순수 귀납 논리학

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순수 귀납 논리(PIL)는 확률론 귀납 추론의 철학적, 수학적 기초와 관련된 수학 논리 영역이다.고전적 술어 논리와 확률론(베이지안 추론)을 결합한 것이다.확률 값은 이성적 대리인이 보유해야 하는 믿음의 정도를 나타내기 위해 1차 관계 언어의 문장에 할당된다.조건부 확률 값은 일부 접수된 증거의 가정에 근거한 믿음의 정도를 나타낸다.

PL은 문장 집합에 대한 사전 확률 함수를 연구하며 그러한 사전 확률 함수의 합리성을 그러한 함수가 거의 틀림없이 충족해야 하는 원칙을 통해 평가한다.각각의 원칙은 함수를 어떤 점에서 문장에 확률값과 조건부 확률값을 할당하도록 지시한다.필의 바람직한 원칙이 모두 양립할 수 있는 것은 아니므로, 그것 모두를 만족시키는 선행 확률 함수는 존재하지 않는다.그러나 일부 선행 확률 함수는 중요한 원칙의 집합을 충족함으로써 구별된다.

역사

귀납적 논리는 20세기 초 윌리엄 어니스트 존슨과 존 메이너드 케인즈의 작품에서 보다 명확한 형태를 띠기 시작했고, 루돌프 카르납에 의해 더욱 발전되었다.카르납은 순수한 귀납적 논리와 응용된 귀납적 논리의 구별을 도입했고,^[1] 현대적인 순수 귀납적 논리는 카르납이 상상하는 순수하고 해석되지 않은 접근법의 선을 따라 진화한다.

틀

일반사례

기본 형태에서, PL은 평등한 것 없이 1차 논리를 사용하며$,$ 일반적인 연결부호인 ${\displaystyle \wedge ,}$ ${\displaystyle \vee ,\mathrm{\neg ,}\neg ,}$ → \$displaystyle \wedge ,\vee ,\neg ,\to }($각각각각, 또는, 또는 암시하지 않음), 정량자 $\,$ {\$displaystytype \existers$symbols ,\$all,$ 많은$$ 수의 술어 ${\displaystyle {1개}_{}}$의 상수 기호를 사용한다.${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\$.

함수 기호는 없다.술어 기호는 단항, 이항 또는 상위 성일 수 있다.술어 기호의 유한 집합은 언어의 나머지가 고정되어 있는 동안 달라질 수 있다.언어를 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}($으)로 표기하고$$ 쓰는 것이 관례다.

${\displaystyle L=\{R_{1},R_{2},\ldots,R_{q}\}}}$

여기서 ${\displaystyle {Ri}_{}}$ ${\$는 술어 기호를 나열한다$$.모든 문장의 집합은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle SL}$로 표시된다$.$ 만약 문장이 목록에 상수가 표시된 상태로 쓰여진다면, 리스트에는 적어도 나타나는 모든 문장이 포함된다고 가정한다.${\displaystyle \mathcal{T}}$ ${\displaystyle L}$ ${\$ ${\T}$${\displaystyle {}_{}}$$}$은(는) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 대한 구조 집합으로$$, 우주는${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}\dots \}}${\$displaystyle \{1},a_{2},$$a_{3},\$$ldots$\}}}}}}}}이며$$, 각 상수 기호는 ${\displaystyle {자체}_{}}$로 해석된다$$.

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 문장에 대한 확률 함수는 $도메인{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ L$${\$displaystyle SL}$과$({\displaystyle }$와) [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$]$${\$displaystyle [0,1]$의 단위 간격 값이 $있는{\displaystyle }$ 함수 w ${\displaystyle w}$이다.

– 논리적으로 유효한 문장 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$에는 확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$: ${\$ 1$\!:\,}$${\displaystyle (\theta }$ )${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle w(\theta )=1$}이$($가) 있음

– 문장 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$과 문장 $\varphi {\displaystyle }${\$displaystyle$${\displaystyle \backslash \mathrm{pi}}$ $}$이(${\displaystyle 가}$) 상호 배타적인 경우$$ $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle ()}$= ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$w $(\$theta $\vee$ \$pi )=w(\ta$ )+$w(\pi )}$

– for a formula ${\displaystyle \psi (x)}$ with one free variable the probability of ${\displaystyle \exists x\,\psi (x)}$ is the limit of probabilities of ${\displaystyle \psi (a_{1})\vee \psi (a_{2})\vee \ldots \vee \psi (a_{n})}$ as ${\displaystyle n}$$$ $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle\infully}$ 경향이 있다$.$

표준 Kolmogorov 공리(유한 부가성에 대한)를 넘어선 이 마지막 조건은 가이프만의 공리섬이라고 일컬어지며, ${\$가 우주를 지치게$$ 한다는 생각을 포착하기 위한 것이다.

${\displaystyle w}$ 및 w$$()> 0 ${\displaystyle w(\phi )>0}$이가) 있는$$ 문장 $for{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\phi }$에 대해 해당 조건부 확률 함수 $w{\displaystyle (.}$ ${\,$ . $\,\pi )$은 다음에 의해$$ 정의된다.

${\displaystyle w(\theta \mid \phi )={\frac {w(\theta \wedge \varphi )}{w(\varphi )}}\quad \(\teta \in SL)}$

많은 가치 있는 논리학에서 믿음 기능이 있는 것과 달리, 복합 문장의 확률 값이 그 성분의 확률 값에 의해 결정되는 경우는 아니다.확률은 고전적인 의미론을 존중한다: 논리적으로 동등한 문장은 동일한 확률을 주어야 한다.따라서 논리적으로 동등한 문장이 종종 확인된다.

유한한 상수 집합에 대한 상태 설명은 이러한 상수에 의해 독점적으로 인스턴스화된 원자 문장(표현 또는 이의 부정)의 결합으로, 적격의 원자 문장에 대해 그것 또는 그것의 부정(둘 다는 아님)이 결합에 나타나도록 한다.

모든 확률 함수는 상태 설명에 대한 값에 의해 고유하게 결정된다.To define a probability function, it suffices to specify nonnegative values of all state descriptions for ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ (for all ${\displaystyle n}$) so that the values of all state descriptions for ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1}}$ ex${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…에 대해 주어진 상태 설명을 수정하는 ${\displaystyle {것}_{}}$은 상수가 없는 (유일한) 상태 설명은 tautology이고 값 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$\}$을(를) 갖는다는 관례로, n ${\$ 모두$$ 확장되는 상태 설명 값에 해당된다.

If ${\displaystyle \Theta }$ is a state description for a set of constants including ${\displaystyle a_{i},a_{j}}$ then it is said that ${\displaystyle a_{i},a_{j}}$ are indistinguishable in ${\displaystyle \Theta }$, ${\displaystyle a_{i}\sim _{\$$Theta }a_{j$ 언어(그리고 논리에 대한 평등의 공리)에 평등을 추가하는 순간, ${\displaystyle {}_{}}a{\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$= ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 문장이 일치한다$$.${\$$세타 }}$은 등가관계다.

유니 케이스

유니리필의 특별한 경우, 모든 술어 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$가 단수다$$.서식의 형식

${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~베타(x)=\pm R_{1}(x)\wedge \pm R_{2}(x)\wedge \ldots \pm R_{q}(x)}$

여기서${\displaystyle }$± ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ $\$$pm R}$은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 중 ${\displaystyle \mathrm{하나}}$를 의미하며,$$display R {\$displaystyle \neg$ R$\}$을 원자라고 한다.$\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$β 2 ${\displaystyle {q^{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2{\mathrm{}}^{}}_{}}$ q ${\$로 일정한 순서로 나열되는 것으로 가정한다$.$

상태 서술은 그것에 관여하는 각 상수에 대한 원자를 명시하고 있으며, 그것은 해당 상수에 의해 인스턴스화된 이들 원자의 결합으로 쓰여질 수 있다.두 개의 상수가 두 개의 상수에 대해 동일한 원자를 지정하면 상태 설명에서 구별할 수 없다.

중심질문

$합리적$인 에이전트가 T ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\cal{T}L}$의 구조에 거주하지만$$ 어느 구조인지 전혀 모른다고 가정하십시오.$w{\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle w(\theta)}$이(가) 문장 $\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle w(\theta)}$이(가) 이 주변 구조에서 참이라는$$ 자신의 믿음의 정도를 나타내는 경우$$ ${\displaystyle w}$이(가) 어떤 확률 함수를 채택해야 하는가$$?

합리적 원리

일반적 합리적 원칙

$다음{\displaystyle }$ 원칙은$$L {\$displaystyle$L$$$}$에 대해 합리적인 $사전{\displaystyle }$ 확률함수의 바람직한 특성으로 제안되었다$.$

지속적인 교환성 원칙, Ex.The probability of a sentence ${\displaystyle \theta (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m})}$ does not change when the ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}}$ in it are replaced by any other ${\displaystyle m}$-tuple of (distinct) constants.

술어 교환성의 원리, Px. $R{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 같은 경성의 술어라면, 문장 $\theta {\displaystyle }${\$displaystyle \teta$

$w(\theta )=w(\theta ')}$

여기서 $\theta {\displaystyle {}^{}}$ $′$ {\$displaystyle$ $\theta$ $'}$은(는) $전체{\displaystyle }$throughout$$$$${\$$displaystyle R}$에서 R {\$displaystyle$ $R$$}$을(를$)$ $R{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$${\$$displaystyle$ R$}$로 $동시$에 대체한 결과물이다$.$

강한 부정 원칙, SN. $술어{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$ 및 문장$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \teta$

$w(\theta )=w(\theta ')}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $\theta {\displaystyle {}^{}}$ $′$ {\$displaystyle$ $\theta '}$은(는) 전체$$$$$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$neg$ $R$$}$으로${\displaystyle \mathrm{}}$$R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\theta$}을(를$)$ 동시에 대체한 $결과물$이다.

규칙성의 원리, Reg. 정량자 없는 문장 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이() 충족된다면$$ () >0 {\$displaystyle$w$(\theta )>0$

초정규성의 원리(범용적 확실성), SReg.문장 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) 충족될 경우$$ ()> 0 ${\displaystyle$w$(\theta )>0$

항상 무관한 원칙, IP.문장 $\theta {\displaystyle ,}$ $,$ {\$displaystyle \theta ,\phi }$에 공통$$ 상수가 없는 $경우{\displaystyle }$ w${\displaystyle }$( ${\displaystyle \theta \wedge w}$ ) = w (${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle$ w $(\theta \wedge \phi )=w(\ta )\cdot$ w$(\pi$ $)\}.$

약한 무관성 원칙 WIP. 문장 $sentences{\displaystyle }$ ,${$ {\$displaystyle \theta ,\phi$}이$$(가) 상수나 공통의 술어가 ${\displaystyle \mathrm{없다면}}$ w${\displaystyle }$( ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \wedge }$ ∧${\displaystyle }$\${\displaystyle =}$ ) ${\displaystyle w(\ta \wedge \pi )=w(\ta$ )\$cdot$ w$.$

언어 불변의 원리, 리.${\displaystyle {확률함수}^{}}$에는 J ${\$가 있으며$,$ 각 $언어{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$에 하나씩 있으며$,$ 모두 Px와 ${\displaystyle \mathrm{Ex}}$를 만족하며, ${\displaystyle W^{}}$= w ${\displaystyle$ w$^{}$가 있다.$L}=w}$과(와$)$ $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ J}의 $모든{\displaystyle }$술어가 K {\$displaystyle$ $K$$}$에도 속한다면$$ w$$ ${\$ w$^{J}$와 ${\displaystyle W^{}}$ ${\displaystyle$ w$^{K$$}}$의 문장에 동의한다$.$

상대적 원칙인 CP.$\theta {\displaystyle }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가)${\displaystyle {}^{}}\theta {\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $\$$theta$$}$의 일부 상수/관계 기호를 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaysty$ \$theta$}에서$$ 발생하지 않는 동일한 경도의 새로운 상수/관계 기호로 바꾼$$ 결과인$$ 문장인 경우$$.

$(\displaystyle w(\theta \mid \theta')\geq w(\theta ).}$

(SCP) 또한 ${\$이(가) $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$의 상수/관계 기호를 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$에서 발생하지$$ 않는 동일한 추가 상수/관계 기호로 교체한 결과라면$$, 그 다음$$

$#\displaystyle w(\theta \mid \theta ')\geq w(\theta \theta')\geq w(\theta).}$

The Invariance Principle, INV. If ${\displaystyle F}$ is an isomorphism of the Lindenbaum-Tarski algebra of sentences of ${\displaystyle L}$ supported by some permutation ${\displaystyle \mu }$ of ${\displaystyle {\cal {T}}L}$ in the sense that for sentences ${\displaystyle \theta ,\phi }$,

${\$$=[\phi ]~}$${\displaystyle M}$ ⊨${\displaystyle \mu (M}$) ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle \varphi }$ μ μ ϕ { { { {$${ {\$displaystyle ~M\models \theta$\Long $leftrightarrow \mu(M)\models \pi$ \pi $}}}$ }}} when.

$w{\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle }$ϕ )${\displaystyle }$=$$w ($$ ) {\$displaystyle$ w$(\theta$ )=$w(\phi$ $)\}.$

순열침투원리, PIP.$상태{\displaystyle }$ 설명을 (의) 상태 설명에 매핑(의)하려면 (의) F ${\displaystyle F}$이(가) 추가적으로 필요하다는$$ 점을 제외하고 INV로서.

스펙트럼 교환성 원칙, Sx.상태 설명 ${\displaystyle \Teta$$$$}$의 w ($$(${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$ \Teta } 확률은 $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Teta$ 즉 ${\displaystyle {동등성\mathrm{}}_{}}$ 관계 ~${\displaystyle {}_{}}$\ ${\$의 여러 크기에만 의존한다$$.$세타$ $\}\}.$

Li with Sx. 언어 불변성 원리로서 그러나 가족의 모든 확률 함수 또한 스펙트럼 교환성을 만족한다.

유도 원리, PI.Let ${\displaystyle \Theta }$ be a state description and ${\displaystyle a_{k}}$ a constant not appearing in ${\displaystyle \Theta }$. Let ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle \Psi }$ be state descriptions extending ${\displaystyle \Theta }$ to include (just) ${\displaystyle a$$_{k$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가${\displaystyle {}_{}}$~$$ {\$displaystyle \sim_{\}$인 경우$Phi }}$-equivalent to some and at least as many constants as it is ${\displaystyle \sim _{\Psi }}$-equivalent to then ${\displaystyle w(\Phi \mid \Theta )\geq w(\Psi \mid \Theta )}$.

단일 PIL에 대한 추가적인 합리적 원칙

즉석적 관련성의 원리, PIR.$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$ $\},$ 원자 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta },$ ${\displaystyle {상수}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$${$$m}}}$에 나타나지 않는 문장의 경우$,$

${\displaystyle w}$( ${\displaystyle \beta }$(${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle \beta }$ (${\displaystyle m_{}}$) ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (k_{}}$ ) ${\displaystyle \mid \theta }$ ) w${\displaystyle }$( ${\displaystyle \beta }$(${\displaystyle {}_{}}$k )${\displaystyle }$) ${\displaystyle )}$ )$$w w ($a_{k})\\displaysty w(\property (a_{m})\gec$ w$(a_{k})\mid \theta$ $)\}.$

순간 관련성의 일반화 원리, GPIR.For quantifier-free sentences ${\displaystyle \psi (a_{k}),\phi (a_{m}),\theta }$ with constants ${\displaystyle a_{k},a_{m}}$ not appearing in ${\displaystyle \theta }$, if ${\displaystyle \psi (x)\models \phi (x)}$ then

$\displaystyle w(\displaystyle w(a_{k})\mid \phi(a_{m})\mid \theta.}$

Johnson Refulness Principle$,$ JSP. 상태 설명의 경우, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 상수에$$ $대한$$θ$ {\$displaystyle \beta}$ 및 ${\displaystyle {상수}_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가 $}}$ ${\displaystystyle \Thta$에 나타나지$$ 않음, 확률.

${\displaystyle w(\beta(a_{k})\mid \Teta )}$

$n{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle n}$과(와$)$ $display$ {\displaystyle $\$$Teta }$이(가$)$ β {\\$displaystyle \$beta }을$$(를) 지정하는 상수의 수에 따라서만 달라진다$.$

원자 교환성의 원리, 도끼.If ${\displaystyle \tau }$ is a permutation of ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,2^{q}\}}$ and ${\displaystyle \Theta }$ is a state description expressed as a conjunction of instantiated atoms then ${\displaystyle w(\Theta )=w(\Theta ')}$ where ${\displaystyle \Theta$$'}$은(는) $\beta {\displaystyle {}_{}}$ i ${\$을(를) $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$( ${\displaystyle {i)}_{}}$로 교체한 후$$ $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$에서 얻는다$$$.$

레이헨바흐의 악시오, RA.$\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {h{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$을(를${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ = ${\displaystyle 1}$, 2,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…$${\$displaystyle i=1,2,3,\$ldots $}$에 대해 원자의 무한 시퀀스와 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaysty \beta}$ 원자의 무한$$ 시퀀스가 되도록$$ 한다.그런 다음 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$을$($를) 경향이$$ 있으므로 조건부 확률 간의 차이

${\displaystyle w(a_{n+1})\mid \mid \mid _{h_{1}{1}(a_{1})\mid \mid \mod_{h_{2}}(a_{2})\modes \ldots \reak \{h_{n}}}}}}}$

그리고$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ h ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {h{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ h 2 , …, ${\displaystyle {{\beta }_{}}_{}}$ h {\$displaystyle \n$ {$n1$},\$h_{1},\h_{n},\ldots,\$ldots,\$h_{n_{n}}$ 중에서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystystyle 0}$이 발생하는 비율도 $0$을 나타낸다$$$.$

Principle of Induction for Unary languages, UPI. For a state description ${\displaystyle \Theta }$, atoms ${\displaystyle \beta _{i},\beta _{j}}$ and constant ${\displaystyle a_{k}}$ not appearing in ${\displaystyle \Theta }$, if ${\displaystyle \Theta }$ specifies ${\displa$$ystyle{\displaystyle {}_{}}$ $\cHB _{$i}, ${\displaystyle {\beta }_{}}$j {\$displaystyle \cHB_{j$}만큼의 상수를 사용할$$$$ 경우

${\displaystyle w(\beta _{i}({k})\mid \theta )\geq w(\beta _{j}(a_{k})\mid \theta.}$

회복하다.Whenever ${\displaystyle \Psi (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ is a state description then there is another state description ${\displaystyle \Phi (a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{h})}$ such that ${\displaystyle w(\Phi \wedge \Psi )\neq 0}$$$ 및 모든 정량화되지 않은 $문장{\displaystyle }$ ${\displaystyle (({\mathrm{h}}_{}}$+${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{h}_{}}$ +${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$h +${\displaystyle {}_{}{g}_{}}$ )에 ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \theta (a_{h+1},a_{h+2},\ldots ,a_{h+g$

${\displaystyle w(a_{h+1},a_{h+2},\dots,a_{h+g}\,\\\Phi \wedge \Psi )=w(a_{h+1},a_{h+1},\ldots ,a_{h+g}).}$

단일 언어 불변 원리, ULi. Li로서, 그러나 단일 언어에 국한된 언어.

액스와 함께 ULi.ULi로서 그러나 패밀리의 모든 확률 함수를 가지고도 Atom Exchangeability를 만족한다.

원칙간의 관계

일반 케이스

Sx는 Ex, Px 및 SN을 의미한다.

PIP + Ex는 Sx를 의미한다.

INV는 PIP와 Ex를 의미한다.

Li는 CP와 SCP를 암시한다.

Sx와 Li는 PI를 암시한다.

유니 케이스

엑스는 PIR을 암시한다.

Ax는 PIP와 동일하다.

Ax+Ex는 UPI를 의미한다.

Ax+Ex는 Sx에 해당한다.

Ax가 있는 ULi는 Li와 Sx를 함축하고 있다.

중요한 확률 함수

일반 확률 함수

기능 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$ 주어진 구조 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$ ${\displaystyle L}$ ${\cal {T}L$$}$ 및${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ S ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \teta \in SL$

${\displaystyle V_{M}(\theta )=\왼쪽\{\\begin{array}{ll}1&{\rm{if}}~M\m\models \theta ,\0&{\rm {otherwise}}.\end{array}\오른쪽.}$

Functions ${\displaystyle \omega ^{\Psi }}$. For a given state description ${\displaystyle \Psi (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{K})}$, ${\displaystyle \,\omega ^{\Psi }}$ is defined via specifying its values for state descriptions as follows.${\displaystyle \,\omega ^{\Psi }(\Theta (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}))}$ is the probability that when ${\displaystyle a_{h_{1}},a_{h_{2}},\ldots ,a_{h_{n}}}$ are randomly picked from ${\displaystyle \{a_{1}$$,\ldots ,a_{K}\}}$, with replacement and according to the uniform distribution, then ${\displaystyle \Psi (a_{1},\ldots ,a_{K})\models \Theta (a_{h_{1}},a_{h_{2}},\ldots ,a_{h_{n}}).$$}$

Functions ${\displaystyle ^{\circ }\!(\omega ^{\Psi })}$. As above but employing a non-standard universe (starting with a possibly non-standard state description ${\displaystyle \Psi }$) to obtain the standard ${\displaystyle ^{\circ }\!(\omega ^{\Psi })}$.

${\displaystyle \bullet }$ $[\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\psi \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle ^{\circle }\!(\omega ^{\PSI }})$은 Ex와 IP를 만족시키는 유일한 확률 함수다$$.

함수 ${\displaystyle {u\stackrel{}{}}^{}}$ p${\$ 주어진 무한 시퀀스에 대해 p${\displaystyle \stackrel{}{}}$=${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle {\p}=\langle p_{0},p_{1$},$p_{3},\ldots \rangle$}, 그러한 음수가 아닌 실수인 경우$$.

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{p}}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ …${\displaystyle \ge }$ 0 $displaystyle p_{1}\geq p_{2}\geq p_{3}\geq \ldots \geq$ 0$\\\\\\}$ 및$$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyley ~$ ${i=0}{p_{i}{i$}{$i$

${\displaystyle u^{}}$ $'{\$은(는) 상태 설명에 대한 값을 다음과 같이 지정하여 정의된다$$.

For a sequence ${\displaystyle {\vec {c}}=\langle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}\rangle }$ of natural numbers and a state description ${\displaystyle \Theta (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$, ${\displaystyle \Theta }$ is consistent with ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$$$${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ = c ${\displaystyle t_{}}$≠ 0 ${\displaystyle c_{s}=c_{t}\neq$ 0$}$일 때마다$$s ~ $~$ ${\displaystyle a_{}{}_{}{}_{}{t}_{}}$ {\$displaystyle a_{s}\sim _{\\\\}$$Theta }a_{t}}$. ${\displaystyle C({\vec {c}})}$ is the number of state descriptions for ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ consistent with ${\displaystyle {\vec {c}}}$. ${\displaystyle \,u^{\overline {p}}(\Theta )}$ is the sum over those${\displaystyle \stackrel{}{c}}$→ $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \theta}$과(와$$) 호환되는$$ ${\$ {$c}}$

${\displaystyle C({\vec{c}}^{s=1}pod _{n}p_{c_{s}}}.}$

${\displaystyle \bullet }$ The ${\displaystyle u^{\overline {p}}}$ are the only probability functions that satisfy WIP and Li with Sx. (The language invariant family witnessing Li with Sx consists of the functions ${\displaystyle u^{{\overline {p}},J}}$ with fixed ${\displaystyle {\ove$$rline{p$ ${\displaystyle {여기}^{}}$서 ${\displaystyle j^{}}$ ${\$은(는) $u{\displaystyle }$${\displaystyle {\stackrel{}{}p}^{}}$와$$같으나$$ $언어$ J {\displaystyle $u^{\$$overline {p$$}$로 정의됨.)$$

추가 확률 함수(단일 PL)

함수와 목탑지{w\displaystyle}c({\displaystyle{\vec{c}}}. 예를 들면, 벡터 c→)⟨ c1c2,…, c2q⟩{\displaystyle{\vec{c}}=\langle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{2^{q}}\rangle}의non-negative 실수를 가산하는 한가지, 아니{w\displaystyle}c({\displaystyle{\vec{c}}}i.S다음과 같이 국가에 대한 설명을 자신의 가치를 지정하여 통해:정의했다.

${\displaystyle w}$_{${\displaystyle {\vec{c}}$}${\displaystyle (\Teta )=\prod _{j=1}^{2^{q_{j}^{m_{j}}}}}$

$여기$서 m ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {\beta }_{}}$j {\$displaystyle \Teta$$$$_$$j}$를 지정하는$$ 상수 수입니다.

${\displaystyle \bullet }$ $[\displaystyle \bullet }$$w$ ${\displaystyle w}$은(는) Ex와 IP를 만족시키는 유일한 확률 함수다$$_{${\displaystyle {\vec {c}}}$}($또한$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$(${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\circle }\!(w^{\$PSI$}).$

카르나프 연속체 함수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ >0 {\$displaystyle \lambda$ >$0$의 경우 $확률{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {함수}_{}}$ cλ${\$}}}}는 값에 의해 고유하게 결정된다$$.

${\displaystyle c_{\lambda }(\beta _{j}(a_{n+1})\mid \theta )={\frac {m_{j}+\lambda 2^{-q}{n+\lambda }}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \Theta}$는 k$${\$displaystyle a_{k}$를 포함하지 $않는{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$ $m_{j}$ 상수에$$ 대한 상태 설명이며$$$$, $m{\displaystyle \mathrm{}}$ j$$${\displaystyle \theta}$이 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ j ${\$을 지정하는$$ 상수의$$ 수입니다.

더욱이 $∞{\$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 상수에$$ 대한 모든 상태 설명에$$ $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$n ${\displaystyle q^{}}$ ${\$ $c_{nq}$을 할당하는 확률 함수로서$$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ c$^{-q}$은 $어떤$ 상태 de$$ d.모든 상수를 구별할 수 없는 스크리닝, $다른{\displaystyle \mathrm{}}$ 상태 설명에$$ 0 {\$displaystyle 0}.$

${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \bullet}$$c$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$은 Ex와$$ JSP를 만족시키는 유일한 확률 함수다.

${\displaystyle \bullet }$ They also satisfy Li – the functions ${\displaystyle c_{\lambda }^{J}}$ with fixed ${\displaystyle \lambda }$, where ${\displaystyle c_{\lambda }^{J}}$ is as ${\displaystyle c_{\lambda }}$ but defined with language ${\displaystyle J}$ provide the u언어 불변의 가족 구성원들

기능 δ{\displaystyle w^{\delta}}.−(2q− 1)− 1≤ δ 2q{2^{q\displaystyle}의 ≤ 1{\displaystyle -(2^{q}))^{)}\leq \delta \leq 1}, w({\displaystyle w^{\delta}}가 평균은{w\displaystyle}c({\displaystyle{\vec{c}}}이 목탑지}기능. c({\displaystyle{\vec{c}}}다.$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cHB$}에 의해 서로 다른 홀수 좌표를 가진 좌표를 제외한 모든 좌표가 서로 동일하므로$,$

${\displaystyle w^{\cHB }=2^{-q}\sum _{i=1}^{2^{q}}}}$${\displaystyle w}$_{${\displaystyle {\vec{e_{i}}}$}

where ${\displaystyle {\vec {e_{i}}}=\langle \gamma ,\gamma ,\ldots ,\gamma ,\gamma +\delta ,\gamma ,\ldots ,\gamma \rangle ~}$, (${\displaystyle \gamma +\delta }$ in ${\displaystyle i}$th place) and ${\displaystyle \gamma =2^{-q}(1-\del$$ta )}$.

$0{\displaystyle \mathrm{}}$Δ ${\displaystyle \Delta }$Δ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq \delta \leq 1$의 경우 w ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\$ w$^{\delta$ }}은$($는) $u$ ${\displaystyle {p\stackrel{\text{'}}{}}^{}}$ ${\$과(와) 같다$$.

${\displaystyle {\p}=\langle 1-\langle,\dots \angle }$

그리고 그렇게 그들은 Li를 만족시킨다.

${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \bullet}$$w$ ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\$ w$^{\delta }}}$은(는) GPIR, Ex, Ax, Reg를 만족시키는 유일한 기능이다$$.

${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \bullet }$ <1 {\$displaystyle 0$\leq $\delta$<1$$}의 w$$Δ ${\displaystyle }}}$은(는) Ax로 Recovery, Reg, ULi를 만족시키는 유일한 기능이다.

표현 정리

확률함수의 종류에 대한 표현정리는 같은 종류에서 일반적이고 비교적 단순한 확률함수의 관점에서 등급의 모든 확률함수를 표현할 수 있는 수단을 제공한다.

모든 확률 함수에 대한 표현 정리.$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 대해 ${\displaystyle w}$이(가) 있는 모든 확률 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle w=\int _{\cal {T}V_{M}\,d\mu(M)}$

여기서 $[\displaystyle \mu$}은(는) 집합에서$$ $생성$된 ${\displaystyle T}$ L$${\$displaystyle \sigma$} -algebra의$$ $subs{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\cal$ {$T}L}$에 대한$$ 추가 측정값임$$

${\displaystyle \{\,M\in {\t}L\mid M\vDash \theta \,\}~~~(\theta \in SL)}$

Ex에 대한 표현 정리(비표준 분석 및 롭 통합 이론^[2] 사용).Ex를 만족하는$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 대해 ${\displaystyle w}$이(가) 있는 모든 확률 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle w=\int _{A}\,^{\circle }\!(\omega ^{\PSI })\,d\mu(\PSI )}$

where ${\displaystyle A}$ is an internal set of state descriptions for ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{\nu }}$ (with ${\displaystyle \nu }$ a fixed infinite natural number) and ${\displaystyle \mu }$ is a ${\displaystyle \sigma }$-additive measure on a ${\displaysty$$\sigma }$ $-A$ ${\displaystyle A}$의 하위 집합 주소.

Sx로 Li에 대한 표현 정리. $Sx$로 Li를$$ $만족$시키는 L {\displaystyle $L}$에 대한$${\$displaystyle w}$ $확률{\displaystyle }$ 함수를 모두 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle w=\int _{\mathb {B}\,u^{\overline {p}\,d\mu({\overline {p})}$

여기서 $B{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 시퀀스 집합이다.

${\displaystyle {\p}=\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \rangle }}$

of non-negative reals summing to ${\displaystyle 1}$ and such that ${\displaystyle p_{1}\geq p_{2}\geq p_{3}\geq \ldots \,\geq 0\,}$ and ${\displaystyle \mu }$ is a ${\displaystyle \sigma }$-additive measure on the Borel subsets of ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ in the 제품 토폴로지.

데 피네티의 표현 정리(단일화)단항 사례($L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 $q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $q}개$의 단항 술어를 포함하는$$ 언어)에서 Ex에$$ 대한 표현 정리는 다음과 같다.

Ex를 만족하는$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 대해 ${\displaystyle w}$이(가) 있는 모든 확률 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle w=\int _{\mathb {D}{w_{\vec}\,d\mu({\vec {x}}).}$

where ${\displaystyle {\mathbb {D} }}$ is the set of vectors ${\displaystyle {\vec {x}}=\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{q}}\rangle }$ of non-negative real numbers summing to one and ${\displaystyle \mu }$ is a ${\displaystyle \sigma }$-additive measure on ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbb{D}}$ ${\$

메모들

참조

• 제프 파리, 알레나 벤코브스카(2015).케임브리지 대학 출판부의 순수 귀납 논리학.
• 제프 파리(2010년).광저우 동계 학교 순수 귀납 논리 강좌(PDF).
• 제프 파리(2012년).뮌헨 공식 인식론 워크샵 슬라이드(PDF).
• 알레나 벤코브스카(2017).프라하 순수 귀납 논리 코스 노트(PDF), 연습 포함.