경쟁균형

경쟁적 균형(일명: 왈라시안 평형)은 1951년^[1] 케네스 애로우와 제라드 데브루가 유연한 가격과 많은 거래자를 가진 상품 시장을 분석하는 데 적합한 경제 평형 개념으로 경제 분석에서 효율성의 기준이 된다. 그것은 각각의 거래자가 시장에서 거래되는 총 수량에 비해 너무 적은 수량을 결정하여 개별 거래가 가격에 영향을 미치지 않는 경쟁 환경을 가정하는 데 결정적으로 의존한다. 경쟁 시장은 다른 시장 구조를 평가하는 이상적인 표준이다.

정의들

경쟁 평형(CE)은 두 가지 요소로 구성된다.

• 가격 함수 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$ 상품 묶음을 나타내는 벡터를 논쟁으로 삼고, 가격을 나타내는 양의 실수를 반환한다. 일반적으로 가격 함수는 선형이다. 가격 벡터로 표현되며, 각 상품 유형에 대한 가격이다.
• 할당 행렬 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$\}.$ 모든 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ i$\in 1,\dots,$${\displaystyle n_{}}$$\},$ X i ${\$는 에이전트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ i$}$에 할당된 물품의 벡터다$.$

이 요소들은 다음 요건을 충족해야 한다.

• 만족도(시장별 자유도): 모든 요원은 다른 적당한 가격의 보따리보다 자신의 보따리를 약하게 선호한다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,n}$ ${\displaystyle \forall$ i$\in 1,\dots,n}$ 만약$$P (${\displaystyle Y}$ $displaystyle P(Y)\leq P(X_{i}})$가 있다면, $Y$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$ i ${\i}X_{i$}}}}{i$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

종종 초기 기부금 매트릭스 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $E$$}$이(가) 있다${\displaystyle :<img\; alt="E"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.776ex;\; height:2.176ex;">}$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ i ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 1}$,$n {\dots,$$n{\displaystyle {}_{}}$$\},$ E ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 $에이전트$ i ${\displaystyle i}$의 초기 기부금이다$.$ 그런 다음 CE는 다음과 같은 몇 가지 추가 요건을 충족해야 한다.

• 시장 통관: 수요는 공급과 같으며, 품목은 생성되거나 파괴되지 않는다.

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ X ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}{}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$}^{$n}X_{i$}=\$sum _{i$=1}^{$n}E_{$i$\}\}\}\}\}\}.$

• 개인 합리성: 모든 대리인은 거래 전보다 거래 후 더 잘 살 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ I ${\\$ $\dots,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i$

• 예산 균형: 모든 에이전트는 적립금을 고려하여 할당 비용을 부담할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle n}$: ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\all i\in 1,\dots, n:P(X_{i})\leq P(E_{i$

대체 정의

대체 정의는^[2] 수요집단의 개념에 의존한다. 가격함수 P와 효용함수 U가 있는 에이전트를 부여하면, 다른 모든 번들에 대해$$ $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle U}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- P ( ${\displaystyle y}$ ) - ${\displaystyle P}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle U (x)-P (x)\geq$U$(y)-P(y)}.$ 경쟁적 균형은 가격 함수 P와 할당 매트릭스 X로서 다음과 같다.

• X에 의해 각 대리점에 할당된 번들은 가격 벡터 P에 대한 대리인의 요구 설정에 있다.
• 긍정적인 가격을 가진 모든 재화는 완전히 할당된다(즉, 모든 미할당 품목은 가격 0을 가진다).

근사 평형

경우에 따라서는 합리성 조건이 완화되는 평형을 정의하는 것이 유용하다.^[3] Given a positive value ${\displaystyle \epsilon }$ (measured in monetary units, e.g., dollars), a price vector ${\displaystyle P}$ and a bundle ${\displaystyle x}$, define ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$ as a price vector in which all items in x have the same price they have in P, and all items not in x의 가격은 P의 가격보다 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ 더 비싸다$$.

$ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ 경쟁적$$ 평형화에서, 에이전트에 할당된 번들 x는 수정된 가격 벡터 P ${\displaystyle {}_{}^{}}$ x ${\$에 대한 해당 에이전트의 요구 집합에 있어야 한다$.$

이 근사치는 매입/매각 수수료가 있을 때 현실적이다. 예를 들어, 에이전트가 품목의 단위를 구입하는 경우 해당 품목의 가격 외에 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$달러를$$ 지불해야 한다고 가정해 보십시오. 저 요원은 가격 벡터 $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {ϵ}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${$ { { { { { {\$displaystyle P_{\epsilon }^{x}}}}$에 대한 수요 집합에 있는 한 현재의 보따리를 유지할 것이다$.$ 이렇게 하면 평형이 더욱 안정되게 된다.

예

분리할 수 없는 자원

다음의 예는 제인과 켈빈, 바나나(x)와 사과(y)와 같은 두 가지 상품, 그리고 돈이 없는 두 가지 대리인과의 교환경제를 포함한다.

1. 그래픽 예: 초기 배분이 X 지점에 있다고 가정하자. 여기서 제인은 켈빈보다 사과가 더 많고 켈빈은 제인보다 바나나가 더 많다.

그들의 무관심 곡선 ${\$1}의$$ $제인$과 ${\$1}{$1}}$를 보면, 이것이 평형이 아님을 알 수 있다. 두 에이전트 모두 거래 후 P $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $P_{x$$}$와 P ${\$ne와 Kelvin은 보다 높은 수준의 효용을 나타내는 무관심 곡선으로 이동하며, $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및 ${\displaystyle K_{}}$ 2 ${\$ 새로운 무관심 곡선이 E 지점에서 교차한다. 두 곡선의 접선 기울기는 - ${\displaystyle P_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle P{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$과 같다$.$

$그리고{\displaystyle }$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ a ${\displaystyle n_{}{e}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ / ${\displaystyle P_{}}$ y ${\$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ l ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$n = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$/ ${\displaystyle P_{}}$ y$${\$displaystyle MISS_{Kelvin}=}$$P_{x}/P_{y}}}$. 제인의 한계대체율(MISS)은 켈빈과 같다. 따라서 두 개인 사회는 파레토 효율성에 도달하는데, 여기서 제인이나 켈빈을 더 나쁘게 만들지 않고서는 더 잘 살게 할 방법이 없다.

2. 산술 예제:^{[4]: 322–323} 두 에이전트 모두 Cobb-Douglas 유틸리티가 있다고 가정하십시오.

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b^{1-b}}}$

$여기$서 a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$은(는) 상수다.

초기 기부금이 $E{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$)$]$ {\$displaystyle E=[$ (1,$0), (0,1)]}$이라고 가정합시다$.$

x에 대한 Jane의 요구 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J}={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x}}}}}{p_{x}}}}=a}$

x에 대한 켈빈의 요구 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K}}={\frac {b\cdot I_{K}{p_{x}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}}}}}}}.$

x에 대한 시장 통관 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

이 방정식은 균형가격비율을 산출한다.

${\displaystyle {\frac {p_{2}}:{p_{1}}={\frac {1-a}{b}}}}$

우리는 y에 대해서도 비슷한 계산을 할 수 있지만, 월라스의 법칙은 결과가 같을 것이라고 보장하고 있기 때문에 이것은 필요하지 않다. CE에서는 상대 가격만 결정된다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=1}$를 요구함으로써 가격을 정상화할 수 있다$.$ 그러면 p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle b\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$+ b${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{a}{}}$ 1${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ - a ${\$}{1$+b-a$ 그러나 다른 표준화도 역시 효과가 있을 것이다.

3. 존재하지 않는 예: 에이전트의 유틸리티가 다음과 같다고 가정하십시오.

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

최초 기부금은 [(2,1),(2,1)]이다. CE에서 모든 에이전트는 x 또는 y만 가져야 한다(다른 제품은 유틸리티에 전혀 기여하지 않기 때문에 에이전트가 이를 교환하고자 한다). 따라서 가능한 CE 할당은 [(4,0), (0,2)]와 [(0,2), (4,0)]뿐이다. 에이전트들의 수입이 같기 때문에 반드시 ${\displaystyle p_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$= 2 ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 그러나 y를 2단위로 보유한 에이전트는 x의 4단위로 교환하기를 원할 것이다$.$

4. 선형 유틸리티와 관련된 존재 및 존재하지 않는 예는 선형 유틸리티#를 참조하십시오.예.

분리할 수 없는 항목

경제에 분리할 수 없는 항목이 있을 때, 분리할 수 없는 화폐도 있다고 보는 것이 일반적이다. 에이전트들은 quasilinar 효용 기능을 가지고 있다: 그들의 효용성은 그들이 가지고 있는 돈의 양과 그들이 가지고 있는 물건들의 묶음에서 나오는 효용이다.

A. 단일 항목: 앨리스는 그녀가 10으로 소중히 여기는 차를 가지고 있다. 밥은 차가 없고, 앨리스의 차를 20으로 소중히 여긴다. 가능한 CE는 자동차의 가격이 15이고, 밥은 차를 가지고 앨리스에게 15달러를 지불한다. 시장이 정리되고 두 대리인은 처음 묶음보다 마지막 묶음을 선호하기 때문에 이것은 평형이다. 실제로 10~20 사이의 모든 가격은 동일한 할당으로 CE 가격이 될 것이다. 같은 상황은 앨리스가 처음에 차를 가지고 있는 것이 아니라 앨리스와 밥이 모두 구매자인 경매에서 차를 가지고 있을 때 발생한다: 차는 밥에게 갈 것이고 가격은 10에서 20 사이일 것이다.

한편, 과잉수요가 있기 때문에(앨리스와 밥 모두 그 가격에 차를 원한다), 20을 넘는 가격은 과잉공급이 있기 때문에 평형가격은 아니다(앨리스도 밥도 그 가격에 차를 원한다).

이 예는 이중 경매의 특별한 경우다.

B. 대체품: 자동차와 말이 경매에서 팔리다. 앨리스는 교통수단에만 신경을 쓰므로 그녀에게 있어 완벽한 대체품이다: 그녀는 말에서 8번, 차에서 9번 유틸리티를 얻는다. 그리고 만약 둘 다 가지고 있다면 그녀는 차만 사용하므로 그녀의 유틸리티는 9번이다. 밥은 말에게서 5의 효용과 7의 효용을 얻지만, 만약 둘 다 가지고 있다면, 그는 또한 말을 애완용으로 좋아하기 때문에 효용이 11이다. 이 경우 평형을 찾기가 더 어렵다(아래 참조). 가능한 평형은 앨리스가 5달러짜리 말을 사고 밥은 7달러짜리 차를 사는 것이다. 이것은 평형이다. 왜냐하면 밥은 4개의 효용만 추가로 주는 말에 5를 지불하고 앨리스는 1개의 효용만 추가로 주는 차에 7을 지불하는 것을 원하지 않기 때문이다.

C. 보완 사항:^[5] 말과 마차가 경매에서 팔리다. 잠재적인 구매자는 AND와 OR 두 명이다. AND는 말과 마차만 함께하길 원한다. 그녀는 두 마차를 모두 잡음으로써$$ v ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$의 효용을 받는다. 그러나 둘 중 하나만 잡으면 효용 0을 받는다. OR은 말이나 마차를 원하지만 둘 다 필요하지 않다. 그는 둘 중 하나를 보유하는 것으로부터$$ $vo{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$의 유틸리티와 둘 다 보유하는 데 동일한 유틸리티를 받는다. 여기서 a d< 2 r ${\$에 경쟁적 균형은 존재하지 않으므로, 즉 어떤 가격도 시장을 맑게 할 수 없다. 증명: 가격 합계에 대해 다음 옵션을 고려하십시오(말 가격 + 마차 가격).

• 합계가 $v{\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$보다 작다$.$ 그럼 AND는 두 가지 아이템을 모두 원한다. 적어도 하나의 품목의 가격이 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ r ${\$보다 낮기 때문에 OR은 그 품목을 원하기 때문에 과잉 수요가 있다$.$
• 합계는 정확히 $v{\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle n_{}}$ d ${\$이다$.$ 그렇다면 AND는 두 가지 아이템을 모두 사는 것과 어떤 아이템도 사지 않는 것 사이에 무관심하다. 그러나 OR은 여전히 정확히 하나의 품목을 원하기 때문에 과잉수요나 과잉공급이 있다.
• 합계가 $v{\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$보다 많다$.$ 그러면 AND는 어떤 아이템도 원하지 않고 OR은 여전히 하나의 아이템을 원하기 때문에 공급 과잉이 있다.

D. 단위 수요 소비자: 소비자가 없다. ${\displaystyle 각}$ 소비자는 지수 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$, . . ${\displaystyle .,}$ n ${\displaystyle i=1$, $...,n}$을(를) 가지고 있다$.$ 상품에는 하나의 유형이 있다. 각 소비자 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$은(는) $($i){\$displaystyle u(i)}$의 유틸리티를 제공하는 상품의 단위를 기껏해야$$ 원한다$.$ The consumers are ordered such that ${\displaystyle u}$ is a weakly increasing function of ${\displaystyle i}$. If the supply is ${\displaystyle k\leq n}$ units, then any price ${\displaystyle p}$ satisfying ${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$ is an equilibrium price, 제품을 사고자 하거나 구매와 구매 사이에 무관심한 k 소비자들이 있기 때문이다. 공급의 증가는 가격 하락을 야기한다는 점에 유의한다.

경쟁균형 존재

분리할 수 없는 자원

Arrow-Debreu 모델은 다음과 같은 조건을 만족하는 분할 재화와 함께 모든 교환 경제에서 CE가 존재함을 보여준다.

• 모든 작용제는 엄격히 볼록한 선호를 가지고 있다.
• 모든 상품이 바람직하다. 즉, $좋은{\displaystyle }$ j ${\displaystyle j}$을(를) 무료로 제공하면$$(${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle j_{}}$= 0 $[\displaystyle p_{j}=0})$ 모든 에이전트가 그 상품으로부터 최대한 많은 것을 원한다는 뜻이다.

그 증명은 몇 단계로 진행된다.^{[4]: 319–322}

A. 구체성을 위해, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ 에이전트와 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$개의 분리$$ 가능한 상품이 있다고 가정한다. 가격이 1: $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{k}}}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$가 되도록 가격을 정상화한다$.$ 그렇다면 가능한 모든 가격의 공간은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 $k{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$ -dimens$$ unit simplex. 우리는 이것을 simplex라고 부른다$.$

B. $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$을(를) 초과 수요 함수로 한다$$. 이것은 초기 기부금 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 일정하게 유지될$$ 때$$ 가격 $벡터{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 함수다.

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i}-E_{i}}}}}}}$

에이전트들이 엄격히 볼록한 선호도를 가질 때 마셜의 요구 기능은 지속되는 것으로 알려져 있다. 따라서 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$은(는$)$ p {\$displaystyle$ p$}$의 연속 함수이기도$$ 하다$.$

C. 가격 단순화에서 그 자체로 다음 기능을 정의한다.

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i})(p)}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, {\all i\\all i\\\display$

이것은 연속함수이므로 브루워 고정점 정리에는 다음과 같은$$ 가격 벡터 $∗{\$ p$^{*}$가 있다.

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

그렇게

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i})(p)}{1+\sum _{j=1}^{j}(p)}}}}}}}}}}},\all i\in 1,\max\noes,k},k},k}$

D. 왈라스의 법칙과 일부 대수학을 사용하면 이 가격 벡터에 대해 어떤 제품에도 과잉 수요가 없다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\all j\in 1,\reason,k}$

E. 만족도 가정은 모든 제품이 엄격히 긍정적인 가격을 가지고 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle p_{j}0,\forall j\in 1,\reason,k}$

왈라스의 법칙에 따르면 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle z({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*}=0}).$ 그러나 이는 위의 불평등이 반드시 평등해야 함을 암시한다$.$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\reason,k}$

이것은 $∗{\$가 경쟁적 평형의 가격 벡터라는$$ 것을 의미한다.

선형 유틸리티는 약하게 볼록할 뿐이므로 Arrow-Debreu 모델에는 적합하지 않다. 그러나, 데이비드 게일은 특정 조건을 만족시키는 모든 선형 교환 경제에서 CE가 존재한다는 것을 증명했다. 자세한 내용은 선형 유틸리티#를 참조하십시오.경쟁적 평형의 존재.

시장 평형 계산 알고리즘은 시장 평형 계산에 설명되어 있다.

분리할 수 없는 항목

위의 예에서, 경쟁적 균형은 항목이 대체될 때 존재하지만 항목이 보완될 때 존재하지는 않았다. 이것은 우연이 아니다.

X와 Y 두 상품에 대한 효용 함수를 고려할 때, 상품이 독립 상품 또는 총 대체 상품일 경우 약하게 총 대체물(GS)이지만 보완재가 아니라고 말한다. This means that ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$. I.e., if the price of Y increases, then the demand for X either remains constant or increases, but does not decrease.

효용 함수는 이 효용 함수에 따라 서로 다른 상품 쌍이 모두 GS라면 GS라고 한다. GS 유틸리티 기능을 사용하여, 에이전트가 주어진 가격 벡터로 설정된 수요를 가지고 있고, 일부 품목의 가격이 상승한다면, 에이전트는 가격이 일정하게 유지된 모든 품목을 포함하는 요구 세트를 가진다.^[3][6] 그는 더 비싸진 물건을 원하지 않는다고 결정할 수도 있고, 대신 다른 물건을 원한다고 결정할 수도 있지만, 가격이 변하지 않은 제3의 물건을 원하지 않는다고 결정할 수도 있다.

모든 에이전트의 효용 기능이 GS일 때, 경쟁적 균형은 항상 존재한다.^[7]

더욱이 GS 평가의 집합은 경쟁력 평형의 존재가 보장되는 단위 수요 평가를 포함하는 가장 큰 집합이다. 즉, 비GS 평가의 경우, 주어진 비GS 평가와 결합한 단위 수요 평가의 경우 경쟁적 균형은 존재하지 않는 단위 수요 평가가 존재한다.^[8]

특별한 종류의 시장에서 경쟁적 균형을 찾는 계산적 문제에 대해서는 Fisher market#분할할 수 없는 것을 참조한다.

경쟁적 균형과 분배 효율

복지경제학의 근본적인 이론에 의해, 어떤 CE 배분은 파레토 효율적이며, 어떤 효율적인 배분은 경쟁적 균형에 의해 지속가능할 수 있다. 더욱이, 바리안의 이론에 의해, 모든 에이전트가 동일한 수입을 갖는 CE 할당도 부러움이 없다.

경쟁적 균형에서, 사회가 재화에 부여하는 가치는 그것을 생산하기 위해 포기하는 자원의 가치와 동등하다(마진적 이익은 한계비용이다). 이것은 분배 효율을 보장한다: 사회가 선의 다른 단위에 두는 부가 가치는 그것을 생산하기 위해 사회가 자원에서 포기해야 하는 것과 같다.^[9]

미시경제 분석은 부가 효용을 가정하지 않으며, 대인관계 효용 트레이드오프를 가정하지도 않는다는 점에 유의한다. 그러므로 효율성은 파레토 개선의 부재를 말한다. 분배 정의나 형평성의 관점에서 배분의 공정성에 대해서는 어떤 식으로도 의견을 제시하지 않는다. 효율적인 균형은 한 플레이어가 모든 상품을 가지고 있고 다른 플레이어가 하나도 없는 경우일 수 있다(극한 예에서), 이것은 모든 플레이어가 (이 경우 모든 것을 가지고 있는 플레이어를 포함) 더 나아지게 하는 파레토 개선을 찾을 수 없다는 의미에서 효율적일 수 있다(파레토 개선을 위해) 또는 더 나빠지지 않게 한다..

분할할 수 없는 항목 할당을 위한 복지 정리

분리할 수 없는 항목의 경우 다음과 같은 강력한 버전의 두 가지 복지 이론이 있다.^[2]

1. 어떤 경쟁적 평형도 항목의 모든 현실적인 할당뿐만 아니라 항목의 모든 부분적인 할당에 대해서도 사회복지(유틸리티의 합계)를 극대화한다. 즉, 한 항목의 분수를 다른 사람에게 할당해도 전체 항목만 할당되는 경쟁적 균형보다 더 잘할 수는 없었다.
2. 사회복지를 극대화하는 일체적 과제(분수적 과제 없음)가 있다면 그 과제와 경쟁적 평형이 존재한다.

평형 찾기

분할할 수 없는 품목 배정의 경우, 모든 대리점의 효용 기능이 GS(따라서 평형이 존재하는 경우)일 때, 오름차순 경매를 이용하여 경쟁적 평형을 찾을 수 있다. 오름차순 경매에서 경매인은 처음에 0이라는 가격 벡터를 발행하고, 구매자들은 이 가격 아래 자신이 가장 좋아하는 보따리를 선언한다. 기껏해야 단일 입찰자가 각 품목을 원하는 경우, 품목을 나누어 경매가 끝난다. 하나 이상의 품목에 대한 초과 수요가 있을 경우 경매인은 과대품목의 가격을 소량(예: 1달러) 인상하고, 구매자는 다시 입찰한다.

문헌에는 여러 가지 다른 상승-흡수 메커니즘이 제시되어 있다.^[3][7][10] 그러한 메커니즘은 종종 왈라시아 경매, 왈라시아 경매 또는 영국 경매라고 불린다.

참고 항목

• 질투 없는 가격 - 일부 품목이 할당되지 않은 채로 남아 있을 수 있는 월라스식 균형 완화.
• 피셔 시장 - 단일 판매자와 많은 구매자가 있는 단순화된 시장 모델로서, CE를 효율적으로 계산할 수 있다.
• 할당 효율
• 경제균형
• 일반 평형론
• 왈라스 경매

참조

• Richter, M. K.; Wong, K. C. (1999). "Non-computability of competitive equilibrium". Economic Theory. 14: 1–27. doi:10.1007/s001990050281.

외부 링크

• 이코노믹스 스택 거래소의 경쟁적 균형, 왈라스식 균형, 왈라스식 경매.