광선전달행렬분석

레이트랜스 매트릭스 해석(ABCD 매트릭스 해석이라고도 함)은 근축선만을 고려하여 해결할 수 있는 충분히 간단한 문제에서 레이트레이스 계산을 수행하기 위한 수학 형식이다.각 광학소자(표면, 인터페이스, 미러 또는 빔 트래블)는 2×2 광전송행렬에 의해 기술되며, 이 행렬은 입사광을 기술하는 벡터에 작용하여 출사선을 계산한다.따라서 연속행렬의 곱셈은 광학계 전체를 설명하는 간결한 광전송행렬을 생성한다.가속기 물리학에서도 입자 가속기의 자석 장치를 통해 입자를 추적하는 데 동일한 수학이 사용됩니다. 전자 광학 참조.

$이$ 기법은 다음과 같이 근축근사를 사용하여 도출되며, 근축근사가 유효하도록 시스템의 광축에 대해 모든 광선방향 $(파형$ 에 $\sin \theta \approx \theta$ 대해 수직인 방향 $)$ 이 작은 $\sin \theta \approx \theta$ $\sin \theta \approx \theta$ 에 $있어야$ 한다 $.$ θ가 작으면 광선다발(x 및 y)의 가로범위가 광학계 길이(따라서 '근축')에 비해 작다는 것을 의미한다.모든 광선의 경우 그렇지 않은 적절한 영상촬영 시스템은 여전히 근축 광선의 초점을 올바르게 맞추어야 하므로, 이 매트릭스 방법은 초점 평면과 배율의 위치를 적절하게 설명하지만, 여전히 전체 광선 추적 ^[1]기술을 사용하여 수차를 평가해야 합니다.

광선 전달 매트릭스의 정의

광전송(ABCD) 매트릭스 해석에서 광학소자(여기서 두꺼운 렌즈)는 광선이 출력면에 도달했을

(x_{2},\theta _{2})

때 입력면에서

(x_{1},\theta _{1})

(

x1, θ1

),

(

x2

의

(x_{2},\theta _{2})

(x_{1},\theta _{1})

변환을 제공한다.

광선 추적 기술은 입력 및 출력 평면이라고 불리는 두 개의 기준 평면을 기반으로 하며, 각각 시스템의 광축에 수직입니다.광열상의 어느 지점에서든 중심선에 대응하여 광축을 정의한다.그 중심선은 (프리즘이나 거울에 의해 구부러졌을 때 등) 같은 물리적인 방향으로 갈 필요가 없는 광열 내에서 더욱 광축을 정의하기 위해 전파된다.그런 다음 가로 방향 x와 y(아래에서는 x 방향만 고려)는 적용되는 광축에 직교하도록 정의됩니다.광선은 광축으로부터 거리x에서₁ 입력면을 가로지르는 부품에 입사해 광축과 각도θ를₁ 이루는 방향으로 이동한다.광축으로부터의 거리x₂ 및 광축에 대한 각도θ에서₂ 그 광선을 출력면으로 전파한 후, 각각₁ 입출력면에서의 매체의 굴절률 n 및₂ n을 구한다.

컴포넌트 또는 시스템을 나타내는 ABCD 매트릭스는 다음과 같이 출력선을 입력에 관련짓습니다.

{bmatrix}x_{2}\theta _{2}\end {bmatrix}=(begin {bmatrix}A&)B\\C&D\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x_{1}\\theta_{1}\end{bmatrix}

여기서 4개의 매트릭스 요소의 값은 다음과 같이 주어진다.

(\displaystyle A=\왼쪽).{\frac {x_{2}}:{x_{1}}\오른쪽 _{\theta_{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}\right _{x_{1}=0}}

그리고.

(\displaystyle C=\왼쪽).{{frac {theta _ {2}} {x_{1}} \오른쪽 {\theta _{1}=0} \qquad D=\left.({frac {theta _ {2}} {\theta _ {1}} \ right _ {x_{1} = 0} )

이는 두 기준 평면 사이에 존재하는 광학 컴포넌트 또는 시스템을 나타내는 RTM(Ray Transfer Matrix) M에 의한 입력 및 출력 평면에서의 광 벡터를 관련짓습니다.흑체 방사선에 기초한 열역학 인수를 사용하여 RTM의 결정요인이 굴절률의 비율임을 나타낼 수 있습니다.

\det(\mathbf {M})=AD-BC=black {n_{1}{n_{2}}.

그 결과 입출력 평면이 같은 매체 내에 있거나 굴절률이 동일한 두 개의 다른 매체 내에 있을 경우 M의 행렬식은 1과 같다.

광선 벡터에 대해서는 다른 규약을^[2] 사용할 수 있다.δsin δ를 사용하는 대신 광선 벡터의 두 번째 요소는 nsin δ로, 광선각 그 자체가 아니라 파동 벡터의 횡성분에 비례한다.이것은 계면 굴절과 관련된 아래 표에 제시된 ABCD 매트릭스를 변경합니다.

이러한 방식으로 전송 행렬의 사용은 전자 2포트 네트워크를 기술하는 2×2 행렬, 특히 계단식 시스템을 위해 비슷하게 곱할 수 있는 다양한 소위 ABCD 행렬과 유사합니다.

몇 가지 예

예를 들어, 두 평면 사이에 여유 공간이 있는 경우 광선 전송 매트릭스는 다음과 같이 제공됩니다. $\mathbf {S} = syslog {bmatrix}1&d\0&1\end {bmatrix}$ 여기서 d는 두 기준 평면 사이의 분리 거리(광축을 따라 정렬됨)입니다.따라서 광선 전달 방정식은 다음과 같습니다. ${\displaystyle {bmatrix}x_{2}\\theta _{2}\end{bmatrix}=\mathbf {S}{bmatrix}\\theta _{1}\end{bmatrix},$ 두 광선의 매개변수를 다음과 같이 연관시킵니다. ${{2{1theta_{1}&=\1}+ta_{2}&=$
또 다른 간단한 예는 얇은 렌즈입니다.그 RTM은 다음과 같습니다. ${\displaystyle \mathbf {L} = syslog {bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end {bmatrix}},$ 여기서 f는 렌즈의 초점 거리입니다.광학 컴포넌트의 조합을 설명하기 위해 광선전송행렬을 함께 곱하여 복합광학계의 전체 RTM을 얻을 수 있습니다.길이 d의 여유 공간 뒤에 초점 거리 f의 렌즈가 이어지는 예: $\mathbf {L} \mathbf {S} = beginb { bmatrix } 1 & 0 & 1 \ end { bmatrix } = begin {\ { bmatrix } 1 & d {\ 1 & 1 {{ {\ { bmatrix }$

행렬의 곱셈은 가환적이지 않기 때문에, 이것은 렌즈의 RTM에 이어서 빈 공간이 생기는 것과 같은 RTM이 아닙니다.

\mathbf {SL} = syslog {bmatrix} 1&d\end {bmatrix} {\frac {1} {f} {\end {bmatrix} = syslog {bmatrix} 1-{frac} {f}\d}

따라서 첫 번째 행렬이 두 번째 행렬에 의해 두 번째 행렬이 사전 증배될 때까지 마지막 행렬이 두 번째 행렬에 사전 증배되도록 행렬의 순서를 적절하게 정해야 합니다.다른 매트릭스는 굴절률이 다른 매체와의 계면, 거울로부터의 반사 등을 나타내도록 구성할 수 있다.

광선 전송 행렬의 고유값

광전송행렬은 선형 표준변환으로 간주할 수 있다.광학계의 고유치에 따라 몇 가지 ^[3]클래스로 분류할 수 있다.시스템을 나타내는 ABCD 매트릭스가 다음과 같이 출력선을 입력에 관련시킨다고 가정합니다.

$x$ $B\\C&D\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x_{1}\\theta_{1}\end{bmatrix}=\mathbf {T}\mathbf {v$

우리는 아이게네케이션을 만족시키는 $\mathbf {T}$ T $(\$ 의 ${\mathbf {T}}$ 고유값을 계산한다.

$[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ - $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ I $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ ] $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ [ $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ - $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ D $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ - $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ ] ] $[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} =\left[{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right]\mathbf {v} =0$ 0 = \ $displaystyle$ [ { \ bold $symbol$ { $T$ } - \ $lambda$ I ]\ $mathbf$ { $v$ } = \ $left$ [ { \ $begin$ { $array }A$ - \ $lamb$ \ $C$ & D \ D \ D \ D \ $D >$

행렬식을 계산하여

$\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ - $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ C $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ - $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ 2 - $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ ( $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ A + $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ ) $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ + $\left|{\begin{array}{cc}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{array}}\right|=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0$ $=$ 0 ( \ $displaystyle \ left$ \ $begin {$ array } $A$ - \ $lambda$ & $B$ \ $C$ & D - $end$ { $array$ } \ $right$ = \ $lambda$ ^ { $2$ - ( $A$ + D ) + 1 $LAM ）$

$m={\frac {(A+D)}{2}}$ $m={\frac {(A+D)}{2}}$ ( $m={\frac {(A+D)}{2}}$ + $m={\frac {(A+D)}{2}}$ ) $m={\frac {(A+D)}{2}}$ { { $displaystyle$ m = $specfrac$ { ( $A$ + D ) } { $m={\frac {(A+D)}{2}}$ } $m={\frac {(A+D)}{2}}$ $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ 、 $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ 2 $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ m ± $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ - $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ { $displaystyle$ \ $specda _$ { $m } = m$ \ $pm$ { $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ m } $}$ 。

§ $($ _ ${1})$ 및 $\lambda _{1}$ § $($ _ ${2$ 의 값에 따라 몇 가지 경우가 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

실제 고유값의 쌍: $r$ {\ $displaystyle$ r $}$ 및 $r$ $r^{-1}$ - $r^{-1}$ {\ $r\neq 1$ r $^{-1$ $여기$ 서 r $r\neq 1$ 1 { $displaystyle$ r \ $neq$ 1 $r\neq 1$ 。이 경우는 ${\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}$ $[r$ ${\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}$ - 1 ${\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}$ ] { $displaystyle$ { $bmatrix$ } $r&0\\\\$ 0& $r^$ {- $1}\end$ { $bmatrix}$ }를 나타냅니다.
$\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-1$ 1 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$ = $\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$ 2 $=$ $1$ \ $displaystyle$ \ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-1$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$ _ { } = \ $displayda$ _ { $}$ = \ $displaystyle$ \ $displayda _$ { } $=$ \ $displayda _$ { } $=$ { $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-1$ = $1$ } $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-1$ 。이 케이스는 유니티 매트릭스(또는 추가 좌표 복귀 포함 ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ 를 나타냅니다.[ $1$ 0 ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ $]{$ { $begin$ { $bmatrix$ } 1 & $0$ \ \ \ $0 & 1$ \ $end$ { $bmatrix$ } ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ }
$\lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1$ 1, $\lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1$ 2 $\lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1$ ± 1 { $displaystyle$ \ $displayda _$ {1 $},$ \ $displayda$ _ {2} = \ $pm$ 1 $\lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1$ 。이 경우는 시스템이 유니티 오퍼레이터, 빈 공간 섹션 또는 렌즈일 경우에만 발생하는 것이 $\lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1$ .
2개의 단변형 복합공역 고유값 $e^{i\theta }$ $e^{-i\theta }$ $e^{i\theta }$ { $displaystyle$ e^ { $e^{i\theta }$ $i$ \ $theta$ $}$ $e^{-i\theta }$ $e^{-i\theta }$ e - $e^{-i\theta }$ {\ {\ 。이 경우는 분리 가능한 프랙셔널 푸리에 변압기와 유사합니다.

광선 전달 행렬 표

심플한 광학 컴포넌트용

요소	매트릭스	언급
자유공간 또는 일정한 굴절률의 매질에서의 전파	$(\displaystyle\pmatrix\d\0&1\end{pmatrix})$	d = 거리
평면 계면에서의 굴절	${pmatrix} 1&0&{\frac {n_{1}} {n_{2}}\end {pmatrix}$	n₁ = 초기 굴절률 n₂ = 최종 굴절률.
곡면에서의 굴절	${begin{pmatrix}1&0\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R\cdot n_{2}}&{\frac {n_{1}{n_{2}}\end {pmatrix}$	R = 곡률 반지름, 볼록한 경우 R > 0(계면 후 곡률 중심) n₁ = 초기 굴절률 n₂ = 최종 굴절률.
평면 거울의 반사	$(\displaystyle\pmatrix\\0\1\end{pmatrix})$ ^[4]	들어오는 빔에 임의의 각도로 향하는 플랫 미러에 유효합니다.광선과 광축이 모두 균일하게 반사되기 때문에 기울기나 위치에 변화가 없습니다.
커브 미러로부터의 반사	${\begin{pmatrix}1&0\{\frac {2}{R_{e}}}&1\end{pmatrix}$	$R_{e}=R\cos \theta$ e $=$ $R_{e}=R\cos \theta$ cos $R_{e}=R\cos \theta$ δ $R_{e}=R\cos \theta$ { $displaystyle R_{e$ }= $R\cos \theta }$ 접선 $R_{e}=R\cos \theta$ 평면(수평 방향)에서의 유효 곡률 반지름 $R_{e}=R/\cos \theta$ e $R_{e}=R/\cos \theta$ / $R_{e}=R/\cos \theta$ $R_{e}=R/\cos \theta$ ${\$ { $displaystyle$ R _ { e } = $R/\cos \theta }$ 시상면에서 $R_{e}=R/\cos \theta$ 유효 곡률 반지름(수직 방향) R = 곡률 반지름, 오목한 경우 R > 0, 근축 근사에서 유효 ${\$ { $displaystyle$ \theta $}$ 는 $\theta$ 수평면에서의 미러 입사각입니다.
얇은 렌즈	${pmatrix} 1&0&{\frac {1}{f}}&1\end {pmatrix}$	f = 렌즈의 초점 거리. 여기서 볼록/양(양) 렌즈의 경우 f > 0이다. 초점 거리가 렌즈의 두께보다 훨씬 큰 경우에만 유효합니다.
두꺼운 렌즈	${\begin{pmatrix}1&0\-{\frac {n_{2}-n_{1}}&{\frac {n_{2}n_{1}\end {pmatrix}{\begin{pmatrix}1&t}{\begin{pmatrix1}{pm}}{{pm}}}{pm1$	n₁ = 렌즈 외부의 굴절률. n₂ = 렌즈 자체의 굴절률(렌즈 자체의 굴절률). R₁ = 첫 번째 표면의 곡률 반지름. R₂ = 두 번째 표면의 곡률 반지름. t = 렌즈의 중심 두께.
싱글 프리즘	${pmatrix}k&{\frac {d}\0&{\frac {1}{k}}\end {pmatrix}$	$k=(\cos \psi /\cos \phi )$ $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ ( $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ / cos $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ ) $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ $displaystyle$ k = ( \ $cos \psi$ / \ $cos \phi$ ) } 은 $k=(\cos \psi /\cos \phi )$ 빔 확장 $\phi$ 이며, ${\$ { $displaystyle \psi$ $}$ 는 $\phi$ $\psi$ 프리즘 재료의 굴절 각도, d $=$ 프리즘 길이, n = 굴절률이다.이 행렬은 직교 빔 ^[5]출구에 적용됩니다.
r 프리즘을 사용한 다중 프리즘 빔 익스팬더	$(\displaystyle\begin{pmatrix}M&)B\\0&{\frac {1}{M}}\end {pmatrix}}$	M은 M $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ k $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ k $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ { $displaystyle$ M $=k_{1}k_{2}k_$ {3}\ $cdots$ k_ ${r$ 에 $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$ 주어진 총 빔 확대입니다.여기서 k는 이전 엔트리에서 정의되며 B는 다중 프리즘 익스팬더의 ^[5]총 광전파^{[clarification needed]} 거리입니다.

기하학적 광선과 파동 광학의 관계

선형 표준 변환 이론은 광선 트랜스프레매트릭스(기하 광학)와 파동 ^[6]광학 사이의 관계를 암시합니다.

요소	기하학 광학 행렬	파동광학연산자	언급
스케일링	${pmatrix}b^{-1}&0&b\end{pmatrix}$	${V}}[b]u(x)=u(bx)$
이차 위상 인자	$(\displaystyle\c&1\end{pmatrix})$	$Q[c]=\exp j440frac {k_{0}}{2}}cx^{2$	$k_{0}$ 0 $(\$ wave number
플레넬 자유공간 전파 연산자	$(\displaystyle\pmatrix\d\0&1\end{pmatrix})$	${\displaystyle {R}}[d]\left\{U\left(x_{1}\right\}=snt frac {1}{\snt {j\snt d}}\int _{-\infty}^{\infty}U\left(x_{1}\right)e^{j{\frac {k}{2d}}\left(x_2)^{\right}^{\lfti}{{\lftfright}}}}{{{{{\}}}}}{\fright}}}{\fright fright}}}}{{{$	$x_{1}$ 1 $(\$ 소스 좌표 $x_{2}$ 2 $({$ 목표의 좌표
정규화 푸리에 변환 연산자	$(\displaystyle {pmatrix} 0&1&0\end {pmatrix})$	${{displaystyle {mathcal {F}}=\left(j\lambda _{0}\right)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty}\left[\exp \left(jk_{0}px\right)\ldots }$

광선 전송 매트릭스의 일반적인 분해

$\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ T $\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ [ $\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ $\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ $\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ $]$ ${\displaystyle \mathbf$ {T} = $begin {bmatrix} A&$ 를 분해하는 방법은 무한하다. $B\\C&D\end{bmatrix}}$ 를 $\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ 다중 전송 매트릭스의 연결로 한다.예를 들어 다음과 같습니다.

$&$ $B\\C&D\end{bmatrix}=\left[{\begin{array}1&0\D/B&1\end{array}\right]\left[{\begin{array}{r}B&0\0&1/B\end{array}\$ right $]\left[\$ begin ${l}\$ left]
$(\displaystyle\begin{bmatrix}A&)B\\C&D\end{bmatrix}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\C/A&1\end{array}\right]\left[{\begin{array}{r}A&0\\0&A^{-1}\end{array}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\0&1\end{array}\right]}}$
$(\displaystyle\begin{bmatrix}A&)B\\C&D\end{bmatrix}=\left[{\begin{array}{ll}1&C\end{array}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0&-C\endarray}\llright]{array}\left[\left}\begin{right}\begin{lfright}$
$(\displaystyle\begin{bmatrix}A&)B\\C&D\end{bmatrix}=\left[{\begin{array}{ll}1&D\0&1\end{array}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\0&0&\0&0&0&0&0&0&D\end{array}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\C/D&1\end{array}}\right]}$

공진기 안정성

RTM 분석은 레이저에 사용되는 것과 같은 광학 공진기에서의 빛의 거동을 모델링할 때 특히 유용합니다.광공진기는 가장 단순하게는 반사율 100%와 곡률 반지름 R의 동일한 2개의 거울로 구성되며, 어느 정도 거리 d로 분리된다.광선 트레이스의 목적상, 이것은 초점거리 f=R/2의 일련의 동일한 얇은 렌즈에 상당하며, 각각은 길이 d로 다음 렌즈와 분리된다.이 구조는 렌즈 등가 덕트 또는 렌즈 등가 도파관으로 알려져 있습니다.도파관 각 섹션의 RTM은 위와 같습니다.

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

S

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

(

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

d -

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

f

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

d )

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

{

displaystyle

\

mathbf

{

M

}

=

\

mathbf

{

L }

\

mathbf

{

S

} =

displaystyle

{ pmatrix }

1

&

d\

{

frac

{

f}

{

f}

\

pmathbf

{ S }

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}

}

이제 RTM 분석을 사용하여 도파관(및 이에 상응하는 공진기)의 안정성을 결정할 수 있습니다.즉, 도파로를 따라 이동하는 빛이 주기적으로 다시 초점이 맞춰지고 도파관 내에 머무르게 되는 조건을 결정할 수 있습니다.이를 위해 시스템의 모든 "유전자선"을 찾을 수 있습니다. 즉, 도파관 각 섹션의 입력 광선 벡터 곱하기 실수 또는 복소 계수 θ는 출력 광선과 동일합니다.그 결과, 다음과 같이 됩니다.

\mathbf {M} {{1}\\theta _{1}\end {bmatrix}=\theta {bmatrix}x_{2}\theta _{bmatrix}=\ta {bmatrix}x_{1}\theta _1}

이는 고유값 방정식입니다.

\left[\mathbf {M} -\displayda \mathbf {I} \right]{\display{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,

여기서 I는 2×2 아이덴티티 매트릭스입니다.

다음으로 전송 행렬의 고유값을 계산합니다.

\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\displayda \mathbf {I} \right]=0,}

특성 방정식으로 이어지는 모습

\displaystyle \displayda ^{2}-\operatorname {tr}(\mathbf {M})\displayda +\det(\mathbf {M})= 0,}

어디에

\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {M})=A+D=2-{\frac {d}{f}}

RTM의 트레이스입니다.

\displaystyle \operatorname {det}(\mathbf {M})=AD-BC=1}

는 RTM의 결정 요인입니다.일반적인 치환 후에 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle \displayda ^{2}-2g\displayda +1=0,}

어디에

g overset {mathrm {def} = {} } {\frac {tr} (\mathbf {M} ) } = 1 - {\frac {d} {2f}

는 안정성 파라미터입니다.고유값은 특성 방정식의 해입니다.2차 공식에서 찾을 수 있습니다.

(\displaystyle \displayda _{\pm}=g\pm {g^{2}-1}).}

이제 N이 시스템을 통과한 후의 광선에 대해 생각해 보겠습니다.

({displaystyle {bmatrix}x_{N}\theta _{N}\end{bmatrix}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\theta _{1}\end{bmatrix}}).}

도파관이 안정되어 있으면 주축에서 임의로 떨어진 곳에 있는 광선이 없어야 하며, 즉 θ가^N 무한히 성장해서는 안 된다. $g^{2}>1$ 2 $g^{2}>1$ > $g^{2}>1$ (\ $displaystyle$ g $^{2}$ ) 이라고 $g^{2}>1$ .그러면 두 고유값이 모두 실수입니다. $\lambda _{+}\lambda _{-}=1$ + $\lambda _{+}\lambda _{-}=1$ - $=$ ({ $displaystyle \displayda$ _ ${+}\displayda$ _{-}= $1$ 이므로 둘 중 하나가 1(절대값)보다 커야 하며, 이는 이 고유 벡터에 해당하는 광선이 수렴하지 않음을 의미한다.따라서 안정적인 도파관에서는 $g^{2}$ 2 $g^{2}$ {\ $displaystyle$ g $^{2}}$ $g^{2}$ 1 1이며 고유값은 복소수로 나타낼 수 있다.

\pm } = g\pm i440rt {1-g^{2}} =\cos(\phi)\pm i\sin(\phi)=e^{\pm i\phi

g = cos(최소)로 치환합니다.

g 들어 2<>1{\displaystyle g^{2}<, 1}r+{\displaystyle r_{+}}과 r은 eigenvalues에 대하여({\displaystyle r_{-}}이 값 λ+{\displaystyle \lambda_{+}}과λ −{\displaystyle \lambda_{-}}각각, 왜냐하면 그들은ort고 있는 모든 벡터 공간에 자리 잡자.hogonal ( $\lambda _{+}\neq \lambda _{-}$ 는 $\lambda _{+}\neq \lambda _{-}$ + $\lambda _{+}\neq \lambda _{-}$ - \ $\lambda _{+}\neq \lambda _{-}$ \ $lambda$ _ { + } \ $neq$ \ $lambda$ _ { - $\lambda _{+}\neq \lambda _{-}$ ）。따라서 입력 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}

$c_{-}$ 상수 $c$ + {\ $displaystyle$ c_{+}} $c_{-}$ 및 c - {\ $displaystyle$ c_ $c_{-}$ 의 $c_+$ 경우.

N개의 도파관 섹터 뒤에 출력이 판독됩니다.

\mathbf {M}^{N}(c_{+}r_{-}+c_{-}r_{-})=\lambda_{N}c_{+}r_{+}+\lambda_{N}c_{-}c_{-}r_{-}={n_i_i

주기 함수를 나타냅니다.

가우스 빔에 대한 광선 전달 행렬

동일한 행렬을 사용하여 가우스 ^[7]빔의 진화를 계산할 수도 있습니다.동일한 전송 매트릭스로 설명된 광학 구성요소를 통해 전파됩니다.파장 $\lambda _{0}$ 0(\ $displaystyle \lambda$ _ ${0$ 곡률 반지름 R(분산에는 양, 수렴에는 음), 빔 스폿 크기 w 및 굴절률 n의 가우스 빔이 있는 경우 다음과 ^[8]같이 복합 빔 파라미터 q를 정의할 수 있습니다.

({displaystyle {frac {1}{q}}=pic frac {1}{R}}-{\frac {i\fracda _{0}}{\pi nw^{2}}).}

(R, w, q는 위치 함수입니다.)빔 축이 z 방향이고 허리가 z $(\$ 이고 $z_{0}$ Rayleigh $z_{R}$ z $(\$ 인 경우, 이는 다음과 같이 쓸 수^[8] 있습니다.

q=(z-z_{0})+iz_{R}.

이 빔은 다음 방정식을^{[further explanation needed]} 사용하여 주어진 광선 전송 매트릭스를 사용하여 광학 시스템을 통해 전파될 수 있습니다.

{bmatrix}q_{2}\1\end {bmatrix}=k{\begin {bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}q_{1}\1\end{bmatrix}

여기서 k는 광선 벡터의 두 번째 성분을 1로 유지하기 위해 선택한 정규화 상수입니다.행렬 곱셈을 사용하면 이 방정식은 다음과 같이 확장됩니다.

q_{2}=k(Aq_{1}+B)

그리고.

1=k(Cq_{1}+D)

첫 번째 방정식을 두 번째 방정식으로 나누면 정규화 상수가 제거됩니다.

q_{2}=sqfrac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}

이 마지막 방정식을 역수 형식으로 표현하는 것이 종종 편리합니다.

{{displaystyle {1}{q_{2}}={cfrac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}.}

예:빈 공간

빔이 자유 공간을 통해 거리 d를 이동하는 것을 생각해 보십시오, 광선 전달 행렬은

(\displaystyle\begin{bmatrix}A&)B\\C&D\end{bmatrix}=(begin{bmatrix}1&d\0&1\end{bmatrix})}

그래서

q_{2}=sqfrac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}=sqfrac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d

$q=(z-z_{0})+iz_{R}$ 가우스 빔 전파에 대한 위의 식과 일치합니다. 즉, q $q=(z-z_{0})+iz_{R}$ ( $q=(z-z_{0})+iz_{R}$ - $q=(z-z_{0})+iz_{R}$ ) + $q=(z-z_{0})+iz_{R}$ z $q=(z-z_{0})+iz_{R}$ { { $displaystyle$ q = ( $z-z_{0})$ + $iz_{R$ 빔이 전파됨에 따라 반지름과 허리 둘 다 변화합니다.

예:얇은 렌즈

초점거리 f의 얇은 렌즈를 통과하는 빔을 생각해 봅시다.광선 전송 매트릭스는

]{

B\\C&D\end{bmatrix}=(begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix

그래서

q_{2}=sqfrac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}=sqfrac {q_{1}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}

{{frac {1}{q_{2}}=param frac {-{\frac {q_{1}+1}=param frac {1}-{\frac {1}.

파면 곡률 1/R은 렌즈 1/f의 도수에 의해 작아지고, 박형 렌즈에서 나와도 가로 빔 크기 w는 변하지 않는 등, 1/q의 실측 부분만이 영향을 받는다.

상위 매트릭스

3×^[9]^[10]^[11]3, 4×4, 6×6의 고차원 전달 행렬을 이용하는 방법도 광학 해석에 사용된다.특히 펨토초 레이저의 펄스 압축용 프리즘 ^[5]시퀀스의 설계 및 분석에 4×4 전파 매트릭스를 사용한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 매트릭스 방법의 트레이스(비근축) 자오선으로의 확장이 여기에 포함된다.
^ Gerrard, Anthony; Burch, James M. (1994). Introduction to matrix methods in optics. Courier Dover. ISBN 9780486680446.
^ Bastiaans, Martin J.; Alieva, Tatiana (2007-03-14). "Classification of lossless first-order optical systems and the linear canonical transformation". Journal of the Optical Society of America A. 24 (4): 1053. doi:10.1364/josaa.24.001053. ISSN 1084-7529.
^ Hecht, Eugene (2002). Optics (4 ed.). Addision Wesley.
^ ^a ^b ^c F. J. Duarte (2003). Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 6장
^ Nazarathy, Moshe; Shamir, Joseph (1982-03-01). "First-order optics—a canonical operator representation: lossless systems". Journal of the Optical Society of America. 72 (3): 356. doi:10.1364/josa.72.000356. ISSN 0030-3941.
^ Rashidian vaziri, M R (2013). "New ducting model for analyzing the Gaussian beam propagation in nonlinear Kerr media and its application to spatial self-phase modulations". Journal of Optics. 15 (3): 035202. Bibcode:2013JOpt...15c5202R. doi:10.1088/2040-8978/15/3/035202.
^ ^a ^b C. Tim Lei. "Physics 4510 Optics webpage". 특히 5장
^ W. 브루어, 광학 기기 설계의 매트릭스 방법(Benjamin, New York, 1964).
^ A. E. Sigman, Lasers(University Science Books, Mill Valley, 1986).
^ H. Wollnik, 하전 입자의 광학(Academic, New York, 1987).

추가 정보

Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 섹션 1.4, 페이지 26–36.

외부 링크

두꺼운 렌즈(매트릭스 방식)
ABCD 매트릭스 자습서 전체 시스템의 시스템 매트릭스에 대한 예를 제공합니다.
ABCD 계산기 ABCD 행렬을 푸는 데 도움이 되는 대화형 계산기입니다.
심플 옵티컬 디자이너(Android App) ABCD 매트릭스 방식을 사용하여 광학 시스템을 탐색하는 응용 프로그램입니다.

[1] 매트릭스 방법의 트레이스(비근축) 자오선으로의 확장이 여기에 포함된다.

[2] Gerrard, Anthony; Burch, James M. (1994). Introduction to matrix methods in optics. Courier Dover. ISBN 9780486680446.

[3] Bastiaans, Martin J.; Alieva, Tatiana (2007-03-14). "Classification of lossless first-order optical systems and the linear canonical transformation". Journal of the Optical Society of America A. 24 (4): 1053. doi:10.1364/josaa.24.001053. ISSN 1084-7529.

[4] Hecht, Eugene (2002). Optics (4 ed.). Addision Wesley.

[TLO-5] F. J. Duarte (2003). Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 6장

[6] Nazarathy, Moshe; Shamir, Joseph (1982-03-01). "First-order optics—a canonical operator representation: lossless systems". Journal of the Optical Society of America. 72 (3): 356. doi:10.1364/josa.72.000356. ISSN 0030-3941.

[7] Rashidian vaziri, M R (2013). "New ducting model for analyzing the Gaussian beam propagation in nonlinear Kerr media and its application to spatial self-phase modulations". Journal of Optics. 15 (3): 035202. Bibcode:2013JOpt...15c5202R. doi:10.1088/2040-8978/15/3/035202.

[Lei-8] C. Tim Lei. "Physics 4510 Optics webpage". 특히 5장

[9] W. 브루어, 광학 기기 설계의 매트릭스 방법(Benjamin, New York, 1964).

[10] A. E. Sigman, Lasers(University Science Books, Mill Valley, 1986).

[11] H. Wollnik, 하전 입자의 광학(Academic, New York, 1987).

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