피셔-티펫-그네덴코 정리

통계학에서 피셔-티펫-그네덴코 정리(Fisher-Tippett-Gnedenko theorem, 또는 극값 정리)는 극한값 이론에서 극한값 통계의 점근적 분포에 관한 일반적인 결과입니다. 적절한 재규격화 후 iid 랜덤 변수 표본의 최대치는 Gumbel 분포, Fréchet 분포 또는 Weibull 분포의 세 가지 가능한 분포 계열 중 하나에만 분포적으로 수렴할 수 있습니다. 극값 정리와 그 수렴 세부 사항에 대한 공은 Fréchet(^[1]1927), Fisher and Tippett(1928),^[2] Mises(1936) ^[3][4]및 Gnedenko(1943)에게 주어집니다.^[5]

최대에 대한 극한 유형 정리의 역할은 평균에 대한 중심 극한 정리와 유사하지만, 중심 극한 정리는 유한 분산을 갖는 모든 분포의 표본의 평균에 적용되는 반면, 피셔-티펫-그네덴코 정리는 정규화된 최대의 분포가 수렴하면, 한계는 분포의 특정 클래스 중 하나여야 합니다. 정규화된 최대값의 분포가 수렴한다는 것을 명시하지 않았습니다.

진술

X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$,$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle X_{}}$ n $displaystyle$\ $X_{1}, X_{2},\ldots, X_{n}\ }$를 각각의 누적 분포 함수가 F. {\$displaystyle$\ F$~$라고 가정합니다.$}$실수 > ${\displaystyle$\ $a_{n}> 0\}$와 $b$ $∈$ R ${\displaystyle$\ $b_{n$}\in $\mathbb${R} \}에 두 개의 수열이 존재한다고 가정하면, 다음과 같은 한계가 비퇴적 분포 함수로 수렴됩니다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\boldsymbol {\mathcal {P}}}\left\{{\frac {\ \max\{X_{1},\dots ,X_{n}\}-b_{n}\ }{a_{n}}}\leq x\ \right\}=G(x)\ ,}$

또는 이와 동등한 경우:

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\Bigl(})\F\left(\a_{n}\x+b_{n}\\right){\Bigr )}^{n}=G(x)~.}$

이러한 상황에서 제한 분포 ${\displaystyle G}$ ${\$\ $G\}$는 Gumbel, Fréchet 또는 Weibull 분포 계열에 속합니다$$.^[6]

즉, 위 한계가 수렴하면 좌표 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle$ G$(x)}$의 선형 변화까지 다음 형태 중 하나를 가정합니다$$.^[7]

${\displaystyle {}_{}{G}_{}\gamma }$ ${\displaystyle {(}_{}}$x ) ${\displaystyle ={}_{}}$exp ${\displaystyle }$$($ - $1$ + γ x )${\displaystyle {}_{}}$( - γ ) ) {\displaystyle G_{\gamm${\displaystyle a_{}}$}(x)=\exp \left(-{\Bigl${\displaystyle {\mathrm{(\}1+\backslash }}_{}}$gamma \x{\Bigr )}^{\${\displaystyle {\mathrm{le}}_{}}$ft ({\tfrac {-1${\displaystyle {\mathrm{\backslash ;\}\{\backslash g}}_{}}$amma }\ri${\displaystyle {\mathrm{ght)\backslash }}_{}}$quad }에${\displaystyle {대}_{}}$해 γ ≠ 0, {\displayst${\displaystyle {\mathrm{yle}}_{}}$\qu${\displaystyle {\mathrm{ad\; \backslash n}}_{}}$gamma \n$eq 0\,}$

with the non-zero parameter ${\displaystyle \ \gamma \ }$ also satisfying ${\displaystyle \ 1+\gamma \ x>0\ }$ for every ${\displaystyle \ x\ }$ value supported by ${\displaystyle \ F\ }$ (for all values ${\displaystyle \ x\ }$ for which ${\displaystyle \$$F(x)\n$$eq$ 0\$}$ $$). 그렇지 않으면 다음과 같은 형식을 갖습니다.

${\displaystyle {}_{}{}_{}}$γ $=$ 0에 대한 G 0${\displaystyle {(}_x}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}exp}$ ⁡( -$exp$ ⁡( - $x$) {\$displaystyle$ G_{${\displaystyle 0_{}}$}(x)=\exp {\bigl(}\ -${\displaystyle {\mathrm{\backslash e}}_{}}$xp (${\displaystyle {\mathrm{-x)\}\backslash }}_{}}$quad }. {\displayst${\displaystyle {\mathrm{yle}}_{}}$\q${\displaystyle {\mathrm{uad\; \backslash ga}}_{}}$mma =0~}

이는 극값 $지수$γ을 갖는 일반화된 극값 분포(GEV)의 누적 분포 함수입니다. ${\$displaystyle$$\gamma ~.\ } GEV 분포는 Gumbel, Fréchet 및 Weibull 분포를 단일 합성 형태로 그룹화합니다.

수렴조건

피셔-티펫-그네덴코 정리는 위의$$ 한계 분포 G${\displaystyle \text{(}x}$), ${\displaystyle$\ G$(x)\,}$의 수렴에 대한 진술입니다. $G {\$\ G$\}$를 일반화된 극값 분포의 특정 경우에 수렴하기 위한 조건에 대한 연구는 Mises(1936)^[3][5][4]에서 시작되었으며 Gnedenko(1943)에 의해 더욱 발전되었습니다.^[5]

${\displaystyle F}$ ${\$\ $F\}$를 ${\displaystyle X\text{,}}$ ${\displaystyle$\ X$\,}$ 및 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle$\ $X_{1},\dots, X_{n}$의 분포 함수라고$$ 하자.

${\displaystyle 또한}$ x ${\displaystyle {\mathsf{m}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{x}}_{}}$ $displaystyle$\ $x_{\mathsf {max}}\$}를 모집단 최대로 설정합니다. x ≡ { ∣ F(x ) < 1}.${\displaystyle \ x_${\$mathsf${max$}\equiv \sup \{\ x\$mid\ F(x)< 1\}~.\ }

위의$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 의해 주어진 정규화된 샘플 최대값의 제한 분포는 다음과 같습니다.^[7]

프레셰트 분포 ${\displaystyle \ \left(\ \gamma >0\ \right)}$

엄밀하게 양의γ > 0인 경우, ${\displaystyle$\gamma > 0\,} 제한 분포가 수렴하는 경우 및 경우에만

${\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}=\infty \ }$

그리고.

${\displaystyle \underset{}{}\underset{lim}{}}$ $→ ∞ 1$ - F (단위) 1 - ${\displaystyle \underset{}{F}}$ (t ) =${\displaystyle \underset{}{}}$u ( - γ) {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty}{\frac {\1-F(u\t)\}{1-${\displaystyle \underset{}{F}}$(t)}} =u^{\left({\tfrac ${\displaystyle \underset{}{\{-1~\}\{}}$\gamma }\right)}\ } 모든 u > 0에 대해 {\displaystyle \ u > 0.}

이 경우, 정리 조건을 만족시킬 수 있는 가능한 수열은

${\displaystyle b_{n}=0}$

그리고.

${\displaystyle \a_{n}={F^{-1}}\!\!\left(1-{\tfrac {1}{\ n\ }}\right)~.}$

엄밀하게 양의$$γ {\$displaystyle$\gamma $\}$는 무거운 꼬리 분포라고 불리는 것에 해당합니다.

검벨분포 ${\displaystyle \ \left(\ \gamma =0\ \right)}$

자명한 γ = 0,$$${\displaystyle$\ gamma =0\,}이고 x max {\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}\}인 경우 유한하거나 무한한 경우에만 제한 분포가 수렴합니다.

${\displaystyle \ \lim _{t\rightarrow x_{\mathsf {max}}}{\frac {\ 1-F{\bigl (}\ t+u\ {\tilde {g}}(t)\ {\bigr )}\ }{1-F(t)}}=e^{-u}\ }$ for all ${\displaystyle \ u>0\ }$

와 함께

${\displaystyle \ {\tilde {g}}(t)\equiv {\frac {\int_{t}^{x_{\mathsf {max}}{\Bigr}}\\Bigrm {d}\s\{1-F(t)}~.}$

여기서 가능한 시퀀스는

${\displaystyle \b_{n}={F^{-1}}\!\!\left(\ 1-{\tfrac {1}{\ n\ }}\ \right)\ }$

그리고.

${\displaystyle \a_{n}={\tilde {g}}{\Bigl(}\;{F^{-1}}\!\!\left(\ 1-{\tfrac {1}{\ n\ }}\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

웨이불 분포 ${\displaystyle \ \left(\ \gamma <0\ \right)}$

엄밀하게 음의γ < 0 ${\displaystyle$\gamma <0\}의 경우 제한 분포는 다음과 같은 경우에만 수렴합니다.

$x$< $∞$ ${\displaystyle$\ $x_{\mathsf {max$}}\$<\$ \quad } (유한)

그리고.

${\displaystyle \ \lim _{t\rightarrow 0^{+}}{\frac {\ 1-F\!$$\left(\ x_{\mathsf {max}-u\ t\ \right)\}{1-F(\ x_{\mathsf {max}-t\ )}}=$$u$^{\left $({$\tfrac {-1~}{\ \$gamma$ \}\right)}\ } 모든 u > 0에$대해$ {\displaystyle \ u>0~}

이 경우 ${\displaystyle \frac{\mathrm{지수항}}{}}$- 1${\displaystyle }$γ {\$displaystyle$ \ ${\tfrac${-1~}{\ \gamma$$\}}\}는 γ ${\$displaystyle $\$gamma \ }가$$엄밀하게 ${\displaystyle 음수}$이므로 엄밀하게 양수입니다.

여기서 가능한 시퀀스는

${\displaystyle \ b_{n}=x_{\mathsf {max}}\ }$

그리고.

${\displaystyle \a_{n}=x_{\mathsf {max}}-{F^{-1}}\!\!\left(\1-{\frac {1}{\n\}}\ \right)~.}$

두$$ 공식$(검벨$ 분포)은 γ ${\$displaystyle \gamma \ }가 0이 될 때 첫 번째(프레셰 분포)의 한계입니다.

예

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프레셰트 분포

코시 분포의 밀도 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\ \pi ^{2}+x^{2}\ }}\ ,}$

그리고 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F(x)={\frac {\1\}{2}}+{\frac {1}{\pi \}}\arctan \left ({\frac {x}{\pi \}}\right)~.}$

약간의 미적분학은 오른쪽 꼬리의 누적 분포 ${\displaystyle 1}$- F ${\displaystyle (x}$) ${\$\ $1-F (x)\}$가 ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{},\frac{}{}}$ ${\displaystyle$\ ${\frac {1}{\$ x$\}\,}$ 또는$$

${\displaystyle \ln F(x)\rightarrow {\frac {-1~}{\x\}}\quad {\mathsf {~as~}}\quad x\rightarrow \infty \,}$

그래서 저희가.

${\displaystyle \ln \left(\ F(x)^{n}\right)=n\\ln F(x)\sim -{\frac {-n~}{\x\}}~.}$

그래서 우리는

${\displaystyle F(x)^{n}\approx \exp \left({\frac {-n~}{\x\}}\right)}$

그리고 x n - $1$ ${\displaystyle$\$u\equiv {\frac${x$}{\n\}}-$1\}(그리고 ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ 설명은 생략합니다)를 ≡합니다.

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\Bigl(})\F(n\u+n)^{n}\{\Bigr)}=\exp \left ({\tfrac {-1~}{\1+u\}}\right)=G_{1}(u)\ }$

${\displaystyle 임의}$의 u에 대하여${\displaystyle \text{.}}$ ${\displaystyle \u~.}$$$ 따라서 기대되는 최대값은 n에 따라 선형적으로 증가합니다.

검벨분포

누적 분포 함수를 사용하여 정규 분포를 취하겠습니다.

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left ({\frac {-x~}{\\\sqrt {2\}}\}\}\right)~.}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \ln F(x)\rightarrow -{\frac {\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\}{\sqrt {2\pi \}\x}}\quad {\mathsf {~as~}}\quad x\rightarrow \infty}$

그리하여

${\displaystyle \ln \left(\F(x)^{n}\right)=n\ln F(x)\rightarrow -{\frac {\n\exp \left (-{\tfrac {1}{2}}{2}}x^{2}\right)\}{\sqrt {2\pi \}}\x}}\quad {\mathsf {~as~}\quad x\rightarrow \infty ~}$

그래서 우리는

${\displaystyle F(x)^{n}\approx \exp \left(-\\frac {\n\ \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\}{\sqrt {2\pi \}\x\}\right)~.}$

${\displaystyle c_{}}$ $displaystyle \c_{n}\}$를 정확하게 만족시키는 값으로$$ 정의하면

${\displaystyle {\frac {\ n\exp \left(-\ {\tfrac {1}{2}}c_{n}^{2}\right)\ }{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ c_{n}\ }}=1\ ,}$

${\displaystyle 그런}$ 다음 x =$$ {\displaystyle \ x = c_{n}\ $}$ 즈음에

${\displaystyle {\frac {\n\ \exp \left (-\{\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\}{\sqrt {2\pi \}}\x}}\approx \exp \left(\c_{n}\(c_{n}-x)\\right)~.}$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$\ $n\ }$이 증가함에 따라 이것은 c (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$\ $c_{n}\ (c_{n}-x)\}$의 더 넓고 넓은 ${\displaystyle 범위}$의 ${\displaystyle c_{}}$에 대한 좋은 근사치가 되므로 ${\displaystyle c_{}}$(c${\displaystyle }$n$$- x ) ${\displaystyle$\ $u\equiv c_{n}\ (c_{$n}-x)\ }를 ≡${\displaystyle 하면}$ 다음과 같습니다.

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\biggl(})\F\left({\tfrac {u}{~c_{n}\}}+c_{n}\right)^{n}\ {\biggr )}=\exp \!{\Bigl (}-\exp(-u){\Bigr )}=G_{0}(u)~.}$

그에 상응하는,

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\boldsymbol {\mathcal {P}}\{\Biggl(}{\frac{\\max\{X_{1}}\\ldots,\X_{n}\c_{n}\}-{}-{n}\}{\left ({\frac {u}{~c_{n}\}\right)}\lequ{\Biggr}}=\exp \!\\\Bigl (}-\exp(-u){\Bigr )}=G_{0}(u)~.}$

이 결과로, ${\displaystyle 우리}$는 $ln$ ≈ c ⁡ ln ⁡ ln ⁡ ln 2 n 2 {\displaystyle \ln c_{n}\ 근사 {\frac {\\ln \ln n\}{2}\} 다음이 필요하다는 것을 소급하여 봅니다.

${\displaystyle c_{n}\approx {\sqrt {2\ln\}}\,}$

따라서 최대는 무한대를 향해 더 천천히 올라갈 것으로 예상됩니다.

웨이불 분포

가장 간단한 예를 들어 0과 1 사이의 균일한 분포와 누적 분포 함수를 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle }$0에서 1 사이의 임의의 x 값에 대해 ${\displaystyle F(x}$) = ${\$displaystyle F${\displaystyle (}$x) = x\ }.

${\displaystyle x}$ → 1 {\$displaystyle$\ $x\$\ $rightarrow \$ 1\ $}$ 의 값의 경우

${\displaystyle \ln {\Bigl(}\F(x)^{n}\{\Bigr )} = n\ \ln F(x)\ \rightarrow \ n\ (\1-x\ )~.}$

$따라서$ x ≈ 1 ${\displaystyle$\ $x\approx$ 1\}의 경우

${\displaystyle \ F(x)^{n}\approx \exp(\n\ x-n\ )~.}$

${\displaystyle \text{1}}$+ n${\displaystyle }$(1$$- x ) ${\displaystyle \u\equiv$ 1+$n\ (\$1 - x\ )\ }을 ≡하고, 다음을 구합니다.

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\Bigl(}\F\!\left({\tfrac {\ u\ }{n}}+1-{\tfrac {\ 1\ }{n}}\right)\ {\Bigr )}^{n}=\exp \!{\bigl (}\ -(1-u)\ {\bigr )}=G_{-1}(u)~.}$

이 한계를 자세히 조사하면 기대되는 최대값이 n에 반비례하여 1에 가까워짐을 알 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

더보기

• Lee, Seyoon; Kim, Joseph H.T. (8 March 2018). "Exponentiated generalized Pareto distribution". Communications in Statistics – Theory and Methods (online ed.). 48 (8): 2014–2038. arXiv:1708.01686. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. ISSN 1532-415X – via tandfonline.com.