다상 행렬

신호 처리에서 다상 행렬은 요소가 필터 마스크인 행렬이다.서브밴드 코더 별칭 이산형 파플릿 변환에 사용되므로 필터 뱅크를 나타낸다.^[1]

${\displaystyle h}$, g ${\$이(가) 두 개의 필터인 경우, ${\displaystyle 전통적}$인 wavelet 변환은 ${\displaystyle {입력\mathrm{}}_{}}$ 신호를 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 $매핑하며{\displaystyle {}_{}}$, 각 절반 길이$:$

${\displaystyle {\cdot a_{0}&=(h\cdot a_{0})\d_{1}&=(g\cdot a_{0}}\downarrow 2\ended}}}}}}}}}}$

점은 다항식 곱셈을 의미한다는 점에 유의하십시오. 즉, 콘볼루션과$$and {\$displaystyle \scriptstyle \downarrow }$은(는) 다운샘플링을 의미한다$$.

위의 공식이 직접 구현되면 다운샘플링에 의해 이후에 플러시되는 값을 계산한다.파장 변환 전에 필터와 신호를 균등하고 홀수 인덱스된 값으로 분할하여 계산을 피할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mbox{e}}&=h\downarrow 2&a_{0,{\mbox{e}}}&=a_{0}\downarrow 2\\h_{\mbox{o}}&=(h\leftarrow 1)\downarrow 2&a_{0,{\mbox{o}}}&=(a_{0}\leftarrow 1)\downarrow 2\end{aligned}}}$

화살표 $\leftarrow {\displaystyle }$ ${\$과${\displaystyle }$→ ${\$은 각각 좌우 이동을 나타낸다.그것들은 사실 변화된 이산 델타 임펄스와 함께 경련을 일으키기 때문에 경련과 같은 우선 순위를 가져야 한다.

${\displaystyle \cHB =(\displaystyle,0,0,{\\\poset {0-{\mbox{th position}}}{1}{1},0,\position )}$

분할 필터로 개편된 파장 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=h_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+h_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\\d_{1}&=g_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+g_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\end{aligned}}}$

이것은 매트릭스 벡터 곱하기라고 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}P&={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}&h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\g_{\mbox{e}}&g_{\mbox{o}}\rightarrow 1\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}a_{1}\\d_{1}\end{pmatrix}}&=P\cdot {\begin{pmatrix}a_{0,{\mbox{e}}}\\a_{0,{\mbox{o}}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

이 행렬 $P{\displaystyle }$ ${\$은 다상 행렬이다.

물론 다상 행렬은 어떤 크기든 가질 수 있어, 사각형을 가질 필요는 없다.즉, 원리는 모든 필터 뱅크, 멀티웨이브, 파장 변환에 잘 확장된다.

특성.

다상 행렬에 의한 서브밴드 코딩의 표현은 쓰기 단순화에 관한 것 이상이다.그것은 매트릭스 이론과 모듈 이론의 많은 결과의 적응을 가능하게 한다.다음 속성은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\$매트릭스에$$ 대해 설명되지만 더 높은 차원으로 균등하게 확장된다.

반전성/완벽한 재구성

다상 행렬이 여과된 데이터에서 처리된 신호를 재구성할 수 있는 경우를 완벽한 재구성 속성이라고 한다.수학적으로 이것은 부정성과 동등하다.고리에 대한 행렬의 변위성 정리에 따르면 다상 행렬의 결정인자가 크론커 델타일 경우에만 다상 행렬은 변위성이며, 한 값을 제외하고 도처에 0이다.

${\displaystyle{\begin{aigned}\det P&=h_{\mbox{e}\cdot g_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}\exists A\A\cdot P&=\cdot;\cdot;I\iff \exists c\ \exists k\\\det P=cdot \delta \rightarrow k\end}}}$

크레이머의 규칙에 의해 $P{\displaystyle }$ ${\$의 역행은 즉시 주어질 수 있다$$.

${\displaystyle P^{-1}\cdot \det P={\begin{pmatrix}g_{\mbox{o}}\오른쪽 화살표 1&-h_{\mbox{e}}{\mbox{e}}\mbox{pmatrix}}}}}}}}}}}$

직교성

Orthogonality는 조정 행렬 $P{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$도 P ${\$의 역행렬임을 의미한다$.$부선 행렬은 부선 필터가 있는 전치 행렬이다.

${\displaystyle P^{*}={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}^{*}{*}}\&g_{\mbox{e}^{\mbox}}}}\좌측 화살표 1&g_{\mbox{o}}}}}}}{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{pmatrix}}}}}}}.$

그것은 입력 신호의 유클리드 규범이 보존된다는 것을 암시한다.즉, 그에 따른 웨이브렛 변환은 등측량법이다.

${\displaystyle \eft\a_{1}\right\ _{2}^{2}+\left\d_{1}\right\ _{2}^{2}=\{0}\right\ _{2}^{2}}}:{2}}:$

직교 조건

$[\displaystyle P\cdot P^{*}=I}$

적어 둘 수 있다

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mbox{e}}^{*}\cdot h_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot h_{\mbox{o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=0\end{aligned}}}$

연산자 규범칙

비직교 다상 행렬의 경우 출력이 가정할 수 있는 유클리드 규범에 대한 의문이 발생한다.이것은 운영자 규범의 도움에 의해 제한될 수 있다.

$\displaystyle \forall x\p\p\p\cdot x\right\ _{2}\in \eft[\ft\p^{-1}\cdot \ x\_{2}\p\{2}\cdot \x\{2}\{2}\cdot \x\right]}$

$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\$ 2$\,\times \2}$ 다상$$ 행렬의 경우, 유클리드 운영자 규범은 Probenius 규범 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$ 및 z 변환 $Z{\displaystyle }$ ${\\$를 사용하여 명시적으로 지정할 수 있다$.$^[2]

${\displaystyle{\begin{정렬}(z)&, ={\frac{1}{2}}\cdot \left\ ZP(z)\right\ _ᆵ^ᆶ\\q(z)&, =\left P\ _{2}& ^{2}\\\ \det[ZP(z]\right, =\max \left\ᆹ-q(z)}}}}:z\in \mathbb{C})\land)z=1\right\}\\\left\ P^{)}\right\ _{2}^{)}&, =\min \left\ᆾ-q(z)}}}}:z\in \mathbb{C})\land.)z=1\right\}\end{정렬}}}$

이것은 연산자 규범을 z 변환과 행렬의 스펙트럼 반경 또는 그에 따른 스펙트럼 규격을 통해 얻을 수 있는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ 행렬의$$ 특별한 경우다.

${\displaystyle {\begin}\왼쪽\P\오른쪽\{2}&={\sqrt {\max\lambda _{\text{max}\왼쪽[Z]P^{*}(z)\cdot ZP(z)\오른쪽]:z\in \mathbb {C} \ \land \ z =1\right\}}}\\&=\max \left\{\left\ ZP(z)\right\ _{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ z =1\right\}\\[3pt]\left\ P^{-1}\right\ _{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\오른쪽]:z\in \mathbb {C} \land \z =1\right\}}}\end{arged}}}}$

이러한 한계를 가정하는 신호는 고유값의 최대화와 최소화에 해당하는 고유 벡터에서 도출할 수 있다.

리프팅 방식

다상 행렬의 개념은 행렬 분해를 허용한다.예를 들어 추가 매트릭스로 분해하면 리프팅 계획이 이루어진다.^[3]그러나 필터가 필터가 필드가 아닌 콘볼루션에 대해 링을 형성하기 때문에 LU나 QR 분해와 같은 고전적 매트릭스 분해는 즉시 적용할 수 없다.

참조