램프 함수

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램프 기능은 그래프가 램프 모양을 하고 있는 단일 실제 함수다. 예를 들어 "음극 입력의 경우 0, 비음극 입력의 경우 출력이 입력과 동일"과 같은 수많은 정의로 표현할 수 있다. "램프"라는 용어는 스케일링과 시프트를 통해 얻은 다른 기능에도 사용할 수 있으며, 이 글의 기능은 유닛 램프 기능(슬로프 1, 0부터 시작)이다.

수학에서 램프 기능은 양성 부분으로도 알려져 있다.

머신러닝(machine learning)에서는 일반적으로 전기공학에서 반파 정류와 유사하게 ReLU 활성화 기능^[1][2] 또는 정류기로 알려져 있다. 통계량(우도 함수로 사용되는 경우)에서는 이를 토비트 모형이라고 한다.

이 함수는 수학과 공학에서 수많은 응용을 가지고 있으며, 문맥에 따라 다양한 이름으로 통한다.

정의들

램프 함수(R(x) : ℝ → ℝ₀⁺)는 여러 가지 방법으로 분석적으로 정의할 수 있다. 가능한 정의는 다음과 같다.

• 조각 함수:

  ${\displaystyle R(x):={\cHB{case}x,&x\geq 0;\0,&x<0\end{case}}}}$

• 최대 기능:

  ${\displaystyle R(x):=\max(x,0)}$

• 독립 변수의 평균과 절대값(단일 구배와 계수가 있는 직선):

  ${\displaystyle R(x):={\frac {x+ x }{2}}:}$

이는 max(a,b)의 다음 정의를 참고함으로써 도출될 수 있다.

${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+ a-b+ }{2}}:}$

a = x 및 b = 0인 경우

• Hubiside 스텝 함수와 일률 구배 직선을 곱한 값:

  $R\왼쪽(x\오른쪽):=xH(x)}$

• 그 자체로 Hubiside step 함수의 convolution:

  $R\왼쪽(x\오른쪽):=H(x)*H(x)}$

• Hubiside 스텝 기능의 통합:^[3]

  ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infit }^{x}H(\xi )\,d\xi }$

• Macaulay 괄호:

  ${\displaystyle R(x):=\langle x\angle }$

• ID 함수의 긍정적인 부분:

  ${\displaystyle R:=\mathrm {id} ^{+}}$

적용들

램프 기능은 디지털 신호 처리 이론과 같이 공학에서 수많은 응용 프로그램을 가지고 있다.

금융에서 콜옵션의 보상은 램프(파업가격으로 변동)이다. 램프를 수평으로 뒤집으면 풋옵션이 생기는 반면, 수직으로 플립(부정)하면 옵션을 팔거나 "짧은" 옵션에 해당한다. 금융에서는 아이스하키 스틱과 모양이 비슷해 '호키 스틱'이라고 널리 불린다.

통계에서 다변량 적응 회귀 스플라인(MARS)의 힌지 함수는 램프로서 회귀 모델을 구축하는 데 사용된다.

분석적 특성

비부정성

전체 영역에서 함수는 음수가 아니므로 절대값은 그 자체, 즉 그 자체다.

${\displaystyle \forall x\in \mathb {R} :R(x)\geq 0}$

그리고

$왼쪽 R(x)\오른쪽 =R(x)}$

• 증거: 정의 2의 평균에 따르면, 1/4분기에는 음이 아니며, 2/4분기에는 0이 된다. 따라서 어느 곳이나 음이 아니다.

파생상품

그 파생상품은 Hubiside 함수다.

${\displaystyle R'(x)=H(x)\quad {\mbox{{}x\neq 0.}$

제2차 파생상품

램프 기능은 다음과 같은 미분 방정식을 만족한다.

${\dplaystyle {\frac{d^{2}}R(x-x_{0})=\delta(x-x_{0}),}$

여기서 Δ(x)는 디락 델타다. 이는 R(x)이 두 번째 파생상품 사업자에 대한 그린의 함수라는 것을 의미한다. 따라서 통합 가능한 두 번째 파생상품인 f f(x)를 가진 모든 함수 f(x)는 다음 방정식을 충족한다.

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'+(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f"\,ds\quad{\mbox{{}a<b.}$

푸리에 변환

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}$

여기서 Δ(x)는 디락 델타(이 공식에서, 그 파생상품이 나타난다).

라플라스 변환

R(x)의 단측 라플라스 변환은 다음과 같이 주어진다.^[4]

${\displaystyle {\mathcal{L}{\big \{}R(x){\big \}}=\int _{0}^{0}}{\sx(x)dx={\frac {1}{1}s^{2}}.}$

대수적 특성

반복 불변성

램프 매핑의 모든 반복 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle R{{\big (}R(x){\big )}=R(x).}$

• 증명:

${\displaystyle R{{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+R(x){2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x)}}}}=R(x)=R(x)=R(x).}$

이것은 음성이 아닌 특성을 적용한다.

참고 항목

• 토비트 모델

참조