입방정식

입방정식은 온도 및 밀도의 함수로서 기체의 압력을 모델링하기 위한 열역학 모델의 특정 클래스이며, 몰 부피의 입방정 함수로 다시 쓸 수 있습니다.

상태 방정식은 일반적으로 물리 화학 및 화학 공학 분야, 특히 기액 평형 모델링 및 화학 공학 프로세스 설계에 적용된다.

판데르발스 상태 방정식

판데르발스 상태 방정식은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

\displaystyle \left(p+{\frac {a}{\text{m}^2}}\right)\left(V_{\text{m}}-b\right)=RT}

$T$ 서T {\ $displaystyle$ T $}$ 는 $T$ 절대 온도, $p$ { $displaystyle$ p $}$ 는 $p$ 압력, $V_{\text{m}}$ $V_{\text{m}}$ ${\$ 는 $V_{\text{m}}$ 몰 부피 $,$ $R$ {\ $displaystyle$ R $}$ 은 $R$ 유니버설 가스 상수입니다. $V_{\text{m}}=V/n$ m $V_{\text{m}}=V/n$ / $V_{\text{m}}=V/n$ $({\$ $displaystyle V_{\text{$ m}}= $V/n$ $V$ {\ $displaystyle$ V $}$ 는 $V$ 볼륨, $n=N/N_{\text{A}}$ $n=N/N_{\text{A}}$ $n=N/N_{\text{A}}$ / $n=N/N_{\text{A}}$ N $n=N/N_{\text{A}}$ {\ $text{\$ n $=N/N})$ 입니다.A $n=N/N_{\text{A}}$ $n$ 서n(\ $displaystyle$ n $)$ 은 $n$ 몰 수, $N$ (\ $displaystyle$ N $)$ 은 $N$ 파티클 수, $(\$ 는 파티클 수입니다.A $}}}$ 은 $N_{{\text{A}}}$ (는) 아보가드로 상수입니다.이러한 정의는 아래의 모든 상태 방정식에도 적용됩니다.

물질 고유 상수 $a$ 와 $b$ 는 $a$ $b$ $임계$ $p_{\text{c}}$ $p_{\text{c}}$ c ${\$ 및 $p_{\text{c}}$ $V_{\text{c}}$ c {\ $displaystyle V_{\text{c}}}($ $V_{\text{c}}$ c {\ $displaystyle V_{\text{c}}})$ 에서 $V_{\text{c}}$ $p_{\text{c}}$ 할 수 있다. $p_{\text{c}}$ {\ $displaystyle p_{\text{c}}$ 는 $p_{\text{c}}$ 임계 압력입니다 $.$

a=3p_{\text{c}}V_{\text{c}}^{2}

b=syslogfrac {V_{\text{c}}{3}}.

(^[1] $(T_{\text{c}},p_{\text{c}})$ , $(T_{\text{c}},p_{\text{c}})$ ) { $display$ style ( T $_$ { \ $text$ { $c$ } , p $_$ { \ $text$ { $c$ } )의 $(T_{\text{c}},p_{\text{c}})$ $(T_{\text{c}},p_{\text{c}})$ 함수로 $(a,b)$ 된 $(a,b)$ ( $(a,b)$ , b $(a,b)$ ) { $display$ ( a , $(a,b)$ b ) $(a,b)$ 에 $(a,b)$ 대한 표현도 얻을 수 있으며 임계 온도 및 압력에 쉽게 접근할 수 있기 때문에 종종 방정식의 파라미터화에 사용됩니다.그들은 그렇다.

a=snarfrac {27(RT_{\text{c}})^{2}}{64p_{\text{c}}}

b=syslogfrac {RT_{\text{c}}}{8p_{\text{c}}}}.

1873년에 제안된 판 데르 발스 상태 방정식은 이상적인 가스 법칙보다 훨씬 더 나은 성능을 발휘한 최초의 방정식 중 하나였다.이 획기적인 $a$ 에서 a는 $흡인$ 파라미터, $b는$ 반발 $b$ 파라미터 또는 유효분자량이라고 합니다.이 방정식은 이상적인 기체의 법칙보다 분명 우수하며 액상의 형성을 예측하지만 액체가 형성되는 조건에서는 실험 데이터와의 합치는 제한적입니다.판 데르 발스 방정식은 역사적 이유로 교과서나 논문에서 흔히 언급되지만, 지금은 사용되지 않는다.조금 더 복잡한 다른 현대 방정식이 훨씬 더 정확합니다.

판 데르 발스 방정식은 이상적인 기체 법칙으로 간주될 수 있으며, 방정식에 두 가지 비이상적 기여가 포함되기 때문에 "개선되었다"고 볼 수 있다.형식에서 van der Waals 방정식을 고려합니다.

p=param frac {RT}{V_{\text{m}}-b}-{\frac {a}{V_{\text{m}}^2}}

이상 기체 방정식과 비교해서

p=syslogfrac {RT}{V_{\text{m}}}}

판데르발스 방정식의 형식은 다음과 같이 동기 부여될 수 있습니다.

분자는 한정된 부피를 차지하는 입자로 여겨진다.따라서 물리적 부피가 모든 분자에 특정 순간에 접근할 수 있는 것은 아니며, 점 입자가 예상할 수 있는 압력에 비해 약간 상승합니다. $V_{\text{m}}-b$ (V $V_{\text{m}}-b$ - $V_{\text{m}}-b$ { $display$ style V _ { \ $text$ { $m$ } } $V_{\text{m}}-b$ - b ) thus 、 1학기에는 V $V_{\text{m}}$ { \ $display$ style V _ { \ $text$ { m $}$ } $V_{\text{m}}$ "유효한" 몰 볼륨을 사용합니다.
이상적인 기체 분자는 상호작용을 하지 않지만, 만약 그들이 충분히 가까이 있다면, 실제 분자는 매력적인 반데르발스 힘을 나타낼 것입니다. $(\displaystyle\rho$ 에 비례하는 인력은 분자와 용기벽의 충돌을 지연시키고 압력을 낮추는 경향이 있습니다.영향을 받는 충돌의 수도 밀도에 비례합니다.따라서 압력은 2 $({$ ^{ $2$ 에 비례하는 양 또는 어금니 부피 제곱에 반비례하는 양만큼 낮아진다.

$V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ $V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ $V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ $V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ $V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ / V $V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ \ $displaystyle$ V _ { \ $text$ { r } = $V$ _ { \ text { $m$ } } / V _ { \ $text$ { $c$ } $V_{\text{r}}=V_{\text{m}}/V_{\text{c}}$ } 、 $P_{\text{r}}=p/p_{\text{c}}$ $P_{\text{r}}=p/p_{\text{c}}$ _ $P_{\text{r}}=p/p_{\text{c}}$ _ { \ $displaystyle$ P _ { r } $= p$ / $p$ / p $_$ text { { $text$ { { c $}$ } } } $T_{\text{r}}=T/T_{\text{c}}$ t t t t T $T_{\text{r}}=T/T_{\text{c}}$ $T_{\text{r}}=T/T_{\text{c}}$ =ated:

\displaystyle \left(P_{\text{r}}+{\frac {3}{V_{\text{r}^2}}\오른쪽)\left(3V_{\text{r}}-1\오른쪽)=8T_{\text{r}}}

이 형식의 장점은 $T_{\text{r}}$ {\ $displaystyle T_{\text{r}}$ $P_{\text{r}}$ $P_{\text{r}}$ {\ $displaystyle P_{\text{r$ 에 대해 액체와 가스의 감소 부피는 Cardano의 방법을 사용하여 직접 계산할 수 있다는 것입니다.

V_{\text{r}}^{3}-\left({\frac {1}{3}})+{\frac {8}T_{\text{r}}}{3P_{\text{r}}}}}\rightV_{\text{r}}^2}+{\frac {3V_{\text{r}}}{P_{\text{r}}}}-{\frac {1}{P_{\text{r}}}=0

$P_{\text{r}}<1$ r < $P_{\text{r}}<1$ \ $display style$ P _ { \ $text$ { $r$ } < $1$ $T_{\text{r}}<1$ } $T_{\text{r}}<1$ $T_{\text{r}}<1$ r < $T_{\text{r}}<1$ \ $display style$ T _ { \ $text$ { $r$ } < $1$ $T_{\text{r}}<1$ 의 $P_{\text{r}}<1$ , 시스템은 기액 평형 상태에 있습니다.이 상황에서, 환원된 입방정식은 3개의 해를 산출한다.가장 큰 솔루션과 가장 작은 솔루션은 가스와 액체의 부피를 줄이는 것입니다.이러한 상황에서는 Maxwell 구조가 압력을 몰 부피의 함수로 모델링하는 데 사용되기도 합니다.

$Z=PV_{\text{m}}/RT$ Z $Z=PV_{\text{m}}/RT$ $Z=PV_{\text{m}}/RT$ V $Z=PV_{\text{m}}/RT$ / $Z=PV_{\text{m}}/RT$ T $Z=PV_{\text{m}}/RT$ { $displaystyle$ Z $=$ $PV_{\text{m}}/RT}$ 는 $Z=PV_{\text{m}}/RT$ 이상적이지 않은 동작을 특징짓기 위해 자주 사용됩니다.축소된 형태의 반데르발스 방정식의 경우, 이는

Z=black {V_{\text{r}}{V_{\text{r}}-{\flac {1}{3}}}-{\flac {9}{8}V_{\text{r}}T_{\text{r}}}}}

$Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ 에서는 Z $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ / $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ 0. $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ { $displaystyle Z_{\text{c$ }} = 3 $/8$ = 0. $375$ 입니다.

레드리히-쿵 상태 방정식

1949년에 ^[2]도입된 레드리히-Kwong 상태 방정식은 판데르발스 방정식의 주목할 만한 개선으로 간주되었다.그것은 비교적 단순한 형태 때문에 여전히 관심을 끌고 있다.

판 데르 발스 방정식보다 우수하지만, 액상과 관련하여 성능이 떨어지기 때문에 기액 평형을 정확하게 계산하는 데 사용할 수 없습니다.그러나 이 목적을 위해 별도의 액상 상관과 함께 사용할 수 있습니다.이 방정식은 파라미터와 임계상수 사이의 관계와 마찬가지로 다음과 같습니다.

{\displaystyle}{narged}p&=frac {R}T} {V_{\text{m}}-b}}-{\frac {a}{\sqrt {T}},V_{\text{m}}\left(V_{\text{m}}}+b\오른쪽)}}\\[3pt]a&=black {Omega_{a},R^{2}T_{\text{c}}{p_{\text{c}}}}\약 0.42748µfrac {R^{2},T_{\text{c}}^{\frac {5}{2}}}{P_{\text{c}}}}}\[3pt]b&=frac {Omega_{b},RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}\약 0.08664{\frac {R,T_{\text{c}}}{p_{\text{c}}}\[3pt]\오메가 _{a}&=\left[9\left (2^{1/3}-1\right)\right]^{-1}\약 0.42748\\[3pt]\오메가 _{b}&=sqfrac {2^{1/3}-1}{3}}\약 0.08664\end{aligned}}}

Redlich-Kwong 방정식의 또 다른 동등한 형태는 모델의 압축성 계수의 표현입니다.

Z=pV_{\text{m}}}{RT}}=param frac {V_{\text{m}}}{V_{\text{m}}-b}-{\frac {a}}{RT^{3/2}\left(V_{\text{m}}}+b\오른쪽)}}

Redlich-Kwong 방정식은 감소된 압력(이전 섹션에서 정의)이 감소된 온도에 대한 비율의 약 1/2 미만일 때 기상 특성을 계산하는 데 적합합니다.

P_{\text{r}}<\frac {T}{2T_{\text{c}}}}}.

Redlich-Kwong 방정식은 대응하는 상태의 정리와 일치한다.방정식이 축소 형태로 표현되면 모든 기체에 대해 동일한 방정식이 얻어집니다.

P_{\text{r}} = flac {3}T_{\text{r}}{V_{\text{r}}-b'}-{\frac {1}{b'{\sqrt {T_{\text{r}}}}V_{\left(V_{\text{r}}+b'\오른쪽)}}

$b'$ 서 $b'$ b ${\$ { $displaystyle$ b '}는 다음과 같습니다.

(\displaystyle b'=2^{1/3}-1\약 0.25992)

또한 임계점의 압축성 계수는 모든 물질에 대해 동일합니다.

Z_{\text{c}}=p_{\text{c}}V_{\text{c}}}{RT_{\text{c}}}=1/3\약 0.3333

이는 임계 압축률 예측인 $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ c $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ / $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ 0. $({displaystyle Z_{\text{c$ }} = $3/8=0.375$ }) $Z_{\text{c}}=3/8=0.375$ 보다 개선된 것이다. 대표적인 실험값은 Z c $(\displaystyle Z_{\text{c$ }} $= 0.$ 375 $)$ 이산화탄소이다. $0.235}($ 물), $Z_{\text{c}}=0.29$ c $=$ 스타일 $Z_{\text{c$ }}= 0 $.29($ 수면).

레드리히-쿵의 사베 수정

Soave는 ^[3]수정된 형태의 Redlich-Kwong 방정식을 제안했다.형태를 띠다

p=syslogfrac {R}T}{V_{\text{m}}-b}-{\frac {a\alpha}}{V_{\text{m}}\left(V_{\text{m}}+b\right)}}

a=param frac {Omega _{a},R^{2}T_{\text{c}}{P_{\text{c}}=param frac {0.42748,R^{2}T_{{\text{c}}}{P_{\text{c}}}}}

(*displaystyle b=*********************)RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}=black{0.08664,RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}}

\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.48508+1.55171),\obega -0.134,\obega ^{2}\right)\left(1-T_{\text{r}^{0})5}\right)\right)^{2}

T_{\text{r}}=black {T}{T_{\text{c}}}}}

\displaystyle \Omega _{a}=\left[9\left(2^{1/3)-1\right)\right]^{-1}\약 0.42748}

\Omega _{b}=subscfrac {2^{1/3}-1}{3}}\약 0.08664

여기서 δ는 종의 무심장 인자이다.

위의 $α$ 의 $\alpha$ $\alpha$ 은 사실 Graboski와 $\alpha$ Daubert에 의한 것입니다.Soave의 원래 공식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.120+1.574,\Omega -0.display,\Omega ^{2}\right)\left(1-T_{\text{r}}^{0})입니다.5}\right)\right)^{2}

수소의 경우:

\displaystyle \alpha = 1.120\exp \left(-0.30288,T_{\text{r}}\오른쪽).}

축소된 형태의 변수와 임계점의 압축성 계수를 대입하여

\{\text{r}}=p/P_{\text{c}}},T_{\text{r}}=T/T_{\text{c}}, V_{\text{m}}/V_{\text{c}}, Z_{\text{c}}=black {P_{\text{c}}}, V_{\text{c}}}{\text{\text{c}}}}}}{}}}}{}}}}}{}}}}}}}},RT_{\text{c}}}}}:\

입수하다

\displaystyle p_{\text{r}}P_{\text{c}}=param frac {R,T_{\text{r}}T_{\text{c}}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}-b}-{\frac {a\alpha \left(\obega, T_{\text{r}}}\right}}}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}\left(V_{\text{r}}V_{\text{c+}}b\오른쪽)}}=param frac {R,T_{\text{r}}T_{\text{c}}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}-{\frac{Omega_{b}},RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}}-{\frac {\frac {\Omega _{a},R^{2}T_{\text{c}}}:{\alpha \left(\ope, T_{c}}}}}}\alpha \right}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}\left(V_{\text{r}V_{\text{c}})+{\frac {\Omega_{b}})RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}\right)}}=}

= flac {R,T_{\text{r}}}T_{\text{c}}{V_{\text{c}}\left(V_{\text{r}}-{\frac{Omega_{b}})RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}V_{\text{c}}}\right}}-{\frac {\frac {\Omega _{a},R^{2}T_{2}}{P_{\text{c}}}}\alpha left \{{{\text{\text}}}} {right} left}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}^2}\left(V_{\text{r}}+{\frac{{b})RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}V_{\text{c}}}}\right}}}=param frac {R,T_{\text{r}}T_{\text{c}}{V_{\text{c}}\left(V_{\text{r}}-{\frac {\text{c}}}}}-{\frac {\text{c}}}}}-{\frac {\frac {\frac {{a}_{a}, R^2}T_{{{c}}}}}}}}}}}{{{{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}^2}\left(V_{\text{r}})+{\frac {{b}}{Z_{\text{c}}}}}\right)}}

따라서

p_{\text{r}}=flac {R,T_{\text{r}}T_{\text{c}}{P_{\text{c}}V_{\text{r}}-{\frac{B}}{Z_{\text{c}}}-{\frac{\text{c}}}}-{\frac{\frac{\text}{\text{c}}}{T}}}{text{T}}}}{T}}}}}}}{T}}}}}}}}}{V_{\text{r}}V_{\text{c}}^2}\left(V_{\text{r}})+{\frac {{b}}{Z_{\text{c}}}}}\right)}}= frac {T_{\text{r}}{Z_{\text{c}}}\left(V_{\text{r}})-{\frac {\text{c}}}-{\frac {\Frac {\Omega_{\text{c}}}}}}-{\fright}{\frfright}}{\frac {\frc}}}}}{{{{\frfright}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{V_{\text{r}}\left(V_{\text{r}}+{\frac{Omega_{b}}{Z_{\text{c}}}\오른쪽)}}

따라서 환원된 형태의 Soave-Redlich-Kwong 방정식은 대응하는 상태의 정리와 일치하는 VdW 및 RK 방정식과 달리 물질의 $Z_{\text{c}}$ 및 $Z_{\text{c}}$ c $(\$ Z_ ${\text{c}})$ 에만 $Z_{\text{c}}$ 의존하며, 환원된 형태는 모든 물질에 대해 1이다.

({displaystyle p_{\text{r}}=paramfrac {T_{\text{r}}) {Z_{\text{c}}}\left(V_{\text{r}})-{\frac {\text{c}}}}-{\{text}{C}}}}{text}}}{text}}{Z}{text}}}}}}}}}}}{{text}}}{text}}}}}{text}}}}}}}}}}}{V_{\text{r}}\left(V_{\text{r}}+{\frac{Omega_{b}}{Z_{\text{c}}}\오른쪽)}}}

또한 다음을 사용하여 다항식 형식으로 작성할 수 있습니다.

{\displaystyle A=paramfrac {a\alpha P}{R^{2}T^{2}}}}:

B=bP}{RT}}

압축성 계수의 관점에서 다음과 같은 이점이 있습니다.

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

3

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

-

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

+

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

(

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

-

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

-

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

)

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

-

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

B

0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB

\

display style

0 =

Z ^

{3} -

Z ^

{2} + Z \ left ( A - B - B ^ {

2}

\

right

) -

AB

}

이 방정식은 최대 3개의 근을 가질 수 있습니다.입방정식의 최대 근은 일반적으로 증기 상태에 해당하는 반면, 최소 근은 액체 상태에 해당합니다.예를 들어, 기액 평형의 계산에서 입방정식을 사용할 때는 이 점을 염두에 두어야 한다.

1972년 G. Soave는^[4] Redlich-Kwong 방정식의 $1T(\textstyle {1}{\sqrt {$ T ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {T}}}}$ }}) ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {T}}}}$ 을 온도와 초원 인자를 포함하는 함수α(T,θ $)$ 로 대체하였다(결과적인 방정식은 SRK 상태의 Soave-Redlich-Kwong 방정식이라고도 한다).α 함수는 탄화수소의 증기 압력 데이터에 적합하도록 고안되었으며 방정식은 이러한 재료에 대해 상당히 잘 작동합니다.

$T_{\text{c}}$ T $T_{\text{c}}$ c {\ $displaystyle T_{\text{c}}}$ 가 $T_{\text{c}}$ 두 번째 거듭제곱이 되므로 이 교체로 의 정의가 약간 변경됩니다.

Peneloux et al.의 볼륨 번역 (1982)

SRK EOS는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

p=syslogfrac {R}T}{V_{m,\text{SRK}}-b}}-{\frac {a}{V_{m,\text{\text}SRK}}\left(V_{m,{\text{})SRK}}+b\right)}}

어디에

{\text{c}}, \alpha \a_{\text{c}}, 약 0.42747 frac {R^{2},T_{\text{c}}{2}}{P_{\text{c}}}\b&\약 0.08664{R,T_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}\end{aligned}}

$\alpha$ 서 $\alpha$ α \ $displaystyle \alpha }$ 및 $\alpha$ SRK EOS의 기타 부분은 SRK EOS 섹션에 정의되어 있습니다.

SRK EOS 및 기타 입방 EOS의 단점은 액체 몰 부피가 가스 몰 부피보다 훨씬 덜 정확하다는 것입니다.Peneloux et alios(1982)^[5]는 볼륨 번역을 도입함으로써 이에 대한 간단한 수정을 제안했다.

V_{\text{m}}, {\text{\text}SRK}}=V_{\text{m}}+c

$c$ 서 c $\displaystyle$ c는 몰 볼륨을 $c$ 약간 변환하는 추가 유체 성분 파라미터입니다.EOS의 액체 분지에서, 몰 부피의 작은 변화는 압력의 큰 변화에 해당합니다.EOS의 가스 분기에서, 몰 부피의 작은 변화는 액체 분기에 비해 훨씬 작은 압력 변화에 해당합니다.따라서, 몰 가스 부피의 섭동은 작습니다.안타깝게도 과학과 산업에는 두 가지 버전이 있습니다.

첫 번째 버전에서는 V $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ $(\$ {\ $text$ {\text $}$ 만 $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ 되었습니다. $SRK}}}}$ 이 $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ ^[6]변환되고 EOS가

p=syslogfrac {R}T}{V_{\text{m}+c-b}-{\frac {a}{\left(V_{\text{m}}+c\right)\left(V_{\text{m}}+c\b\right)}}}

두 번째 버전에서는 V $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ $(\$ {\ $text{\$ text})의 양쪽 모두 $SRK}}}}}$ 및 $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ $b_{\text{SRK}}$ SRK $(\$ text}) $SRK}}$ 이 $b_{\text{SRK}}$ (가) 번역되거나 $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ $({$ text{\text}) $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ 됩니다. $SRK}}}}:$ 뒤에 $V_{{\text{m}},{\text{SRK}}}$ 복합 파라미터 b - ^[8]c의 이름을 변경합니다.이것으로 알 수 있다.

displaystyle(디스플레이 스타일) b_{\text}SRK}&=b+c&quad {text{or}}\carrowright b\p&=frac {R},T}{V_{\text{m}-b}}-{\frac {a}{\left(V_{\text{m}+c\right)}\left(V_{\text{m}}+2c+b\right}}}}\end {aligned}}}

유체 혼합물의 c-파라미터는 다음과 같이 계산됩니다.

c=\sum _{i=1}^{n}z_{i}c_{i}

석유 가스와 석유에 포함된 개별 유체 성분의 c-파라미터는 상관관계를 통해 추정할 수 있다.

{displaystyle c_{i}\약 0.40768\{frac {RT_{ci}}{P_{ci}}\left(0.29441-Z_{\text{})RA}},i}\right)}

여기서 Rackett $Z_{{\text{RA}},i}$ $Z_{{\text{RA}},i}$ RA $Z_{{\text{RA}},i}$ $\$ $RA}}, i$ }}은 $Z_{{\text{RA}},i}$ (는) 다음과 같이 추정할 수 있습니다.

\style Z_{\text{\displaystyle}RA}}},i}\약 0.29056-0.08775\\Omega_{i}

Peneloux et al.(1982)의 부피 변환 방법의 좋은 특징은 기액 평형 ^[9]계산에 영향을 주지 않는다는 것이다.이 볼륨 변환 방법은 선택한 EOS와 일치하도록 c-파라미터 상관관계가 조정된 경우 다른 입방 EOS에도 적용할 수 있습니다.

펑-로빈슨 방정식

펑-로빈슨 상태 방정식(PR EOS)은 1976년 앨버타 대학에서 다음과 같은 ^[10]목표를 달성하기 위해 딩-유 펑과 도널드 로빈슨에 의해 개발되었다.

파라미터는 임계특성 및 무심인자로 표현할 수 있어야 한다.
모델은 임계점 부근, 특히 압축률 및 액체 밀도 계산을 위해 적절한 정확도를 제공해야 한다.
혼합 규칙은 온도, 압력 및 성분과 무관한 단일 이항 상호작용 매개 변수를 사용할 수 없습니다.
이 방정식은 천연가스 공정의 모든 유체 특성에 대한 모든 계산에 적용 가능해야 한다.

방정식은 다음과 같습니다.

{\displaystyle}{narged}p&=frac {R}T}{V_{\text{m}-b}-{\frac {a,\alpha}{V_{\text{m}}+2bV_{\text{m}-b^{2}}\[3pt]a&\약 0.45724{\frac {R^{2}},T_{\text{c}}{2}}{p_{\text{c}}}\[3pt]b&\약 0.07780µfrac {R,T_{\text{c}}}{p_{\text{c}}}}\[3pt]\alpha &=\left(1+\kappa\text{c}{r}}}{r}}}{{text}}}}}}}{{fr}}}}}}}}}}}{{{text}}}}}}}}}}}}}}T_{\text{r}}&=frac {T}{T_{\text{c}}}}:\end{aligned}}

다항식 형식:

{\displaystyle A=black{R^{2}}T^{2}}}}:

B=bp}{RT}}

Z^{3}-(1-B) Z^{2}+\left(A-2B-3B^{2}\right) Z-\left(AB-B^{3}-B^{3}\right)=0

대부분의 경우, Peng-Robinson 방정식은 Soave 방정식과 유사한 성능을 나타내지만, 일반적으로 많은 물질, 특히 비극성 물질의 ^[11]액체 밀도를 예측하는 데 탁월하다.펑-로빈슨 방정식의 출발 함수는 별도의 기사에 제시되어 있다.

특성 상수의 분석 값은 다음과 같습니다.

({displaystyle Z_{\text{c}}=harfrac {1}{32}\left(11-2hrt {7}\left}\sinh\frac {1}{3}\operatorname {arsinh}\left}\frac {13}{7h}}}}\right}\light}\left {301}\left}\right}\light}\light}\left}\left}\left}\left}\light}\light}\light}\l

({displaystyle b'=frac {b}{\text{m}},{\text{c}}}=frac {1}{8}}\sinh \left\frac {1}{3}\operatorname {arsinh} \left\frac {arsinh}}\light {arsynh}\rt {arsinh}\rt}\rt {{8}\rt}\rt}\rt}\right}\row}\rt {arrt}\rt}\r

(\displaystyle {P_{\text{c})V_{\text{m}}, {\text{c}}^{2}}{a,b'}}=paramfrac {3}{left(1+\cosh\frac\frac {1}}\operatorname {{3}(3)\right)\약 0.816619\frac2\{C}{8}{text}.

펑-로빈슨-스트리예크-베라 방정식

PRSV1

1986년 Stryjek와 Vera가 발표한 Peng-Robinson 상태 방정식의 흡인 항을 수정한 결과, 조정 가능한 순수 성분 매개변수가 도입되고 아크로센트 ^[12]인자의 다항식 적합도를 수정함으로써 모델의 정확도가 크게 향상되었다.

변경 내용은 다음과 같습니다.

{\text{r}}^{\frac {1}{2}\right}\left(0.7-T_{\text{r}\kappa_{0}+\kappa_{1}\kappa_{1}\right)\left(0.7-T_{\text{r}\r}\오른쪽)\\\kappa _{0}&=0.37893+1.4897153,\omega -0.17131848,\omega ^{2}+0.0196554,\omega ^{3}\end{aligned}}

$\kappa _{1}$ 서 § 1 $(\$ _ ${1})$ 은 $\kappa_1$ 조정 가능한 순수 성분 파라미터입니다.Stryjek와 Vera는 원래 저널 기사에 산업적 관심의 많은 화합물에 대한 순수한 성분 매개변수를 발표했습니다.0.7 이상의 낮은 온도에서는 $\kappa _{1}=0$ 1 $\kappa _{1}=0$ \ $displaystyle \kappa$ _ {1} $= 0$ 으로 $\kappa _{1}=0$ 설정하고 $\kappa =\kappa _{0}$ $\kappa =\kappa _{0}$ \ $displaystyle \kappa$ = \ $kappa$ _ { $0$ 을 $\kappa _{1}$ 사용할 것을 권장합니다. 알코올 및 물의 경우 $\kappa _{1}$ 1 $(\$ _ ${1$ }}) 값을 임계 온도까지 설정하고 0보다 높은 ^[12]온도까지 설정할 수 있습니다.

PRSV2

1986년에 발표된 후속 수정(PRSV2)은 이전 흡인 항 ^[13]수정에 두 개의 순수 성분 매개변수를 추가함으로써 모델의 정확도를 더욱 향상시켰다.

변경 내용은 다음과 같습니다.

{text{r}}\kappa _{0}+\left[\kappa _{1}+\kappa _{2}\left (\kappa _{3}-T_{\text{r}\r}\right)\left (1-T_{\text{r}}{\frac{2}\right}\fright)\\kappa _{0}&=0.37893+1.4897153,\omega -0.17131848,\omega ^{2}+0.0196554,\omega ^{3}\end{aligned}}

여기서 $\kappa _{1}$ 1 $\kappa _{1}$ \ $displaystyle$ \ $kappa _$ { $}$ 、 $\kappa _{2}$ 2 \ $displaystyle$ \ $kappa _$ { $\kappa _{2}$ 、 $\kappa _{3}$ 3 $\kappa _{3}$ \ $displaystyle$ \ $kappa _$ { $\kappa _{3}$ }는 $\kappa _{3}$ 조정 가능한 순수 컴포넌트 파라미터입니다.

PRSV2는 VLE 계산에 특히 유리합니다.PRSV1은 열역학 거동을 설명하는 데 있어 펑-로빈슨 모델에 비해 이점을 제공하지만, 일반적으로 위상 평형 계산에는 ^[12]여전히 충분히 정확하지 않다.위상균형 계산법의 고도로 비선형적인 동작은 허용 가능한 작은 오차를 증폭시키는 경향이 있다.따라서 이러한 모델을 설계에 적용할 때 평형 계산에 PRSV2를 사용할 것을 권고한다.그러나 일단 평형상태가 결정되면 평형상태에서의 위상특이 열역학값은 합리적인 ^[13]정확도를 가진 몇 가지 간단한 모델 중 하나에 의해 결정될 수 있다.

주의할 점은 PRSV 방정식에서는 파라미터의 적합은 보통 임계온도보다 낮은 특정 온도범위에서 이루어집니다.임계 온도 이상에서는 PRSV 알파 함수는 0으로 향하는 대신 분산되어 임의로 커지는 경향이 있습니다.따라서 알파에 대한 대체 방정식을 임계점 이상에서 사용해야 한다.이는 임계점보다 훨씬 높은 온도에서 종종 발견되는 수소를 포함하는 시스템에 특히 중요합니다.몇 가지 대체 제형이 제안되었다.잘 알려진 것은 Twu et al.^{[citation needed]}과 Mathias and Copeman의 ^{[citation needed]}작품들이다.

펑-로빈슨-바발롤라 방정식(PRB)

바발롤라는 펑-로빈슨 상태 방정식을 다음과 같이 수정했다.

$\displaystyle P=\left({\frac {RT}{v-b}}\right[{\frac {(a_{1}P+a_{2}\alpha }{v(v+b)+b(v-b)}}}}\right]$

매력적인 힘 매개변수 'a'는 펑-로빈슨 상태 방정식의 압력과 관련하여 상수로 간주되었다.다성분 다상 고밀도 저장장치 시스템의 압력과 관련하여 매개변수 'a'를 변수로 취급한 수정은 PVT 모델링을 위한 복잡한 저장유체의 특성 예측의 정확도를 향상시켰다.변수 'a'의₂ 값을 압력에 대해 플롯할 때 얻을 수 있는 직선의 기울기와 절편을 각각 a와 a가 나타내는 선형₁ 방정식으로 표현되었다.

이러한 수정은 특히 고압 범위(30MPa 이상)에서 무거운 유체에 대한 펑-로빈슨 상태 방정식의 정확도를 증가시키고 원래의 펑-로빈슨 상태 방정식을 조정할 필요가 없다.

엘리엇-수레쉬-도노휴 방정식

엘리엇-수레쉬-도노휴(ESD) 상태 방정식은 ^[15]1990년에 제안되었다.이 방정식은 반데르발스 혐오 용어에 부정확성이 있다는 점에서 펑-로빈슨 EOS의 단점을 수정하려고 한다.EOS는 모든 분자의 형상의 영향을 설명하며 (여기에 표시된 것처럼) 임계 특성을 사용하는 대신 용해성 파라미터와 액체 부피 측면에서 특징지어지는 분자 파라미터를 가진 폴리머로 직접 확장될 수 있다.EOS 자체는 컴퓨터 시뮬레이션과의 비교를 통해 개발되었으며 크기, 모양 및 수소 결합의 필수 물리학을 포착해야 합니다.

{pV_{\text{m}}}{RT}}=Z=1+Z^{\rm {rep}}+Z^{\rm {att}}

여기서:

Z^{\rm {rep}} = flac {4c\eta} {1-1.9\eta}

Z^{\rm {att}=-{\frac {z_{\text{m}}q\eta Y}{1+k_{1}\eta Y}

$\$ $displaystyle$ c는 $c$ "형상 계수"이며 구형 분자의 $c=1$ c $= 1이다$

비구면 분자의 경우 형상 인자와 비구면 인자의 관계는 다음과 같다.

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

+

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

+

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

2

c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}

({

displaystyle

c

=1+3.535\Omega +0.533\Omega

^{

2

감소된 번호 밀도 $\eta$ {\(\ $displaystyle \eta)$ 는 $\eta$ $\eta =b\rho$ $\eta =b\rho$ (\ $displaystyle \eta$ = $b\rho$ 로 정의됩니다.

\displaystyle

b는

b

특성 크기 파라미터 [cm³/size]입니다.

NA

A}}V)}

은

\rho ={\frac {1}{V_{\text{m}}}}=N/(N_{\text{A}}V)

몰밀도 [mol/cm³]이다.

특성 크기 파라미터는 c{ $displaystyle$ c $}$ ~와 $c$ 되어 $c$ 있습니다.

b=param frac {RT_{\text{c}}{P_{\text{c}}}}\Phi

어디에

\Phi = flac {Z_{\text{c}}^{2}}{2}A_{q}}{[-B_{q}+{\sqrt {B_{q}^2}+4A_{q}C_{q}}]}}

{\displaystyle 3Z_{\text{c}}=([-0.173/{\sqrt {c}+0.217)/{\sqrt {c}-0.115})/{\sqrt {c}+1})

({displaystyle A_{q}=[1.9(9.5q-k_{1})+4ck_{1}](4c-1.9)}

B_{q}=1.9k_{1}Z_{\text{c}}+3A_{q}/(4c-1.9)

C_{q}=(9.5q-k_{1})/Z_{\text{c}}

흡인력 항에 나타나는 형상 $q$ (\ $displaystyle$ q) 및 Y(\ $displaystyle$ Y $)$ 는 $Y$ 다음과 $q$ 같이 지정됩니다.

q=1+k_{3}(c-1)

q=1+k_{3}(c-1)

1

q=1+k_{3}(c-1)

+

q=1+k_{3}(c-1)

3 (

q=1+k_{3}(c-1)

-

q=1+k_{3}(c-1)

)

q=1+k_{3}(c-1)

({

displaystyle

q

=1+k_{3}(c-1)})

(구면 분자의 경우 1과 동일)

Y=\exp\leftfrac{k}T}}\right)-k_{2

여기서 $\epsilon$ (\ $displaystyle\ilon)$ 는 $\epsilon$ 사각 우물 전위의 깊이이며 다음과 같이 표시됩니다.

Y_{\text{c}=frac {RT_{\text{c}}}{bP_{\text{c}}}{2}{\frac {Z_{\text{c}}{3}}}{A_{q}}}}}

z_{\text{m}}

m

z_{\text{m}}

{\

displaystyle z_{\text{m

k_{1}

{\

displaystyle k_

k_{2}

},

k_{2}

2 {\

displaystyle k_{

2

k_{2}

}}

k_{3}

및

k_{3}

3 {\

displaystyle k_{3}}

은

k_{3}

상태 방정식의 상수입니다.

z_{\text{m}}=9.5

m

=

(구형

분자의 경우

z_{\text{m

}}=

9

k_{1}=1.7745

1

=

분자의

경우 k_

{1}=

1

k_{2}=1.0617

2

(구형

분자의 경우

k_{2

}

= 1.0617

k_{3}=1.90476.

이 모형은 성분 및 비관련 성분과 혼합물을 연결하는 것으로 확장할 수 있습니다.자세한 내용은 J.R.의 신문에 있습니다.엘리엇, 주니어 등(^[15]1990년)

$Z^{\text{rep}}$ $4(k_{3}-1)/k_{3}$ 3 - $4(k_{3}-1)/k_{3}$ ) $4(k_{3}-1)/k_{3}$ / k $({$ 4 $(k_{3}-1)/k_{3}})$ = $4(k_{3}-1)/k_{3}$ 1.900이라는 $Z^{\text{rep}}$ 에 유의하여 Z $Z^{\text{rep}}$ rep { $style$ Z $^{\text{rep}}}$ 은 $Z^{\text{rep}}$ SAFT^[16]^[17] 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

{{displaystyle Z^{\rm {rep}=4q\eta g-(q-1)}{\frac {dg}{d\eta}}=sqfrac {4q\eta}{1.9\eta}}-{\frac {(q-1)1.9}.\eta }{1-1.9\eta }};g = specfrac {1}{1-1.9\eta }}

원하는 경우 SAFT 표기법에서는 "q"를 "m"로 대체할 수 있으며 ESD EOS를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

Z=1+m({\frac {4\eta}{1-1.9\eta}}}-{\frac {9.5}Y\eta }{1+k_{1}Y\eta }}-{\frac {(m-1)1 。9\eta } {1-1.9\eta }

이 형태에서 SAFT의 세그먼트적 관점은 분명하며 마이클 워트하임의^[16]^[17]^[18] 모든 결과는 직접적으로 적용 가능하고 비교적 간결하다.SAFT의 세그먼트먼트 관점에서 각 분자는 공간에 떠 있는 m개의 구면 세그먼트로 구성되며, 그 후 (m - 1) 항에 의해 접선 구면 사슬에 결합하도록 보정된다.m이 정수가 아닌 경우 단순히 접선 구 세그먼트의 "유효한" 수로 간주됩니다.

Wertheim 이론의 방정식을 푸는 것은 복잡할 수 있지만 단순화를 통해 구현이 덜 어려워질 수 있습니다.간단히 말해 밀도와 온도를 고려하여 $Z^{\rm {assoc}}$ $o$ c {\rm { $assoc}}$ 을 $Z^{\rm {assoc}}$ (를) $Z^{\rm {assoc}}$ 하려면 몇 가지 추가 단계가 필요합니다.예를 들어 수소 결합 공여체의 수가 수용체 수와 같을 경우 ESD 방정식은 다음과 같습니다.

{pV_{\text{m}}}{RT}}=Z=1+Z^{\rm {rep}}+Z^{\rm {att}}+Z^{\rm {assoc}}

여기서:

Z^{\rm {assoc}}=-gN^{\text{AD}}(1-X^{\text{)AD}};X^{\text{AD}}=2/[1+{\sqrt {1+4N^{\text{AD}}\alpha^{\text{AD}}}}};\alpha^{\text{AD}=\rho N_{\text{\text}A}K^{\text{AD}[\exp {\epsilon ^{\text{\exp}AD}}/kT)-1]

$(\$ $A}}$ 은 $N_{{\text{A}}}$ (는) 아보가드로 $K^{\text{AD}}$ K $K^{\text{AD}}$ (\ $displaystyle K^{\$ text{)입니다. $AD}}$ 및 $\epsilon ^{\text{AD}}$ {\ $style \epsilon$ ^{\ $text{}$ $AD}}}$ 은 $\epsilon ^{\text{AD}}$ 수소결합의 부피와 에너지를 나타내는 입력 파라미터입니다. $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ 으로 K $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ . $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ (\ $displaystyle$ K $^{\text{$ $AD}}=\mathrm {0.001\nm^{3}}$ 및 $K^{\text{AD}}=\mathrm {0.001\ nm^{3}}$ $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ AD $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ / $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ K $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ （ \ $displaystyle$ \ $silon$ ^ { \ $text$ { \ text $}$ $AD}}/k_{\text{$ $B}}=\mathrm {2000\K}$ 이 $\epsilon ^{\text{AD}}/k_{\text{B}}=\mathrm {2000\ K}$ $($ 가) 저장됩니다. $N^{\text{AD}}$ AD $}}$ 는 $N^{\text{AD}}$ 수용자 수(이 예에서는 기증자 수와 동일)입니다.예를 들어 N $N^{\text{AD}}$ {\ $style$ N $^{\text{\$ style}와 같이 입력합니다. $AD}}}$ = $N^{\text{AD}}$ 메탄올 및 에탄올과 같은 알코올의 경우 1. $N^{\text{AD}}$ $AD}}}$ = $N^{\text{AD}}$ 물은 2. $N^{\text{AD}}$ $AD}}$ = $N^{\text{AD}}$ 폴리비닐페놀의 중합도.따라서 밀도 및 온도를 사용하여 $\alpha ^{\text{AD}}$ AD $\$ ^{\text{\ $text}$ 를 $\alpha ^{\text{AD}}$ 합니다. $AD}}$ 은 $\alpha ^{\text{AD}}$ (는) $\alpha ^{\text{AD}}$ AD ${\$ 를 사용합니다. $AD}}}$ 을 $\alpha ^{\text{AD}}$ (를) 사용하여 다른 수량을 계산합니다.기술적으로, ESD 방정식은 연관항이 포함되면 더 이상 입방정식이 아니지만 아티팩트가 도입되지 않기 때문에 밀도가 3근밖에 없습니다.

입방체 플러스 연관성

입방정식(CPA)은 소브-레드리히-Kwong 방정식을 채프먼의 확장과 마이클 ^[18]워트하임으로 인한 결합 분자 이론의 단순화에 기초한^[16]^[17] SAFT의 결합 항과 결합한다.이 방정식의 개발은 1995년 셸의 자금 지원을 받은 연구 프로젝트로 시작되었으며, 1996년 CPA ^[19]^[20]상태 방정식을 제시한 기사가 발표되었습니다.

P=frac {RT}{(V-b)}-{\frac {a}{V+b)}}+{\frac {RT}{V}}\rho \sum _{A}\left[{\frac {1}{X^{\text{\text}}A}}}-{\frac {1}{2}}\right}{\frac {\partial X^{\text}A}}{\partial \rho }

$X^{\text{A}}$ $X^{\text{A}}$ X A $X^{\text{A}}$ {\ $displaystyle$ X $^{\text{$ $A}}}$ 은 $X^{\text{A}}$ 부위 A에서 결합되지 않은 분자의 몰 분율이다.

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목차

판데르발스 상태 방정식

레드리히-쿵 상태 방정식

레드리히-쿵의 사베 수정

Peneloux et al.의 볼륨 번역 (1982)

펑-로빈슨 방정식

펑-로빈슨-스트리예크-베라 방정식

PRSV1

PRSV2

펑-로빈슨-바발롤라 방정식(PRB)

엘리엇-수레쉬-도노휴 방정식

입방체 플러스 연관성

레퍼런스