지수(범용대수)

수학에서, 지수대수는 합치 관계를 이용하여 대수 구조의 요소들을 분할한 결과물이다.지수 알헤브라는 인자 알헤브라스라고도 불린다.여기서 합치관계는 아래에 기술된 형식적 의미에서 대수학의 모든 연산과 추가로 호환되는 등가관계여야 한다.그것의 등가 등급은 주어진 대수 구조의 요소들을 분할한다.인용 대수학에는 이러한 등급이 요소로서 존재하며, 호환성 조건은 해당 등급에 대수적 구조를 부여하는 데 사용된다.^[1]

지수대수의 아이디어는 하나의 공통된 개념으로 추상화된다. 링 이론의 지수 링, 그룹 이론의 지수 그룹, 선형 대수학의 지수 공간, 대표 이론의 지수 모듈.

양립가능

A를 대수 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의$$원소 집합으로 하고 E를 A 집합의 동등성 관계가 되도록 한다.The relation E is said to be compatible with (or have the substitution property with respect to) an n-ary operation f, if ${\displaystyle (a_{i},\;b_{i})\in E}$ for ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ implies ${\d$$isplaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E}$ for any ${\displaystyle a_{i},\;b_{i}\in A}$ with ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. An equivalence relation compatible with all the operations of an algebra is called a congruence with respect to this algebra.

알헤브라와 동음이의어

집합 A의 동등성 관계 E는 동등성 클래스로 설정된 파티션.이러한 동등성 등급의 집합을 보통 지수 집합이라고 하며 A/E로 표시한다.대수 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 경우$,$ E가 합치인 경우 A/E의 요소에 유도된 연산을 정의하는 것이 간단하다.Specifically, for any operation ${\displaystyle f_{i}^{\mathcal {A}}}$ of arity ${\displaystyle n_{i}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (where the superscript simply denotes that it is an operation in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, and the subscript ${\displaystyle i\in I}$$$ enumerates the functions in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and their arities) define ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E}$ as ${\displaystyle f_i^{\mathcal{A}/E}([a_1{]}_E,\dots ,[a_{n_i}{]}_E)=[f_i^{\mathcal{A}}(a_1,\dots ,a_{{}_{}}}$$n$${\$${E$ 여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A}$/ E ${\displaystyle [x]_$${E}\in A/E}$은(는) E에서 생성된$$ x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 $동등성$ 클래스$("$x modulo E$")$를 의미한다.

For an algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$, given a congruence E on ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, the algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})$$_{i\in I}}$은(는) $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ modulo$$ E의 몫 대수(또는 인자 대수)라고 불린다$$.$모든{\displaystyle \mathcal{}}$ 요소를$$동등성 등급에 $매핑하는$ A ${\displaystyle {\$${\displaystyle mathcal}${A}에서 A/E${\displaystyle$ {\mathcal ${A}/E}$까지의 자연 동형성이 있다.In fact, every homomorphism h determines a congruence relation via the kernel of the homomorphism, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\, \,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$.

Given an algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, a homomorphism h thus defines two algebras homomorphic to ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, the image h(${\displaystyle {\mathcal {A}}}$) and ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ The two are isomorphic, a resu그것은 동형상 이미지 정리 또는 보편대수를 위한 첫 번째 이형상 정리라고 알려져 있다.형식적으로 $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ h$:{\mathcal{A}\to {\mathcal{B}}}}$을(를) 허탈적 동형(同形)으로$$ 한다.Then, there exists a unique isomorphism g from ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ onto ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ such that g composed with the natural homomorphism induced by ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ equals h.

응집 격자

집합 A에 있는$$ 모든 대수 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대해 A의 $ID{\displaystyle }$ 관계와 ${\displaystyle A}$ A {\$displaystyle$A$\times$ A$}$은(는) 사소한 조합이다.다른 합치가 없는 대수학을 단순이라고 한다.

Let ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ be the set of congruences on the algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Because congruences are closed under intersection, we can define a meet operation: ${\displaystyle \wedge :\mathrm {Con$$} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ by simply taking the intersection of the congruences ${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$.

반면에, 조합은 결합되어 폐쇄되지 않는다.However, we can define the closure of any binary relation E, with respect to a fixed algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, such that it is a congruence, in the following way: ${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\$$부분집합 F$ 이진 관계의 닫힘은 일치하므로 캐리어 세트뿐만 아니라$$$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 연산에 따라 결정된다는 점에 유의하십시오.Now define ${\displaystyle \vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ as ${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$.

For every algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$ with the two operations defined above forms a lattice, called the congruence lattice of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

몰트세프 조건

If two congruences permute (commute) with the composition of relations as operation, i.e. ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$, then their join (in the congruence lattice) is equal to their composition: ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$. An algebra is called congrue모든 조합의 조합이 허용될 경우 nce-controllable; 마찬가지로 모든 조합원이 합치-불합치 알제브라일 경우 다양성도 합치-불합치 가능하다고 한다.

In 1954, Anatoly Maltsev established the following characterization of congruence-permutable varieties: a variety is congruence permutable if and only if there exist a ternary term q(x, y, z) such that q(x, y, y) ≈ x ≈ q(y, y, x); this is called a Maltsev term and varieties with this property are called Maltsev varieties.몰체프의 특성화는 유사한 결과를 그룹(테이크 q = xyz⁻¹), 링, 퀘이시그룹(테이크 q = (x / (y \ y))(y \ z)), 보완 래티스, 헤이트팅 알헤브라스 등으로 다수 설명한다.게다가, 모든 합치-permuable 대수학은 합치-모듈식이다. 즉, 합치의 격자도 모듈식 격자이다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다.

몰체프의 결과 이후, 다른 연구자들은 몰체프가 발견한 것과 유사한 조건에 근거한 특성화를 발견했지만, 예를 들어 1967년 Bjarni Jonsson은 분배 가능한 혼합 격자(즉, 결합-분배 품종이라 불린다)를 가진 품종의 조건을 발견했다.일반적으로 이러한 조건을 몰트세프 조건이라고 한다.

이 연구 라인은 픽슬리-윌레 알고리즘으로 이어져 결합성 정체성과 관련된 몰체프 조건을 생성했다.^[2]

참고 항목

• 지수 반지
• 응집 격자 문제
• 부분군 격자

메모들

참조

• Klaus Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Universal algebra and coalgebra. World Scientific. pp. 14–17. ISBN 978-981-283-745-5.
• Purna Chandra Biswal (2005). Discrete mathematics and graph theory. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 215. ISBN 978-81-203-2721-4.
• Clifford Bergman (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. pp. 122–124, 137 (Maltsev varieties). ISBN 978-1-4398-5129-6.