재할당방식

재할당 방법은 분석된 신호의 실제 지지 영역에 가까운 시간 주파수 좌표에 데이터를 매핑하여 시간 주파수 표현을 날카롭게 하는 기법이다. 이 방법은 여러 당사자가 재할당 방법, 재할당 방법, 시간주파수 재할당 방법, 변형된 이동창 방식 등 다양한 이름으로 독자적으로 도입해 왔다.^[1] 스펙트로그램이나 단시간 푸리에 변환의 경우, 재할당 방법은 순간 주파수와 그룹 지연의 국지적 추정에 따라 데이터를 재배치함으로써 흐릿한 시간 주파수 데이터를 날카롭게 한다. 재할당된 시간-주파수 좌표에 대한 이 매핑은 분석 윈도우와 관련하여 시간과 주파수로 분리가 가능한 신호에 대해 매우 정밀하다.

소개

관심의 많은 신호는 시간과 빈도에 따라 달라지는 에너지 분포를 가진다. 예를 들어, 시작 또는 끝이 있는 모든 소리 신호는 시간에 따라 변화하는 에너지 분포를 가지며, 대부분의 소리는 지속시간에 걸쳐 시간과 빈도 모두에서 상당한 변화를 보인다. 시간 빈도 표현은 일반적으로 그러한 신호를 분석하거나 특성화하는 데 사용된다. 그들은 1차원 시간 영역 신호를 시간과 주파수의 2차원 함수로 매핑한다. 시간 빈도 표현은 시간에 따른 스펙트럼 에너지 분포의 변동을 기술하는데 음악적 점수가 시간에 따른 음악적 음조의 변동을 기술하는 것과 같다.

오디오 신호 분석에서 분광그램은 아마도 잘 이해되고, 때로는 다른 시간 주파수 표현을 해석하기 어렵게 만드는 소위 "크로스-테름"에 면역이 되어 가장 흔히 사용되는 시간-주파수 표현이다. 그러나 스펙트로그램 연산에 필요한 윈도우 작동은 시간 분해능과 주파수 분해능 사이의 불미스러운 트레이드오프를 도입하므로, 스펙트로그램은 시간, 주파수 또는 양 차원 모두에서 흐릿하게 나타나는 시간 주파수 표현을 제공한다. 시간주파수 재할당 방법은 분석된 신호의 실제 지지 영역에 가까운 시간주파수 좌표에 데이터를 매핑하여 스펙트럼처럼 흐릿한 표현으로 시간주파수 데이터를 재결합하는 기법이다.

시간 빈도 표현으로서의 스펙트로그램

가장 잘 알려진 시간 빈도 표현 중 하나는 짧은 시간 푸리에 변환의 제곱으로 정의되는 스펙트로그램이다. 단시간 위상 스펙트럼에는 신호에 관한 중요한 시간적 정보가 포함되어 있는 것으로 알려져 있지만, 이 정보는 해석하기 어렵기 때문에 일반적으로 단시간 스펙트럼 분석에서는 단시간 규모 스펙트럼만 고려된다.

시간 빈도 표현으로, 분광그램은 해상도가 상대적으로 낮다. 시간 및 주파수 분해능은 분석 윈도우의 선택에 의해 결정되며, 한 영역에서의 집중도가 높아지면 다른 영역에서는 더 큰 얼룩이 발생한다.

스펙트로그램에 비해 분해능이 개선된 시간주파수 표현은 위그너-빌 분포로, 신호와 완벽하게 일치하는 윈도우 기능을 가진 단시간 푸리에 변환으로 해석될 수 있다. 위그너-빌 분포는 시간과 빈도에 고도로 집중되지만, 비선형적이고 국소적이지도 않다. 따라서 이 분포는 소음에 매우 민감하며, 관심 성분을 종종 가리는 교차 성분을 생성하기 때문에 다요소 신호의 에너지 분포에 관한 유용한 정보를 추출하기가 어렵다.

코헨의 바이린어 시간 빈도 표현 등급은 "스무팅된" 위그너-빌 분포의 한 종류로, 시간과 빈도로 분포를 얼룩지게 하는 비용으로 소음에 대한 분포의 민감도를 줄이고 교차 성분을 억제할 수 있는 스무딩 커널을 채택한다. 이러한 얼룩은 실제 위그너-빌 분포가 에너지를 보이지 않는 지역에서 분포를 0이 되게 한다.

스펙트로그램은 코헨 반의 일원이다. 평활 커널이 분석 창의 위그너-빌 분포와 동일한 평활 위그너-빌 분포다. 재할당 방법은 위그너-빌 분배를 평활화하지만, 신호 구성 요소의 실제 지지 영역으로 다시 배치한다. 그 방법은 코헨 반의 어떤 멤버의 시간과 빈도 얼룩을 줄인다는 것이 증명되었다.^[2][3] 재할당된 분광그램의 경우, 단시간 위상 스펙트럼을 사용하여 스펙트럼 데이터의 공칭 시간과 주파수 좌표를 수정하고, 분석된 신호의 실제 지지 영역에 더 가깝게 다시 매핑한다.

재할당 방법

전환 방법에 관한 선구적 연구 Kodera, Gendrin, 그리고 드 Villedary에 의해 수정된 이동 윈도우의 이름으로[4]그들의 기술 각 데이터 포인트에 새로운 time-frequency 그 좌표를 매김으로써 시간과 고전적인 이동 윈도우 법(그 spectrogram에 해당하는)빈도의 해상도를 높여 출판되었다. 베트분석된 신호에서 에너지의 분포를 측정한다.

고전적인 이동 창법에서는 시간 영역 $신호$인 x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$을(를${\displaystyle )}$ 기본 신호 집합인 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\엡실론 (t$$,\omega$ $)}$을$($를$)$ 기반으로 하여 계수 집합인 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle (t)}$로 분해한다$.$

${\displaystyle h_{\omega }(t)=h(t)e^{j\omega t}$

여기서 $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle h(t)}$은 짧은 시간 푸리에 변환의 창 함수처럼 (실제 값) 로우패스 커널 함수다$$. 이 분해의 계수는 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (t,\omega )&=\int x(\tau )h(t-\tau )e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\tau \\&=e^{j\omega t}\int x(\tau )h(t-\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\&=e^{j\omega t}X(t,\omega )\\&=X_{t}(\omega )\\&=M_{t}(\omega )e^{j\phi _{\tau }(\omega )}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle M_{t}(\omega )}$ is the magnitude, and ${\displaystyle \phi _{\tau }(\omega )}$ the phase, of ${\displaystyle X_{t}(\omega )}$, the Fourier transform of the signal ${\displaystyle x(t)}$ shifted in time by ${\displaystyle t}$ and windowed by ${\displaystyle }$${\displaystyle h}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(t$

${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$은(는) 다음 방법으로 이동 창 계수에서 재구성할$$ 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(t)&,=\iint X_ᆵ(\omega)h_ᆶ^ᆷ(\tau -t)d\omega d\tau \\&,=\iint X_ᆸ(\omega)h(\tau -t)e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\omega d\tau \\&, =\iint M_ᆺ(\omega)e^ᆻ(\omega)}d\tau \\& h(\tau -t)e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\omega,=\iint M_ᆽ(\omega)h(\tau -t).e^{j\left는 경우에는 \phi_{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]d\omega d\tau \ended}}}}$

위상 변동에 비해 시간 편차가 $느린{\displaystyle }$M${\displaystyle (t}$ , ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle M(t,\omega$ $)\}$을(를) 갖는 신호의 경우 재구성 적분에 대한 최대 기여는 위상 측점성 조건을$$ 만족하는 $지점{\displaystyle }$t , ${\displaystyle \Omega }${\$displaystyle t,\omega$} 근처에서 발생한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]&=0\\{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]&=0\end{aligned}}}$

또는 동등하게, $t{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ,${\displaystyle \Omega \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 의해 정의된$$ 지점 주위에

${\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{t}}(\tau ,\omega)&, =\tau -ᆰ(\omega)}{\omega\partial}}=-{\frac{\partial \phi(\tau ,\omega)}{\omega\partial}}\\{\hat{\omega}}(\tau ,\omega)&, =ᆵ(\omega)}{\tau\partial}}=\omega +{\frac{\partial \phi(\tau ,\omega)}{\tau\partial}}\end.{정렬}}}$

이 현상은 주기적 또는 준주기적 신호의 경우, 주기적 진동에 기인하지 않는 푸리에상 스펙트럼의 변화가 진동 주파수 부근의 시간에 대해 느리고, 주변 지역의 경우 변동을 느리게 한다고 기술하는 정지상 원리로 광학 등에서 알려져 있다. 비교적 빠르다. 유사하게 시간에 집중된 충동 신호의 경우, 임펄스 시간에 가까운 주파수에 대해 위상 스펙트럼의 변화가 느리고, 주변 지역의 변동은 비교적 빠르다.

재구성 시 파괴적 간섭으로 인해 합성 파형에 대한 양과 음의 기여가 위상 변동이 빠른 주파수 영역에서 취소된다. 느린 위상 변화(정지 위상)의 지역만이 재건에 크게 기여할 것이며, 최대 기여도(중력 중심)는 시간과 빈도에 관해서 위상이 가장 느리게 변화하고 있는 지점에서 발생한다.

The time-frequency coordinates thus computed are equal to the local group delay, ${\displaystyle {\hat {t}}_{g}(t,\omega ),}$ and local instantaneous frequency, ${\displaystyle {\hat {\omega }}_{i}(t,\omega ),}$ and are computed from the phase of the short-time Fourier transform, 보통 스펙트로그램을 구성할 때 무시된다. 이러한 수량은 시간과 주파수로 국부화된 창 및 여과 신호를 나타낸다는 점에서 국부적이며 분석 대상 신호의 글로벌 특성이 아니다.

The modified moving window method, or method of reassignment, changes (reassigns) the point of attribution of ${\displaystyle \epsilon (t,\omega )}$ to this point of maximum contribution ${\displaystyle {\hat {t}}(t,\omega ),{\hat {\omega }}(t,\omega )}$, rather than to the point $$${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t,\omega }$이(가) 계산되는$$ 위치. 이 점을 대량 분포에 비유하여 분포의 무게중심으로 부르기도 한다. 이 비유는 스펙트럼 에너지를 그 분포의 무게중심으로 귀속시키는 것은 속성에 에너지가 있을 때만 이치에 맞는다는 것을 상기시켜주는 유용한 것이므로, 재지정 방법은 스펙트로그램이 영점인 지점에서는 아무런 의미가 없다.

재할당된 시간과 주파수의 효율적인 계산

디지털 신호 처리에서는 시간과 주파수 영역을 샘플링하는 것이 가장 일반적이다. 이산 푸리에 변환은 푸리에 변환의$$ $샘플{\displaystyle }$ X(${\displaystyle k)}$ ${\displaystyle X(k)}$을(를) 시간 영역 신호의$$ 샘플 $($ {\$displaystyle x(n)}$에서 계산하는 데 사용된다. 코데라 외 연구진이 제안한 재할당 연산을 이산형 단시간 푸리에 변환 데이터에 직접 적용할 수 없는 것은 부분파생상품을 시간과 빈도로 이산형 데이터에서 직접 계산할 수 없기 때문이며, 이러한 어려움이 resi 방법의 광범위한 사용에 대한 일차적인 장벽이 되어 왔음을 시사했다.갈기갈기 갈기갈기 갈기갈기 갈기갈기 찢기

유한차이를 이용하여 부분파생상품의 근사치가 가능하다. 예를 들어, 위상 스펙트럼은 가까운 두 시간에 평가할 수 있으며, 시간에 관한 부분파생상품은 두 값 사이의 차이를 시차로 나눈 값으로 근사치한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \phi (t,\omega )}{\partial t}}&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left[\phi \left(t+{\frac {\Delta t}{2}},\omega \right)-\phi \left(t-{\frac {\Delta t}{2}},\omega \right)\right]\\{\frac {\partial \phi (t,\omega )}{\partial \omega }}&\approx {\frac {1}{\Delta \omega }}\left[\phi \left(t,\omega +{\frac {\Delta \omega }{2}}\right)-\phi \left(t,\omega -{\frac {\Delta \omega }{2}}\right)\right]\end{aligned}}}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ 및$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Delta \omega}$의 충분히 작은 값에 대해$$ 위상 차이가 적절하게 "포장 해제"된 경우, 이 유한 차이 방법은 ph의 진화가 이루어지는 스펙트럼 영역에서 위상의 부분파생물에 대해 좋은 근사를 산출한다.ase는 단 하나의 근접한 성분의 사인파 진동으로 인해 회전에 의해 지배되며, 위상은 선형함수다.

코데라 외 연구진과는 별개로, 넬슨은 단시간 위상 스펙트럼의 부분파생상품에서 단시간 스펙트럼 데이터의 시간주파수 정밀도를 개선하기 위한 유사한 방법에 도달했다.^[5] 넬슨의 교차 스펙트럼 표면은 유한 차이 방법에 해당하는 파생 모델의 근사치를 계산한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

오거와 플랑드린은 코데라 외 연구원이 스펙트로그램의 맥락에서 제안한 재할당 방법을 코헨의 시간 빈도표현 등급의 어떤 구성원에게도 재할당 작업을 일반화함으로써 연장할 수 있음을 보여주었다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{t}}(t,\omega)&, =t-ᆲ(t-\tau ,\omega -\nu)\cdot\Phi(\tau ,\nu)d\tau d\nu}{\iint W_{)}(t-\tau,\omega -\nu \right)\cdot\Phi(\tau ,\nu)d\tau d\nu}}\\{\hat{\omega}}(t,\omega)&, =\omega -ᆵ(t-\tau ,\omega -\nu)\cdot \Phi(\tau ,\nu)d\tau.d\nu}{\iint W_{x}(t-\tau,\omega -\nu )\cdot \Phi(\tau,\nu )d\tau d}}}}\end{aigned}}}}}$

여기서 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( t ,${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle W_{x}($${\displaystyle t}$$,\$$omega$ $)}$은 $x{\displaystyle }$( t$){\$$displaystyle$ x$($$t)}$의 Wigner-Ville 분포이고$,$$\phi {\displaystyle \mathrm{}(t}$ ,$Ω$)은 분포를 정의하는 커널 함수다$$. 그들은 또한 단계별 부분파생상품을 명시적으로 계산하지 않고 재할당된 분광그램의 시간과 빈도를 효율적이고 정확하게 계산하는 효율적인 방법을 설명했다.^[2]

스펙트로그램의 경우, 재할당 연산은 다음을 통해 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {t}}(t,\omega )&=t-\Re \left\{{\frac {X_{{\mathcal {T}}h}(t,\omega )\cdot X^{*}(t,\omega )}{ X(t,\omega ) ^{2}}}\right\}\\{\hat {\omega }}(t,\omega )&=\omega +\Im \left\{{\frac {X_{{\mathcal {D}}h}(t,\omega )\cdot X^{*}(t,\omega )}{ X(t,\omega ) ^{2}}}\right\}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle X(t,\omega )}$ is the short-time Fourier transform computed using an analysis window ${\displaystyle h(t),X_{{\mathcal {T}}h}(t,\omega )}$ is the short-time Fourier transform computed using a time-weighted analysis window ${\displaysty$$le h_{\mathcal {T}}(t)=t\cdot h(t)}$ and ${\displaystyle X_{{\mathcal {D}}h}(t,\omega )}$ is the short-time Fourier transform computed using a time-derivative analysis window ${\displaystyle h_{\mathcal {D}}(t)={\tfrac {d}{dt}}h(t)}$.

보조 윈도우 기능 ${\displaystyle h_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle h_{\mathcal{T}}$ 및$$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle h_{\mathcal{D}}}}}}$을 사용하여 재할당 연산을 모든 시간 주파수 $좌표{\displaystyle }$t , ${\displaystyle \Omega }$, Ω, ${\displaystystyle$ t$,\$ome$$ }에서 계산할 수 있다$.$ ${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t,\omega$ $\}.$ 이러한 알고리즘은 단일 시간 및 주파수로 평가된 짧은 시간 스펙트럼 데이터에서만 작동하며, 어떠한 파생 모델도 명시적으로 계산하지 않기 때문에, 이는 재할당된 이산형 단시간 푸리에 변환을 계산하는 효율적인 방법을 제공한다.

이 계산 방법의 한 가지 제약조건은 ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$( t ,${\displaystyle \Omega }$) 2 ${\$) $^{2}}$은 0이 아니어야 한다는$$ 것이다. 이는 재할당 작업 자체가 재할당해야 할 에너지가 있다는 것을 의미하고, 분포를 영(0)값으로 할 때 의미가 없기 때문에 큰 제약은 아니다.

분리성

짧은 시간 푸리에 변환은 준조화 악기 톤과 같은 다요소 신호에서 개별 요소의 진폭과 위상을 추정하는 데 종종 사용될 수 있다. 더욱이 시간 및 주파수 재할당 연산을 이용하여 단시간 푸리에 변환에 의해 보고된 스펙트럼 에너지를 복잡한 에너지 분포의 국부적인 무게 중심 지점까지 귀속시킴으로써 표현을 날카롭게 할 수 있다.

단일 구성요소로 구성된 신호의 경우, 구성요소를 통과하는 모든 단기 푸리에 변환 채널의 위상의 부분파생상품으로부터 순간 주파수를 추정할 수 있다. 신호가 여러 구성 요소로 분해될 경우,

${\displaystyle x(t)=\sum _{n}A_{n}(t)e^{j\ta _{n}(t)}}}$

그리고 각 구성 요소의 순간 주파수는 시간과 관련하여 위상의 파생어로 정의된다. 즉, 즉,

${\displaystyle \omega_{n}(t)={\frac {d\theta_{n}(t){dt}},}$

각 개별 구성요소의 순간 주파수는 둘 이상의 구성요소가 필터의 통과 대역에 있지 않다면 해당 구성요소를 통과하는 필터의 응답 단계에서 계산할 수 있다.

이것은 주파수 영역에서 넬슨이 분리 가능성이라고^[5] 불렀고 그렇게 분석된 모든 신호에 필요한 속성이다. 이 특성이 충족되지 않으면 개별 성분의 매개변수를 단시간 푸리에 변환에서 추정할 수 없기 때문에 원하는 다중 성분 분해를 달성할 수 없다. 이 경우 분리 가능성 기준을 만족하도록 다른 분석 창을 선택해야 한다.

신호의 구성요소가 특정 단시간 스펙트럼 분석 윈도우와 관련하여 주파수로 분리가 가능한 경우, 각 짧은 시간 푸리에 변환 필터의 출력은 단일 지배적(중대한 에너지를 갖는) 구성요소의 필터링된 버전이며, 따라서 $시간$에 관한 X${\displaystyle (t}$) 위상의 파생 모델이다.${\displaystyle X(t,\omega _{0})}$ is equal to the derivative with respect to time, of the phase of the dominant component at ${\displaystyle \omega _{0}.}$ Therefore, if a component, ${\displaystyle x_{n}(t),}$ having instantaneous frequency ${\displaystyle \omega _{n}(t)}$ is $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \omega _{0}$ 근처에 있는 지배적 구성 요소에서$$ 해당 구성 요소의 순간 주파수는 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$으로 평가된 짧은 시간 푸리에 변환 단계로부터 계산할 수 있다${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \omega _{0}}.$ 즉$$,

${\displaystyle {\begin}\i1}\omega _{n}(t)&={\frac {\partial t}\}{x_{n(t)\\\={\partial t}}{\partial t}\x(t,\omega _{0}}}}}}})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은(정렬edi1}$

짧은 시간 푸리에 변환 필터 뱅크의 각 대역 통과 필터가 최대 하나의 복잡한 지수 성분을 통과할 수 있듯이, 두 개의 시간 이벤트가 입력 신호의 동일한 윈도우 세그먼트 안에 놓여 있지 않은 시간 내에 충분히 분리되어야 한다. 이것은 시간영역에서 분리성의 속성이며, 두 사건 사이의 시간이 $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) .${\displaystyle h(t$) 단시간 푸리에 변환 필터의 임펄스 응답 길이보다 클 것을 요구하는 것과 같다$.$$}$

일반적으로 다중 구성요소 신호에 대해 동일한 유효 분해 횟수가 무한히 존재한다. 분리 가능성 특성은 원하는 분해의 맥락에서 고려해야 한다. 예를 들어 음성 신호의 분석에서 글로탈 펄스 사이의 시간에 상대적인 긴 분석 윈도우가 고조파를 분리하기에 충분하지만, 개별 글로탈 펄스는 각각의 윈도우(즉, 개별 펄스는 선택한 분석 윈도우에 의해 시간 내에 분리할 수 없음)로 덮여 있기 때문에 더러워질 것이다.) 글로탈 펄스 사이의 시간보다 훨씬 짧은 분석 윈도우가 글로탈 펄스를 해결할 수 있는데, 이는 윈도우가 두 펄스를 초과하지 않지만 고조파 주파수가 함께 묻히기 때문이다. 왜냐하면 분석 윈도우 스펙트럼의 주엽이 고조파 사이의 간격보다 넓기 때문이다(즉, 고조파는 분리할 수 없다).e, 빈도로, 선택한 분석 윈도우에 의해).

참조

추가 읽기

• S. A. 풀롭과 K. 피츠, 21세기의 분광기, 오늘의 음향기, 제2, 제3, 페이지 26–33, 2006.
• S. A. 풀롭과 K. 피츠, 2006년 1월 미국 음향학회지 제119권, 페이지 360 – 371호, 애플리케이션과 함께 시간 보정된 순간 주파수(재할당) 분광그램을 계산하는 알고리즘.

외부 링크

• TFTB — 시간 빈도 공구 상자
• SPIR - 정현상 부분 편집 분석 및 재합성
• 로리스 - 사운드 모델링 및 모핑을 위한 오픈 소스 소프트웨어
• SRA - 소리 신호의 스펙트럼 및 거칠기 분석을 위한 웹 기반 연구 도구(Northwest Academic Computing Consortium이 J. Middleton, Eastern Washington University에 부여)
• 희박한 시간 빈도 표현 - PNAS