일반화 파레토 분포

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일반화 파레토 분포

확률밀도함수 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu =0}$에 대한 GPD 분포 함수 및 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$과(와) ${\displaystyle \xi}$의 다른 값
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \mu \in }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$위치$$(실제) ${\displaystyle \sigma }$(${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$척도$$(real) ${\displaystyle \xi }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$ 모양$$(실제)
지원	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$ $\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\basma /\xi \;(\xi <0)}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\proxma }}}}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}}}$ 여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle x\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$
CDF	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
평균	${\displaystyle \mu +{\frac {\becma }{1-\xi }\,\(\xi <1)}$
중앙값	${\displaystyle \mu +{\frac {\becma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
모드	$\displaystyle \mu }$
분산	${\displaystyle {\frac {\proxma ^{2}}:{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}\,\(\xi <1/2)}$
왜도	${\displaystyle {\frac{2(+\xi ){\sqrt{1-2\xi }}{{(1-3\xi )}\,\;(\xi <1/3)}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac {3(1-2\xi)}(2\xi ^{2}+\xi +3)}{{1-3\(1-4\xi )},\;(\xi <1/4)}$
엔트로피	${\displaystyle \log(\displayma )+\xi +1}$
MGF	${\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\frac {(\theta \sigma )^{j}{\prod _{k=0}^{j}}(1-k\xi <1)}$
CF	${\displaystyle e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\flac{{\prod}{{k=0}^{j}(1-k\xi )}\;(k\xi <1)}$
모멘트의 방법	${\displaystyle \xi ={\frac {1}{1}:{2}}: 왼쪽(1-{\frac {(E[X]-\mu )^{2}}:{V[X]}}}\오른쪽)}$ ${\displaystyle \sigma =(E[X]-\mu )(1-\xi )}$

통계에서 일반화된 파레토 분포(GPD)는 연속 확률 분포의 한 계열이다. 그것은 종종 다른 분포의 꼬리를 모형화하는 데 사용된다. 위치 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ $\},$ 척도 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$ $\},$ 형상 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$의 세 가지 매개변수로 지정된다$.$^[1][2] 때로는 척도와 형상만^[3], 형상 매개변수만 지정하기도 한다. 일부 참조에서는 형상 모수를 $\kappa {\displaystyle }$= -${\displaystyle \xi }$ ${\$로 표시한다$.$^[4]

정의

GPD의 표준 누적분포함수(cdf)는 다음과^[5] 같이 정의된다.

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{pase}1-\좌측(1+\xi z\오른쪽)^{-1/\xi }&{\text{}}}}}}}}}}{}\xi }0의 경우 \nech.\end{case}}}$

여기서 지원은${\displaystyle }\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$에 대한$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 0$(\$$displaystyle \xi \geq$ 0$})$이고, < 0 {\$displaystyle 0$$\$$leq -1/\xi }}$에 $대한{\displaystyle \mathrm{}}$ 0$$≥ $(\$$displaystytle$ z$leq$$-1$/\$xi })$이다 해당 확률밀도함수(pdf)는

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\base}(1+\xi z)^{-{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{}}}}}}}}}}}}{}\xi =0의 경우.\end{case}}}$

특성화

관련 위치 척도 분포 계열은 인수 $z$를${\displaystyle \frac{}{}}$x - ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$로 교체하고$$ 그에 따라 지지대를 조정하여 얻는다.

The cumulative distribution function of ${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$ (${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma >0}$, and ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$) is

${\displaystyle F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

where the support of ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ when ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$, and ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ when ${\displaystyle \xi <0}$.

$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle G}$ P ${\displaystyle D(\mu }$ ,${\displaystyle \mu }$ , σ ,${\displaystyle \xi }$)의 확률밀도함수(pdf) ${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi$)는$$

${\displaystyle f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$,

${\displaystyle \mathrm{다시}}$ x$$$\mu {\displaystyle }$${\displaystyle \mu }$$[\displaystyle$ $\$$xi$ \$geqslant$0$}$일 때 x $\mu s{\displaystyle }$ ${\displaystyle x\mathrm{\mu s}}$ -${\displaystyle }$$μs$ - \ / ${\displaystyle mu}$ {\$displaystyle \leqslant \mu$ -$\cslima$$/xi$일 때.

pdf는 다음과 같은 미분방정식의 해법이다.^{[citation needed]}

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}$

특례

• 형상 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$과 위치 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 모두 0이면$$ GPD는 지수 분포와 동일하다.
• With shape ${\displaystyle \xi >0}$ and location ${\displaystyle \mu =\sigma /\xi }$, the GPD is equivalent to the Pareto distribution with scale ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ and shape ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$.
• If ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$, then ${\displaystyle Y=\log(X)\sim exGPD(\sigma ,\$$xi )}$ $[$1] (exGPD는 지수화된 일반화된 파레토 분포를 의미한다.)
• GPD는 Burr 분포와 유사하다.

일반화된 Pareto 랜덤 변수 생성

GPD 랜덤 변수 생성

U가 (0, 1)에 균일하게 분포되어 있는 경우,

${\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma(U^{-\xi }-1)}{\xi }}}{\xi }}\심 GPD(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)}$

그리고

$\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi =0).}$

두 공식 모두 cdf의 역순으로 구한다.

Matlab Statistics Toolbox에서는 "gprnd" 명령을 쉽게 사용하여 일반화된 Pareto 난수를 생성할 수 있다.

지수-감마 혼합물로서의 GPD

GPD 랜덤 변수는 감마 분산 속도 매개변수와 함께 지수 랜덤 변수로 표현될 수도 있다.

$\displaystyle X \Lambda \sim Exp(\Lambda )}$

그리고

$\displaystyle \Lambda \sim Gamma(\alpha ,\beta )}$

그때

${\displaystyle X\sim GPD(\xi =1/\alpha,\\sigma =\beta /\alpha )}$

그러나, 감마 분포에 대한 모수가 0보다 커야 하므로$$, 다음과 같은 추가 제한사항을 얻는다: ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }.$

지수 일반화 파레토 분포

지수 일반화된 Pareto 분포(exGPD)

If ${\displaystyle X\sim GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$, then ${\displaystyle Y=\log(X)}$ is distributed according to the exponentiated generalized Pareto distribution, denoted b$Y$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$ $e$${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}${\$displaystyle exGPD$$}({\$displaystyle \sigma }, }, $【\$$displaystyle$$\xi$${\displaystyle }$}}}, $\}).$

The probability density function(pdf) of ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )\,\,(\sigma >0)}$ is

${\displaystyle g_{(\sigma ,\xi )}(y)={\begin{cases}{\frac {e^{y}}{\sigma }}{\bigg (}1+{\frac {\xi e^{y}}{\sigma }}{\bigg )}^{-1/\xi -1}\,\,\,\,{\text{for }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{y-e^{y}/\sigma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

where the support is ${\displaystyle -\infty <y<\infty }$ for ${\displaystyle \xi \geq 0}$, and ${\displaystyle -\infty <y\leq \log(-\sigma /\xi )}$ for ${\displaystyle \xi <0}$.

모든 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$에 대해 로그 ${\displaystyle \log \sigma }$ ${\displaystyle \log \sigma }$이(가) 위치 매개 변수가 된다$$. ▼ ${\displaystyle \xi}$ 모양이 양수인$$ 경우 PDF에 대한 오른쪽 패널을 참조하십시오.

exGPD는 모든 > ${\displaystyle \sigma >0$$}$ 및 -< $<\displaystyle$ -$\infult$<\$xi$<\$infulty })$에 대해 모든 주문의 모멘트가 유한하다

$Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle \sigma }$ ,${\displaystyle \xi }$)$${\$displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$의 모멘트 생성 기능은 다음과 같다$$.

${\displaystyle M_{Y}s=E[e^{sY}]={\begin{경우}-{\frac{1}{\xi}}{\bigg(}-{\frac{\sigma}{\xi}}{\bigg)}(s+1,-1/\xi)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}};0,\\{\frac{1}{\xi}}{\bigg(}{\frac{\sigma}{\xi}}{\bigg)}(s+1,1/\xi -s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}}(-1,1/\xi),\xi 을 s\in, 0,\\\sigma ^{s}\Gamma(1+s)\,\,\(-1,\infty),\xi<>s\in.,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi =0,\end{cases}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $B{\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle B(a,b)}$ 및$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$은 각각 베타 함수와 감마 함수를 나타낸다$$.

The expected value of ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$ depends on the scale ${\displaystyle \sigma }$ and shape ${\displaystyle \xi }$ parameters, digamma 기능을 통해 ${\displaystyle \xi}$이(가) 참여하는$$ 동안:

${\displaystyle E[Y]={\begin{경우}\log){\bigg(}-{\frac{\sigma}{\xi}}{\bigg)}+\psi(1)-\psi(-1/\xi+1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}}\xi<>0,\\\log){\bigg(}{\frac{\sigma}{\xi}}{\bigg)}+\psi(1)-\psi(1/\xi)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}}\xi>0,\\\log \sigma +\psi(1.)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{case}}}$

$\xi {\displaystyle (}$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle \xi \in(-\inflt ,\inflt$ $)\}$의 고정 값에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 로그 ${\displaystyle }$ ⁡ ${\displaystyle \text{σ}}$ ${\displaystyle \log \sigma }$이(가)가 일반화된 Pareto 분포에서 위치 매개 변수로 재생된다는$$ 점에 유의하십시오.

The variance of ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$ depends on the shape parameter ${\displaystyle \xi }$ only through the polygamma function of order 1 (also trigamma 함수 호출:

${\displaystyle Var[Y]={\begin{경우}\psi '(1)-\psi '(-1/\xi+1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}}\xi<>0,\\\psi '(1)+\psi '(1/\xi)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}}\xi>0,\\\psi '(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{에}.}\xi)0.\end{case}}$

$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$의 함수로 분산을 보려면 오른쪽 패널을 참조하십시오.${\displaystyle {<img\; alt="\backslash xi\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.03ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="343">}^{}}\psi {\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$) =${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle 1.64434}$ ${\displaystyle \psi$'(1)=\$pi ^{2$}/$6\$ 약$1.644934$

Note that the roles of the scale parameter ${\displaystyle \sigma }$ and the shape parameter ${\displaystyle \xi }$ under ${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$ are separably interpretable, which may lead to a robust efficient estimation for the ${\displaystyle \xi }$ than using the ${\displaystyle X\sim }$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle \sigma }$ ,${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle X\sim GPD(\sigma ,\xi )}$[2]. The roles of the two parameters are associated each other under ${\displaystyle X\sim GPD(\mu =0,\sigma ,\xi )}$ (at least up to the second central moment); see the formula of variance ${\displaystyle Var(X)}$ wherein both parameters are participated.

힐의 추정기

Assume that ${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$ are ${\displaystyle n}$ observations (not need to be i.i.d.) from an unknown heavy-tailed distribution ${\displaystyle F}$ such that its tail distribution is regularly varying with the tail-index ${\displaystyle 1/\$$xi }($으) (으) 해당 형상 모수는 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ 입니다.$$ 구체적으로 말하면, 꼬리 분포는 다음과 같이 설명된다.

${\displaystyle {\bar{F}(x)=1-F(x)=L(x)\cdot x^{-1/\xi }}\,\,\,\,\,\,{\text{}}}}}일부 }\xi >0,\,\,{\text{{{{}}}}}}}{\text{{}}}}}}}}}}}은 서서히 변화하는 기능이다.}}}$

형상 모수 ${\displaystyle \xi}$를 추정하는 것은 특히$$$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$가 양수일$$ 때(즉, 헤비테일 분포라고 함) 극단값 이론에 특히 관심이 있다.

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 조건부 초과 분포 함수로 한다$$. Pickands–Balkema–de Haan theorem (Pickands, 1975; Balkema and de Haan, 1974) states that for a large class of underlying distribution functions ${\displaystyle F}$, and large ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle F_{u}}$ is well approximated by the generalized Pareto distribution (GPD), which motivated Peak Over Thresh$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 추정하는 기존(POT) 방법$:$ GPD는 POT 접근방식에서 핵심적인 역할을 한다.

POT 방법론을 이용한 유명한 추정자는 힐의 추정기다. 힐 평가기의 기술적 공식은 다음과 같다. For ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, write ${\displaystyle X_{(i)}}$ for the ${\displaystyle i}$-th largest value of ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$. Then, with this notation, the Hill's estimator (see page 190 of Reference 5 by Embrechts et al [3]) based on the ${\$$displaystyle k}$ 상한$$ 순서 통계는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\widehat {\xi }_{k}^{\text{힐}}}={\widehat{\xi }}_{k}^{\text{Hill}}(X_{1:n})={\frac {1}{k-1}}\sum _{j=1}^{k-1}\log {\bigg (}{\frac {X_{(j)}}{X_{(k)}}}{\bigg )},\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}2\leq k\leq n.}$

실제로 힐 추정기는 다음과 같이 사용된다. 먼저 추정기 ${\displaystyle {\stackrel{}{^}k}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{Hill}}_{}^{}}$ ${\${\text$}}$을(를) 계산하십시오.$힐}}}$ 각 ${\displaystyle \mathrm{정수}}$ $k{\displaystyle }$ k${\displaystyle \{2}$,${\displaystyle \cdots ,}$ n ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle k\in \{2,\cdots,n$에서 순서 쌍${\displaystyle \{(k,}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {\stackrel{}{}k}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}{\text{Hill}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 2n {\$displaysty \(k,$ \$widehat{xi_}}}}}}}{k^{$k^{\$text$}}}}{\text}}})를 표시하십시오$.$$힐}}}\}_{k=2}^{$n$\}\}\}.$ 그런 ${\displaystyle {다음}_{}^{}}$ 힐 추정기 집합에서 선택한다$widehat{\xi }}^{k$}}{\$text{{$$}}$$Hill}}\}_{k=2}^{n}}$ which are roughly constant with respect to ${\displaystyle k}$: these stable values are regarded as reasonable estimates for the shape parameter ${\displaystyle \xi }$. If ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$ are i.i.d., then the Hill's estimator is a consistent estimator for the sh$ape{\displaystyle }$ 매개 변수 ▼ ${\displaystyle \xi$4].

Hill Estimator ${\displaystyle {\xi }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$k $Hill$ {\displaystyle {\$widehat {\xi }_{k}^{\text${\text$}}$$Hill}}}$ makes a use of the log-transformation for the observations ${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$. (The Pickand's estimator ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Pickand}}}$ also employed the log-transformation, but in a slightly different way [5].)

참고 항목

• 버르 분포
• 파레토 분포
• 일반화된 극단값 분포
• 지수 일반화 파레토 분포
• 피칸스-발케마-데 하안 정리

참조

추가 읽기

• Pickands, James (1975). "Statistical inference using extreme order statistics". Annals of Statistics. 3 s: 119–131. doi:10.1214/aos/1176343003.
• Balkema, A.; De Haan, Laurens (1974). "Residual life time at great age". Annals of Probability. 2 (5): 792–804. doi:10.1214/aop/1176996548.
• Lee, Seyoon; Kim, J.H.K. (2018). "Exponentiated generalized Pareto distribution:Properties and applications towards extreme value theory". Communications in Statistics - Theory and Methods. 48 (8): 1–25. arXiv:1708.01686. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. S2CID 88514574.
• N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions Volume 1, second edition. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-58495-7. 20장 12장: 일반화된 파레토 분포
• Barry C. Arnold (2011). "Chapter 7: Pareto and Generalized Pareto Distributions". In Duangkamon Chotikapanich (ed.). Modeling Distributions and Lorenz Curves. New York: Springer. ISBN 9780387727967.
• Arnold, B. C.; Laguna, L. (1977). On generalized Pareto distributions with applications to income data. Ames, Iowa: Iowa State University, Department of Economics.

외부 링크

• 수학 워크스: 일반 파레토 분포