확률 공리

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 트리 다이어그램
v t

콜모고로프 공리는 안드레이 콜모고로프가 1933년 도입한 확률론의 기초다.^[1] 이러한 공리는 여전히 중심이며 수학, 물리과학, 실제 확률 사례에 직접적인 기여를 한다.^[2] 일부 베이시안들이 선호하는 확률을 공식화하는 대안적 접근법은 콕스의 정리에 의해 주어진다.^[3]

공리

공리설정에 관한 가정은 다음과 같이 요약할 수 있다. Let (Ω, F, P) be a measure space with ${\displaystyle P(E)}$ being the probability of some event E, and ${\displaystyle P(\Omega )=1}$. Then (Ω, F, P) is a probability space, with sample space Ω, event space F and probability measure P.^[1]

첫 번째 공리

사건의 확률은 음수가 아닌 실수다.

${\displaystyle P(E)\in \mathb {R}, P(E)\geq 0\qquad \fall E\in F}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 이벤트 공간이다. $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle P(E)}$은(는) 보다 일반적인 측정 이론과 대조적으로 항상 유한하다는$$ 것을 따른다. 부정적인 확률을 부여하는 이론들은 첫 번째 공리를 완화시킨다.

두 번째 공리

이것은 단위 측정의 가정이다: 전체 표본 공간에서 적어도 하나의 기본 사건이 발생할 확률은 1이다.

$P(\Displaystyle P)(\Oomega )=1.}$

제3공리

σ-additivity의 가정은 다음과 같다.

(상호 배타적 $이벤트$와 동일) E 1,${\displaystyle {}_{}{E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle E_{1}, E_{2},\ldots }$의 모든 카운트 가능한 시퀀스가 충족됨$$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\inflt }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

일부 저자들은 단지 미세하게 첨가된 확률 공간만을 고려하는데, 이 경우 σ-알지브라보다는 집합의 대수학만을 필요로 한다.^[4] 일반적으로 Quasiprobability 분포는 세 번째 공리를 완화한다.

결과들

Kolmogorov 공리로부터 확률을 연구하기 위한 다른 유용한 규칙을 추론할 수 있다. 이러한 규칙의 증명은^[5][6][7] 세 번째 공리의 힘과 나머지 두 공리와 그 공리의 상호작용을 보여주는 매우 통찰력 있는 절차다. 네 개의 즉각적인 관상 동맥류 및 그 증빙이 아래에 제시되어 있다.

단조도

${\displaystyle \quad{\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{den}}\quad P(A)\leq P(B)}$

A가 B의 부분집합이거나 같은 경우 A의 확률은 B의 확률보다 작거나 같다.

단조증거^[5]

In order to verify the monotonicity property, we set ${\displaystyle E_{1}=A}$ and ${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$, where ${\displaystyle A\subseteq B}$ and ${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$ for ${\displaystyle i\geq 3}$. From the properties of the empty set ($∅{\displaystyle \varnothing$ $$$}})$ $집합{\displaystyle {}_{}}$ E ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 쌍으로 분리되어 $있고$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}\cup }$= B ${\displaystyle E_{1}\cup E_{$2}\$cdcdots =B}$가 있는 세 번째 공리에서 얻는다$.$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\ft }P(E_{i})=P(B)}$

Since, by the first axiom, the left-hand side of this equation is a series of non-negative numbers, and since it converges to ${\displaystyle P(B)}$ which is finite, we obtain both ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ and ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$.

빈 집합의 확률

$P(\varnothy)=0.}$

경우에 따라${\displaystyle }$0 ${\displaystyle \varnothing}$이(가) 확률이 0인 유일한 사건이 아니다$$.

빈 집합의 확률 증명

앞의 증거에 나타나, P(∅). 이 진술 상의 모순에:P(∅)), a>0{\displaystyle P(\varnothing)=a,a>0} 다음 왼쪽[P(A)+P(B∖ A)+∑ 나는 3정도 ∞ P(E나는)]{\displaystyle[P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^{\in을 입증할 수 있어 0{P(\varnothing)=0\displaystyle} 일고 있다.fty}P$(E_{i})]}$ is infinite; ${\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\varnothing )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.$$\end{case}}}$

0 > ${\displaystyle a>0}$이(가) 있다면, 왼손은 무한하고, $P{\displaystyle }$($){\displaystyle P(B)}$은(첫 번째 공리에서) 유한해야 하기$$ 때문에 모순이 생긴다. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ a${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle a=0$ $우리$는 P (${\displaystyle \varnothing }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle$P$(\varnothy )=0}$이라는 단조로운 증명의 부산물로서 보여 왔다$.$

보충수칙

${\displaystyle P\왼쪽(A^{c}\오른쪽)=P(\Oomega \setminus A)=1-P(A)}$

보완규정 증명

$주어진{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$ 및$$ ${\displaystyle A^{}}$ $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ A$^{c}$는 상호$$ 배타적이며 $A{\displaystyle }$∪ ${\displaystyle A^{}}$ =${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle$ A$^{c}=\Oomega$ $\}:$

${\displaystyle P(A\컵 A^{c}=P(A)+P(A^{c})}$ … (공리 3)

및, P${\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P(\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(A\컵$ A$^{c}}=P(\Oomega )=1$} ...(공리 2)

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c}=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c}=1-P(A)}$

숫자 바운드

라는 단조로운 속성에서 바로 뒤따른다.

$0\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qqqad \ forall E\in F.}$

숫자 바운드의 증거

보충 규칙 $P{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle P(E}$) ${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ 및$$ 공리 1 $P{\displaystyle (E^{}}$ c${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(E^{c}\geq 0$

$1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

추가 결과

또 다른 중요한 속성은 다음과 같다.

$[\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)]}$

이것을 확률의 가산법, 즉 합계법이라고 한다. 즉, A 또는 B에서 사건이 일어날 확률은 A에서 사건의 확률과 B에서 사건의 확률을 합한 값이며, A와 B에서 모두 사건이 발생할 확률을 뺀 값이다. 이에 대한 증거는 다음과 같다.

일단.

${\displaystyle P(A}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= P${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$+ P${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \setminus }$ A${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(A\컵 B)=P(A)+P(B\setminus$ A$)}$ …(Axiom 3)

그렇게

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$ (by ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$).

또,

$[\displaystyle P(B)=P(B\setminus(A\cap B))]+P(A\cap B)}$

그리고 두 방정식에서$$ $P{\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \setminus }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ B$){\displaystyle P (B\setminus (A\cap B)})$를 제거하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.

추가법의 확대는 포함-제외 원칙이다.

부가법에서 B를 A의 보완 A로^c 설정하면 다음과 같다.

${\displaystyle P\왼쪽(A^{c}\오른쪽)=P(\Oomega \setminus A)=1-P(A)}$

즉, 어떤 사건이 일어나지 않을 확률(또는 사건의 보완점)은 1에서 일어날 확률을 뺀 값이다.

간단한 예: 동전 던지기

동전 한 개를 생각해 보고, 동전이 머리(H)나 꼬리(T) 중 하나(둘 다는 아님)라고 가정한다. 동전이 공정한지에 대해서는 추정이 이루어지지 않는다.

다음을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Oomega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\barnothing,\{H\}}\{T\}}\{H,T\}\}}}}$

콜모고로프의 공리는 다음과 같은 것을 암시한다.

${\displaystyle P(\varnothy )=0}$

머리도 꼬리도 없는 확률은 0이다.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c}=0}$

머리나 꼬리의 확률은 1이다.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\}}=1}$

머리 확률과 꼬리 확률의 합은 1이다.

참고 항목

• 보렐 대수
• 조건부 확률 – 다른 사건이 이미 발생한 경우 사건이 발생할 확률
• 완전 확률론적 설계
• 직관적 통계
• 퀘이프로빙성
• 세트 이론 – 세트를 연구하는 수학의 분야
• σ-algebra

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2010년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

추가 읽기

• DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. pp. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability". Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. pp. 13–28.
• 미자르 시스템에서의 확률에 대한 공식적인 정의와 그것에 대해 공식적으로 증명된 이론 목록.