인용구획정

대수 기하학에서 인용구 체계는 투영적 체계에 대해 국소적으로 자유형 피복재를 파라메트리하는 체계다.More specifically, if X is a projective scheme over a Noetherian scheme S and if F is a coherent sheaf on X, then there is a scheme $\operatorname {Quot} _{F}(X)$ whose set of T-points ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\ope$ $ratorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X)}$ 은 T 위에 평평한 $F\times _{S}T$ $F\times _{S}T$ $F\times _{S}T$ $F\times _{S}T$ $F\times _{S}T$ 의 인수의 이형성 클래스 집합이다 $\operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))$ .그 개념은 알렉산더 그로텐디크에 의해 소개되었다.^[1]

그것은 일반적으로 힐버트 체계와 같이 관심 있는 기하학적 객체를 파라메트리징하는 또 다른 체계를 구축하는데 사용된다.(사실 F를 sheaf ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\$ 구조로 가져가면 힐버트 체계가 주어진다 ${\mathcal {O}}_{X}$ .

정의

노메테리아 기본 구성표 $S$ $S$ 에 $X\to S$ 대한 $X\to S$ 유형 $X\to S$ → S $X$ $S$ 및 일관성 있는 셰이프 ${\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)$ ${\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)$ ${\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)$ ) ${\displaystyle {\mathcal{E}\\text{Coh}(X)$ 에 ${\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)$ functor가^[2] 있다.

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {E}/X/S}:(Sch/S)^{op}\text{\text}세트}$

$T\to S$ → $T\to S$ $T\to S$ 에 $T\to S$ 전송

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {E}/X/S}(T)=\left\{\mathcal {F},q):{\begin{matrix}{\mathcal{F}}{\text{Coh}}(X_{T})\{\text{Supple}}{\text}{{\mathcal{F}{\text}{{}}}}}는 }T\q:{\mathcal{E_}}}}}}}}}}}}}에 대해 적당하다.T}\to {\mathcal{F}{\text{severjective}}\end{matrix}\right\}/\sim$

여기서 $X_{T}=X\times _{S}T$ $X_{T}=X\times _{S}T$ = $X_{T}=X\times _{S}T$ $X_{T}=X\times _{S}T$ $X_{T}=X\times _{S}T$ $X_{T}=X\times _{S}T$ ${\displaystyle X_{$ $T}=X\time _{S}T$ ${\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}$ E ${\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}$ = ${\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}$ r ${\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}$ E ${\$ $T}=$ $pr_{X}:X_{T}\to X$ ${X}^{*}}{\mathcal{E}}}$ $pr_{X}:X_{T}\to X$ p $pr_{X}:X_{T}\to X$ X : $pr_{X}:X_{T}\to X$ T $pr_{X}:X_{T}\to X$ → $pr_{X}:X_{T}\to X$ X {\ $displaystyle$ pr_ ${X}$ X} $X_{{}}$ $T}\to X}$ . There is an equivalence relation given by $({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')$ if there is an isomorphism ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}''$ commuting with the two projections $q,q'$ ; that is,

${\begin{matrix}{\mathcal{E}}_{{T}&{\xrightarrow{q}}{\mathcal {F}\\\downarrow {}&\\downarrow \\\mathcal {E}_{\mathcal}}{{\mathcal}}}}{\mathcal}}}}}}{{T}&{\xrightarrow{q'}}&{{\mathcal {F}'\end{matrix}$

${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ T ${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ → ${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ ${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ ${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ ${\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}$ ${\$ 에 대한 정류 도표임 $T}{\xrightarrow{id}}{\mathcal{E}_{T}}$ 또는 ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ ( ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ = ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ ( ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ q ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ ){\ $displaystyle{ker}(q)={\text{ker$ }}(q $')}$ 을(으)로 잡는 것과 동등한 조건이 있다 ${\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')$ 이것은 하위 기능자의 분리된 결합으로 자연적인 층을 갖는 인용 부함수라고 $불리며$ , 각각은 Hilbert $\Phi$ \ ${\displaystyle$ $S}$ -scheme라고 $S$ 불리는 투사 S{\displaystyle S} $-scheme$ 로 표현된다 $\Phi$

힐베르트 다항식

For a relatively very ample line bundle ${\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)$ ^[3] and any closed point $s\in S$ there is a function $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ sending

$m\mapsto \chi({\mathcal {F}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n(-1)^{i}{\text{properties}_{\kappa(s)}H^{i}(X, {\mathcal {F}_{s}\otimes {\mathcal {L}^{s}^{\otimes m}})$

이것은 $m>>0$ $m>>0$ $m>>0$ $m>>0$ 에 대한 다항식이다 $m>>0$ 이것을 힐베르트 다항식이라고 하는데, 인용 펑터의 자연스러운 층화를 준다. ${\mathcal {L}}$ L ${\$ 고정된 ${\mathcal {L}}$ L에 대해 하위 기능의 결합이 해제되어 있다.

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {E}/X/S}=\coprod _{\\\Phi \in \mathb{Q} [\lambda ]}{\mathcal {Quot}_{{\mathcal {E}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}}}}$

어디에

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {E}/X/S}^{\Phi,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{\mathcal {F},q)\in {\mathcal}_{E}/X/S(T)}):\Phi _{\mathcal{F}=\Phi \right\}}$

The Hilbert polynomial $\Phi _{\mathcal {F}}$ is the Hilbert polynomial of ${\mathcal {F}}_{t}$ for closed points $t\in T$ . Note the Hilbert polynomial is independent of the choice of very ample line bundle ${\mathcal {L}}$ .

그로텐디크의 존재 정리

It is a theorem of Grothendieck's that the functors ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}$ are all representable by projective schemes ${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\$ $Phi$ $}$ 과 S ${\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }$ $displaystyle$ S} .

예

그라스만어

$n$ $n$ - 차원 $n$ 벡터 공간에서 $k$ $k$ -plane의 $G(n,k)$ $k$ $n,k$ ${\displaystyle G($ n,k $)}$ 은(는) 범용 몫이 있다.

${\mathcal {O}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}$

where ${\mathcal {U}}_{x}$ is the $k$ -plane represented by $x\in G(n,k)$ . Since ${\mathcal {U}}$ is locally free and at every point it represents a $k$ -plane, it has the constant Hilbert polynomial $\Phi (\lambda )=k$ $\Phi (\lambda )=k$ ( $\Phi (\lambda )=k$ ) $\Phi (\lambda )=k$ = $\Phi (\lambda )=k$ ${\displaystyle \Phi (\lambda )=k$ $G(n,k)$ 은 G $G(n,k)$ ( $G(n,k)$ , $G(n,k)$ ) $G(n,k)$ 가 인용 functor를 나타낸다 $G(n,k)$ .

${\mathcal {Quot}_{{\mathcal {O}_{G(n,k)}^{\oplus (n)/{\text{Spec}(\mathb {Z})}/{\text{Spec}}}^{k, {O}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}$

투영 공간

특별한 경우로서 프로젝트 공간 $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ ( $){\displaystyle \mathb {P}({\mathcal {E})$ 를 인용 체계로 $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ 구성할 수 있다.

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {E}/X/S}^{1,{\mathcal {O}_{X}}}}}$

$S$ $S$ -scheme $S$ $X$ $X$ 의 ${\mathcal {E}}$ sheaf ${\mathcal {E}}$ ${\$ 에 대해 $X$

힐버트 계획

힐버트 제도는 인용구획의 특별한 예다.하위 집합 $Z\subset X$ $Z\subset X$ $Z\subset X$ ${\displaystyle Z\subset$ X $}$ 을(를) 투영으로 지정할 수 있다는 $Z\subset X$ 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\mathcal{O}_{X}\to {\mathcal{O}_{Z}}에 연결$

$T\in Sch/S$ T $T\in Sch/S$ s $T\in Sch/S$ c $T\in Sch/S$ / $T\in Sch/S$ ${\displaystyle T\in$ Sch $/S}$ 에 의해 매개변수화된 그러한 투영의 플랫 패밀리는 다음과 같이 주어질 수 있다 $T\in Sch/S$ .

${\mathcal{O}_{X_{{T}}\to {\mathcal{F}$

Hilbert 다항식이 $Z$ $Z$ 과(와) 연관되어 있기 때문에, $Z$ $\Phi _{Z}$ $\Phi _{Z}$ {\ $displaystyle \Phi _{Z}$ 로 표시되므로 $\Phi _{Z}$ 계획의 이형성이 있다.

${\text{Quot}}_{{\mathcal {O}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\피 _{Z}}$

매개 변수화 예제

If $X=\mathbb {P} _{k}^{n}$ and $S={\text{Spec}}(k)$ for an algebraically closed field, then a non-zero section $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))$ has vanishing locus $Z=Z(s)$ with Hilbert poly명목상의

$\Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}-{n}-{\binom {n-d+\lambda }}}}$

그러자, 억측이 나온다.

${\mathcal {O}\to {\mathcal {O}_{Z}}$

with kernel ${\mathcal {O}}(-d)$ . Since $s$ was an arbitrary non-zero section, and the vanishing locus of $a\cdot s$ for $a\in k^{*}$ gives the same vanishing locus, the scheme ${\displaystyle$ $Q=\mathbb {P}(\Gamma({\mathcal{O})(d))}$ 은(는) 이러한 모든 섹션에 대해 자연 파라미터화를 제공한다 $Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$ .There is a sheaf ${\mathcal {E}}$ on $X\times Q$ such that for any $[s]\in Q$ , there is an associated subscheme $Z\subset X$ and surjection ${\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}$ . This construption은 인용구를 나타낸다.

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {O}/\mathb {P}^{n}/{\text{Spec}}(k)^{\\\\피 _{Z}}$

투영 평면의 사각형

$X=\mathbb {P} ^{2}$ = $X=\mathbb {P} ^{2}$ $X=\mathbb {P} ^{2}$ ${\$ }} 및 $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))$ $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))$ γ $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))$ ( $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))$ ( 2 $s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))$ ) ${\displaysty s\in \Gamma({\mathcal{O}(2$ Hilbert 다항식 다항식은

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\\da +1\end{정렬}}$

그리고

${\text{Quot}_{\mathcal {O}/\mathb {P}^{{\text{Spec}(k)^{\lambda +1}\cong \mathb {P}(\Mathcal{O})\cangmathb {P}{{{{{{{{{{{5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$\mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}$ $\mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}$ $\mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}$ $\mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}$ 2 ${\$ 이상의 범용 지수는 다음과 같다 $\mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}$ .

${\mathcal {O}\to {\mathcal {U}$

여기서 $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ 한 점에 걸친 섬유 $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ quot $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ quot $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ λ $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ + $[Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}$ ${\text{Quot}}_{\\mathcal{O}/\mathb {P}/{\text{P}}}{\Spec}}^{\lambda +1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{$

${\mathcal {O}\to {\mathcal {O}_{Z}}$

예를 들어 $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ [ $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ = $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ [ $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ : $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ : $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ : $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ : $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ : $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ ${\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3$ }: $a_{4}:a_{5}}}}}}$ 이(가) 의 계수를 나타내는 $[Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]$ 경우

$f=a_{0}x^{2}+a_{1}}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}$

그 다음 $[Z]$ [ $]$ {\ $displaystyle$ [ $Z]$ 에 대한 범용 지수는 정확한 짧은 시퀀스를 제공한다 $[Z]$ .

$0\to {\mathcal {O}(2){\x오른쪽 화살표 {f}{\mathcal {O}\to 0$

원곡선의 반분 벡터 번들

$g$ $g$ 의 $C$ $원곡선$ C {\ $displaystyle$ C}에 있는 반분형 벡터 번들은 한정된 등급의 국소적으로 자유층이라고 동등하게 설명할 $g$ 수 있다. $d$ 와 같이 로컬에서 무료로 제공되는 순위 n ${\displaystyle$ ${\mathcal {F}$ 의 ${\mathcal {F}}$ $n$ F $d$ 에 $d$ 속성이^[4] 있음

$H^{1}(C,{\mathcal {F})=0$
${\mathcal {F}}$ ${\$ 이(가) 글로벌 섹션에 의해 생성됨 ${\mathcal {F}}$

$d>n(2g-1)$ > $d>n(2g-1)$ ( $d>n(2g-1)$ $d>n(2g-1)$ - 1 $d>n(2g-1)$ ) ${\displaystyle d>n($ 2g-1)용 $d>n(2g-1)$ 이것은 추론이 있다는 것을 암시한다.

$H^{0}(C, {\mathcal {F})\time {\mathcal {O}{C}\cong {\mathcal {O}}{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}}}}}}}$

그런 다음 인용구 ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ o ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ o ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ C ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ N ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ / ${\$ 파라메타에 ${\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }$ 따라 모든 그러한 거절이러에 해당된다.Grotendieck-Remann-Roch 정리를 사용하여 치수 $N$ {\ $displaystyle N}$ 은 $N$ (는 $)$

$\chi({\mathcal{F}})=d+n(1-g)$

For a fixed line bundle ${\mathcal {L}}$ of degree $1$ there is a twisting ${\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}$ , shifting the degree by $nm$ , so

$\chi({\mathcal {F})(m)=mn+d+n(1-g)$ ^[4]

힐베르트 다항식 부여

$\Phi _{\mathcal {F}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)$

그러면 반안정 벡터 번들의 위치가 에 포함되어 있다.

${\mathcal {Quot}_{\mathcal {O}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}/\mathb {Z}^{}^{\\\Phi _{\mathcal{F},{\mathcal{L}}}}$

GIT 지수를 사용하여 반증 가능한 벡터 번들 ${\mathcal {M}}_{C}(n,d)$ ${\mathcal {M}}_{C}(n,d)$ ( ${\mathcal {M}}_{C}(n,d)$ , ${\mathcal {M}}_{C}(n,d)$ ) ${\mathcal {M}_{C}(n,d)$ 을 ${\mathcal {M}}_{C}(n,d)$ (를) 구성하는 데 사용할 수 있다.^[4]

참고 항목

참조

^ 그랜디크, 알렉산더기법 de construction et théoremes en géométrie algébrique IV : 레스 슈마스 드 힐버트.세미나레 부르바키: 안네 1960/61, exposes 205-222, 세미나레 부르바키, 6번(1961), 토크 221, 페이지 249-276
^ Nitsure, Nitin (2005-04-29). "Construction of Hilbert and Quot Schemes". arXiv:math/0504590.
^ Meaning a basis $s_{i}$ for the global sections $\Gamma (X,{\mathcal {L}})$ defines an embedding $\mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}$ for $N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))$ $N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))$
^ ^a ^b ^c Hoskins, Victoria. "Moduli Problems and Geometric Invariant Theory" (PDF). pp. 68, 74–85. Archived (PDF) from the original on 1 March 2020.

힐버트와 시세의 구성
안정적 지도와 양자 코호몰로지 관련 참고사항
Nitsure, N. Hilbert 건설 및 Quote 계획.기초 대수 기하학: 그로텐디크의 FGA는 수학 조사와 모노그래프 123, 미국 수학 학회 2005, 105–137에 대해 설명했다.
https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/

[1] 그랜디크, 알렉산더기법 de construction et théoremes en géométrie algébrique IV : 레스 슈마스 드 힐버트.세미나레 부르바키: 안네 1960/61, exposes 205-222, 세미나레 부르바키, 6번(1961), 토크 221, 페이지 249-276

[2] Nitsure, Nitin (2005-04-29). "Construction of Hilbert and Quot Schemes". arXiv:math/0504590.

[3] Meaning a basis $s_{i}$ for the global sections $\Gamma (X,{\mathcal {L}})$ defines an embedding $\mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}$ for $N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))$ $N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))$

[:0-4] Hoskins, Victoria. "Moduli Problems and Geometric Invariant Theory" (PDF). pp. 68, 74–85. Archived (PDF) from the original on 1 March 2020.

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