페레스-호로데키 기준

Peres-Horodecki 기준은 두 양자 기계적 $시스템{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A$$}$ $및{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle B}$의 조인트 밀도 행렬 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을$($를) 분리하기 위해 필요한 조건이다.양의 부분 전치(positive partial transpose)에 대한 PPT 기준이라고도 한다.2x2와 2x3 치수 사례에서는 조건도 충분하다.슈미트 분해가 적용되지 않는 혼합 상태의 분리 가능성을 결정하는 데 사용된다.이 정리는 1996년 애셔 페레스와^[1] 호로데키 가문(미차우, 파웨우, 리사르드)^[2]에 의해 발견되었다.

더 높은 차원에서는 시험이 결론에 이르지 못하며, 얽히고설킨 증인에 근거한 시험과 같이 좀 더 발전된 시험으로 이를 보완해야 한다.

정의

${\displaystyle H_{}}$ A $a{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$H ${\displaystyle B_{}}$ {\$displaystyle {\mathcal {H}_{A}\otimes {\mathcal {H}_{B}$에 작용하는$$ 일반 상태 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$이(가) 있는 경우

$\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij} i\langle \langle j \otimes k\langle \langle l}}$

부분 전치(B 당사자와 관련)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \rho ^{T_{B}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ij}{kl}^{ij} i\langle \langle jotimes(k\rangle \langle l )^{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}^{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}{ij}}i\langle j \otimes l\langle l\langle k =\langle k =\sum_{ij}^{lk}}ij}i}i}i\langle \otimes k\rangle \langle l}}}$

이름의 부분적인 부분은 상태의 일부만 전치된다는 것을 의미한다는 점에 유의하십시오.더 정확히 말하면${\displaystyle }$(${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \otimes }$ T${\displaystyle }$) (${\displaystyle \rho }$) ( ρ ) ${\displaystyle (I\otimes$ T$)(\rho )}$은 A 당사자에 적용되는 신분 지도와 B 당사자에 적용되는 전환지도다.

이 정의는 상태를 블록 매트릭스로 쓰면 보다 명확하게 알 수 있다.

${\displaystyle \rho ={\pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\\vdots &&\\\\\A_{n1}&&&>A_{n}\end{pmatrix}}$

여기서 $n{\displaystyle }$=${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ H ${\displaystyle A_{}}$ ${\${H$}_{A}},$각 블록은 치수 $m{\displaystyle }$=${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle H_{}}$ {\$displaystyle m=\dim {\mathcal {H}{B}}}}$의 제곱 행렬이다$.$ 그러면 부분 전치(transpospose)가 된다.

${\displaystyle \rho ^{T_{B}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{}T}&\dots &A_{1n}^{{1n}^T}\\A_{21}^{{1}^T}&A_{22}^{}T}&\\\vdots &&\ddots &\\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}$

기준은 $displaystyle \rho \;\}$이(가) 분리 가능한 경우 if $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {B_{}}^{}}$ ${\$의 모든 고유값이 음수가 아니라고$$ 명시한다.$즉{\displaystyle }$ $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {B_{}}^{}}$ ${\$에 음의 고유값이 있으면 value {\$displaystyle \rho$ \;\}이$($가${\displaystyle )}$ 얽힐 것을 보장한다.제품 공간의 치수가 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ $[\displaystyle$ 2$\time$2} ${\displaystyle \mathrm{또는}}$ $2$ $×$ 3[\$displaystyle 2\time 3}$인 경우에만 이러한 문장의 역이 참이다$.$

$\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {A_{}}^{}}$= (${\displaystyle {t_{}}^{}}$ T${\displaystyle {{}_{}}^{}{}^{}{B{}_{}}^{}}$ ) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$^{$T_{B})^^$ ^_________________}}^^^_________________________________________$\{$$T}.$

예

Werner 주(州)의 2qubit 제품군을 고려해 보십시오.

${\displaystyle \rho =p \PSI ^{-}\angle \langle \PSI ^{-} +(1-p){\frac {I}{4}}}}}$

${\displaystyle \psi {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Psi ^{-}\rangele }$의 볼록한 조합으로 볼 수 있으며$,$ 최대적으로 얽힌 상태와 정체성이 최대 혼합된 상태로 볼 수 있다.

그것의 밀도 행렬은

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}{\\\\\\pmatrix}1-p&0&0&0&0\\0&p+1&p0\nd{pmatrix}}}}$

그리고 부분 전치

${\displaystyle \rho ^{T_{B}={\frac {1}{4}{\begin{pmatrix}1-p&0&-0-2p\\0&p+0&0\\0&p+1&#0&#2p&0&########{pmatrix}}}}}}}}}}}}$

그것의 최소 고유값은${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$)${\displaystyle }$/ 4 $(1-3p)/4}$이다$.$ 따라서 상태는 > / $(\displaystyle 1\geq p>1/3}$ 동안 얽혀 있다

데모

ρ이 분리할 수 있는 경우, as로 표기할 수 있다.

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}}}}}$

이 경우 부분 전치의 효과는 다음과 같다.

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho_{i}\rho_{A}\otimes(\rho _{i}^{B})^{{B}^{{{{{}}}}}}}}}^}^}^}^}}}^}^}^{{{}}}}}}}T}$

전이 지도는 고유값을 보존하므로 (${\displaystyle {\rho }_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$ ) ${\displaystyle T^{}}$의 스펙트럼은 ${\$$T}}}$은$$$\rho {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $displaystyle \rho _{i}^{B}\!}$의 스펙트럼과 동일하며$$, ${\displaystyle {특히}^{}{}_{}^{}{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$ i$$B ) T {\$displaystyle (\rho _${i}^{B})^{{B$}}}}}}}{}}}}}}}}}}}$의 스펙트럼과 동일하다.$T}}$은(는) 여전히 양성 반미완료여야 한다$$.따라서 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {B_{}}^{}}$ ${\$도 양수 세미데핀이어야 한다$$.이것은 PPT 기준의 필요성을 증명한다.

PPT가 2 X 2와 3 X 2 (동등하게 2 X 3) 사례에도 충분하다는 것을 보여주는 것은 더 관련이 있다.호로데키족에 의해 모든 얽히고설킨 상태에는 얽히고설킨 증인이 존재한다는 것을 보여주었다.이는 기하학적 성질의 결과로서 한-바나흐의 정리를 발동시킨다(아래 참조).

From the existence of entanglement witnesses, one can show that ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ being positive for all positive maps Λ is a necessary and sufficient condition for the separability of ρ, where Λ maps ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ to ${\displaystyle$$B({\mathcal{H}_{A}}})$

Furthermore, every positive map from ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ to ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$ can be decomposed into a sum of completely positive and completely copositive maps, when ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$ and${\displaystyle \text{딤}({\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle 또는\mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle {\textrm {dim}({\$mathcal ${H}_{A$}}=$2\;{\$textrm {$or}\;3$ 즉, 그러한 모든 지도 λ은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\lambda _{2}\circle T,}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $\lambda {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 완전히 양이고 T는 전환 맵이다.이것은 Størmer-Woronowicz 정리에서 따온 것이다.

느슨하게 말하면, 이러한 차원에서 음의 고유값을 발생시킬 수 있는 것은 전환지도뿐이다.따라서 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {B_{}}^{}}$ ${\$이 양수인$$ 경우, $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ (${\displaystyle \rho }$ $){\displaystyle I$\otimes $\Lambda$(\$rho )}$은 모든 λ에 양수인 것이다$$.따라서 Peres-Horodecki 기준도 ${\displaystyle \text{어둡게}({\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {\dim}({\mathcal {H}_{A}}\time{\mathcal$ {$H}_{B}}\leq$6$\}$일 때 분리가능성에 충분하다는 결론을 내린다.

그러나 더 높은 차원에서는 이런 식으로 분해할 수 없는 지도가 존재하며, 그 기준도 더 이상 충분하지 않다.결과적으로 양적인 부분 전치성을 갖는 얽힌 상태가 있다.그러한 상태들은 그들이 얽혀 있는 흥미로운 속성을 가지고 있다. 즉 양자 통신 목적을 위해 증류할 수 없다.

연속 가변 시스템

페레스-호로데키 기준은 연속 가변 시스템으로 확장되었다.라지아 사이먼은^[3] 표준 연산자의 2차 순간 측면에서 PPT 기준의 특정 버전을 공식화했으며, $1{\displaystyle \mathrm{}1}$ 1$[\디스플레이 스타일$ 1$\oplus$1} - 모드$$ 가우스 상태에 대해 필요하며 충분하다는 것을 보여주었다(외견상으로는 다르지만 본질적으로 동등한 접근법에 대해서는 ^[4]참조).이후 사이먼의 상태는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ $[\displaystyle 1\oplus n}$ -mode$$ Gaussian 상태에도 필요하며 충분하지만, $2{\displaystyle \mathrm{}2}$ 2 $[\displaystyle 2\oplus 2$} -mode$$ Gaussian 상태에는 더 이상 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다.시몬의 상태는 표준 연산자의 고순도 모멘트를 참작하거나 등방성 조치를 사용함으로써 일반화될 수 있다.^[8][9]

대칭계통

초당적 시스템의 대칭 상태의 경우, 밀도 행렬의 부분 전치성의 긍정성은 특정 두 신체 상관관계의 부호와 관련이 있다.여기서 대칭은 다음을 의미한다.

$\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

고정, 여기서 F ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$$AB}}$ is the flip or swap operator exchanging the two parties ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$. A full basis of the symmetric subspace is of the form ${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt$$m$${\displaystyle }$$$${\displaystyle \ne n}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle 및}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$. ${\displaystyle \vert n\rangele _{A}\vert$ n$\rangele _{B}.$$}$ $n$ ${\displaystyle n}$ $및$ m${\displaystyle }$, ${\displaystyle m,}$ $0$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le n,}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle \le }$ d${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$이($가{\displaystyle }$) 있어야 하며$$$,$ 여기서 d {\$displaystystyle d}$은 양자의 차원이다$$.

$그러한{\displaystyle }$ 상태의 경우, { ${\displaystyle \rho}$은(는) 다음과 같은 경우에만 양의 부분 전치(transpose)를$$ 갖는다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \langle M\otimes M\angle _{\rho }\geq 0}$

모든 연산자 ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ M$.}$ 따라서} M style \ hence$$ 0${\displaystyle M\otimes M\rangele _{\rho<0}}}}$이(가) $일부{\displaystyle }$ M ${\displaystystystym M}$에 대해 유지되면 상태가$$ 비PPT 관여하게 된다.

참조

• Karol Eyczkowski and Ingemar Bengtsson, Gemorial of Quantum States, Cambridge University Press, 2006년
• Woronowicz, S. L. (1976). "Positive maps of low dimensional matrix algebras". Rep. Math. Phys. 10 (2): 165–183. Bibcode:1976RpMP...10..165W. doi:10.1016/0034-4877(76)90038-0.