반사군

그룹 이론과 기하학에서 반사 그룹은 유한 차원 유클리드 공간의 반사 집합에 의해 생성되는 이산 그룹이다.일반 폴리토프의 합성복사에 의한 유클리드 공간의 타일링 또는 일반 폴리토프의 대칭군은 반드시 반사집단이다.반사 그룹에는 Weyl 그룹과 결정학적 Coxeter 그룹도 포함된다.직교 그룹은 반사에 의해 생성되지만(카르탄-디우도네 정리) 이산 그룹이 아닌 연속 그룹(사실상, 리 그룹)이며, 일반적으로 별도로 고려된다.

정의

E를 유한 차원 유클리드 공간이 되게 하라.유한반사군이란 원점을 통과하는 하이퍼플레인의 직교반사 집합에 의해 생성되는 E의 일반 선형 그룹의 하위그룹이다.부착 반사 그룹은 (반사 하이퍼플레인이 원점을 통과해야 하는 요건 없이) 부착된 E의 부착 반사 집합에 의해 생성되는 E 부착 그룹의 이산 하위 그룹이다.

해당 개념은 다른 분야에 걸쳐 정의될 수 있으며, 이에 따라 복잡한 반사 그룹과 유한 분야에 걸친 반사 그룹의 유사성이 발생한다.

예

평면

${\displaystyle \mathrm{2차원}}$에서 유한반사군은 $2{\displaystyle \mathrm{}㎛/n}$ ${\displaystyle 2\pi /n}$의 각도를 형성하고$$ Coxeter 다이어그램 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}n}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle I_{2}(n$)에 해당하는 2개의 선에서 반사에 의해 생성되는 이음반군이다$.$$}$ 반대로$$ 2차원의 주기적 점 그룹은 반사에 의해 생성되지 않으며 실제로 반사를 포함하지 않는다. 단, 이음매 그룹의 지수 2의 부분군이다.

Infinite reflection groups include the frieze groups ${\displaystyle *\infty \infty }$ and ${\displaystyle *22\infty }$ and the wallpaper groups ${\displaystyle **}$, ${\displaystyle *2222}$, ${\displaystyle *333}$, ${\displaystyle *442}$ and ${\displaystyle *632}$.두 선 사이의 각도가 pi의 비합리적인 배수인 경우, 이들 선에서 반사에 의해 생성된 그룹은 무한하고 비분해적이므로 반사군이 아니다.

공간

유한반사군은 점군 C_nv, D_nh, 5개의 플라토닉 고형물의 대칭군이다.이중 정규 다면체(관, 팔면체, 도데카면체, 이코사면체)는 이형 대칭군을 발생시킨다.R의³ 유한반사군 분류는 ADE 분류의 한 예다.

Coxeter 그룹과의 관계

반사 그룹 W는 H. S. M. 콕시터가 발견하고 연구한 특별한 종류의 발표를 인정한다.^[1]고정된 기본 "챔버"의 면에서의 반사는 순서 2의 W의 발전기 r이다_i.그들 사이의 모든 관계는 공식적으로 관계로부터 따른다.

${\displaystyle(r_{i}r_{j})^{c_{ij}}=1,}$

${\displaystyle \pi }$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle c{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 각도에서 만나는 두 개의 하이퍼플레인_i H 및 H에서_j 반사 r과_i r의_j 산출물이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ension}}_{}}$ / c i ${\displaystyle j{}_{}}$ {\displaystyle_ij $2\pi /c_{ij}}$ 각도로 회전하는 것을 표현한다.따라서 추상적인 그룹으로 보아 모든 반사 그룹은 콕시터 그룹이다.

유한장

유한한 분야에 대해 작업할 때, 하이퍼플레인을 고정하는 지도로서 「반사」를 정의한다(그렇지 않으면 특성 ${\displaystyle 2}$에 반사가 없을 것이며$,$ ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $반사가 정체성$이 된다$).$^{[citation needed]}기하학적으로 이것은 전단지를 초면에 포함하는 것에 해당한다.특성 2가 아닌 유한한 분야에 걸친 반사 집단은 잘레스키슈&세레슈킨(1981)에 의해 분류되었다.

일반화

반사에 의해 생성된 더 일반적인 리만 다지관의 이산 등측계 그룹도 고려되었다.가장 중요한 등급은 1등급의 리만 대칭적 공간인 n-sphere Sⁿ, 부순 반사 그룹에 해당하는 유클리드 공간 Rⁿ, 그리고 해당 그룹을 쌍곡 반사 그룹이라고 하는 쌍곡선 공간 H에서ⁿ 발생한다.2차원에서 삼각형 그룹은 3종류의 반사 그룹을 포함한다.

참고 항목

• 하이퍼플레인 배열
• 체발리-셰퍼드-토드 정리
• 반사 그룹은 케일리디스코어와 관련이 있다.^[2]

참조

메모들

참고 문헌 목록

교과서

외부 링크

• Wikimedia Commons의 반사 그룹과 관련된 미디어
• "Reflection group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]