대적인 형태로 가져왔다.^[30] 그는 파레토의 최적성에 필요한 일련의 방정식을 도출하는 데 있어 란지를 따르고, 경제가 진정한 사회복지 기능을 충족시키기 위해 요구될 경우 어떤 추가적인 제약조건이 발생하는지 고려하면서, '주어진 윤리적 필요성의 달성에 필요한 모든 조치'가 뒤따르는 추가적인 방정식을 찾는다.당신은 일시적 세금이나 현상금의 형태를 취한다.^[31]

케네스 애로우와 제라드 데브레우(별도, 1951년)

애로우즈와 데브루의 두 논문^[32](독립적으로 작성되어 거의 동시에 출판됨)은 란지의 첫 번째 정리의 엄격함을 개선하고자 노력했다. 이들의 계정은 교환뿐만 아니라 (단기)생산을 가리키며, 두 가지 모두에 대한 조건을 선형 함수를 통해 표현한다.

생산에 대한 평형은 제조자의 순 산출물 값, 즉 가격 벡터를 가진 생산 벡터의 도트 생산물이 제조자의 생산 세트에 걸쳐 최대화되어야 한다는 제약조건에 의해 표현된다. 이것은 이윤 극대화로 해석된다. 한 경제 전체의 그것과 마찬가지로, 기업의 최대 생산량은 보이지 않는 손이 각각 자신의 만족을 추구하는 직원들을 이끌어서 그들의 의도와 무관한 목적을 촉진할 때만 달성될 것이다. 그래서 레너, 애로우, 데브루처럼 (그들의 경우 정의로 구현된) 강력한 전제에 의존하여 많은 일을 할 것이다.

교환을 위한 균형은 교환을 통해 기부금에서 얻을 수 있는 포지션에 대해 개인의 효용이 극대화되어야 한다는 의미로 해석된다. 이러한 포지션은 분배의 가치가 가격 벡터와 함께 도트 상품인 자신의 기부금 가치보다 크지 않은 포지션이다.

따라서 평형 개념은 직선적인 가격선을 따라 최적성을 의미하는 것으로 재탄생된다. 이 새로운 의미는 '왈라시안' 또는 '경쟁적 평형'이라는 특별한 이름이 붙으며, 힘의 균형이라는 의미에서 진정한 평형조건이 아니다.

Arrows와 Debreu의 증거는 미적분학에서 볼록 세트 이론으로 수학적 스타일을 바꾸어야 했다. 화살은 공간 가장자리의 평형을 커버하기 위해 증빙서류를 확장해야 한다는 것을 언급함으로써 그의 논문에 동기를 부여했고, 데브루는 무관심 곡선이 차별화되지 않을 가능성에 의해 동기를 부여했다. 현대 문헌은 그 증거 양식을 따른다.

그린발트-스티글리츠 정리

브루스 그린왈드와 조지프 스티글리츠는 1986년 논문 ' 불완전한 정보와 불완전한 시장이 있는 경제의 외부성'에서, 불완전한 시장이 있거나 불완전한 정보가 있다면 근본적인 복지 이론이 뒷받침되지 않는다는 것을 보여주었다.^[33] 이 논문은 비대칭 정보를 가진 경제의 경쟁적 균형은 일반적으로 파레토 효율성이 제약되지도 않는다는 것을 확립한다. 경제의 민간 개인과 동일한 정보 제약을 받고 있는 정부는 그럼에도 불구하고 파레토의 개선된 정책 개입을 발견할 수 있다.^[34]

그린월드와 스티글리츠는 도덕적 해이가 상황을 비효율적으로 만드는 방법을 포함한 몇 가지 관련 상황에 주목했다.^[35]

제1차 기본 정리 증명

첫 번째 기본 정리는 일반적인 조건 하에서 유지된다.^[36] 형식적인 진술은 다음과 같다. If preferences are locally nonsatiated, and if ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$ is a price equilibrium with transfers, then the allocation ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$is Pareto optimal. 이러한 의미에서 균형은 교환 경제에만 관련되거나 기업들이 완벽한 경쟁 요소와 생산 시장에서 따라오는 것으로 보여질 수 있는 배분적이고 생산적으로 효율적이라는 것을 전제로 한다.^[36]

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$, R $G{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ $\mathb{R} ^{G}$를 통해 실제 벡터 공간에서 작업하는 상품 유형의 $집합$ G$${\$displaystyle$ \mathb {R} ^{G}을(를)를$$ 부여하고 벡터 가치 변수에 굵은 얼굴을 사용한다. For instance, if ${\displaystyle G=\lbrace {\text{butter}},{\text{cookies}},{\text{milk}}\rbrace }$ then ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ would be a three dimensional vector space and the vector ${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$ would represent the bundle of g버터 1개, 쿠키 2개, 우유 3개 등이 들어 있는 우드.

Suppose that consumer i has wealth ${\displaystyle w_{i}}$ such that ${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$ where ${\displaystyle \mathbf {e} }$ is the aggregate endowment of goods (i.e. 모든 소비자 및 생산자 기부금의 합계)와 $y{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {j\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\$는 회사 j의 생산량이다.

선호도 극대화(이전과의 가격 평형 정의에서)는 (소비자 i에 대한 선호 관계를 나타내기 위해> ${\$>$_{i$}을 사용)를 내포한다.

> > i {\$displaystyle \mathbf {x_{i}}}_{i}}}}}}$ > ${\$ {$x_{i}}}}\mathbf {w_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

즉, 상품 묶음이 ${\displaystyle {x\mathbf{}}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\$ 가격 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$p}}$보다 엄격히 선호되는 경우, 가격$$ p {\displaystyle \mathbf{$p}}}}}}$에서 감당할 수 없는 상태여야 한다$.$ 지역적 비동정은 다음과 같은 추가적으로 시사한다.

${\displaystyle {x\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {x\mathbf{}}_{}^{}}$ $∗ {\$ \$mathbf {x_{i}} \geq_$${\displaystyle {}_{}}$i} \geq ${\displaystyle \_\_{\mathbf{}}_{}}$${i$}} \i_${$i}}}이${\displaystyle (}$가) ${\$ {$w_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이유를 보려면 x ${\displaystyle {i\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ i ${\displaystyle {x\mathbf{}}_{}^{}}$ $\mathbf {x_{i} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}}}}$만 p x < i $style$i$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ Then by local nonsatiation we could find ${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$ arbitrarily close to ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$ (and so still affordable) but which is strictly preferred to ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$. But ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}}$${}$은(는) 선호 극대화의 결과물이므로$$ 이는 모순이다.

An allocation is a pair ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ where ${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$, i.e. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ is the '매트릭스'(잠재적으로 무한 확장 가능한 행/색상 허용) 열은 소비자 i 및 Y ${\$에 할당된 상품 묶음이고 j번째 열은 기업 j의 생산인 '매트릭스'이다$$. 우리는 소비자가 판매하거나 생산자가 그들이 부족한 상품을 소비하지 않는 할당인 실현 가능한 할당에 주의를 제한한다. 즉, 소비자가 처음에 기부한 모든 상품과 그들의 순 수요는 생산자에게 유사하게 긍정적이어야 한다.

이제 파레토가 지배하는 할당$$$({\displaystyle X\mathbf{}}$${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\mathbf {X}$ ${\displaystyle {}^{}}$$mathbf${${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle(\mathbf {X^{*}}}, Y^{*})$을 고려하십시오$.$ This means that ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ for all i and ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ for some i. 이상에 의해 우리는 p i ${\displaystyle x{\mathbf{}}_{}}$ $p{\displaystyle \mathbf{}}$ $mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i$}}$$ \${p} \cdot \mathbf {x_{i}$ \$cdot$ \$mathbf$ {x_$}{w_{i}}}}}{$i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{i}}}}}}}}}}}}}을 알 수 있다. 요약하면 다음과 같다.

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$.

왜냐하면 Y({\displaystyle \mathbf{Y^{*}}}는 이윤 maximizing, 우리가 알고 있는Σ jp⋅는 yj∗ ≥Σ jp⋅는 yj{\displaystyle \Sigma_{j}\mathbf{p}\cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}, 그렇게 Σ 나는 p⋅ x나는입니다.;Σ jp⋅는 yj{\displaystyle \Sigma_{나는}\mathbf{p}\cdot \mathbf{x_{나는}}.>)$Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$. But goods must be conserved so ${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$. Hence, ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ is not feasible. 모든 파레토 배분은 실현 가능하지 않으므로${\displaystyle }$(${\displaystyle X{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast \mathbf{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}Y{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast \mathbf{}}^{}}$ $){\displaystyle (\mathbf$ {$X^{*}},\mathbf {Y^{*}}}}}$ 그 자체는 파레토 최적이어야 한다$$.^[36]

$Y{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast \mathbf{}}^{}}$ ${\$가) 이익 극대화라는$$ 사실은 간단히 정리 설명에서 가정하지만, 그 결과는 생산 할당을 극대화하는 이윤이 가능한 범위 내에서 유용/관심적일 뿐이다. 다행히도, 생산 $할당{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ Y ${\displaystyle {\ast \mathbf{}}^{}}$ ${\$의 제한과 한계 가격이 0에서 제한되는 폐쇄된 부분 집합에 대한 가격 제한에 대해서는, 예를 들어, 가능한 생산물(예: 그러한 최대치)을 매개변수화하기 위한 연속 기능의 합리적인 선택이 존재한다. 이는 최소한의 한계 가격과 유한한 부가 실현 가능한 최대 생산량을 제한한다는 사실과 타이코노프의 정리는 이러한 콤팩트 공간의 산물이 우리가 원하는 어떤 연속적인 기능의 최대치를 보장한다는 것을 보장한다는 사실에서 따온 것이다.

제2차 기본 정리 증명

두 번째 정리는 공식적으로 모든 ${\displaystyle {생산}_{}}$ 세트 Y ${\$$displaystyle Y_{j}$가 볼록하고${\displaystyle {}_{모든}}$ 선호 관계가 볼록하며 국소적으로 무관하다는$$ 가정 하에 원하는 파레토 효율적 할당은 이전과 준균형 가격으로서 지원될 수 있다고 명시한다.^[36] 가격 평형화와 이전 가격 평형을 위해 이 진술을 입증하기 위해서는 추가적인 가정이 필요하다.

증거는 두 단계로 진행된다: 첫째, 우리는 파레토 효율적 배분이 이전과 준균형 가격으로서 지원될 수 있다는 것을 증명한다. 그리고 나서, 우리는 준균형 가격이 또한 가격균형인 조건을 제시한다.

Let us define a price quasi-equilibrium with transfers as an allocation ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$, a price vector p, and a vector of wealth levels w (achieved by lump-sum transfers) with ${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*$$}}}}{\$$displaystyle \omega}}$은(여기서는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\$은(는) 상품의 총 기부금이고$$ $y{\displaystyle {}_{}^j}$는 회사$$ j의 생산금이다.) 다음과 같이 한다.

나 p⋅ 모든 yj∈ Yj(Y_{j}}(기업들 yj∗{\displaystyle y_{j}^{*}}를 생산하여 이익을 극대화)에 y j≤ p⋅는 yj∗{\displaystylep\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}.

2224. 예를 들면, 모든 나는, if)거야. 나는 x입니다. 나는 ∗{\displaystyle x_{나는}>, _{나는}x_{나는}^{*}}그때⋅ x동업-나는 나는}(if)나는}{\displaystyle x_{나는}엄격하게 x 나는{\displaystyle x_{나는}^{*}∗에}을 선호해서)보다 비용이 적게 들 수 없는 나는 ∗ w_{나는}{\displaystylep\cdot x_{나는}\geq w{\displaystyle x_{i. ≥}^{*}})

나는 x 나는 ∗ Iii. Σ)ω+Σ jj∗{\displaystyle \Sigma_{나는}x_{나는}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}(예산 제약에 만족했습니다.)에스파냐.

이 정의와 이전과의 가격 평형 표준 정의 사이의 유일한 차이는 문 (ii)에 있다. 이곳에서는 불평등이 약해(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{w}_{}}$ w$${\$displaystyle$p\$cdot x_{$i}\$geq w_{$i$\}\})$ 가격이 준균형이다. 나중에 우리는 가격 평형을 만들기 위해 이것을 강화할 것이다.^[36] Define ${\displaystyle V_{i}}$ to be the set of all consumption bundles strictly preferred to ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ by consumer i, and let V be the sum of all ${\displaystyle V_{i}}$. ${\displaystyle V_{i}}$ is convex due to the convexity of the preference relation ${\$${\displaystyle {디스플레이}_{}}$ $스타일 \geq _{i$ V는 모든 Vi${\$이 볼록하기$$ 때문에 볼록하다. 마찬가지로 $Y{\displaystyle }$+ {${\displaystyle \Omega \}}$ ${\displaystyle Y+\{\\omega$\}},$$모든 ${\displaystyle {생산}_{}}$ 세트 ${\displaystyle Y_{}}$$$i {\$displaystyle$Y_${i$}}와$$ 총 기부금의 결합은$$ 볼록하기 때문에 볼록하다. V와 $Y{\displaystyle }$+${\displaystyle }${${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ Y$+\{\omega \}}$의 교차점이 비어 있어야 한다는$$ 것도 알고 있는데, 만약 그렇지 않다면 모든 사람들이${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle (x^{*},y^{*}}}}}}$보다 엄격히 선호하는 묶음이 존재한다는 것을 의미할 것이기 때문이다. $이것$은${\displaystyle }$($x$ ${\displaystyle {}^{}}$)의 파레토 최적성에 의해 배제된다$.$

이 두 볼록한 비절연 세트는 분리 하이퍼플레인 정리를 적용할 수 있게 해준다. This theorem states that there exists a price vector ${\displaystyle p\neq 0}$ and a number r such that ${\displaystyle p\cdot z\geq r}$ for every ${\displaystyle z\in V}$ and ${\displaystyle p\cdot z\leq r}$ for every ${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$. In other words, 두 볼록세트를 완벽하게 분리하는 하이퍼플레인(hyperplane)을 정의하는 가격 벡터가 존재한다.

Next we argue that if ${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$ for all i then ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$. This is due to local nonsatiation: there must be a bundle ${\displaystyle x'_{i}}$ arbitrarily close to ${\displaystyle x_{$$i}}$ that is strictly preferred to ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ and hence part of ${\displaystyle V_{i}}$, so ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$. Taking the limit as ${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$ does not change the weak inequal$ity{\displaystyle }$, so p ${\displaystyle \cdot }$ (${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ i ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}}\geq$ r$}$도 마찬가지. 즉, $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 V의 폐쇄에 있다$$.

Using this relation we see that for ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ itself ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$. We also know that ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$, so ${\displaystyle$$p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq$ r$}$도 $마찬가지$. Combining these we find that ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$. We can use this equation to show that ${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$ fits the definition of a price quasi-equilibrium with transfers.

Because ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$ and ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$ we know that for any firm j:

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$ for ${\displaystyle h\neq j}$

즉, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}{}_{}}$∗ ${\displaystyle p}$⋅ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 암시한다$.$ 마찬가지로 우리는 다음을 알고 있다.

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$ for ${\displaystyle k\neq i}$

which implies ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$. These two statements, along with the feasibility of the allocation at the Pareto optimum, satisfy the three conditions for a price quasi-equilibrium with transfers supported by wealth levels ${\displaystyle w_{i}=p\c$모든 i에 $대해 도트$ x_${$i}^{*}}}}

지금 우리는 따라 다른 단어로 값이 quasi-equilibrium 또한 가격 평형, if)나는입니다. 그것은 성명"if)거야. 나는 x 나는{\displaystyle x_{나는}을 ∗._입니다.{나는}x_{나는}^{*}}그때 동업-⋅ x나는 ≥ wi{\displaystylep\cdot x_{나는}\geqw_{나는}}""imples 조건 조건에;나는 나는 ∗ x으로 변한다. {\displa$ystyle x_{i}}>_{i}x_{i}^{*}}},$ 다음 p x i {\$displaystyle$p\$cdot$x_${i$}>$w_{i}}}".$ 이것이 사실이기 위해서는 소비 세트 ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$가 볼록하고$$ 선호 관계${\displaystyle {}_{}}$≥ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 연속적이라고 가정할 필요가 있다. $그런$ 다음$$ $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ i$vector$$x{\displaystyle {}_{}^{}}$ i {${$ { { x x x ${\displaystyle {}_{}}$ i i $i$ i {$$${$ { ${${ { { { { { { { ${${ < < < < < < < < < < < << < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <

그 이유를 보려면, x > ${\$ $p{\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ = ${\displaystyle w_{}}${\$displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$이 있다고$$ 가정하십시오. 그리고 X나는}{\displaystyle X_{나는}의 볼록함을 통해 우리는 x나는 ″)α)나는 나는 ∈ X′(1− α)x+ 나는 p⋅과 x_ᆬ+(1-\alpha)x'_{나는}\in X_{나는}}{\displaystyle x"{나는}=\alpha)나는<″, 나는{\displaystyle p\cdot x"{나는}< w, w_{나는}}. ≥의 나는{\displaystyle \geq_{나는}계속으로써}한 묶음 가지고 있다. 를${\displaystyle \alpha }$ close to 1 we have ${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$. This is a contradiction, because this bundle is preferred to ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ and costs less than ${\displaystyle w_{i}}$.

따라서 준균형 가격이 가격 평준화되기 위해서는 소비가 볼록하게 설정되고, 선호 관계가 지속되며, "치퍼" 소비 번들 x ${\displaystyle i_{}^{}}$′ ${\$ x$'_{i}}$ 항상 존재하는 것으로 충분하다$.$ 그러한 번들의 존재를 보장하는 한 가지 방법은 ${\displaystyle {부}_{}}$(富) 수준을 ${\$}로 요구하는 것이다.$splaystyle w_{i}}$은(는)^[36] 모든 소비자에게 엄격히 긍정적이다.

참고 항목

• 볼록스 선호도
• Varian의 이론 – 경쟁적 균형은 Pareto 효율적이고 시기심이 없다.
• 일반 평형론

참조