퀘이프로브성

퀘이프로브성 분포는 확률 분포와 유사하지만 콜모고로프의 확률 이론 공리 중 일부를 완화시키는 수학적 개체다.Quasiprobability는 분포의 가중치와 관련하여 기대값을 산출하는 능력과 같이 일반적인 확률과 몇 가지 일반적인 특징을 공유한다.그러나 그들은 integrating-additivity 공리를 위반할 수 있다. 공리를 통합한다고 해서 반드시 상호 배타적 상태의 확률을 산출하는 것은 아니다.실제로 퀘이프로브성 분포는 또한 역직관적으로 음의 확률밀도 영역을 가지며, 첫 번째 공리와 모순된다.양자 광학, 시간-주파수 분석 ^[1]등에서 일반적으로 사용되는 위상 공간 제형에서 다루었을 때 양자 역학의 연구에서 자연적으로 퀘이프로빌리티 분포가 발생한다.

소개

가장 일반적인 형태에서 양자-기계 시스템의 역학은 힐버트 공간의 마스터 방정식, 즉 밀도 연산자를 위한 운동 방정식에 의해 결정된다(보통 시스템의 $^{\$밀도 연산자는 완전한 정형외과적 기초에 대해 정의된다.매우 작은 시스템(즉, 입자나 자유도가 적은 시스템)에 대해 이 방정식을 직접 통합하는 것이 가능하지만, 이는 더 큰 시스템에서는 빠르게 난치될 수 있다.그러나 밀도 연산자가 과완성 기준에 관한 한 항상 대각선 형태로 작성될 수 있다는 것을 증명할^[2] 수 있다.밀도 연산자가 그러한 과완성 기준으로 표현되는 경우, 함수가 퀘이프로빌리티 분포의 특성을 갖는 비용을 들여 일반 함수와 더 유사한 방식으로 작성할 수 있다.그 후 시스템의 진화는 퀘이프로빌리티 분배 기능의 진화에 의해 완전히 결정된다.

일관성 있는 상태, 즉 섬멸 $연산자$의 오른쪽 고유 상태${\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ${\${\$widehat{a}}$는 위에서 설명한 구성에서 과완성 기준으로 작용한다$$.정의에 따라 일관성 있는 상태는 다음과 같은 속성을 갖는다.

${\displaystyle {\cHB{aigned}{\widehat{a}}{\widehat \range &=\a}\langle \langle \langle \langle \langle \langle \langle }{*}}}.\end{정렬}}}$

그들은 또한 몇 가지 흥미로운 특성들을 추가로 가지고 있다.예를 들어, 두 개의 일관된 상태가 직교하지 않는다.실제로 α>와 β_가 한 쌍의 일관성 있는 상태라면, 그 다음이다.

$\\displaystyle \langle \mid \mid \langle =e^{-{1 \over 2}( \cHB ^{2}+ \i1}{*}\i1\i1\i1\i1\i1\nq \i1\ni1\ni1\ni1\ni1\cHB)}$

그러나 이러한 상태는 〈α〉 = 1. fock 상태 기초의 완전성 때문에 일관성 있는 상태의 선택은 지나치게 완전해야 한다.^[3]비공식적인 증거를 표시하려면 클릭하십시오.

일관성 있는 상태의 과잉완성 입증

복합 평면에 대한 통합은 $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ d d ${\displaystyle \theta }$ ${\dplaystyle$ d$^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta }}$을(를) 사용하여 극좌표 측면에서 작성할 수 있다$.$ 합과 적분을 교환할 수 있는 경우 감마함수의 간단한 적분표식에 도달한다. ${\displaystyle {\begin{aligned}\int \alpha \rangle \langle \alpha \,d^{2}\alpha &=\int \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{ \alpha ^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{n}(\alpha ^{*})^{k}}{\sqrt {n!k!}}} n\rangle \langle k \,d^{2}\alpha \\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}} n\rangle \langle k \,d\theta \,dr\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}} n\rangle \langle k \,d\theta \,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}\delta (n-k)}{\sqrt {n!k!}}}n\rangle \langle k \,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{n=}\int e^{-{r^{2}}}\cdot {\r^{2n+1}{n!}}}n\rangle \langle n \,dr\&=\pi \sum _{n=0}^{n=}\int e^{-u}\cdot{\frac{u^{n}}}{n}}{n!}}n\rangle \langle n \,du\\&=\pi \sum _{n=0}^{\n\langle n \&=\pi {\widehatt}.\end{정렬}}}$ 분명히 우리는 힐베르트의 공간을 넓힐 수 있다. 주(州)를 다음과 같이 쓰면서. ${\displaystyle \langle ={\frac {1}{\pi }\int \langle \langle \langle \langle \langle \langle \,d^{2}\regate .}$ 한편, 주의 올바른 정상화에도 불구하고, π>1의 요인은 이러한 근거가 지나치게 완전하다는 것을 증명한다.

그러나 일관성 있는 상태에서는 항상 밀도 연산자를 대각선 형태로 표현할 수 있다^[2].

${\displaystyle {\widehat {\rho }=\int f(\langle ,\langle \langle \,d^{2}\ft }}}$

여기서 f는 위상 공간 분포를 나타낸다.이 함수 f는 다음과 같은 특성을 가지고 있기 때문에 quasiprobability 밀도로 간주된다.

• ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle f(\alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha \stackrel{}{}}$ α${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ ) ${\displaystyle d{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ α = tr α${\displaystyle }$= tr ${\displaystyle \stackrel{}{}}$( ${\displaystyle 1}$ $^$ ) = 1 {\displaystyle$\int$f(\$int$ f$,\$int;\$bea ^*}\,d^{2}\nump =\reasname {tr}({\widehat {\rho$})({})=$1}).$
• $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}\stackrel{}{(^}}$ ,${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$) ${\displaystyle g_{\\Oomega}({\widehat{a},{\widehat{a}^{$a}^{\$dager }}})$이(가 생성 및 소멸 연산자의 파워 시리즈로 주문 Ω으로 표현될 수 있는 연산자라면 기대값은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}}$ (optical equivalence theorem).

f함수는 고유하지 않다.각각 다른 순서 Ω에 연결된 서로 다른 표현 계열이 존재한다.일반물리학 문헌에서 가장 인기 있고 역사적으로 먼저 가장 많이 알려진 것은 대칭 연산자 순서와 관련된 ^[4]위그너 퀘이프로브빌리티 분포다.특히 양자 광학에서는 관심 있는 연산자, 특히 입자 번호 연산자가 자연스럽게 정상 순서로 표현되는 경우가 많다.이 경우 위상공간 분포의 해당 표현은 글라우버-수다르산 P 표현이다.^[5]위상 공간 분포의 quasiprobabilistic 특성은 다음과 같은 핵심 문장으로 인해 P 표현에서 가장 잘 이해된다.^[6]

양자계가 예를 들어 일관성 있는 상태나 열방사선과 같은 고전적인 아날로그를 가지고 있다면 P는 일반적인 확률 분포처럼 도처에 음이 아닌 것이다.그러나, 만약 양자 시스템이 논리 정연한 Fock 상태나 뒤얽힌 시스템 등 고전적인 아날로그가 없다면, P는 델타 함수보다 어딘가에 음수이거나 더 단수인 것이다.

이 전반적인 진술은 다른 진술에서는 불가능하다.예를 들어 EPR 상태의 위그너 함수는 양정확정적이지만 고전적 아날로그가 없다.^[7][8]

위에서 정의한 표현 외에도 위상 공간 분포의 대체 표현에서 발생하는 많은 다른 퀘이프로빌리티 분포가 있다.또 다른 인기 있는 표현은 후시미 Q 표현으로,^[9] 연산자가 반정규적 순서에 있을 때 유용하다.좀 더 최근에는 양자 광학에서 복잡한 문제를 해결하기 위해 긍정적인 P표현과 더 넓은 종류의 일반화된 P표현이 사용되어 왔다.이것들은 모두 서로 동등하고 상호 교환이 가능하단다, 비즈.코헨의 클래스 분배 기능.

특성함수

확률 이론과 유사하게 양자 퀀텀 퀘이프로빌리티 분포는 특성 함수의 관점에서 작성될 수 있으며, 여기서 모든 연산자 기대값을 도출할 수 있다.N 모드 시스템의 Wigner, Gloeber P 및 Q 분포의 특성 기능은 다음과 같다.

• ${\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})}$
• ${\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})}$
• ${\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})}$

여기서 ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$$mathbf {a$$}}}}$과(와$)$은(는) 시스템의 각 모드에 대한 섬멸 및 생성 연산자를 포함하는 벡터다$$.이러한 특성 함수는 연산자 모멘트의 기대값을 직접 평가하는 데 사용할 수 있다.이러한 순간에서 전멸 및 생성 연산자의 순서는 특정한 특성 함수에 특유하다.예를 들어, 일반적으로 순서가 정해진(생성 연산자 앞의 절취 연산자) 순간은 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ $displaystyle \chi _{P}\,}$로부터 다음과 같은 방법으로 평가할 수 있다$.$

${\displaystyle \langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big }_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}}$

같은 방법으로, 전멸 및 생성 연산자의 반정규 순서 및 대칭 순서 조합의 기대값은 각각 Q 및 Wigner 분포의 특성 함수로 평가할 수 있다.Quasiprobability 함수 자체는 위의 특성 함수의 푸리에 변환으로 정의된다.그것은

${\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha },\mathbf {\alpha ^}{*})={\frac {1}{\pi ^{2}N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .}$

여기서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $displaystyle \alpha _{j}\}$ 및$$ ${\displaystyle {\alpha k}_{}^{}}$ ∗${\$은(는) 글라우버 P 및 Q 분포의 경우 일관성 있는 상태 진폭으로 식별될 수 있지만$$ 위그너 함수에 대해서는 c-numer로 식별될 수 있다.일반 공간의 분화가 푸리에 공간에서는 곱셈이 되기 때문에 다음과 같은 방법으로 이러한 함수로부터 모멘트를 계산할 수 있다.

• ${\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$
• ${\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$
• ${\displaystyle \langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$

여기서 (${\displaystyle {}_{}\cdots }$ ) ${\displaystyle S_{}}$ ${\$는 대칭 순서를 나타낸다$$.

이 표현들은 모두 가우스 함수와 위어스트라스 변환에 의한 콘볼루션을 통해 상호 연관되어 있다.

• ${\dplaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*}}={\frac {2}{\pi }\int P(\beta,\beta ^{*}e^{-2 \alpha -\beta ^{2}\d^{2}\beta}}}}}}}$
• ${\dapplaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*}}={\frac {2}{\pi }\int W(\beta ,\beta ^})^{-2 \alpha -\beta ^{2}}\d^{2}\beta}}}}}}$

아니면, 콘볼루션이 연관성이 있는 속성을 사용해서

• ${\dapplaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*}}={\frac {1}{1}{\pi }\int P(\beta,\beta ^{*}e^{- \alpha -\beta ^{2}}\d^{2}\beta ~.}}$

시간 진화 및 운영자 대응

위의 ρ에서 분포함수로의 변환은 각각 선형이기 때문에 ,${\$에 대한 동일한 변환을 수행함으로써 각 분포에 대한 운동 방정식을 얻을 수 있다$.$ 나아가 린드블라드 형태로 표현할 수 있는 모든 마스터 방정식은 $ac$에 의해 완전히 설명된다.밀도 연산자에 대한 섬멸과 생성 연산자의 조합은 그러한 연산이 각 퀘이프로빌리티 함수에 미치는 영향을 고려하는 것이 유용하다.^[10][11]

예를 들어, 소멸 연산자는 ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $displaystyle {\widehat$ {$a}_{j}\,}$을(를) consider에 작용한다고$$ 가정하십시오.P 분포의 특성 함수에 대해 우리는

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).}$

Gloeber P 함수에 해당하는 작업을 $찾기{\displaystyle \mathbf{}}$ 위해$$ z $displaystyle \mathbf {z} \,}$과(와) 관련하여 푸리에 변환을 수행하면

${\displaystyle {\widehat{a}_{j}\rho \rightarrow \alpha_{j}P(\mathbf {\alpha }),\mathbf {\alpha ^{*}).}$

위의 각 분포에 대해 이 절차를 따름으로써, 다음과 같은 운영자 서신을 식별할 수 있다.

• ${\displaystyle {\widehat{a}_{j}\rho \rightarrow \왼쪽(\j}+\kappa {\frac }{\frac }{j}^{*}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha },\mathbf {\alpha } ^*})$
• ${\displaystyle \rho{a}_{j}^{\widehat{a}}^{\\wrightarrow \좌측(\j}^{j}^{j}}}+\frappa{\fract \fract _{j}}}\우측)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha },\mathbf {\alpha } ^*})$
• ${\displaystyle {\widehat{a}_{j}^{}\\rho \rightarrow \left(\j}^{j}-{j}-(1-\kappa){\fract }{\fract \reas _{j}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha },\mathbf {\alpha } ^*})$
• ${\displaystyle \rho{a}_{j}\오른쪽 화살표 \왼쪽(\flaves _{j}-(1-\kappa ){\frac {\frac }{\flaves \{j}^{j}}}}\오른쪽)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha },\mathbf {\alpha } ^*})$

여기서 P, 위그너, Q 분포의 경우 각각 κ = 0, 1/2 또는 1이다.이런 식으로 마스터 방정식은 퀘이프로빌리티 함수의 운동 방정식으로 표현될 수 있다.

예

일관성 있는 상태

구성상 일치 상태 ${\displaystyle \alpha {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}\rangele }$에 대한 P는 단순히 델타 함수일 뿐이다$$.

${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*}}=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).}$

위그너와 Q의 표현은 위의 가우스 콘볼루션 공식에서 즉시 나타난다.

${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2 \alpha -\beta ^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2 \alpha -\alpha _{0} ^{2}}}$

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{- \alpha -\beta ^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{- \alpha -\alpha _{0} ^{2}}.}$

후시미 표현은 다음 두 가지 일관된 상태의 내적 생산물에 대해 위의 공식을 사용하여 찾을 수도 있다.

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha {\widehat {\rho }} \alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }} \langle \alpha _{0} \alpha \rangle ^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{- \alpha -\alpha _{0} ^{2}}}$

포크 상태

Fock 상태 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle$ n$\rangele}$의 P 표현은 다음과 같다$$.

${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*}}={\frac {e^{\alpha ^{2}}}{n!}}{\frac {\frac }{2n}}{\n1}{\reason \reason ^{*n}\reason \reason ^{n}}\reason ^{2}(\reason).}$

n>0의 경우 이것은 델타 함수보다 더 단수적이기 때문에, 포크 상태는 고전적인 아날로그가 없다.가우스 회합을 진행하면서 비고전성은 덜 투명하다.L이_n n번째 Laguere 다항식인 경우 W는

${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*}}=-1)^{n}{2}{\pi }e^{-2 \alpha ^{2}}L_{n}\왼쪽(4 \alpha ^{2}\오른쪽)~,},}$

음성으로 흐를 수 있지만 경계가 정해져 있다.Q는 항상 긍정적이고 경계를 유지한다.

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}}{\langle \alpha {1}\widehat{\rho }}}}}}\alpha \rangle ^{2}=\frac {1}{\pin!}}} \langle 0 {\widehat{a}^{n} \cHB \rangele ^{2}={\frac{{\n}}{\pin!}}}} \langle 0 \alpha \angle ^{2}}$

감쇠 양자 고조파 발진기

다음 마스터 방정식을 사용하여 감쇠된 양자 고조파 오실레이터를 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).}$

이로 인해 Fokker-Planck 방정식이 발생한다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[(\gamma +i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +(\gamma -i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+{\frac {\gamma }{2}}(\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)}}$

여기서 κ = 0, 1/2, P, W, Q 표기의 경우 각각 1이다.시스템이 초기에 일관성 있는 ${\displaystyle {상태\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}}$ 0$display$ {\$displaystyle$ \$alpha _{0$}\rangele $\}$에 있는 경우 이 방법으로 해결하십시오.

${\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left \alpha -\alpha _{0}e^{-(\gamma +i\omega _{0})t}\right ^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)}}\right)}}$

참조