적분 순서(계산)

미적분학에서, 적분 순서의 교환은 적분 순서를 바꿈으로써 반복되는 적분(또는 푸비니의 정리를 사용하여 여러 적분)을 다른, 바라건대 더 단순한 적분으로 변환하는 방법론이다.통합 순서를 유효하게 교환할 수 있는 경우도 있고, 그렇지 않은 경우도 있습니다.

문제문

검사의 문제는 폼의 적분에 대한 평가이다.

\displaystyle \iint _{D}\f(x,y)\dx,dy,}

여기서 D는 xy-평면의 일부 2차원 영역입니다.일부 함수의 경우 간단한 통합이 가능하지만, 그렇지 않은 경우에는 적분이 적분 순서를 변경함으로써 더 단순한 형태로 축소될 수 있습니다.이 교환의 어려움은 도메인 D의 설명 변경을 결정하는 것입니다.

이 방법은 다른 여러 ^[1]^[2]통합에도 적용할 수 있습니다.

때로는 완전한 평가가 어렵거나 수치 적분이 필요할 수 있지만, 이중 적분은 다음에 설명된 것처럼 단일 적분으로 축소될 수 있다.단일 통합으로 축소하면 수치 평가가 훨씬 쉽고 효율적입니다.

부품별 통합과의 관계

그림 1: 삼각형 영역과의 통합은 첫 번째 단계로 수직 또는 수평 스트립을 사용하여 수행할 수 있습니다.이것은 z축을 xy 평면을 내려다보는 오버헤드 뷰입니다.기울어진 선은 y = x 곡선입니다.

반복 적분 고려

\displaystyle \int _{a}^{z},\int _{a}^{x},h(y),dy,dy,class,}

물리학에서 흔히 볼 수 있는 접두사 표기법을 사용하여 다음과 같이 적습니다.

\displaystyle \int _{a}^{z}개요,\int _{a}^{x},h(y),dy}

이 식에서 두 번째 적분은 먼저 y에 대해 계산되고 x는 일정하게 유지됩니다. 즉, 폭 dx의 스트립은 먼저 y방향에 걸쳐 적분되며(x방향 폭 dx의 스트립은 y방향에 걸쳐 y변수에 대해 적분되어 y축에 따라 폭 dy의 직사각형을 무한히 더합니다).그러면 x축을 따라 y=a에서 y=x까지, z방향 z=h(y)로 폭이 3차원 슬라이스 dx가 형성됩니다.두께 dx가 극소수인 경우 x는 슬라이스에서 극소수만 변화합니다.우리는 x가 ^[3]일정하다고 가정할 수 있다.이 통합은 그림 1의 왼쪽 패널에 나타나 있지만, 특히 함수 h(y)가 쉽게 통합되지 않을 때 불편합니다.그림의 오른쪽 패널에 표시된 것과 같이 적분 순서를 반대로 함으로써 적분을 단일 적분으로 줄일 수 있습니다.변수 교환을 위해 먼저 x = y 선에서 한계 x = z로 폭 dy 스트립을 통합한 다음 y = a에서 y = z로 결과를 통합하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \int _{a}^{x}h(y)\dy=\int _{a}^{z}h(y)\dy\int _{y}^{z=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)dy}.

이 결과는 ^[4]다음과 같이 부품별 통합 공식의 예로 볼 수 있습니다.

\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x),\int

대체:

f(x)=\int _{a}^{x}h(y),dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.

그 결과가 나오죠

원리금 적분

원리금-가치 적분에 대한 적용은 Whittaker 및 Watson,^[5] Gakhov,^[6] ^[7]Lu 또는 Zwillinger를 ^[8]참조하십시오.오볼라슈빌리의 ^[9]푸앵카레-베르트랑 변환에 대한 논의도 참조하십시오.통합 순서를 ^[10]교환할 수 없는 예를 Kanwal에 나타냅니다.

{\displaystyle {1}{(2\pi i)^{2}}\int _{L}^*}{\frac {di}_{1}_{1}_{{t}\int _{L}^*}\g(\frac {d\piiiii}^{{}}\g(\frac {\frac}) {\frac}_{{{\frac}_1}_{{{{{{{}}}}}{{flac}}{{{{\flac}}}{{{{{{{

한편:

{\displaystyle {1}{(2\pi i)^{2}}\int _{L}^*}g(\tau)\d\int \left(\int _{L}^*}{\frac {d\t}_{1}{\left(\flac _{1}-t\right)\left(\flash _{{1}-t_{{{1}\right})\light}\light}\light}\light}\int _light)

두 번째 형태는 부분 분율 확장을 사용하여 평가하고 Sokhotski-Plemelj [11]공식을 사용하여 평가한다.

\displaystyle \int _{L}^*}{\frac {d\flac {d\flac _{1}-t}=\int _{L}^*}{\frac {d\flac _{1}-t}=\pi \i \ i\}

$\int _{L}^{*}$ 「L $」({$ 은 $\int _{L}^{*}$ Cauchy의 주요 값을 나타냅니다.「^[10]Kanwal」을 참조해 주세요.

기본 정리

적분 순서를 뒤집는 근거에 대한 논의는 T.W. Körner의 ^[12]책 Fourier Analysis에서 찾을 수 있다.그는 아래의 정리 II의 조건이 충족되지 않기 때문에 통합의 교환이 두 가지 다른 답변으로 이어지는 예를 들어 그의 논의를 소개한다.다음은 예를 제시하겠습니다.

\displaystyle \int _{1}^{\infty}{\frac {x^2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^2}}\dy=\left[{\frac {y}+y^{2}}}}\right]_{1}^{\infty}=-{\frac {1}{1+x^{2}}\\left[x\geq 1\right]\ .}

\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty}){\left(x^2}+y^{2}\right)^2}\dx=-{\frac {4}\}.

\displaystyle \int _{1}^{\infty}\left(\int _{1}^{\infty}{\frac {x2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^2}\dx\right)\dy=disprac {pi}{pi}{4}\}.

Chaudhry와 Zubair는 ^[13]다음과 같은 두 가지 기본 개념을 인용한다.

정리 I - f(x, y)가 θ x < ,, c y y < ,에 대해 정의된 상수 부호의 연속 함수이며, 적분은

J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx

=\int _{a

}^{\infty

}f(x,\y),f

,fram

J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx

} 및

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

J

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

)

=

∫

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

(

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

, y )

y

\

displaystyle

J

^{*}(x

)=\

int _{c

}^{\

infty }f(x,\y)

c y y < , a 、 a ∞ x < c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c그 후 적어도 1개의 통합이 반복된 경우

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

c

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

（

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

f

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

, y )

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

x )

d

y y \

displaystyle

\

int _

{

c

}^{\

infty }\

left

(\int

_a

}^{\infty})\f(x,\

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

)

dy

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

}

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

및

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

a

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

（

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

c

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

(

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

(

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

y

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

)dx, y) display x \

inty {\inty

}

}

display {

a

}d

} d_interyleftyleftyleftyled_instyleftyleftyle

컨버전스, 다른 적분도 컨버전스하고 그 값이 일치합니다.

정리 II - f(x, y)가 θ x < θ, c θ y < θ a a a a theorem theorem theorem theorem theorem theorem theorem theorem theorem theorem

J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx

=\int _{a

}^{\infty

}f(x,\y),f

,fram

J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx

} 및

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

J

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

)

=

∫

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

(

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

, y )

y

\

displaystyle

J

^{*}(x

)=\

int _{c

}^{\

infty }f(x,\y)

모든 유한 구간 c y y < C 및 모든 유한 구간 a x x < A에서 각각 균일하게 수렴되어야 한다.그 후 적어도 1개의 통합이 반복된 경우

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

c

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

（

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

a

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

（

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

,

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

)

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

)

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

y y \

displaystyle

\

int _

{

c

}^{\

infty }\

left

(\int

_a}^{\

infty})f(

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

,\

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

)dx\right

)

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

dy

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

} 및

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

a

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

c (

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

y

)

dx, y)dx, \

in {\intery

}display {a

}x

dx\in_in_in_in_in_in_in {a}

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

}d}d}d}x}x}

컨버전스, 반복된 통합

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

c

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

（

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

a

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

（ x

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

,

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

)

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

x )

d

y \

displaystyle

\

int _

{c}^{\infty }f(x,\

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

)dy

} 및

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

a

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

c

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

(

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

x , y )

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

\

inty

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

x\instyle

x\in{

a

}d

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

dy}dy}

dx\

in_\

in_y

}dy}dx\insty}dy}dx\instyledx\in_in_in_x\in_y}dy}dy

또한 수렴하고 값이 동일합니다.

응용 프로그램의 가장 중요한 정리는 Protter와 ^[14]Morrey에서 인용한 것입니다.

정리 - F가 F $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ { ( $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ x , $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ ) : $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ x $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ b , $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ y $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ q ( $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ ) $y$ { $displaystyle$ F = \ $left$ \ { ( x , \ $y$ ) : $a$ \ $leq$ x \ $leq b , p$ ( $x$ ) \ $right$ }에 $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ 주어지는 영역이라고 합니다.f(x, y)가 F에서 연속형이라고 가정합니다.그리고나서

\displaystyle \iint _{F,y},dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^q(x)}f(x,\y),dy\dx.}

닫힌 영역 F가

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

{ (

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

x ,

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

) : c

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

、

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

(

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

)

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

≤

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

( y )

}

{

displaystyle

F = \

left

\ { ( x , \ y ) :

c

\

leq

y

\leq

d

,

r

( y ) \ right }

sy

（ r

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

）。이런 경우에는

\iint _{F}f(x,\y)dA=\int _{c}^{d}{r(y)}{s(y)}f(x,\y),f\dy\

즉, 두 반복 적분은 계산 가능한 경우 이중 적분과 같으므로 서로 같습니다.

「」를 참조해 주세요.

푸비니의 정리

레퍼런스 및 메모

^ Seán Dineen (2001). Multivariate Calculus and Geometry. Springer. p. 162. ISBN 1-85233-472-X.
^ Richard Courant & Fritz John (2000). Introduction to Calculus and Analysis: Vol. II/1, II/2. Classics in mathematics. Springer. p. 897. ISBN 3-540-66569-2.
^ "Double Integrals". Department of Mathematics, Oregon State University. 1996.
^ 소수 " " "는 라그랑주 표기법으로 도함수를 나타낸다.
^ Edmund Taylor Whittaker; George Neville Watson (1927). A Course of Modern Analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (4th ed., repr ed.). Cambridge University Press. p. §4.51, p. 75. ISBN 0-521-58807-3.
^ F. D. Gakhov (1990). Boundary Value Problems. Courier Dover Publications. p. 46. ISBN 0-486-66275-6.
^ Jian-Ke Lu (1993). Boundary Value Problems for Analytic Functions. Singapore: World Scientific. p. 44. ISBN 981-02-1020-5.
^ Daniel Zwillinger (1992). Handbook of integration. AK Peters Ltd. p. 61. ISBN 0-86720-293-9.
^ Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems. Birkhäuser. p. 101. ISBN 0-8176-4286-2.
^ ^a ^b Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. p. 194. ISBN 0-8176-3940-3.
^ Sokhotski-Plemelj 공식에 대한 자세한 내용은 예를 들어 또는 를 참조하십시오.
^ Thomas William Körner (1988). Fourier Analysis. Cambridge University Press. p. Chapters 47 & 48. ISBN 0-521-38991-7.
^ M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair (2001). On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications. CRC Press. p. Appendix C. ISBN 1-58488-143-7.
^ Murray H. Protter & Charles B. Morrey, Jr. (1985). Intermediate Calculus. Springer. p. 307. ISBN 0-387-96058-9.

외부 링크

Paul의 온라인 수학 노트:미적분 III
오리건 주립 대학교 수학과의 반복 적분을 사용한 "이중 적분"의 계산을 보여주는 좋은 3D 이미지입니다.
Ron Miech의 UCLA 미적분 문제 통합 순서를 변경하는 보다 복잡한 예(문제 33, 35, 37, 39, 41 및 43 참조)
듀안 나이캄프의 미네소타 대학교 웹 사이트

[Dineen-1] Seán Dineen (2001). Multivariate Calculus and Geometry. Springer. p. 162. ISBN 1-85233-472-X.

[Courant-2] Richard Courant & Fritz John (2000). Introduction to Calculus and Analysis: Vol. II/1, II/2. Classics in mathematics. Springer. p. 897. ISBN 3-540-66569-2.

[OSU-3] "Double Integrals". Department of Mathematics, Oregon State University. 1996.

[4] 소수 " " "는 라그랑주 표기법으로 도함수를 나타낸다.

[Whittaker-5] Edmund Taylor Whittaker; George Neville Watson (1927). A Course of Modern Analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (4th ed., repr ed.). Cambridge University Press. p. §4.51, p. 75. ISBN 0-521-58807-3.

[Gakhov-6] F. D. Gakhov (1990). Boundary Value Problems. Courier Dover Publications. p. 46. ISBN 0-486-66275-6.

[Lu-7] Jian-Ke Lu (1993). Boundary Value Problems for Analytic Functions. Singapore: World Scientific. p. 44. ISBN 981-02-1020-5.

[Zwillinger-8] Daniel Zwillinger (1992). Handbook of integration. AK Peters Ltd. p. 61. ISBN 0-86720-293-9.

[Obolashvili-9] Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems. Birkhäuser. p. 101. ISBN 0-8176-4286-2.

[Kanwal-10] Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. p. 194. ISBN 0-8176-3940-3.

[Cima-11] Sokhotski-Plemelj 공식에 대한 자세한 내용은 예를 들어 또는 를 참조하십시오.

[Körner-12] Thomas William Körner (1988). Fourier Analysis. Cambridge University Press. p. Chapters 47 & 48. ISBN 0-521-38991-7.

[Chaudry-13] M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair (2001). On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications. CRC Press. p. Appendix C. ISBN 1-58488-143-7.

[Protter-14] Murray H. Protter & Charles B. Morrey, Jr. (1985). Intermediate Calculus. Springer. p. 307. ISBN 0-387-96058-9.

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[14]

v t 통합
인테그레이션의 종류	리만 적분 르베그 적분 버킬 적분 보히너 적분 다니엘 적분 다르부 적분 헨스톡-쿠르즈와일 적분 Haar 적분 헬링거 적분 킨친 적분 콜모고로프 적분 르베그-슈티엘트제 적분 페티스 적분 페퍼 적분 리만-슈틸테스의 적분 규제적분
통합 기술	대체 삼각법 오일러 바이어스트라스 부품별 부분 분수 오일러 공식 역함수 순서 변경 환원식 파라메트릭 도함수 적분 기호 아래의 차별화 라플라스 변환 등고선 통합 라플라스법 수치 적분 심슨의 법칙 사다리꼴 규칙 라이시 알고리즘
부적절한 통합	가우스 적분 디리클레 적분 페르미-디락 적분 완성하다 불완전한 보스-아인슈타인 적분 프룰라니 적분 양자장 이론의 공통 적분
확률적분	이토 적분 루소-발루아 적분 스트라토노비치 적분 스코로호트 적분
여러가지 종류의	바젤 문제 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 볼륨 세탁기 셸

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