점공정작업

확률과 통계에서 점 공정 연산이나 점 공정 변환은 점 공정으로 알려진 무작위 객체에 대해 수행되는 수학 연산의 일종으로, 흔히 공간에 랜덤하게 위치한 점으로 나타낼 수 있는 현상의 수학적 모델로 사용된다.이러한 연산은 순전히 무작위일 수도 있고 결정론적일 수도 있고 둘 다일 수도 있으며, 새로운 점 공정을 구성하는 데 사용되며, 이는 수학적 모델로도 사용될 수 있다.운영에는 점 프로세스에서 점을 제거하거나 얇게 만드는 작업, 여러 점 프로세스를 한 점 프로세스로 결합 또는 중첩하는 작업 또는 점 프로세스의 기본 공간을 다른 공간으로 변환하는 작업이 포함될 수 있다.점 공정 운영 및 결과 점 공정은 점 공정 이론과 확률 기하학 및 공간 통계와 같은 관련 분야에 사용된다.^[1]

는 지점 과정 중 특히 편리한 결과를 낳을 한가지 과정이 푸아송 지점 process,[2]는 푸아송 포인트 과정은 종종 수학적 폐쇄의 형식을 나타내는 경우 그러한, 한 지점을 프로세스 연산을 적용한 프와송 지점 과정, 제공했다 일부 조건에 점을 프로세스 연산, t.그결과 과정은 종종 또 다른 포아송 점 공정 연산이 될 것이고, 따라서 그것은 종종 수학 모델로 사용된다.^[2][1]

포인트 프로세스 연산은 적용된 랜덤 포인트 프로세스 연산의 수가 무한대에 근접함에 따라 수학적 한계에서 연구되어 왔다.이것이 포인트 프로세스 운영의 융합 이론으로 이어졌는데, 포인트 프로세스 운영은 1940년대 코니 팜(Conny Palm)과 이후 1950년대와 1960년대 알렉산드르 킨친(Alexandr Khinchin)의 선구적 작업에서 기원을 가지고 있으며, 이들은 둘 다 실제 라인에서 포인트 프로세스를 연구한 것으로, 일반적으로 전화의 도착과 대기이론을 연구하는 맥락에서 비롯되었다.^[3]원래 점 공정과 점 공정 연산이 특정한 수학적 조건을 만족한다면, 점 공정 연산이 공정에 적용됨에 따라, 결과 점 공정은 평균 점 수를 제공하는 비랜덤 평균 측정치가 있으면 포아송 점 공정처럼 확률적으로 더 많이 행동하게 된다.일부 지역에 위치한 포인트 프로세스.즉, 적용된 연산의 수가 무한대에 가까워짐에 따라 한계에서 점 프로세스는 포아송 점 공정으로 분포(또는 약하게) 수렴하거나, 또는 그 측정이 무작위 측정인 경우 Cox 점 공정으로 수렴한다.^[4] 그 후 갱신 과정을 위한 팜-킨친 정리 같은 수렴 결과도 다양한 현상의 수학적 방법으로 포아송 포인트 프로세스를 사용하는 것을 정당화하는 데 사용된다.

점 공정 표기법

점 과정은 어떤 기초적인 수학적 공간에 무작위로 흩어져 있는 점들의 집합을 나타내기 위해 사용될 수 있는 수학적 객체들이다.그들은 다양한 종류의 점 공정 표기법에 의해 반영되는 많은 해석을 가지고 있다.^[1][5]예를 들어, 점 $x{\displaystyle }$ ${\$이(가) $N{\displaystyle }$ ${\$에 의해 표시된 점 프로세스에$$ 속하거나 해당인 경우,^[1] 다음과 같이 기록할 수 있다$.$

${N}에서 {\displaystyle \textstyle x\in {N}$

점 공정을 랜덤 집합으로 나타낸다.또는 일부 보렐 세트 $B{\displaystyle }$ ${\$ $\textstyle${$N$$}$에 있는 $N{\displaystyle }$ ${\$$\textstyle$ B$}$의 포인트 수는 다음과 같이 기록되는 경우가$$ 많다.^[1][6][7]

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

점 공정에 대한 랜덤 측정 해석을 반영한다.

점 과정은 기초적인 수학 공간에 정의될 필요가 있다.점 공정이 보다 추상적인 수학적 공간에서 정의될 수 있지만$,$ $종종{\displaystyle {}^{}}$ 이 공간은 ${\displaystyle R^{}}$ d ${\${\$textbf{R}^{d}}$에 의해 여기서 가리키는 d차원 유클리드 공간이다.^[4]

운영의 예

확률 기하학, 공간 통계 및 관련 분야에서 점 공정을 가진 적합한 모델을 개발하기 위해 얇아지는 것, 중첩되는 것, 매핑(혹은 공간의 변형), 클러스터링, 무작위 변위 등 점 공정에서 수행할 수 있는 유용한 변환이 많다.^[2][1][7][8]

얇아지기

씬닝 작업에는 사전 정의된 $규칙$을 사용하여$$포인트 $프로세스$ N ${\displaystyle$\textstyle{$N$$}}$에서 포인트를 제거하여$$ 새로운 포인트 프로세스 ${\displaystyle {}_{}}$p {\$displaystyle$ \$textstyle{N}_{p$}}}}를 형성하는 작업이 수반된다$.$이러한 간벌 규칙, 즉, 무작위가 아닌 경우, 그 중 하나 -thinning{\textstyle p\displaystyle}가장 단순한 규칙 p으로 알려져 해서 이:N{\displaystyle \textstyle{N}의[1]각 지점}독립적으로(현재나 과거에)어떤 확률 p{\textstyle p\displaystyle}(또는 1− 우편으로 제거하다 결정론적일 것 {$\displaystyle \textstyle 1-p}$ $$.위치 종속 $p{\displaystyle (}$ $){\$$displaystyle p($x)\leq 1}을$$(를) 정의하기 위해$$ 비음수 함수 $p{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle p(x)\$$leq$ 1$}$을(를) 도입하여 이 규칙을 일반화할 수 있으며 여기서 점이 제거될 확률은 p (${\displaystyle }x{\displaystyle }$ )${\$이고 의존적이다$$.t는 기본 $공간$에$$N {\$displaystyle \textstyle{$N}의 포인트가 있는$$ 곳에 위치한다.추가적인 일반화는 얇아지는 확률 $p{\displaystyle }$ ${\$ 랜덤$$ 자체를 갖는 것이다.

이 세 가지 연산은 모두 독립된 희박화의 유형이며, 이는 점 사이의 교호작용이 점을 제거(또는 유지)하는 위치에 영향을 미치지 않음을 의미한다.또 다른 일반화는 포인트 프로세스의 다른 포인트와 관련하여 포인트 프로세스의 위치에 따라 포인트 프로세스의 포인트가 제거(또는 유지)되는 종속적인 씬화를 포함한다.씬닝은 씬 포인트 공정에서 각 포인트의 일정 반경 내에서 포인트가 존재하지 않는 하드코어 프로세스(씬닝으로 인한)와 같은 새로운 포인트 프로세스를 만드는 데 사용할 수 있다.^[1]

중첩

중첩 연산은 둘 이상의 점 공정을 하나의 기초 수학적 공간이나 상태 공간에 결합하는 데 사용된다.포인트 프로세스 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$… ${\$}의 카운트 가능한 집합 또는 집합이 있는$$ 경우, 평균 ${\displaystyle {측정치\mathrm{}}_{}}$ $\lambda 1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,$\$이 있는 경우$,$ 해당 위치.

${\displaystyle {N}=\bigcup _{i=1}^{\\infit }{N}_{i}}}$

또한 포인트 프로세스를 형성한다.이 표현식에서 중첩 연산은 점 프로세스의 무작위 집합 해석을 암시하는 세트 유니언)으로 표시된다. 자세한 내용은 점 공정 표기법을 참조하십시오.

포아송 점 공정 사례

각 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 포아송 점 공정인$$ 경우, 결과 공정 $N{\displaystyle }$ ${\$도 평균 강도를 갖는 포아송 점 공정이다$$.

$\displaystyle \Lambda =\sum \limits _{i=1}^{\inflt }\lambda _{i}.}$

클러스터링

클러스터링으로 알려진 점 연산은 주어진 점 프로세스 $N{\displaystyle }$ ${\$에서 점 $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$의 클러스터로 모든 점 $x$를 대체하는 것을 수반한다$.$ 각 클러스터도 점 프로세스지만 점 수는 한정되어 있다.모든 군집의 결합이 군집 점 프로세스를 형성한다.

${\displaystyle {N}_{c}=\빅컵 _{x\in{{N}}N^{x}.}$

종종 클러스터 $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$은(는) 각 집합이 독립적이고 동일한 분포인 모든 유한 점 집합이라고$$ 가정한다.또한 원래 포인트 프로세스 $N{\displaystyle }$ ${\$이(가) 일정한 강도 $intensity{\displaystyle }$ ${\$을(를$)$ 갖는 경우 클러스터 $포인트{\displaystyle {}_{}}$ 프로세스의 강도 N c {\$displaystyle \textstyle {N}_{c}$은(${\displaystyle {}_{}}$)가 될 것이다.

${\displaystyle \lambda _{c}=c\c\lambda ,}$

여기서 상수 $c{\displaystyle }$ ${\$은(는) 각 $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$에 있는 점 수의 평균이다$.$

임의변위 및 번역

수학 모델은 기초 수학 공간의 일부 위치에서 다른 위치로 점 과정의 임의로 이동점을 요구할 수 있다.^[2]이 점 공정 연산을 임의 변위^[2] 또는 변환이라고 한다.^[4]프로세스의 각 지점이 프로세스의 다른 모든 지점으로 이동되거나 독립적으로 변환되는 경우, 운영은 독립된 변위 또는 변환을 형성한다.^[4]일반적으로 모든 무작위 번역은 공통 확률 분포를 가지고 있다고 가정한다. 따라서 변위는 기초 수학 공간에서 독립적이고 동일하게 분포된 랜덤 벡터 집합을 형성한다.

포인트 프로세스에 임의의 변위나 번역을 적용하는 것은 예를^[2] 들어 생태나 무선 네트워크 등에서 물체의 이동성을 위한 수학적 모델로 사용될 수 있다.^[5]

변위 정리

변위 정리라고^[2] 알려진 결과는 포아송 점 공정의 임의 독립 변위(동일한 기초 공간에 위치)가 또 다른 포아송 점 과정을 형성한다고 효과적으로 말한다.

공간의 변형

유용한 것으로 여겨지는 또 다른 속성은 한 기초 공간에서 다른 공간으로 점 프로세스를 매핑하는 능력이다.예를 들어 평면 R에² 정의된 점 공정을 데카르트 좌표에서 극좌표로 변환할 수 있다.^[2]

지도 정리

매핑(또는 변환)이 어떤 조건을 고수한다면, 매핑 정리라고^[2] 알려진 결과는 원래 프로세스가 어떤 강도 측정을 가진 포아송 점 프로세스라면, 결과 매핑(또는 변환된) 점 집합도 다른 강도 측정과 함께 포아송 점 프로세스를 형성한다고 말한다.

포인트 프로세스 운영의 융합

어떤 점 공정에서 한 번 수행된 점 연산은 일반적으로 반복적으로 수행될 수 있다.점 프로세스 이론에서, 수행된 운영의 수가 무한대에 가까워짐에 따라 결과 점 프로세스의 행동을 수렴 결과를 통해 연구하기 위한 결과가 도출되었다.^[4]예를 들어, 일반적인 점 프로세스의 각 점이 특정 무작위적이고 독립적인 방식으로 반복적으로 변위되는 경우 비공식적으로 말하면 새로운 점 프로세스는 점점 더 포아송 점 과정을 닮아갈 것이다.박리 및 중첩(기반 공간의 적절한 재스케일링 포함)의 연산을 위해 유사한 수렴 결과가 개발되었다.^[4]

참조