완전한 동종 대칭 다항식

수학에서, 특히 대수적 결합법과 정류적 대수에서, 완전한 동종 대칭 다항식은 특정한 종류의 대칭 다항식이다.모든 대칭 다항식은 완전한 동종 대칭 다항식으로 표현될 수 있다.

정의

$n$ 변수 $X 1, \dots,$ $X$ 에서_n 도 $k$ 의 완전한 동질 대칭 다항식은 $k$ = $0,$ 1, 2 $,$ …에 대해 $h$ 라고_k 쓴 것은 변수에 포함된 전체 도 $k$ 의 모든 단항 합이다.형식적으로.

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}}.

공식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=k \atop l_{i}\geq 0}X_{1}^{l_{1}}X_{2}^{l_{2}}\cdots X_{n}^{l_{n}}.

실제로, $l$ 은_p $i$ 의_k 순서에서 $p$ 의 다중성일 뿐이다.

이 다항식 중 처음 몇 개는

{\begin{aligned}h_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\[10px]h_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\h_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq n}X_{j}X_{k},\\h_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l}.\end{정렬}}

따라서 음이 아닌 각 정수 $k$ 에 대해 n $변수$ 에는 도 $k$ 의 완전한 동종 대칭 다항식이 정확히 한 개씩 존재한다.

정의를 다시 쓰는 또 다른 방법은 $i p$ ≤ $i p + 1$ :를 주문하는 조건 없이 모든 시퀀스 $i$ 에_k 대한 합계를 취하는 것이다.

h_{1}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}=\sum_{1\leq i_{1},i_{2},\cdots,i_{k}\lqn}{\frac {m_!m_{2},cdotsm_{n}!}}{k!}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

여기 $m$ 은_p sequence $i$ 에서_k $p번호$ 의 다중성이다.

예를 들어,

h_{2}(X_{1},X_{2})={\frac {2!0!}}{2!}X_{1}^{2}+{\frac{1!1!}}{2!}X_{1}X_{2}+{\frac{1!1!}}{2!}X_{2}X_{1}+{\frac {0!2!}{1}{2}X_{2}^{2}=X_{1}^{2}+X_{1}X_{1}X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.

완전한 동종 대칭 다항식의 제품의 모든 일체형 선형 결합을 취함으로써 형성된 다항식 링은 정류형 링이다.

예

다음은 $n$ 의 처음 3개의 양수 값에 대한 $n개$ 의 기본(아래 설명과 같이) 완전한 동종 대칭 다항식을 나열한다.

$n$ = $1$ 인 경우:

h_{1}(X_{1})=X_{1}\,

$n$ = $2$ 인 경우:

{\begin}h_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2}}\\h_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}^{2}+X_{1}X_{1}X_{1}X_{2}X_{2}^{2}.\end{정렬}}

$n$ = $3$ 인 경우:

{\begin}h_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}}\\h_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}}^{2}+X_{1}X_{1}X_{1}X_{1}X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}\\h_{3}(X_{1},X_{2}}},X_{3}}&=X_{1}^{3}+X_{2}+{3}X3}}^{3}+X_{1}^{2}X_{1}^{2}X_{1}^{2}X_{3}+X_{2}^{2}X_{1}X_{1}X_{2}X_{2}^{2}X_{3}X_{3}+X_{3}^{3}+X_{3}+X_{3}_{3}_{3}_{3}}^{2}X_{1}+X_{3}^{2}X_{2}+X_{1}X_{1}X_{2}X_{3}.\end{정렬}}

특성.

생성함수

완전한 동종 대칭 다항식은 $t$ 에서 공식 파워 계열의 다음과 같은 정체성으로 특징지어진다.

\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}

(이것을 완전한 동종 대칭 다항식에 대한 생성 함수 또는 영상 시리즈라고 한다.)여기서 최종 표현식의 각 분수는 중간 표현식의 한 요소인 형식 기하학적 시리즈를 나타내기 위한 일반적인 방법이다.그 기하 계열의 산물이 어떻게 형성되는가를 고려함으로써 그 정체성을 정당화할 수 있다: 제품의 각 인자는 각 기하 계열에서 선택한 한 항을 곱하여 얻는다. 그리고 $변수 i$ X의 모든 단항은 정확히 하나의 그러한 항을 위해 얻는다. 그리고 그 정도와 $동등$ 한 t의 힘을 곱한다.단수의

위의 공식은 맥마흔 마스터 정리의 특별한 경우로 볼 수 있다.The right hand side can be interpreted as $1/\!\det(1-tM)$ where $t\in \mathbb {R}$ and $M={\text{diag}}(X_{1},\ldots ,X_{N})$ . On the left hand side, one can identify the complete homogeneous symmetric polynomialsMacMahon 식에 나타나는 다항 계수의 특별한 경우.

일부 표준 계산을 수행하면서 생성 함수를 다음과 같이 기록할 수도 있다.

\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)

즉 (

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

1

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

+

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

⋯

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

+

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

의 평판 지수인

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

(

X_{1}+\cdots +X_{n}t}

의 파워 시리즈 확장이다(

(X_{1}+\cdots +X_{n})t

그리고 p

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

+

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

+

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

⋯ + X n

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

{\

=X_{1}^{j}^{j}+\cdots +X_{n}^{

j}}}}}}정확히 j번째 전력 합계 대칭 다항식)이다

p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}

.

기본 대칭 다항식과의 관계

기본 대칭 다항식과 완전한 동종 다항식 사이에는 근본적인 관계가 있다.

\sum _{i=0}^{m}^{i}e_{i}(X_{1},\ldots,X_{n})h_{m-i}(X_{1},\ldots,X_{n}=0,},

이 $값$ 은 모든 $m$ > 0 및 임의의 $변수$ n에 유효하다.가장 쉽게 볼 수 있는 방법은 기초 대칭 다항식의 경우 $t$ 에 있는 형식적인 전력 시리즈의 정체성에서 온 것이며, 완전한 동질 다항식의 경우 위에 주어진 것과 유사하며, 또한 다음과 같이 평형 지수(placestic expositions)의 측면에서도 쓸 수 있다.

\sum \sum \{k=0}^{\e_{k}(X_{1},\ldots,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1}{n}(-X_{i}t)===={n(1-}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n}t]

( $e n (X 1, \dots,$ $X n)$ 이후 기본 대칭 다항식이 0이 되기 때문에, 이것은 $t$ 에서 실제로 다항식의 아이덴티티다.)이를 완전한 동종 대칭 다항식에 대한 생성 함수에 곱하면 상수 직렬 1(동일하고 평이한 평형 지수들이 지수라는 일반적인 특성을 만족함)을 얻으며, $t$ 의^m 계수 비교에서 기초 동종 다항식과 완전 동종 다항식의 관계가 이어진다.관계를 이해하는 좀 더 직접적인 방법은 $m$ 의 고정된 단항 $X$ 를^α 포함하는 합계의 기여를 고려하는 것이다.변수를 조금이라도 지수와 함께 monomial에 실린 보고서의 어떤 부분 집합 S를 위해, 용어 등의 es(X1,…, Xn),#S, 그리고 단일 명칭 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{의 희사 그 변수들의 제품 XS 것과 관련된.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}Xα/XShm − s(X1,…, Xn)에서 이 기부금 계수(−1)s다.그 관계는 그 다음이라는 사실에서 비롯된다.

\sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}}^{s}=(1-1)^{l}=0\mbox{}}

$이항$ 공식에 의해, 여기서 l < $m$ 은 $X$ 에서^α 발생하는 (비영점 지수를 갖는) 구별되는 변수의 수를 나타낸다. $e 0 (X 1, \dots,$ $X n)$ 와 $h 0 (X 1, \dots,$ X $)$ 는_n 모두 1과 같기 때문에, 합계의 첫 번째 또는 마지막 기간 중 관계에서 분리할 수 있다.전자는 다음과 같은 방정식의 순서를 제공한다.

{\begin}h_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}), \h_{n1}(X_{1},\ldots,X_{n}), \h_{n}(X_{1},\ldots,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}-e_{2}(X_{1},\ldots,X_{n}),\h_{3}(X_{1},\ldots,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}

따라서, 연속적인 완전한 동종 대칭 다항식을 기초 대칭 다항식으로 재귀적으로 표현할 수 있다. 후자는 일련의 방정식을 제공한다.

{\begin}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}),\\e_{2}(X_{1},\ldots,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}-h_{2}(X_{1},\ldots,X_{n}),\e_{3}(X_{1},\ldots,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}

역행하는 것을 허용한다.비록 $이전$ 의 다항식이 0이 되는 반면, 반면에 후자는 그렇지 않은 반면, 초창기 및 완전 동종 대칭 다항식은 이러한 관계에서 완벽하게 유사한 역할을 한다.이 현상은 대칭함수의 링 설정에서 이해할 수 있다.그것은 $n개$ 의 초기와 첫 $번째$ n개의 완전한 동종 대칭 함수의 순서를 바꾸는 고리 자동형성을 가지고 있다.

$n$ 변수에서 도 1에서 $n$ 까지의 완전한 동종 대칭 다항식의 집합은 $n$ 변수에서 대칭 다항식의 링을 생성한다.구체적으로는 정수 계수를 갖는 대칭 다항식의 링이 적분 다항 링과 같다.

\mathb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big ]}.

라고 말해 성립할 수 있다.

h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})

$X$ 에서₁대칭 다항식의 링의 초월적 기초를 형성한다. $X$ 는_n 적분 계수를 가지고 있다(초기 대칭 다항식의 경우에도 마찬가지다).다른 정류 링으로 대체되는 정수의 링 $Ⅱ도$ 마찬가지다.이러한 문장은 다른 종류의 관점에서 두 종류의 대칭 다항식을 표현할 수 있는 가능성이 있기 때문에 기본 대칭 다항식에 대한 유사한 문장에서 따온 것이다.

스털링 수와의 관계

완전한 동종 다항식 및 초기 대칭 다항식의 정수에서의 평가는 스털링 숫자와 관련이 있다.

{\top k+}h_{n}(1,2,\ldots,k)&=\좌측\{\\\\n1}{\n1}n+k\\end}\{\n}\{\n}(1,2,\ldots,k)\좌측[{k+1 \atop k-1-n}\우측]\end{정렬}}

단항 대칭 다항식과의 관계

다항식 $h k (X 1, \dots,$ $X n)$ 는 예를 들어 $X 1,$ …, $X$ 에서_n 도 $k$ 의 모든 구별되는 단항 대칭 다항식의 합이기도 하다.

{\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\end{aigned}

검정력 합계와의 관계

균일한 대칭 다항식에 대한 뉴턴의 정체성은 단순한 재귀 공식을 제공한다.

kh_{k}=\sum _{i=1}^{k_{k-i}p_{i}}}

어디 hk=hk({\displaystyle h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})}과 pk은k-th 힘 합 대칭 다항식:pk(X1,…, Xn))∑ 나는 갈1nx나는 k를 X1k+⋯+Xnk{\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{나는}^{k}=X_{1}^{k}+\cd.o $ts +X_{n}^{k}}}}}},$ 위와 같이 $p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}$

$소형$ k $k$ 의 $k$ 경우

{\regated}h_{1}h_{1}&=p_{1},\2h_{2}, {1}p_{1}+p_{2},\3h_{3},\3h_{1}p_{1}+h_{1}, {1}, {1}, {2}+p_{3}.\\end{aigned}

대칭 텐서와의 관계

N차원 벡터 공간 $V$ 와 고유값을 $갖는 1$ 선형 $연산자 2 M n$ : $V$ → $V$ . 그 k번째 대칭 텐서 $파워$ 와^Sym(k) 유도 연산자 $Sym k k (V)$ → $Sym k (V .$

제안:

\operatorname {Trace} _{\operatorname {sym}(V)}\좌측(M^{\operatorname {Sym}(k)\우측)=h_{k}(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}).

증거는 쉽다: $M$ 에 대한 고유 베이시스 $e$ 를_i 고려하라. $Sym k (V)$ 의 기초는 시퀀스 $i 1$ ≤ $i 2$ … … ≤ $i k$ , 실로 의 대칭성을 고려할 수 있다.

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

…

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

{\

그러한 벡터는 모두 고유값을 갖는 $M$ 의^Sym(k) 고유 벡터다.

X_{i_{1}X_{2}}\cdots X_{i_{k}},

따라서 이 명제는 사실이다.

이와 유사하게 대칭 텐서 파워에 대한 트레이스를 통해 초기 대칭 다항식을 표현할 수 있다.두 표현 모두 슈르 다항식의 표현에 슈르 펑커스의 트레이스로서 소분되어 GL( $V)$ 의 Weyl 문자 공식으로 볼 수 있다 $.$

참고 항목

참조

맥도날드, I.G.(1979년), 대칭 함수 및 홀 다항식.옥스퍼드 수학 모노그래프스옥스퍼드: 클라렌던 프레스.
맥도날드, I.G. (1995), Symmetric Functions 및 Hall Polyomials, 두 번째 Ed.옥스퍼드: 클라렌던 프레스. ISBN0-19-850450-0 (페이퍼백, 1998)
리처드 P.Stanley(1999), Enumerative Compinatorics, Vol. 2. Cambridge:케임브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-56069-1

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