오각수

오각수는 삼각수와 사각수의 개념을 오각형으로 확장하는 형상의 숫자지만, 처음 두 개와 달리 오각형의 숫자 구성에 관여하는 패턴은 회전 대칭이 되지 않는다. n번째 오각형 숫자 p는_n 하나의 꼭지점을 공유하도록 펜타곤을 겹쳐 놓을 때 옆면이 n개의 점까지 있는 일반 펜타곤의 윤곽으로 구성된 점 패턴에 있는 구별되는 점의 수입니다. 예를 들어, 세 번째 점은 1, 5, 10개의 점으로 구성된 윤곽으로 형성되지만, 다섯 개의 점 중 1, 3개는 10개의 점 중 3개와 일치하며, 12개의 구별되는 점, 10개는 오각형, 2개는 안쪽에 있다.

p는_n 다음 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}:}$

${\displaystyle p_{n}=1.C(n,1)+3.C(n,2)}$

마루티 J K 샤르마와 슈벤두 가르그의 BFJ 규칙(자세한 내용은 산술 진행 참조)

1엔당 처음 몇 개의 오각형 숫자는 다음과 같다.

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (OEIS에서 순차 A000326).

n번째 오각수는 n에서 시작하는 n의 정수(즉, n에서 2n-1까지)의 합이다. 다음과 같은 관계도 유지된다.

${\displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}$

오각형 숫자는 삼각형 숫자와 밀접한 관련이 있다. n번째 오각형 번호는 (3n - 1)번째 삼각형의 1/3이다. 또한 여기서 T는_n n 삼각형^th 숫자다.

${\displaystyle p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-11}=T_{n-1}$

일반화된 오각형 숫자는 위에 주어진 공식에서 얻어지지만 n이 순서 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4의 값을 취함으로써 다음 순서를 생성한다.

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS에서 순서 A001318).

일반화된 오각형 숫자는 그의 오각형 숫자 정리에서 표현된 것처럼 오일러의 칸막이 이론에 중요하다.

오각형을 이루는 패턴의 가장 바깥쪽 오각형 안에 있는 점의 수는 그 자체로 일반화된 오각형 오각형이다.

일반화된 오각형 숫자와 중심화된 육각형 숫자

일반화된 오각형 숫자는 중심화된 육각형 숫자와 밀접한 관련이 있다. 중심 육각수에 해당하는 배열을 가운데 행과 인접한 행으로 나눌 때, 그것은 두 개의 일반화된 오각형의 숫자의 합으로 나타나며, 큰 조각이 적절한 오각형의 숫자로 표시된다.

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

일반적으로:

${\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{1}{2}}(-n){\bigl (}3(1-n)-1{\bigr )}}}}}}}$

여기서 오른쪽의 두 용어는 일반화된 오각형 숫자이고 첫 번째 용어는 적절한 오각형 숫자(n ≥ 1)이다. 이 중심 육각 배열의 분할은 사다리꼴 배열로 일반화된 오각형 번호를 제공하며, 이는 분할에 대한 Ferrers 도표로 해석될 수 있다. 이러한 방법으로 그것들은 위에서 언급한 오각형 숫자 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

오각형 번호에 대한 검정

양의 정수 x를 지정하면 계산 가능한 (비일반) 오각형 숫자인지 여부를 테스트할 수 있다.

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}+1}{6}}.}$

숫자 x는 n이 자연수일 경우에만 오각형이다. 이 경우 x는 n번째 오각형 번호다.

일반화된 오각형의 경우 24x+1이 완벽한 사각형인지 확인하는 것만으로도 충분하다.

일반화되지 않은 오각형 숫자의 경우, 완벽한 정사각형 시험 외에, 그 여부를 확인해야 한다.

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}\equiv 5\mod 6}$

오각형 숫자의 수학적 특성은 이러한 시험이 숫자의 오각형을 증명하거나 반증하기에 충분하다는 것을 보장한다.^[1]

그노몬

n번째 오각형 숫자의 Gnomon은 다음과 같다.

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}$

정사각형 오각형 숫자

정사각형 오각형 번호는 오각형 오각형 번호로도 완벽한 정사각형이다.^[2]

처음 몇 가지는 다음과 같다.

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (OEIS entry A036353)

참고 항목

• 육각수
• 삼각수

참조

추가 읽기

• 레온하르트 오일러: 오각형 숫자의 주목할 만한 특성에 대해