포인트 스프레드 함수

Point spread function
공초점 현미경에서의 이미지 형성: 중앙 종방향(XZ) 슬라이스.3D 획득 분포는 PSF를 사용한 실제 광원의 합성으로부터 발생한다.
음수(위), 0(중앙) 및 양수(아래) 구면 수차가 있는 시스템에서 이미징된 점 소스입니다.왼쪽 이미지는 안쪽으로, 오른쪽 이미지는 바깥쪽으로 포커스가 흐려집니다.

PSF(Point Spread Function)는 포인트 소스 또는 포인트 개체에 대한 영상 시스템의 응답을 나타냅니다.PSF의 보다 일반적인 용어는 시스템의 임펄스 응답이며, PSF는 초점 광학 시스템의 임펄스 응답입니다.많은 컨텍스트에서 PSF는 단일 점 객체를 나타내는 이미지에서 확장된 블럽으로 간주할 수 있습니다.기능적인 측면에서, 이것은 영상 시스템의 광전송 기능의 공간 영역 버전입니다.이것은 푸리에 광학, 천체 이미징, 의료 이미징, 전자 현미경 및 3D 현미경(공초점 레이저 주사 현미경처럼) 및 형광 현미경과 같은 기타 이미징 기술에서 유용한 개념입니다.

점 객체의 확산(거품) 정도는 영상 시스템의 품질에 대한 척도입니다.형광현미경, 망원경 또는 광학현미경과 같은 비코히런트 이미징 시스템에서 이미지 형성 프로세스는 이미지 강도가 선형이며 선형 시스템 이론에 의해 설명됩니다.즉, 2개의 오브젝트 A와 B가 동시에 촬상되었을 때, 결과 이미지는 독립적으로 촬상된 오브젝트의 합계와 같습니다.즉, A의 이미징은 B의 이미징에 영향을 받지 않으며, 광자의 비상호작용성 때문에 그 반대도 마찬가지이다.공간 불변 시스템, 즉 PSF가 촬상 공간 내의 모든 장소에서 동일한 시스템에서 복잡한 물체의 화상은 실제 물체와 PSF의 합성이다.PSF는 회절 적분으로부터[1] 도출할 수 있습니다.

서론

광학 비코히런트 이미징 시스템의 선형성 특성, 즉

이미지(객체1 + 객체2) = 이미지(객체1) + 이미지(객체2)

현미경이나 망원경에 있는 물체의 이미지는 물체 평면장을 2D 임펄스 함수에 대한 가중치 합계로 표현하고, 그리고 나서 이러한 임펄스 함수의 이미지에 대한 가중치 합계로 표현함으로써 계산될 수 있다.이를 중첩 원리라고 하며 선형 시스템에 유효합니다.개별 물체 평면 임펄스 함수의 이미지는 점 확산 함수라고 불리며, 물체 평면 내의 빛의 수학적 점이 이미지 평면에서 유한한 영역을 형성하기 위해 퍼져 있다는 사실을 반영합니다(수학과 물리학의 일부 분기에서 이것들은 그린의 함수 또는 임펄스 응답 함수라고 할 수 있습니다)..

PSF 적용: 수학적으로 모델링된 PSF와 저해상도 이미지의 디콘볼루션으로 [2]해상도가 향상됩니다.

개체가 다양한 명암을 가진 개별 점 개체로 분할되면 영상이 각 점의 PSF 합계로 계산됩니다.PSF는 일반적으로 영상촬영 시스템(현미경 또는 망원경)에 의해 전적으로 결정되므로 시스템의 광학 특성을 알면 전체 이미지를 설명할 수 있습니다.이 이미징 프로세스는 보통 컨볼루션 방정식으로 공식화됩니다.현미경 화상 처리 및 천문학에서 측정 장치의 PSF를 아는 것은 디콘볼루션으로 (원래의) 물체를 복원하기 위해 매우 중요하다.레이저 빔의 경우 가우스 [3]빔의 개념을 사용하여 PSF를 수학적으로 모델링할 수 있습니다.예를 들어 수학적으로 모델링된 PSF와 화상의 디콘볼루션에 의해 특징의 가시성이 향상되고 이미징 [2]노이즈가 제거된다.

이론.

점 확산 함수는 객체 평면의 위치와 독립적일 수 있으며, 이 경우 이동 불변량이라고 합니다.또, 시스템에 왜곡이 없는 경우는, 다음과 같이 배율 M을 개입시켜 대상 평면 좌표와 직선적으로 관련지어진다.

, i ) ( , o) { (_ { , y { i } ) = ( { , _ {o )

영상촬영 시스템이 반전된 영상을 생성하는 경우 영상 평면 좌표 축이 대상 평면 축에서 반전된 것으로 간주할 수 있습니다.PSF가 시프트 불변이고 왜곡이 없다는 이 두 가지 전제 하에 이미지 플레인 컨볼루션 적분을 계산하는 것은 간단한 프로세스입니다.

수학적으로 객체 평면 필드를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

즉, 가중 임펄스 함수에 대한 합계로서, 이는 2D 델타 함수의 체적 특성(아래에서 더 자세히 논의)에 불과하지만,위의 형태로 물체 투과율 함수를 다시 쓰면, 우리는 각각의 개별 임펄스 함수의 화상의 중첩으로서, 즉 물체 평면과 같은 함수를 사용하여, 즉, O o)와 같은 가중치 함수의 중첩으로서 화상 평면 필드를 계산할 수 있다.o) { O 수학적으로 이미지는 다음과 같이 표현됩니다.

i / - , y/ -) { {{ } ( _ { } / M - , y { i }/ M - v )는 임펄스 함수 δ (xo - u , yo - v )의 이미지입니다.

2D 임펄스 함수는 아래 그림과 같이 "사각형 기둥" 함수의 한계(측면 치수 w가 0인 경향이 있음)로 간주할 수 있습니다.

사각 기둥 기능

오브젝트 평면이 이와 같은 정사각형 영역으로 분해되어 각각에 관련된 정사각형 기둥 함수가 있다고 가정합니다.기둥 높이 h를 1/w로2 유지하면 측면 치수 w가 0이 되기 때문에 부피(적분)가 1로 일정하게 유지되도록 높이 h가 무한대가 된다.이것은 2D 임펄스(위 방정식에 내포된)에 체적 특성을 부여합니다. 즉, 2D 임펄스 함수 δ(x - u, y - v)가 다른 연속 함수 f(u, v)에 대해 통합될 때 임펄스 위치(xy)에서 f의 값을 "변환"합니다.

완벽한 점 소스 객체의 개념은 PSF 아이디어의 중심입니다.그러나 완벽한 수학적 점 소스 라디에이터는 자연계에 존재하지 않습니다. 개념은 완전히 비물리적이며 오히려 광학 이미징 시스템을 모델링하고 이해하기 위해 사용되는 수학적 구조입니다.점 소스 개념의 유용성은 2D 물체 평면의 점 소스가 완벽한 균일한 진폭의 구형 파동, 즉 구면 어디에서나 균일한 강도로 완전히 구형 바깥으로 이동하는 위상 전선을 방출할 수 있다는 사실에서 비롯된다(Huygens-Fresnel 원리 참조).이러한 균일한 구형파의 출처는 아래 그림에 나와 있습니다.또한 완벽한 점 소스 라디에이터는 전파 평면파의 균일한 스펙트럼뿐만 아니라 기하급수적으로 감소하는(이벤트성) 파동의 균일한 스펙트럼을 방사하며, 이러한 스펙트럼이 1개의 파장보다 미세한 분해능을 담당합니다(푸리에 광학 참조).이는 2D 임펄스 함수에 대한 다음 푸리에 변환 식에서 나옵니다.

렌즈에 의한 구형파 절단

2차 렌즈는 이 구형 파형의 일부를 가로채 영상 평면의 흐린 점에 다시 초점을 맞춥니다.단일 렌즈의 경우 대상 평면의 축상 점 소스는 이미지 평면에 Airy 디스크 PSF를 생성합니다.(푸리에 광학, Huygens-Fresnel 원리, Fraunhofer 회절 참조) 평면 물체에 의해 방사되는 필드(또는 평면 이미지로 수렴되는 필드)가 푸리에 변환(FT) 관계를 통해 대응하는 소스(또는 이미지) 평면 분포와 관련되어 있음을 나타낼 수 있습니다.또, (한쪽의 FT 도메인내의) 원형 영역상의 균일한 함수는, 다른쪽의 FT 도메인내의 J(x)/x 에 대응하고1 있습니다.여기서1 J(x)는 제1 종류의 1차 베셀 함수입니다.즉, 수렴하는 균일한 구형파를 통과하는 균일한 조명의 원형 개구부는 초점 평면에서 에어리 디스크 이미지를 생성합니다.샘플 에어리 디스크의 그래프가 옆 그림에 나타나 있습니다.

에어리 디스크

따라서 위 그림에 표시된 수렴(부분) 구형 파형은 영상 평면에 Airy 디스크를 생성합니다.J(x)/x 함수의1 인수는 Airy 디스크의 스케일링(즉, 이미지 평면에서의 디스크 크기)을 결정하기 때문에 중요합니다.δ가max 수렴파가 렌즈 축과 이루는 최대 각도이고 r이 영상 평면에서 반경 거리이고 δ = 파장인 파수 k = 2µ/θ이면 함수의 인수는 kr tan(δmax)입니다.δ가max 작을 경우(수집된 구형파의 일부만 이미지를 형성할 수 있음), 함수의 전체 인수가 중앙 지점에서 멀어지기 전에 반경 거리 r이 매우 커야 합니다.즉, δ가max 작으면 에어리 디스크는 큰 것이다(이것은 푸리에 변환 쌍에 대한 하이젠베르크의 불확도 원리에 대한 또 다른 진술일 뿐이며, 즉 한 영역의 작은 범위가 다른 영역의 넓은 범위에 해당하며, 두 영역은 공간 대역폭 곱을 통해 관련된다).이것에 의해, 일반적으로 (Abe 사인 조건에 의해서) 작은max 값을 가지는 고배율 시스템은, 넓은 PSF에 의해서, 화상의 흐릿함이 더 커질 수 있습니다.PSF의 크기는 배율에 비례하기 때문에 상대적으로 흐림이 심하지는 않지만 절대적인 의미에서 확실히 심합니다.

위 그림은 렌즈에 의한 입사 구면파의 절단을 나타내고 있습니다.렌즈의 점 확산 함수 또는 임펄스 응답 함수를 측정하기 위해 공간의 모든 방향으로 완벽한 구형파를 방사하는 완벽한 점 소스가 필요하지 않습니다.이는 렌즈의 대역폭 또는 절편 각도가 유한하기 때문입니다.따라서 소스에 포함된 각도 대역폭은 렌즈의 가장자리 각도를 넘어 확장됩니다(즉, 시스템의 대역폭 밖에 있습니다).렌즈가 이를 처리하기 위해 가로채지 못하기 때문에 기본적으로 소스 대역폭이 낭비됩니다.그 결과, 완벽한 점 확산 함수를 측정하기 위해 완벽한 점 소스가 필요하지 않다.필요한 것은 테스트하는 렌즈와 같은 각도의 대역폭을 가진 광원뿐입니다(물론 각도의 섹터에서 균일합니다).즉, 렌즈의 엣지 각도보다 반각이 큰 수렴(균일한) 구형파에 의해 생성되는 점 소스만 있으면 됩니다.

영상 시스템의 분해능이 제한적이기 때문에 측정된 PSF에는 [4]불확실성이 없습니다.촬상 시에는 아포다이제이션 기술에 의해 촬상빔의 측엽을 억제하는 것이 바람직하다.가우스 빔 분포가 있는 전송 영상 시스템의 경우, PSF는 다음 [5]방정식으로 모델링됩니다.

어디 k-factor는 방사 조도의 절단 비율과 수준에 따라 나디아는 개구 수, 빛의 c속도, 영상 처리 빔 참조파의, 이르의 기복이 있는 조정 요인 및 빔의 해당하는 z-의 센터에서 ρ{\displaystyle \rho}은 반지름 방향 위치의 f는 광자 주파수.p차선

이력 및 방법

점 확산 함수의 회절 이론은 19세기에 에어리에 의해 처음 연구되었다.그는 이상 현상이 없는 완벽한 기기의 점 확산 함수 진폭 및 강도에 대한 식을 개발했습니다(이른바 에어리 디스크).최적 초점면에 가까운 수차 점 확산 함수의 이론은 1930-40년대에 Zernike와 Nijboer에 의해 연구되었다.이들의 분석에서 중심적인 역할은 회전 대칭을 가진 광학계의 수차를 효율적으로 표현할 수 있는 Zernike의 원 다항식에 의해 이루어집니다.최근 분석 결과에 따라 Nijboer와 Zernike의 점 확산 함수 평가 접근방식을 최적 초점 주변의 큰 부피로 확장할 수 있게 되었다.이 확장된 Nijboer-Zernike(ENZ) 이론은 비이상적 영상 조건 하에서 공초점 현미경 또는 천문학에서 3차원 물체의 불완전한 영상을 연구할 수 있게 한다.ENZ 이론은 또한 스루포커스 강도 분포를 측정하고 적절한 역문제를 해결함으로써 수차에 대한 광학 기기의 특성화에도 적용되었다.

적용들

현미경 검사

63x1.4를 사용한 공초점 현미경에서 실험적으로 도출된 점 확산 함수의 예NA 오일 목표.Huygens Professional 디콘볼루션 소프트웨어를 사용하여 생성되었습니다.표시된 것은 xz, xy, yz 및 3D 표현입니다.

현미경 검사에서 PSF의 실험적인 결정은 하위 분해능(포인트 유사) 방사 선원을 필요로 한다.양자점이나 형광 비즈는 보통 이러한 [6][7]목적으로 고려됩니다.한편, 상기와 같은 이론 모델을 사용하면 다양한 영상 조건에 대한 PSF를 상세하게 계산할 수 있습니다.일반적으로 PSF의 가장 콤팩트한 회절제한 형상이 바람직하다.단, 적절한 광학소자(예를 들어 공간광변조기)를 사용함으로써 PSF의 형상을 다른 용도로 엔지니어링할 수 있다.

천문학

허블우주망원경의 WFPC 카메라의 광학계 보정 전 포인트 스프레드 기능.

관측 천문학에서, PSF의 실험적인 결정은 종종 점 소스(별 또는 퀘이사)의 충분한 공급으로 인해 매우 간단하다.PSF의 형태와 출처는 계측기와 사용 상황에 따라 크게 다를 수 있습니다.

전파망원경 및 회절제한 우주망원경의 경우 PSF의 지배적인 용어는 푸리에 영역의 개구부 구성으로부터 추론할 수 있다.실제로는 복잡한 광학계의 다양한 컴포넌트에 의해 복수의 용어가 관여하는 경우가 있습니다.PSF에 대한 완전한 설명에는 검출기의 빛(또는 광전자) 확산뿐만 아니라 우주선이나 망원경의 오류 추적도 포함된다.

지상 광학 망원경의 경우, 대기 난기류(천문학적 관측으로 알려져 있음)가 PSF에 대한 기여도를 지배한다.고해상도 지상 촬영에서 PSF는 종종 영상의 위치에 따라 달라집니다(비등행성 효과라고 함).지상 적응 광학 시스템에서 PSF는 시스템의 개구부와 보정되지 않은 대기 조건의 [8]잔여 조합입니다.

리소그래피

중복된 PSF 피크피크가 파장/NA당 1개까지 가까워지면 효과적으로 병합됩니다.이 시점에서 FWHM은 약 0.6 파장/NA입니다.

또한 PSF는 기존의 홀 [9]초점 이미징에 대한 기본적인 제한이며, 최소 인쇄 크기는 0.6~0.7 파장/NA 범위이며, NA는 이미징 [10][11]시스템의 수치 개구부입니다.예를 들어 파장이 13.5nm, NA=0.33인 EUV 시스템의 경우 촬상할 수 있는 최소 개별 구멍 크기는 25~29nm 범위이다.위상 편이 마스크에는 [9]더 미세한 분해능을 제공하는 180도 위상 에지가 있습니다.

안과

포인트 스프레드 기능은 최근 임상 안과에서 유용한 진단 도구가 되었습니다.환자는 Shack-Hartmann 파면 센서를 사용하여 측정되며, 특수 소프트웨어는 환자의 눈에 대한 PSF를 계산합니다.이 방법을 사용하면 의사가 환자의 잠재적 치료를 시뮬레이션하고 이러한 치료가 환자의 PSF를 어떻게 변화시키는지 추정할 수 있습니다.또한 PSF를 측정하면 적응형 광학 시스템을 사용하여 PSF를 최소화할 수 있습니다.이것은 CCD 카메라 및 적응 광학 시스템과 함께 원추형 광수용체와 [12]같이 생체 내에서 달리 볼 수 없는 해부학적 구조를 시각화하는 데 사용될 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Progress in Optics. Elsevier. 2008-01-25. p. 355. ISBN 978-0-08-055768-7.
  2. ^ a b Ahi, Kiarash; Anwar, Mehdi (May 26, 2016). Anwar, Mehdi F; Crowe, Thomas W; Manzur, Tariq (eds.). "Developing terahertz imaging equation and enhancement of the resolution of terahertz images using deconvolution". Proc. SPIE 9856, Terahertz Physics, Devices, and Systems X: Advanced Applications in Industry and Defense, 98560N. Terahertz Physics, Devices, and Systems X: Advanced Applications in Industry and Defense. 9856: 98560N. Bibcode:2016SPIE.9856E..0NA. doi:10.1117/12.2228680. S2CID 114994724.
  3. ^ Ahi, Kiarash; Anwar, Mehdi (May 26, 2016). Anwar, Mehdi F; Crowe, Thomas W; Manzur, Tariq (eds.). "Modeling of terahertz images based on x-ray images: a novel approach for verification of terahertz images and identification of objects with fine details beyond terahertz resolution". Proc. SPIE 9856, Terahertz Physics, Devices, and Systems X: Advanced Applications in Industry and Defense, 98560N. Terahertz Physics, Devices, and Systems X: Advanced Applications in Industry and Defense. 9856: 985610. Bibcode:2016SPIE.9856E..10A. doi:10.1117/12.2228685. S2CID 124315172.
  4. ^ Ahi, Kiarash; Shahbazmohamadi, Sina; Asadizanjani, Navid (July 2017). "Quality control and authentication of packaged integrated circuits using enhanced-spatial-resolution terahertz time-domain spectroscopy and imaging". Optics and Lasers in Engineering. 104: 274–284. Bibcode:2018OptLE.104..274A. doi:10.1016/j.optlaseng.2017.07.007.
  5. ^ Ahi, K. (November 2017). "Mathematical Modeling of THz Point Spread Function and Simulation of THz Imaging Systems". IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology. 7 (6): 747–754. Bibcode:2017ITTST...7..747A. doi:10.1109/tthz.2017.2750690. ISSN 2156-342X. S2CID 11781848.
  6. ^ 은진공의 얇은 층의 미세한 구멍을 통해 투과되거나 슬라이드나 커버슬립에 화학적으로 퇴적된 빛도 사용되었습니다.이 빛은 밝고 광 표백이 되지 않기 때문입니다.S. Courty; C. Bouzigues; C. Luccardini; M-V Ehrensperger; S. Bonneau & M. Dahan (2006). "Tracking individual proteins in living cells using single quantum dot imaging". In James Inglese (ed.). Methods in Enzymology: Measuring biological responses with automated microscopy, Volume 414. Academic Press. pp. 223–224. ISBN 9780121828196.
  7. ^ P. J. Shaw & D. J. Rawlins (August 1991). "The point-spread function of a confocal microscope: its measurement and use in deconvolution of 3-D data". Journal of Microscopy. 163 (2): 151–165. doi:10.1111/j.1365-2818.1991.tb03168.x. S2CID 95121909.
  8. ^ "POINT SPREAD FUNCTION (PSF)". www.telescope-optics.net. Retrieved 2017-12-30.
  9. ^ a b 자연스러운 해상도
  10. ^ 광현미경법의 원리와 실천
  11. ^ 모서리 반올림 및 선단 단축
  12. ^ Roorda, Austin; Romero-Borja, Fernando; Iii, William J. Donnelly; Queener, Hope; Hebert, Thomas J.; Campbell, Melanie C. W. (2002-05-06). "Adaptive optics scanning laser ophthalmoscopy". Optics Express. 10 (9): 405–412. Bibcode:2002OExpr..10..405R. doi:10.1364/OE.10.000405. ISSN 1094-4087. PMID 19436374. S2CID 21971504.