피칸스-발케마-데 하안 정리

피칸스-발케마-데 하안 정리는 흔히 극값 이론에서 제2의 정리라고 불린다.X의 실제 분포 F를 알 수 없는 경우 랜덤 변수 X의 점근성 꼬리 분포를 제공한다.극단값 이론의 첫 번째 정리(Fisher-Tippett-Gnedenko 정리)와는 달리, 여기서 관심은 임계값 이상의 값에 있다.

조건부 초과분포함수

만일 우리가 임의 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 알려지지 않은 분포 $함수{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$을(를) 고려한다면$,$ 우리는 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 조건부 분포 함수 $F{\displaystyle {}_{}}$ $u {\$ $u$을(를) 특정 임계값$u{\displaystyle }$}보다 높게 추정하는 데 관심이 있다.이른바 조건부 초과분포함수로서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F_{u}(y)=P(X-u\leq y)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}}}}}$

for ${\displaystyle 0\leq y\leq x_{F}-u}$, where ${\displaystyle x_{F}}$ is either the finite or infinite right endpoint of the underlying distribution ${\displaystyle F}$. The function ${\displaystyle F_{u}}$ describes the distribution of the excess value over a threshold ${\disp$임계값을 초과한 경우 $laystyle u$

성명서

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ , …${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots$ )}은$($는) 독립적이고 동일하게 분포된 랜덤 변수의 시퀀스가 되고$$, $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\$은(는) 조건부 초과분포함수가 되도록$$ 한다.피칸즈(1975), 발케마, 드한(1974)은 다수의 기본 분포 함수 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$및 대형 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\$에 대해 일반화된 파레토 분포에 의해 충분히 근사하게 추정된다고$$ 주장했다.즉,

${\displaystyle F_{u}(y)\오른쪽 화살표 G_{k,\sigma }(y), {\text{{}는 }u\오른쪽 화살표 \infit}}}$

어디에

• ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\sigma {}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{y}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle k}$ y${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sigma {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$$sigma$ $)^{-1$$/k}},$ $k{\displaystyle }$$$${\displaystyle \ne }$ $0인 경우.$
• ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ,${\displaystyle {\sigma }_{}}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$-${\displaystyle e^{}}$ /${\displaystyle {\sigma }^{}}$ ${\$ $\}\}\},$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle k=0.$$}$

여기서 σ > 0, k ≥ 0일 때는 y ≥ -σ/k일 때는 y ≥. k < 0. 일반화된 파레토 분포의 특수한 경우는 권력법이기 때문에 피간즈-발케마-데 하안 정리는 극한 사건을 모델링하는 데 있어서 권력법의 사용을 정당화하는 데 쓰이기도 한다.그러나 정규 분포와 로그 정규 분포와 같은 많은 중요한 분포는 점근법적으로 힘-법률인 극단값 꼬리가 없다.

파레토 분포의 일반화 특례

• $평균$이$$if {\$displaystyle \sigma }$인 지수 분포$($k = 0인 경우).
• ${\displaystyle \mathrm{k}}$ = -1인 경우$$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,\sigma ]}$에 대한 균일한 분포.
• 파레토 분포, k > 0일 경우.

관련 과목

안정분포

참조

• A의 발케마와 L.의 데 하안(1974년)."고령기의 지속적 수명", 확률 연보 2, 792–804.
• 피칸즈, J. (1975)"극한 순서 통계를 이용한 통계 추론", 통계 연보, 3, 119–131.