포코즈하프의 정체성

《포코자예프》의 정체성은 비선형 슈뢰딩거 방정식이나 비선형 클라인-고든 방정식에 대한 고정된 국부적 해법에 의해 충족되는 일체적 관계다.그것은 S.I.에 의해 획득되었다. 《포코즈하프^[1]》는 처녀정리와 비슷하다.이 관계는 D로도 알려져 있다.H. 데릭의 정리.유사한 정체성은 다른 수학 물리학 방정식에 대해 도출될 수 있다.

고정 비선형 슈뢰딩거 방정식의 포코즈하프 아이덴티티

여기에 H. 베레스티키와 P.L. 라이온즈로 인한 일반적인 형태가 있다.^[2]

$g{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle g(s)}$을(를) 연속적이고 실제 값으로 하고$$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ g$(0)=0$ 데노테 G${\displaystyle (}$ $s{\displaystyle )}$=${\displaystyle {}_{0초\mathrm{}}^{}}$ g${\displaystyle ({}_{}^{})}$ d ${\displaystyle t}$ ${\displaysty G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,d$

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

방정식의 해법이 되다

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle -\displayla ^{2}u=g(u$

분배의 관점에서그러면 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 관계를 충족함$$

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathb {R} ^{n} \nabla u(x) ^{2}\,dx=n\int _{\mathb {R} ^{n}G(u(x)\,dx.}$

고정 비선형 디락 방정식의 포코즈하프 아이덴티티

Let ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\,N\in \mathbb {N} }$ and let ${\displaystyle \alpha ^{i},\,1\leq i\leq n}$ and ${\displaystyle \beta }$ be the self-adjoint Dirac matrices of size ${\displaystyle N\times N}$:

$\displaystyle \cHB\i1}{j}+\cHB ^{j}\cHB ^{i}=2\cHB _{ij}I_{N},\quad \beta ^{2}=I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\leq i,j\leq n.}$

Let ${\displaystyle D_{0}=-\mathrm {i} \alpha \cdot \nabla =-\mathrm {i} \sum _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ be the massless Dirac operator.Let ${\displaystyle g(s)}$ be continuous and real-valued, with ${\displaystyle g(0)=0}$. Denote ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$. Let ${\displaystyle \phi \in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathb$$b {C} ^{N}}$은(는) 비선형 Dirac 방정식의 고정 형태를 만족하는 스핀러 값 솔루션이며$$,

$\displaystyle \ophi =D_{0}\phi +g(\phi ^{\ast }\beta \phi )\beta \phi ,}$

분포의 관점에서, 일부${\displaystyle \Omega \mathbb{}}$ R ${\$ \in $\mathb {R$ 가정해보자.

${\displaystyle \phi \phi \in H^1}(\mathb {R} ^{n},\mathb {C} ^{N}),\qquad G(\phi ^{\ast \beta \pi )\in L^1}(\mathb {R} ^{n} ^{n}}{n}).}$

그런 $다음{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \phi }$이(가) 관계를 충족함$$

${\displaystyle \omega \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }\phi (x)\,dx={\frac {n-1}{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.}$

참고 항목

• 처녀정리
• 데릭의 정리

참조