투영 계층

$기술{\displaystyle }$ 집합 이론의 수학적 분야에서 폴란드어 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X$}의$$ 부분 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A$}이(가) ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1$${\$displaystyle${\$boldsymbol {\sigma$ $}}{n}^{$$1$}인$$ 경우 투영된다$.$ $여기$서 A ${\displaystystylease A}$

• ${\displaystyle {\mathbf{\sigma }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$${\displaystyle$ ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1$}$}$가 분석적인 경우$$
• ${\displaystyle {}_{}^{}}$$\pi n{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\$$displaystyle$ A$\},$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ A ${\displaystyle X\setminus A}$의 보수가$$${\displaystyle {}_{}^{}}$ $1{\$}인 경우$$$ifn1$}
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}}$ if there is a Polish space ${\displaystyle Y}$ and a ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$ subset ${\displaystyle C\subseteq X\times Y}$ such that ${\displaystyle A}$ is the projection of ${\displaystyle C}$$$; 즉, $A{\displaystyle }$ =${\displaystyle }${${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm{\mid }}$ ${\displaystyle Y}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) ∈ ${\displaystyle C}$ $}$ $displaystyle A=\{x\in$X$\mid \exists$ y$\in Y(x,y)\in$ C$\}$

위의 세 번째 절에서 $폴란드$ 공간 Y ${\displaystyle Y}$의 선택은 그다지 중요하지 않다. Baire 공간 또는 칸토어 공간 또는 실제 선과 같이 고정된 계산할 수 없는 폴란드 공간에 의해 정의에서 대체될 수 있다.null

분석 계층에 대한 관계

There is a close relationship between the relativized analytical hierarchy on subsets of Baire space (denoted by lightface letters ${\displaystyle \Sigma }$ and ${\displaystyle \Pi }$) and the projective hierarchy on subsets of Baire space (denoted by boldface letters ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ and ${\displaystyle \mathbf{\Pi }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}.$Not every ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ subset of Baire space is ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$. It is true, however, that if a subset X of Baire space is ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ then there is a set of natural numbers A such that X is ${\displaystyle }$${\displaystyle {\sigma n}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle A_{}^{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 대한$$ 유사한 문구가 들어 있다.따라서 투영적 계층 구조로 분류된 집합은 정확히 분석 계층의 상대적 버전에 의해 분류된 집합이다.이 관계는 효과적인 서술 집합 이론에서 중요하다.null

프로젝트적 계층 구조와 상대적 분석 계층 간의 유사한 관계는 칸토어 공간의 부분 집합과 보다 일반적으로 효과적인 폴란드 공간의 부분 집합에 대해 유지된다.null

테이블

라이트페이스		볼드체
σ0 0 = π0 0 = Δ0 0(때로는 Δ와0 1 같음)		σ0 0 = π0 0 = Δ0 0(정의된 경우)
Δ0 1 = 재귀		Δ0 1 = clopen
σ0 1 = 재귀 열거형	π0 1 = 공동 반복 열거	σ0 1 = G = 개방	π0 1 = F = 닫힘
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	σ0 2σ = F	π0 2δ = G
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	σ0 3δσ = G	π0 3σδ = F
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σ0 <ω = π0 <ω = Δ0 <ω = σ1 0 = σ1 0 = Δ = Δ1 0 = 산술적		σ0 <ω = π0 <ω = Δ0 <ω = σ1 0 = δ1 0 = Δ = Δ1 0 = 굵은 얼굴 산술적
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Δ0 α(α 재귀)		Δ0 α (α 카운트 가능)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
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σ0 ωCK 1 = π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ = Δ1 1 = 초산술		σ0 ω1 = π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = 보렐
σ1 1 = 라이트페이스 분석법	π1 1 = 경량형 코아날리틱	σ1 1 = A = 분석적	π1 1 = CA = 공분석
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	σ1 2 = PCA	π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	σ1 3 = PCPCA	π1 3 = CPCPCA
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σ1 <ω = π1 <ω = Δ1 <ω = Δ2 0 = σ = Δ2 0 = Δ2 0 = 분석적		σ1 <ω = Δ1 <ω = Δ1 <ω = σ2 0 = σ2 0 = Δ2 0 = P = 투영적
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참조

• Kechris, A. S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94374-9
• Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, First MIT press paperback edition, ISBN 978-0-262-68052-3