오각수 정리

수학에서, 원래 오일러에 기인하는 오각형 숫자 정리는 오일러 함수의 생산물과 시리즈 표현과 관련된다.라고 되어 있다.

\prod \prod _{n=1}^{\infit }\{n^{n}\오른쪽)=\sum _{k=-\infit }^{\infitty }\refteput1\right)^{k}x^{k\왼쪽(3k-1\오른쪽)/2}=1+\sum _{k=1}^{{k=1}^{k(1)^{k}\좌측(x^{k+1)/2}+x^{k(1)/2}+x^{k-1)/2}\우측.

바꾸어 말하면, 환언하면

(1-x^{3})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}+x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .

오른쪽의 지수 1, 2, 5, 7, 12, ...는 k = $1$ , -1, 2, -2, 3에 $대해 k$ g = k( $3k$ - 1 $)/2$ 라는 공식으로 주어지며, (일반화된) 오각형 번호(OEIS에서 순서 A001318)라고 부른다.(정수 용어 $k=0$ 은 k $k=0$ = $k=0$ ${\displaysty k=0}$ 에 해당한다. $k=0$ 이는 $|x|<1$ < $|x|<1$ $x <1$ 에 대한 수렴 전력 시리즈의 정체성 및 형식 전력 시리즈의 정체성으로서도 유지된다.

이 공식의 두드러진 특징은 제품 확장의 취소량이다.

파티션과의 관계

ID는 $p(n)$ ( $p(n)$ ) $p(n)$ 을(를) 계산하기 위한 재발을 의미하며 $p(n)$ n:

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

혹은 더 공식적으로,

p(n)=\sum _{k\neq 0}(1)^{k-1p(n-g_{k})

여기서 합계가 0이 아닌 모든 정수 k(양수 및 음수)를 초과하며 $g_{k}$ $g_{k}$ ${\$ 는 $g_{k}$ k 일반화된^th 오각형 숫자다. $p(n)=0$ ( n ) $p(n)=0$ = $p(n)=0$ $n<0$ displaystyle $p(n$ )= $0}$ 모든 $n<0$ < $n<0$ {\ $displaystyle n<0}$ 에 대해 $p(n)=0$ p ( $p(n)=0$ ) = 0 ${\displaystyle$ p(n $)=$ 0 $n<0$ 이므로, 시리즈는 결국 0이 되어 이산 계산이 가능해진다.

비주사적 증거

그 정리는 칸막이로 조합하여 해석할 수 있다.특히 왼손은 n의 칸막이를 짝수 개수로 구별할 수 있는 칸막이를 n의 칸막이를 홀수 개수로 하는 생성기능이다.n의 각 칸막이를 짝수 구별 부품에 대한 균일한 숫자로의 각 칸막이는 x의ⁿ 계수에 +1을 기여한다. (무제한 파티션 함수에 관한 기사는 이러한 유형의 생성 함수에 대해 논한다.)

예를 들어, 구별되는 부분의 짝수(4+1과 3+2)로 5를 분할하는 두 가지 방법이 있지만 구별되는 부분의 홀수(일-부품 파티션 5)에 대해서만 그렇게 할 수 있기 때문에 x의⁵ 계수는 +1이다.그러나 12를 짝수 구별 부품으로 분할하는 7가지 방법이 있지만 12를 홀수 구별 부품으로 분할하는 8가지 방법이 있기 때문에 x의¹² 계수는 -1이다.

이러한 해석은 비자발(즉, 자신의 역인 편향)을 통해 정체성의 증명으로 이어진다.n을 구별되는 부분으로 분할하는 Ferrers 도표를 고려한다.예를 들어 아래 다이어그램은 n = 20이고 파티션 20 = 7 + 6 + 4 + 3을 나타낸다.

m을 도표의 가장 작은 행에 있는 원소의 수(위의 예에서 m = 3)로 한다.도표의 맨 오른쪽 45도 선에 있는 원소의 수(s = 위의 빨간색 점 2개, 7-1 = 6, 그러나 6-1 > 4)로 하자.m > s일 경우, 아래 도표와 같이 가장 오른쪽 45도 선을 취하여 새로운 행을 형성하도록 이동한다.

m ≤s(m = 2, s = 5인 새로 형성된 도표에서와 같이) 우리는 맨 아래 열을 이동하여 새로운 45도 선을 형성(첫 번째 m 행 각각에 1개 원소를 추가)하여 첫 번째 도표로 되돌릴 수 있다.

약간의 생각은 이 과정이 항상 행 수의 패리티를 변화시킨다는 것을 보여주며, 그 과정을 두 번 적용하면 원래의 도표로 되돌아온다.이를 통해 시리즈 x 기간에ⁿ 1과 -1을 기여하는 Ferrers 다이어그램을 쌍으로 조합하여 순계수가 0이 되도록 할 수 있다.모든 Ferrers 도표에서 n개의 점으로 공정을 수행할 수 없는 경우를 제외하고, 이는 모든 항에 대해 유지된다.다음과 같은 두 가지 경우가 있다.

1) m = s와 가장 오른쪽 대각선과 아래쪽 행이 만난다.예를 들어,

이 작업을 수행하려고 하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

이는 행 수의 패리티를 변경하지 못하며, 작업을 다시 수행해도 원래의 다이어그램으로 되돌아가지 않는다는 점에서 되돌릴 수 없다.원래 다이어그램의 마지막 행에 m 요소가 있으면

n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots+(2m-1)={\frac {m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}:

여기서 새로운 지수 k는 m과 같다.이 파티션과 관련된 부호는 (-1),^s 구성으로 보면 (-1)^m 및 (-1)과 같다는 점에 유의하십시오.^k

2) m = s+1이고 가장 오른쪽 대각선과 아래쪽 행이 만난다.예를 들어,

우리의 작전은 오른쪽 대각선을 아래쪽 행으로 옮겨야 하지만, 그렇게 되면 세 개의 원소가 두 줄로 늘어서게 되는데, 우리가 칸막이를 구별할 수 있는 부분으로 세고 있기 때문에 금지된다.이것은 이전 사례지만 행이 한 개 줄었으므로

n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots+(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},

여기서 k = 1-m(음의 정수)를 사용한다.여기서 관련 부호는 s = m-1 = -k와 함께 (-^s1)이므로 부호는 다시 (-1)이다.^k

요약하면, n이 일반화된 오각형 숫자 $g_{k}=k(3k-1)/2$ = $g_{k}=k(3k-1)/2$ = $g_{k}=k(3k-1)/2$ ( $g_{k}=k(3k-1)/2$ $g_{k}=k(3k-1)/2$ - 1 $g_{k}=k(3k-1)/2$ ) $g_{k}=k(3k-1)/2$ / $g_{k}=k(3k-1)/2$ $g_{k}=k(3k-1)/2$ 인 경우를 제외하고, 짝수 구별 부품과 홀수 구별 부품으로 분할하면 서로 정확히 취소되는 것으로 나타났으며 $g_{k}=k(3k-1)/2$ 이 경우 정확히 하나의 Ferrers 도표가 남아 있다.하지만 이것이 바로 그 정체성의 오른쪽이 일어나야 한다고 말하는 것이기 때문에 우리는 끝장났다.

파티션 반복

We can rephrase the above proof, using partitions, which we denote as: $n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }$ , where $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0$ .n의 파티션 수는 생성 기능이 있는 파티션 함수 p(n)이다.

\sum \{n=0}^{\p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{1}{k=1}{prod _{k=1}}^{-1}

우리의 정체성의 왼쪽에 있는 제품의 상호작용을 주목하십시오.

\left(\sum _{n=0}^{\inflt }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{n}\inflight)=1

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ = $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ( $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 1 $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ - $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ n $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ) $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ = $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ = $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ${\$ n=0}{ $n}^{n$

\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1

.

고 양측에 계수 해당하는 왼쪽을 Multiplying, 우리는)1과 ∑ 나는 모든 n에 i=0{\displaystyle \sum_{i=0}(n{-}나는)a_{나는}=0}≥ 1{\displaystyle n\geq 1}(n− 나는)0np정도씩 생겨나고 있다. 이것은 복귀 관계하는 측면에서 p(n)을 명확히 하고에게에 대한 반대로 재발을 준다a0 p(0)를 얻게 된다.기p(n)의 rms.따라서, 우리가 원하는 결과는 다음과 같다.

a_{i}:={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ and }}k{\mbox{ is even}}\\-1&{\mbox{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ and }}k{\mbox{ is odd }}\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}

$g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ $i\geq 1$ $i\geq 1$ ${\displaystyle$ i $\$ $geq 1$ $}$ 은 $i\geq 1$ (는) ID $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ ( $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ - $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ ) $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ - g $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ ) $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ = 0 $\sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,$ ${\displaystyle \sum _{i}-1)^{$ $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ $}p$ $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ $1$ $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ i $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ ${\$ $=\textstyle {\frac {1}{1}:{2$ }}( $3i^{2}-i)}$ 및 $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ i는 $g_{i}\leq n$ $g_{i}\leq n$ $g_{i}\leq n$ ${\displaystyle g_{i}\leq$ n $}$ 과 같은 모든 정수에 걸쳐 범위가 지정된다( $g_{i}\leq n$ 이 범위는 일반화된 펜타곤 번호의 두 종류를 모두 사용할 수 있도록 양수와 음의 i를 모두 포함한다).이는 다시 다음을 의미한다.

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

e n

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

(

n

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

i

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

) =

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

i

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

p (

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

i

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

) ,

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),

{\

displaystyle \sum

\{

i\mathrm {\\ even}p(n-}g_{i}=\sum _{i\mathrmet}}}}}},

파티션 집합의 측면에서 이는 다음과 같은 집합이 카디널리티가 동일하다고 말하는 것과 같다.

{\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})

and

{\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ odd} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})

,

where ${\mathcal {P}}(n)$ denotes the set of all partitions of $n$ . All that remains is to give a bijection from one set to the other, which is accomplished by the function φ from X to Y which maps the partition ${\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }$ ${\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }$ to the partition $\lambda '=\varphi (\lambda )$ defined by: