얽힘 증류

얽힘 증류( 얽힘 정화라고도 함)는 임의의 얽힘 상태 $\rho$ (\ $displaystyle\rho)$ 의 $\rho$ N개의 복사본을 로컬 연산과 고전적인 통신만을 사용하여 거의 순수한 Bell 쌍으로 변환하는 것입니다.

양자 얽힘 증류는 이전에 공유된 덜 얽힌 쌍을 더 적은 수의 최대 얽힌 쌍으로 변환함으로써 노이즈가 많은 양자^[1] 채널의 퇴행성 영향을 극복할 수 있다.

역사

얽힘 희석 및 증류의 한계는 C에 기인한다. H. Bennett, H. Bernstein, S. Popescu 및 B. 1996년 순수한 상태의 증류 프로토콜을 최초로 제시한 슈마허는 ^[2]같은 해 베넷, 브라사드, 포페스쿠, 슈마허, 스몰린, 우터스에^[3] 의해 혼합 상태의 증류 프로토콜을 도입했다.Bennett, DiVincenzo, Smolin 및 Wootters는^[1] 1996년 8월에 발표된 획기적인 논문과 Physical Review 저널을 통해 양자 오류 수정과의 연관성을 확립했으며, 이는 많은 후속 연구를 자극했다.

얽힘의 정량화

\displaystyle \psi \rangle =\alpha _{00} 00\rangle +\alpha _{01) 01\rangle +\alpha _{10} 10\rangle +\alpha _{11} 11\rangle }

단일 큐비트의 경우와 마찬가지로 특정 계산 기준 $|x\rangle$ x $|x\rangle$ δ(\ $displaystyle$ x\ $rangle)$ 를 $|x\rangle$ 측정할 확률은 정규화 조건 ${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$ ${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$ 0 ${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$ ${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$ 에 따라 진폭 계수 $|\alpha _{x}|^{2}\,\!$ $|\alpha _{x}|^{2}\,\!$ 2 $displaystyle \alpha$ _ ${x}^{$ 2 $|\alpha _{x}|^{2}\,\!$ 의 제곱입니다. ${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$ ${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$ 2 $=$ ${\textstyle$ \ $sum _{$ x\ $in {0,1} \alpha$ _ ${x}^{2$ }= $1$ 정규화 조건은 확률의 합계가 1이 되도록 보장합니다. 즉, 측정 시 상태 중 하나가 관찰됩니다.

Bell 상태는 ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ 의 큐비트 상태의 중요한 예입니다 $.{$ $textstyle$ \ $frac {$ { \ $sqrt$ { $2}$ （ $00$ \ $rangle$ + $11$ \ $rangle$ }

벨 상태는 두 개의 큐비트에 대한 측정 결과가 상관 관계가 있다는 특성을 가지고 있습니다.위의 식에서 알 수 있듯이, 두 가지 가능한 측정 결과는 0과 1이며, 둘 다 50%의 확률입니다.그 결과, 제2 큐비트의 측정은 항상 제1 큐비트의 측정과 같은 결과를 얻을 수 있다.

벨 상태를 사용하여 얽힘을 정량화할 수 있습니다.m은 LOCC를 사용하여 생성할 수 있는 벨 상태의 고충실도 복사본 수입니다.벨의 큰 수를 감안할 때{\displaystyle n/m},[해명 필요한]특정 국가 ϕ ⟩{\displaystyle \phi \rangle}의 증류할 수 있는 걸림,-LSB- 해명 n.라고 불리는 개입 현재의 순수한 상태 ψ ⟩{\displaystyle \psi \rangle}로 썬 다음 n/m의 비로써 정의될 수 있다고 말한다Eeded한quantified 정보죠.특정 시스템에 존재하는 얽힘의 양.얽힘 증류의 과정은 이 제한 비율을 포화시키는 것을 목표로 한다.최대 엉킨 상태로 변환될 수 있는 순수한 상태의 복사본 수는 상태의 폰 노이만 $S(p)$ S $displaystyle$ S $(p))$ 와 $S(p)$ 동일하며, 이는 양자 시스템에 대한 고전 엔트로피 개념의 확장이다.수학적으로 주어진 밀도 $행렬$ p{ $displaystyle$ p $p$ 에 대해 폰 노이만 $S(p)$ S $p)$ $S(p)$ $displaystyle$ S $(p$ $)}$ 는 $S(p)$ S $S(p)=-\mathrm {Tr} (p\ln p)$ $=$ - $S(p)=-\mathrm {Tr} (p\ln p)$ $p$ $S(p)=-\mathrm {Tr} (p\ln p)$ † p) $S(p)=-\mathrm {Tr} (p\ln p)$ { $Tr}(p\ln$ p $S(p)=-\mathrm {Tr} (p\ln p)$ 이다. Entanglement는 엔트로피의 엔트로피로서 정량화될 수 있다. $스플레이 스타일 p_{$ $A}}$ $p_{B}$ $({$ 는 $p_{B}$ 다음과 같습니다.

E=-\mathrm {Tr}(p_{A}\ln p_{A})=-\mathrm {Tr}(p_{B}\ln p_{B}),

이 값의 범위는 제품 상태의 경우 0에서 $\ln 2$ 얽힘 상태의 경우 ln $\ln 2$ 2(\ $displaystyle$ $\ln$ $\ln$ })입니다 $\ln 2$ $(\$ displaystyle \ $log$ _ ${2})$ 가 $\ln$ 로그 $\log _{2}$ 2(\ $displaystyle \log$ _{2})로 $\log_2$ 대체되면 최대 얽힘 값은 1).

동기

Alice와 Bob이라는 두 당사자가 노이즈가 많은 양자 채널을 통해 고전적인 정보를 전달하려고 한다고 가정합니다.양자상태에서 정보를 부호화함으로써 양자채널을 통해 고전정보 또는 양자정보 중 하나를 전송할 수 있다.이 지식을 바탕으로 Alice는 Bob에게 (양자) 제품 상태로 보내려는 기존 정보를 감소 밀도 행렬 $p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots$ $p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots$ p $p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots$ ⊗ $p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots$ {\ ${\$ \ $display$ p _ { 1 \ times $p$ _ { 2 \ cdots $p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots$ }의 $p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots$ 텐서 곱으로 인코딩합니다. 여기서 $각$ p { $display style$ p _ { $1}\otimes$ p_{ $2}\otes$ \ $cdots$ }는 $p$ 대각이며 1회 입력에만 사용할 수 있습니다. $특정$ 채널 $"\$ displaystyle $\ilon$ 입니다.

노이즈가 많은 양자 채널의 충실도는 양자 채널의 출력이 입력과 얼마나 유사한지를 나타내는 척도이며, 따라서 양자 채널이 정보를 얼마나 잘 보존하는지를 나타내는 척도입니다.양자채널에 순수상태 $\psi$ (\ $displaystyle \psi)$ 를 $\psi$ 보내는 경우 $밀도행렬$ p $(\$ $displaystyle$ p $p$ 로 나타나는 $F=\langle \psi |p|\psi \rangle$ 에서 전달 충실도는 F $=$ p $F=\langle \psi |p|\psi \rangle$ \ $langle p \psi$ 로 정의된다.

Alice와 Bob이 현재 직면하고 있는 문제는 장거리 양자 통신이 고도로 얽힌 양자 상태의 성공적인 분배에 달려있다는 것입니다, 그리고 양자 통신 채널의 피할 수 없는 잡음 때문에, 뒤엉킨 상태의 품질은 일반적으로 채널 길이와 함께 기하급수적으로 감소합니다.채널.얽힘 증류는 임의의 얽힘 상태 $δ$ \displaystyle $\rho}$ 의 $\rho$ $S(\rho)N$ N개의 복사본을 로컬 연산과 클래식 통신만을 사용하여 약 $S(\rho )N$ ( $δ$ 의 $\displaystyle$ S $(\rho) N개$ 의 벨 쌍으로 변환함으로써 분산 양자 상태 간의 높은 얽힘 정도를 유지하는 문제에 대처한다.목표는 신뢰할 수 있는 양자 순간이동 또는 양자 암호학을 가능하게 하기 위해 멀리 있는 당사자(앨리스와 밥) 간에 강한 상관 큐비트를 공유하는 것이다.

얽힘 농도

순수한 상태

순수한 상태의 증류 프로토콜을 한 번 반복한 후의 새로운 충실도.

Alice와 Bob 간에 공유되는 n개의 입자가 있는 경우 로컬 액션과 고전적인 커뮤니케이션을 통해 수율 $(\displaystyle \phi)$ 을 $\phi$ 임의로 양호한 복사본으로 만들 수 있습니다.

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

n\to \infty

n

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

E (

ϕ

)

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

{ displaystyle \

frac

{

m

} {

n

）

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

、

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

n

n\to \infty

\

displaystyle

n \

to

\

infty

n\to \infty

{\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi )}}

。

얽힌 상태 $({style\psi\rangle})$ 를 $|\psi \rangle$ 슈미트 분해로 합니다.

\psi \rangle =\sum _{x}{\sumrt {p(x)}}x_{A}\rangle x_{B}\rangle

여기서 계수 p(x)는 확률 분포를 형성하므로 양의 값과 합계가 됩니다.이 상태의 텐서 곱은 다음과 같다.

\displaystyle \psi \rangle ^{\otimes m}=\sum _{x_{1},\sum ,x_{2},\sumrt {p(x_{1}p(x_{2})\sum p(x_{m}}}}}}, x_{1}}}}, x_1A}x_{2A}\dots x_{mA}\rangle x_{1B}x_{2B}\dots x_{mB}\rangle }

여기서 모든 $x_{1},\dots ,x_{m}$ $x_{1},\dots ,x_{m}$ 1, $x_{1},\dots ,x_{m}$ $x_{1},\dots ,x_{m}$ m {\ $displaystyle x_{1},\dots,x_{m}$ 을 $x_{1},\dots ,x_{m}$ 생략합니다.이것은 일반적인 집합으로 알려져 있습니다. $A_{\epsilon }^{(n)}$ $A_{\epsilon }^{(n)}$ ( $A_{\epsilon }^{(n)}$ n $A_{\epsilon }^{(n)}$ ) \ $displaystyle$ A _ { \ $epsilon }^$ （ n $A_{\epsilon }^{(n)}$ ） } 。새로운 $A_{\epsilon }^{(n)}$ 상태는 다음과 같습니다.

\displaystyle \phi _{m}\rangle = \sum _{\epsilon A_{\epsilon }^{(n)}} {\subrt {p(x_{1}p(x_{2})\subrt p(x_{m}}}}} x_{1A}x_{2A}\dots x_{mA}\rangle x_{1B}x_{2B}\dots x_{mB}\rangle }

그리고 다시 정상화하면

\phi _{m}'\rangle = phi frac {\phi _{m}\rangle } {\displayrt {\displaystyle \phi _{m}\rangle }

그럼 충실함은

F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1

m\to \infty

F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1

→

F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1

→

1

F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1

\

F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1

displaystyle

F

( \

psi \rangle

^ { \

otimes

m , \

phi

_ {

m

}^{ ' } \

rangle

) \

to

1

F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1

m\to \infty

Alice와 Bob이 $ψ$ 의 $|\psi \rangle$ m개의 복사본을 보유하고 있다고 가정합니다. Alice는 p $p_{\psi }\,\!$ \ $displaystyle p_{\psi$ $}^{(n$ $p_{\psi }\,\!$ 의 $A_{\epsilon}^{(n)}$ $p_{\psi }\,\!$ 인 $A_{\epsilon }^{(n)}$ A $A_{\epsilon }^{(n)}$ ( n $A_{\epsilon }^{(n)}$ )에 대해 측정을 수행하여 상태 $|\psi \rangle ^{\otimes m}\rightarrow |\phi _{m}\rangle$ $|\psi \rangle ^{\otimes m}\rightarrow |\phi _{m}\rangle$ 을 $|\psi \rangle ^{\otimes m}\rightarrow |\phi _{m}\rangle$ 할 수 있습니다. $yle \psi \rangle$ ^{\ $otimes$ m $}\rightarrow \phi$ _ ${m}\rangle$ }(고 $|\psi \rangle ^{\otimes m}\rightarrow |\phi _{m}\rangle$ 충실도).전형적인 시퀀스의 정리는 주어진 $1-\delta$ 가 전형적인 세트의 일부일 $확률$ 이며 $1-\delta$ 충분히 큰 m에 대해 임의로 1에 근접할 수 있다는 $1-\delta$ 을 보여준다. 따라서 재규격화된 벨 상태의 슈미트 $|\phi _{m}'\rangle$ δ m $|\phi _{m}'\rangle$ δ $|\phi _{m}'\rangle$ ⟩ $|\phi _{m}'\rangle$ \ $displaystyle \phi _m$ $}$ \ $ra$ $ngle }$ 은 $|\phi _{m}'\rangle$ (는) 최대 1 ${\textstyle {1}/{\sqrt {1-\delta }}}$ ${\textstyle {1}/{\sqrt {1-\delta }}}$ {\ $textstyle {1}/{\textrt {1-\timeout }}$ 보다 ${\textstyle {1}/{\sqrt {1-\delta }}}$ 커집니다.Alice와 Bob은 양자 채널의 노이즈를 극복하고 정상적으로 통신할 수 있는 상태 " $|\phi _{m}'\rangle$ " $(\displaystyle \phi$ _ ${m}'\rangle}$ )에서 $|\phi _{m}'\rangle$ LOCC를 실행하여 n개의 벨 상태 세트를 얻을 수 있습니다.

혼합 상태

혼합 상태에 대해 여기에 제시된 증류 프로토콜을 한 번 반복한 후의 새로운 충실도

혼합 상태의 얽힘 증류를 수행하기 위한 많은 기법이 개발되어 특정 상태의 $클래스$ p에대한 증류 $D(p)$ 한 얽힘 $D($ p $)$ 의 $D(p)$ $p$ 값에 대한 하한선을 제시합니다.

일반적인 방법 중 하나는 Alice가 노이즈 채널을 사용하여 소스 상태를 직접 전송하지 않고 다수의 벨 상태를 준비하고 각 벨 쌍의 절반을 Bob에게 보내는 것입니다.노이즈가 많은 채널을 통해 전송하면 뒤엉킨 $상태$ p $\$ $displaystyle$ p $p$ displaystyle p\displaystyle p\ $dot$ D $(p)$ 가 $m \cdot D(p)$ $m\cdot D(p)$ 되어 앨리스와 밥이 p\displaystyle p $p$ $displaystyle$ 의 복사본 $m$ $m\cdot D(p)$ display m $\dot$ D $m\cdot D(p)$ p $m\cdot D(p)$ 를 $m$ $m$ 하게 됩니다.p\ $displaystyle$ p}의 $p$ 경우, $p$ 된 엉킨 쌍에 대해 국소 단일 연산 및 측정을 수행하고 클래식 메시지를 통해 동작을 조정하며 엉킨 쌍 중 일부를 희생하여 나머지 쌍의 순도를 높임으로써 엉킨 상태 p $\$ displaystyle p $.$ 이제 Alice는 m $m\cdot D(p)$ ( p $m\cdot D(p)$ ) \ $displaystyle m$ \ $cdot$ D ( $p$ ) $m\cdot D(p)$ qubit $m\cdot D(p)$ $m\cdot D(p)$ 를 준비하여 높은 충실도로 $m\cdot D(p)$ 하는 ${\$ D ( p ) \ $displaystyle$ m \ $cdot D$ ( $m\cdot D(p)$ p ) $m\cdot D(p)$ 쌍을 사용하여 Bob에게 텔레포트할 수 있습니다.앨리스와 밥이 효과적으로 달성한 것은 로컬 액션과 클래식 커뮤니케이션의 도움을 받아 노이즈가 없는 양자 채널을 사용하여 시뮬레이트한 것입니다.

$(\displaystyle$ M $)$ 을 $M$ 2개의 스핀 1/2 입자의 일반적인 혼합 상태로 합니다. 이는 초기 순수 싱글릿 상태의 전달에 의해 발생할 수 있습니다.

\displaystyle \psi ^{-}=(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )/{\displayrt {2}}

앨리스와 밥 사이의 시끄러운 채널을 통해서요. 이 채널은 순수한 얽힘을 증류하는 데 사용될 거예요.

M

의 충실함

F=\langle \psi ^{-} M \psi ^{-}\rangle

완벽한 싱글릿에 대한 순도의 편리한 표현입니다.M이 일부

{\

에 대해 이미 2개의

M=|\phi \rangle \langle \phi |

M

M=|\phi \rangle \langle \phi |

M=|\phi \rangle \langle \phi |

M=|\phi \rangle \langle \phi |

= ϕ ϕ

M=|\phi \rangle \langle \phi |

ϕ

M=|\phi \rangle \langle \phi |

\

displaystyle

M

\phi

E(\phi )=S(p_{A})=S(p_{B})

\

phi \rangle \phi

\phi

의

M = |\phi\rangle\langle\phi|

순수한 상태라고 가정합니다.

{\

{

displaystyle

\

phi

\phi

에 대한 얽힘은 이미 확립된 바와 같이 폰 노이만

p

(

E(\phi )=S(p_{A})=S(p_{B})

입니다.

(p_{A})=S(p_{B})}

여기서

E(\phi )=S(p_{A})=S(p_{B})

\displaystyle p_{A}=\operatorname {tr}_{B}^{}( \phi \rangle \sublicle \phi )

p_{B}

B

(\

도

p_{B}

로 두 입자에 대한 감소된 밀도 행렬을 나타냅니다.그런 다음 다음 프로토콜이 사용됩니다.^[3]

각 공유 쌍에 대해 무작위 양방향 회전을 수행하고, 각 쌍에 대해 개별적으로 무작위 SU(2) 회전을 선택하여 쌍의 두 구성원에 국소적으로 적용하면 초기 일반 2 스핀 혼합 상태 M이 단일t 상태 $\psi ^{-}$ - $\psi ^{-}$ \psi $\psi ^{-}$ ^{-}와 $\psi ^{-}$ 3개의 삼중t의 회전 대칭 혼합 상태로 변환된다.states $\psi ^{+}$ and $\phi ^{\pm }$ : $\displaystyle W_{F}=F\cdot \psi ^{-}\rangle \psi ^{-} +{\frac {1-F} {3} \phi ^{+} +{\frac {1-F} {3} \psi ^{-} \phi ^{-} \psi } \psi ^{-} \psi ^{\phi }$ Werner $W_{F}$ W $W_{F}$ (\ $style W_{$ F $W_{F}$ })는 양쪽 회전 시 싱글트의 불변성으로 인해 생성된 초기 혼합 상태 M과 동일한 순도 F를 가진다.
각각의 두 쌍의}은σ는 y{\displaystyle \sigma_{y}전화할 수 있는 주로ψ −{\displaystyle\psi ^{-}}베르너 주에서 주로+상당 부분을 F을과{\displaystyle\phi ^{+}}주 ϕ으로 바꿔서 있는 효과를 포함된 일방적인 회전 12{\displayst에 의해 작용한다.yle $F>{\frac {1}{2}}$ $\phi ^{+}$ $>$ {\ $frac {1}{2}}$ + $\phi ^{+}$ {\ $displaystyle \phi$ ^{+}} 의 $\phi ^{+}$ 다른 $F>{\frac {1}{2}}$ 3개의 벨 상태의 컴포넌트는 동일합니다.
그런 다음 두 개의 $\phi ^{+}$ δ $+$ ${\displaystyle$ \ $phi$ ^{+}} 상태가 $\phi ^{+}$ 양방향 XOR에 의해 작용하고 그 후 대상 쌍이 z축을 따라 국소적으로 측정됩니다.측정되지 않은 소스 쌍은 양쪽 입력이 true $+(\displaystyle$ \ $phi$ ^{+})인 $\phi^{+}$ 경우와 같이 타겟 쌍의 스핀이 평행하게 나오면 유지되고 그렇지 않으면 폐기됩니다.
소스쌍이 폐기되지 않은 경우 일방적인 $(\$ _ ${y})$ 회전에 의해 주로 $\$ ^{-} 상태로 $\psi ^{-}$ $\sigma _{y}$ 되돌아가 랜덤한 양방향 회전에 의해 회전대칭이 됩니다.

는 내외신 프로토콜 위를 반복하는 것;{\frac{1}{2}}}지만 그 순도가 되기 위해 임의로 높은 F에서<1{\displaystyle F_{\text{을}}<1}순도 F의 입력 혼합한 상태의 을 모금 M에서 선택할 수 있베르너 주;12{\textstyle F_{\text{에}}을을 증류해 생산량이 제한치에 0경향과 함께. F을 $→$ $1$ \ $displaystyle$ $F$ $F_{\text{out}}\to 1$ _ { \ $text$ { $F_{\text{out}}\to 1$ $out$ } \ $to$ 1 ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ - ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ \ $frac$ { 1 } } ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ k ( ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ F $)\ frac$ { 1 \ frac $rt$ { 1 - F ${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$ }}}에 대하여 다른 쌍방향 XOR 연산을 실시하여 측정 전에 각 소스 쌍으로 할 수 있다 $F_{\text{out}}\to 1$ $→$ $1$ {\ $displaystyle F_{\text{out}}\to$ 1}. 다른 방법과 조합하여 보다 높은 수율을 얻을 수 있습니다 $F_{\text{out}}\to 1$

프로크리스테법

얽힘 농도의 프로크루스테스법은 ^[2]5쌍 미만의 얽힘에 대한 슈미트 투영법보다 1쌍만 사용할 수 있어 Alice와 Bob이 n쌍의 $\theta$ ( ${\$ \ $displaystyle$ \ $theta$ ）)를 미리 알아야 한다.이 방법은 순수 상태의 부분 얽힘에서 더 큰 항과 관련된 추가 확률을 잘라냄으로써 완벽하게 얽힌 상태를 생성하기 때문에 Procrustes에서 이름이 유래되었습니다.

(\displaystyle \cos \cos \theta \left \uparrow _{A}\right\rangle -\sin \theta \left \downarrow _{A}\right\rangle \times \left \uparrow _{B}\right\rangle })

$프로크라스테안법은$ $\pi /4$ / $\pi /4$ 인 $\pi /4$ 것으로 알려진 입자 집합체를 가정할 때 $편광의존성$ 흡수체 또는 편광의존성 $반사체$ 를 통과할 때 이를 흡수하는 모든 입자를 유지하는 방법으로 수행할 수 있다.또는 보다 가능성이 높은 결과의 $\tan ^{2}\theta$ $\tan ^{2}\theta$ 2 $⁡(\displaystyle \tan ^{2}\theta$ })를 $\tan ^{2}\theta$ 반영하여 흡수되거나 편향되지 않는다.따라서 Alice가 $\theta \neq \pi /4$ / 4 / $(\displaystyle$ \ $theta \neq \pi$ / 4 $\theta \neq \pi /4$ 의 입자를 가지고 있으면 위/아래로 측정되기 쉬운 입자를 분리하여 스핀업과 스핀다운이 최대한 혼합된 상태로 둘 수 있다.이 처리는 POVM(양수 연산자 값 측정)에 해당합니다.완벽하게 얽힌 두 입자의 상태를 얻기 위해, 앨리스는 밥에게 일반화된 측정 결과를 알립니다. 반면 밥은 전혀 그의 입자를 측정하지 않고 앨리스가 자신의 입자를 버리면 대신 그의 입자를 버립니다.

스태빌라이저 프로토콜

$\left[n,k\right]$ , $]$ \ $displaystyle \$ left [ $n$ , $k$ \ $right$ ] 얽힘 $\left[n,k\right]$ 증류 프로토콜의 목적은 0 $0\leq k\leq n$ e $0\leq k\leq n$ n \ $display style$ 0 \ $leq$ k \ $0\leq k\leq n$ n $0\leq k\leq n$ 의 $k$ $n$ 노이즈가 많은 에비트에서 $k$ \ $displaystyle$ k $\leq$ n 을 $k$ 하는 것입니다.이러한 프로토콜의 출력은 k $(\displaystyle$ k $/n$ 입니다. 그러면 두 당사자가 양자 통신 프로토콜에 노이즈가 없는 Ebit를 사용할 수 있습니다.

두 당사자는 다음과 같은 방법으로 공유 노이즈에비트 세트를 확립합니다.송신자 Alice는 먼저 $n$ n개의 $\displaystyle$ $n$ 벨 상태 $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ + $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ n \ $displaystyle \ left$ \ vert \ $Phi$ ^ { + } \ $right$ \ $rangle$ ^ { \ $otimes$ n $}$ 을 $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ 로컬로 $n$ 합니다.그녀는 노이즈가 많은 양자 채널을 통해 각 쌍의 두 번째 큐비트를 수신자 밥에게 보냅니다. $\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle$ n + ${\$ { $displaystyle \ left$ \ $vert$ \ $Phi$ _ { $n$ } { n \ $right$ \ $rangle$ }을 $\left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle$ 상태 $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ + $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ n $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ { $displaystyle$ \ $left \ vert$ \ $Phi$ ^ { + } \ $right$ \ $rangle$ ^ { \ $otimes$ n $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ } } rear $\left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}$ the the the the the the the the the the the the the the the the the let let let let let let let the the let the the let let let let let노이즈가 있는 양자 채널은 ${\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}$ 을 통해 전송되는n개의 $\displaystyle$ $큐비트$ 세트에 $n$ 오류 $세트E$ ${\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}$ ⊂ ${\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}$ ${\$ n \ $displaystyle$ { E} \ $subset$ \ $Pi$ ^ { $n$ }의 ${\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}$ Pauli 오류를 적용합니다.그런 다음 송신자와 수신자는 $n개$ 의 $n$ 노이즈가 있는 형식의 $\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle$ e비트( $\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle$ A ) $\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle$ n $+$ ${\$ { $displaystyle$ $\left$ ( \ $mathbf$ { $I }$ \ $otimes$ \ $mathbf$ { $A$ } \ $right$ \ $phi$ _ { $n$ }^{ + } \ $right$ \ $rangle$ } )를 $\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle$ 공유합니다.여기서 \ $mathbstyle$ le $\mathbf {A}$ 은 $\mathbf {A}$ $($ 는) Bob의 큐비트에 대해 동작하는 E $(\displaystyle\mathcal {E})$ 의 ${\mathcal {E}}$ Pauli 연산자입니다.

단방향 안정제 얽힘 증류 프로토콜은 증류 절차에 스태빌라이저 코드를 사용한다. $\left[n,k\right]$ , $]$ { $displaystyle \ left$ [ $n$ , $k$ \ right $\left[n,k\right]$ ]양자 $\left[ n,k\right]$ 오류 수정 코드의 ${\mathcal {S}}$ S { \ $displaystyle$ \ $mathcal$ { $S$ } stabil ${\mathcal {S}}$ g $g_{1},\ldots ,g_{n-k}$ $g_{1},\ldots ,g_{n-k}$ $g_{1},\ldots ,g_{n-k}$ - $,$ \ $ldots, g_{n-k}}$ gener 。증류 절차는 앨리스가 S $(\$ { $\left\{\mathbf {P} _{i}\right\}$ ${\mathcal {S}}$ 의 $n$ $n-k$ - $\left\{\mathbf {P} _{i}\right\}$ $(\$ $displaystyle\$ $displaystyle\{\$ $mathbf {P}$ _ $2^{n-k}$ $i$ $}\right$ $\})$ 생성기를 $\left\{\mathbf {P} _{i}\right\}$ $n-k$ 하는 $n-k$ $2^{n-k}$ 으로 $2^{n-k}$ 합니다 $2^{n-k}$ $aystyle$ 2 $^{n-k}:$ $S$ {\displaystyle {\ $mathcal {S$ 의 생성기에 대응하는 직교 $2^{n-k}$ 서브스페이스. 측정은 $\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle$ n + ${\$ \ $displaystyle$ $\ left$ \ $vert$ \ $Phi$ _ { $n}^{+}$ \ right \ $rangle }$ 를 $\left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle$ $i$ 의 $서브스페이스$ 중 하나에 랜덤으로 투영합니다.각 $(\displaystyle$ \ $mathbf$ { $P}_{$ i $\mathbf {P} _{i}$ })는 Bob 측에서 노이즈가 많은 $\mathbf {A}$ A(\ $displaystyle \mathbf {A})$ 와 $\mathbf {A}$ 통신하여 다음과 같이 합니다.

\displaystyle \left(\mathbf {P} _{i} \otimes \mathbf {I} \right)\left(\mathbf {I} \times \mathbf {A} \right)\Phi _{n}^{+}\right(\mathbf {I} \mathbf} \mathbf} \times} \mathbf {I} \mathbf} \times} \mathbf {\times} \mathbf} \mathb

$\mathbf {M}$ 의 행렬 M(\ $displaystyle \mathbf {M$ 에 대해 다음과 같은 중요한 벨 상태 행렬 식별 정보가 유지됩니다.

\displaystyle \left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {I} \오른쪽)\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle =\left(\mathbf {I} \otimes\mathbf {M} ^{T}\right}\Phi {N}\rangle} }

위의 식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \left(\mathbf {I} \right)\left(\mathbf {P} _{i} \times \left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle =\left(\mathbf {I} \right)\mathbf {P} \mathbf {P} \mathbf {P} \mathbf {I} \timesi}\otimes \mathbf {P} _{i}^{T}\right)\left\vert\Phi_{n}^{+}\right\rangle .}

따라서 Alice의 각

\mathbf {P} _{i}

\

\mathbf {P} _{i}^{T}

{

displaystyle\mathbf {P}_{i}^

에 Bob의 큐비트를

\mathbf {P} _{i}^{T}

합니다.

T}}

는

\mathbf{P}_{i}^{T}

Alice의 투영 부분

\mathbf {P} _{i}

(\

에 대응하며, Alice는 S

(\

에서 생성기의 +1-eigenspace로 큐비트를 복원합니다.밥은 S

(\

style

\display

\mathcal

{S

에서 제너레이터를 측정합니다.밥은 측정값을 앨리스 측정값과 조합하여 오류의 증후군을 확인합니다.그는 오류를 되돌리기 위해 큐비트에 대해 복구 작업을 수행합니다.그는

S

를 복원합니다.앨리스와 밥은 둘 다

{\mathcal {S}}

에 대응하는 디코딩 유니타리를 실행하여

k

\

displaystyle

{\mathcal {S}}

k

\

displaystyle

k\

displaystyle

k\displaystyle k\displaystyle k

\

displaystyle k\s

}

의

{\mathcal {S}}

k

k

물리적인 에비트로 변환합니다.

얽힘 보조 스태빌라이저 코드

Luo와 Devetak은 위의 프로토콜(Luo와 Devetak 2007)의 직접적인 확장을 제공했다.이들의 방법은 얽힘 보조 스태빌라이저 코드를 얽힘 보조 증류 프로토콜로 변환합니다.

Luo와 Devetak은 몇 가지 소음 없는 Ebit로부터 얽힘 보조를 받는 얽힘 증류 프로토콜을 형성합니다.얽힘 보조 증류 프로토콜의 중요한 가정은 Alice와 Bob이 $소음$ $없는$ c $\$ $style$ $n$ c $\display$ n $\style$ 소음 없는 $c$ ebit를 가지고 $있다는$ 것입니다.노이즈가 있는 Ebit와 노이즈가 없는 Ebit의 총 상태는 다음과 같습니다.

\displaystyle \left(\mathbf {I}^{A}\otimes \left(\mathbf {A\otimes I}\right)^{B}\vert \Phi _{n+c}^{+}\right\rangle }

\mathbf {I} ^{A}

서 I

(\

\left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}

{

I}

^{

A

})

는

\mathbf{I}^{A}

앨리스의 큐비트와 노이즈가 많은 Pauli

\left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}

연산자(

\left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}

\left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}

) B(\

displaystyle \(\mathbf {I})

에 작용하는

2^{n+c}\times 2^{n+c}

2^{n+c}\times 2^{n+c}

×

2^{n+c}\times 2^{n+c}

+

\

2n + 2

^{n+c})

ID

2^{n+c}\times2^{n+c}

매트릭스입니다

.

{

B}}

은

\left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}

(

는) Bob의 첫

번째

n개

(\displaystyle

n

)

큐비트에만

n

영향을 줍니다.따라서

마지막

c

\displaystyle

c비트에는

c

노이즈가 없으며 Alice와 Bob은 첫

번째

n

\displaystyle

n비트

n

오류만 수정해야 합니다.

프로토콜은 이전 섹션에서 설명한 대로 정확하게 진행됩니다.유일한 차이점은 Alice와 Bob이 얽힘 보조 스태빌라이저 코드에서 제너레이터를 측정한다는 것입니다.각 제너레이터는 마지막 ${displaystyle$ c $}$ 큐비트에 $c$ 노이즈가 없는 n ${displaystyle$ n $+c}$ 큐비트에 $n+c$ $n+c$ 있습니다.

우리는 이 얽힘 보조 얽힘 증류 프로토콜의 산출량에 대해 논평한다.얽힘 보조 코드에는 각각 $n+c$ n $n+c$ + $n+c$ {\ $displaystyle$ n+ $c}$ 개의 $n+c$ Pauli 엔트리가 $n+c$ $n-k$ n - $n-k$ { $displaystyle n-k}$ 개의 $n-k$ 제너레이터가 $n-k$ .이러한 매개 변수는 얽힘 증류 프로토콜이 k $k+c$ + $k+c$ \ $displaystyle$ k $+c}$ ebit를 $k+c$ $k+c$ 을 의미합니다. $그러나$ 이 프로토콜은 증류의 촉매로서 초기 무음에비트를 $c$ 합니다 $c$ $.$ 따라서 이 프로토콜의 출력은 $(\displaystyle k/n$ 입니다.

얽힘 희석

얽힘 증류의 역방향 과정은 얽힘 희석입니다. 여기서 벨 상태의 큰 복사본은 높은 충실도의 LOCC를 사용하여 덜 얽힘 상태로 변환됩니다.얽힘 희석 공정의 목적은 증류 가능한 얽힘으로 정의되는 n 대 m의 역비를 포화시키는 것이다.

적용들

양자 통신에서의 중요한 응용 외에도, 얽힘 정화는 다른 큐비트 간의 논리 연산 품질을 크게 높일 수 있기 때문에 양자 계산을 위한 오류 수정에도 중요한 역할을 한다.얽힘 증류의 역할은 다음과 같은 용도에 대해 간략하게 설명됩니다.

양자 오차 보정

혼합 상태에 대한 얽힘 증류 프로토콜은 두 당사자 Alice와 Bob 사이의 양자 통신 채널에 대한 오류 수정의 한 유형으로 사용될 수 있으며, Alice는 신뢰할 수 있는 mD(p) 큐비트의 정보를 Bob에게 보낼 수 있습니다. 여기서 D(p)는 벨 쌍의 절반이 통과할 때 발생하는 p의 증류 가능한 얽힘입니다.앨리스와 밥을 연결하는 $\epsilon$ 잡음이 $\epsilon$ 채널 $\epsilon$ »(\ $displaystyle\epsilon)$

경우에 따라서는 기존의 양자 오류 수정 기술이 실패했을 때 얽힘 증류가 작동할 수 있습니다.얽힘 증류 프로토콜은 얽힘 증류 프로토콜이 이를 금지하는 기존의 오류 정정과는 대조적으로 당사자 간의 고전적인 통신을 허용하는 특성 때문에 양자 정보의 전송을 허용하지 않는 채널에 대해 0이 아닌 전송 속도 D(p)를 생성할 수 있는 것으로 알려져 있다.

양자암호학

상관된 측정 결과와 얽힘의 개념은 양자 키 교환의 중심이며, 따라서 얽힘 증류를 성공적으로 수행하여 최대 얽힘 상태를 얻는 능력은 양자 암호학에 필수적이다.

만약 두 파티 사이에 한 쌍의 입자가 공유된다면, 어느 한 파티클을 가로채는 사람은 전체 시스템을 변화시켜 파티클이 최대한으로 얽힌 상태에 있는 한 파티클의 존재 여부(및 얻은 정보의 양)를 결정할 수 있게 됩니다.또, 비밀키 문자열을 공유하기 위해서, Alice와 Bob은, 공유 비밀키 문자열을 증류하는 프라이버시 증폭과 정보 조정의 기술을 실행할 필요가 있다.정보조정은 Alice와 Bob이 공유하는 상관된 랜덤 클래식비트 문자열 간의 오류를 조정하면서 공유 키에 대해 가능한 도청자 Ev가 가질 수 있는 지식을 제한하는 퍼블릭채널에서의 오류수정입니다.정보조정이 앨리스와 밥이 가지고 있는 공유키 간에 가능한 오류를 조정하고 이브가 얻을 수 있는 가능한 정보를 제한하기 위해 사용된 후, 프라이버시 증폭 기술은 키에 대한 이브의 불확실성을 최대화하는 비트의 작은 서브셋을 추출하기 위해 사용된다.

양자 순간이동

양자 순간이동에서 송신자는 입자의 임의의 양자 상태를 아마도 멀리 있는 수신자에게 전송하기를 원합니다.양자 텔레포트는 직접 양자 채널을 고전적인 통신과 선행 얽힘으로 대체함으로써 양자 정보의 충실한 전송을 달성할 수 있다.텔레포트를 사용하여 임의의 미지의 큐비트를 송신자와 수신자 간에 공유되는 최대 엔지 큐비트 쌍 및 송신자에서 수신자로의 2비트 클래식 메시지를 통해 충실하게 전송할 수 있습니다.양자 순간이동에는 완벽하게 얽힌 입자를 공유하기 위한 잡음이 없는 양자 채널이 필요하며, 따라서 얽힘 증류는 잡음이 없는 양자 채널과 최대한으로 얽힌 큐비트를 제공함으로써 이 요건을 충족시킨다.

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주 및 참고 자료

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