랜덤 군집 모형

물리학, 확률론, 그래프 이론 등에서 랜덤 클러스터 모델은 Ising 모델, Potts 모델, Percolation 모델을 일반화하고 통합하는 랜덤 그래프다.무작위 조합 구조, 전기 네트워크 등을 연구하는데 사용된다.^[1][2]설립자 Kees Fortuin과 Piet Kastelyn의 이름을 따서 RC 모델 또는 때로는 FK 표현이라고도 한다.^[3]

정의

$G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$, E${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$=(V,E)}$을 그래프로 하고$$, $\Omega {\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \omega$:$E\to \{0,1\}$은(는) 그래프에서 각 에지를 0 또는 1의 값에 매핑하는 결합 구성이다.We say that a bond is closed on edge ${\displaystyle e\in E}$ if ${\displaystyle \omega (e)=0}$, and open if ${\displaystyle \omega (e)=1}$. If we let ${\displaystyle A(\omega )=\{e\in E:\omega (e)=1\}}$ be the set of open bonds, then an open cluster is any con$A{\displaystyle (\Omega }$) ${\displaystyle A(\omega )}$의 꿀 성분$.$ 열린 클러스터는 하나의 꼭지점일 수 있다는 점에 유의하십시오(정점이 열린 결합에 영향을 미치지 않는 경우).

가장자리가 확률 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과(와) 독립적으로 열려 있고 그렇지$$ 않으면 닫힌다고 가정하면 이는 표준 베르누이 퍼콜레이션 프로세스일 뿐이다.구성 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$의 확률 측도는 다음과 같이 제공된다$$.

${\displaystyle \mu(\omega )=\prod _{e\in E}p^{\omega(e)}^{1-p)^{1-\omega(e)}}$

RC 모델은 percolation의 일반화로서$,$ 여기서 각 클러스터는 $q{\displaystyle }${\$displaystyle \$omega }의 인수로 $가중$된다$.$ 구성 Ω {\$displaystyle \$$omega{\displaystyle }$$\},$ C ( ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaysty C(\omega )$를 개방된 결합에 의해 형성된 연결된 구성 요소의 수로 한다$$.그런 다음 > ${\displaystyle q>0$에 대해 구성 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$의 확률 측도가 다음과 같이 제공된다$$.

${\displaystyle \mu(\omega )={\frac {1}{Z}q^{C(\omega)}\prod_{e\in E}p^{\omega(e)}^{1-p)^{1-\omega(e)}}}$

Z는 파티션 함수 또는 모든 구성의 비정규 가중치에 대한 합이다.

${\displaystyle Z=\sum _{\omega \in \Oomega \}\{q^{c(\omega )}\pod _{e\in E(G)}p^{\omega(e)}^{1-\omega(e)}\right\}.}$

${\displaystyle \mathrm{q}}$= 1 ${\displaystyle q=1$}을$($를) 설정하여 퍼콜레이션 모델을 복구할 수 있다는 점에 유의하십시오$.$ 이 $경우{\displaystyle }$ Z =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle Z=1}.$

에드워즈-소칼 표현

포츠 모델의 Edwards-Sokal(ES) 표현은^[4] Robert G의 이름을 따서 명명되었다.에드워즈와 앨런 D. Sokal. 두 개의 공동분포로서 스핀모델과 RC모델을 통일적으로 표현할 수 있다.나아가 임의의 강자성 스핀 모델을 위한 Swensden-Wang(SW) 알고리즘을 자연스럽게 일반화한다.

Let the number of vertices be ${\displaystyle n= V }$ and the number of edges be ${\displaystyle m= E }$. We denote a spin state as ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {Z} _{q}^{n}}$ and a bond configuration as ${\displaystyle \omega \in \{0,1\}^{m}}$.(${\displaystyle \sigma }$ ,${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (\sigma ,\omega )}$의 측정값은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \mu (\sigma ,\omega )=Z^{-1}\psi (\sigma )\pi _{p}(\sigma )1_{A}(\sigma ,\omega),}$

여기서 ${\$$displaystyle$ $\psi }$은(는) 균일한 측정값이고$$, $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$은$$ $밀도{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- e -${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\$$displaystyle p$$=$$1-e^{-\\beta$$}}}}}}}}}$의 제품 측정값이며$,$ $나아가{\displaystyle }$ Z${\$이 적당하다$$.다음과 같은 제약을 가한다.

${\displaystyle A=\{(\sigma ,\omega ):\sigma _{i}=\sigma _{j}{j}{\text{여기서 }\omega =1\}}$

인접한 스핀들이 SW 규칙으로 알려진 동일한 상태일 경우에만 가장자리에서 결합이 열릴 수 있다는 것을 의미한다.

스핀 모델을 RC 모델과 연관시키기 위해 다음과 같은 통계적 특징을 보여줄 수 있다.^[2]

• 스핀의$$ 한계 측정 $\mu {\displaystyle (\mu }$ )${\displaystyle \mu(\sigma$ )}은$$역온도 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에서 q-state Potts 모델의 볼츠만 측정값이다$.$
• 본드의 한계$$ 측정 $\mu {\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \mu (\omega )}$은 변수 q와 p를 가진 랜덤 클러스터 측정이다.
• 스핀의$$ 조건부 측정 $\mu {\displaystyle (\sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \mu(\sigma \, \,\omega )}$은 각 연결 요소에서 스핀 상태의 균일하게 무작위 할당을 나타낸다.
• 본드의$$ 조건부 측정 $\mu {\displaystyle (\Omega }$ ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle \mu(\omega \, \,\sigma )}$은 인접한 스핀들이 정렬된 가장자리의 percolation p(비율 p) 과정을 나타낸다.
• 두 꼭지점$({\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle(i,j)}$이(가) 동일한 열린 클러스터에 있을$$ 확률은 spins ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \text{i}}$와 ${\displaystyle \sigma {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 2점 상관 함수에 비례한다$.$^[5]

이러한 기능을 통해 클러스터 통계에서 스핀 통계를 완전히 복구할 수 있다.

좌절

일단 스핀 모델에 좌절감이 존재하게 되면 ES 표현에는 여러 가지 복잡한 문제가 있다.예를 들어, 스핀 통계량과 군집 통계량 사이에는 더 이상 연관성이 없으며,^[6] RC 모델의 상관관계 길이가 스핀 모델의 상관관계 길이보다 클 것이다.답답한 시스템 시뮬레이션을 위한 SW 알고리즘의 비효율성 배경이다.

다른 모델과의 관계

랜덤 클러스터 모델은 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\$ {$Z}^+}}($$q{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle q=1}$ 케이스는$$ 버누이 퍼콜레이션이고 ${\displaystyle \mathrm{q}}$= 2 ${\displaystyle q=2}$ 케이스는$$ 이싱 모델)에 대한 q-state Pots 모델과 동일하다.일반적으로 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q$$}$은(는) 임의의 양의 실수일 수$$ 있으며, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ 1$${\$displaystyle$q\$leq$1}은(는) 소수의 클러스터 형성을 선호하며$$, $q{\displaystyle 1}$ 1 ${\displaysty q\geq 1$은 (percollection에 비해) 더 많은 클러스터 형성을 선호한다$$.$q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q\to 0}$ 한계는$$ 선형 저항 네트워크를 설명한다.^[1]

RC 모델의 파티션 함수는 투테 다항식의 전문화인데, 그 자체가 다변량 투테 다항식의 전문화다.^[7]

기록 및 응용 프로그램

RC 모델은 1969년 Fortuin과 Kastelyn에 의해 도입되었는데, 주로 결합 문제를 해결하기 위해 도입되었다.^[1][8][9]설립자 이후에는 FK모델로 부르기도 한다.^[3]1971년에 그들은 그것을 FKG 불평등을 얻기 위해 사용했다.1987년 이후, 모델과 통계물리학에 대한 응용에 대한 관심이 재점화되었다.그것은 팟츠 모델의 시간 진화를 기술하는 Swenden-Wang 알고리즘에 영감을 주었다.^[10]마이클 아이젠먼과 공저자들은 그것을 1D 아이싱과 팟츠 모델의 위상 경계를 연구하는데 사용했다.^[11][8]

참고 항목

• 투테 다항식
• 이싱 모형
• 랜덤 그래프
• 스웬덴-왕 알고리즘
• FKG 부등식

참조

외부 링크

• 랜덤 클러스터 모델 – Wolfram MathWorld