상대론적 방정식 목록

다음은 특수 상대성 이론에서 자주 발생하는 방정식의 목록입니다.

특수상대성이론의 공식

특수 상대성 방정식을 도출하려면 다음 두 가지 가정으로 시작해야 합니다.

1. 물리 법칙은 관성 프레임 사이의 변환에서 불변합니다.즉, 물리 법칙은 프레임 '정지'에서 테스트하든 프레임이 '정지' 프레임에 대해 일정한 속도로 이동하든 동일합니다.
2. 완벽한 고전적 진공상태에서의 빛의 속도( ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$0 {$displaystyle c_{0$는 관성 프레임의 모든 관측자에 의해 동일한 것으로 측정되며, 게다가 유한하지만 0이 아니다.이 속도는 우주에서 로컬 정보 전송 속도를 위한 최고의 역할을 합니다.

이 맥락에서 "빛의 속도"는 고전적인 진공상태에서처럼 국소적으로 정보 전달이나 일반(부정적 질량 이외) 물질의 이동의 속도 우위성을 말한다.따라서 보다 정확한 설명은 빛의 속도 그 자체보다는 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$을 참조합니다.그러나 빛 및 기타 질량 없는 입자는 이론적으로 진공 조건 하에서 c $({$으로 이동하며, 실험 결과 이 개념은 상당히 높은 정밀도로 구현되지 않았습니다.빛 자체가 c $({$으로 이동하는지 여부에 관계없이 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$0({$displaystyle c_{0})$은 그러한 우월적 역할을 하며, 이것이 상대성 이론에서 중요한 가정입니다.

이 두 가지 가설로부터, 모든 특수 상대성 이론이 뒤따른다.

다음 두 관성 프레임 간의 상대 속도 v는 데카르트 좌표계의 x방향으로 완전히 제한된다.

운동학

로렌츠 변환

특수 상대성 이론에서는 다음과 같은 표기가 매우 자주 사용됩니다.

로렌츠 인자

${\displaystyle \displaystyle = displayfrac {1}{\displayrt {1-\display ^{2}}}}$

$여기$서 ${\displaystyle \beta \frac{}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{v}{}}$ c$$\$displaystyle$ \$displaystyle = vfrac {v}{c}}$ 및 v는 두 관성 프레임 사이의 상대 속도이다.

정지된 두 프레임의 경우 θ = 1이며 두 관성 프레임 사이의 상대 속도에 따라 증가한다.상대속도가 빛의 속도에 가까워지면 θ → θ가 된다.

시간 연장(동일한 관성 프레임의 동일한 위치 x에서 다른 시간 t와 t')

${\displaystyle t'=\display t}$

시간 연장의 도출

위의 전제를 적용하여 차량이 지나갈 때 지상에 서 있는 사람에 대해 속도 v로 이동하는 차량 내부(보통 열차로 예시)를 고려합니다.그 안에서, 천장의 거울까지 빛이 위쪽으로 비쳐지고, 거기서 빛이 다시 아래로 반사된다.미러의 높이가 h이고 빛의 속도가 c인 경우 조명이 상승했다가 하강하는 데 걸리는 시간은 다음과 같습니다. ${\displaystyle t=black {2h}{c}}$ 그러나 지상의 관측자에게는 상황이 크게 다르다.열차는 지상의 관찰자에 의해 움직이기 때문에, 빛은 위아래로 일직선으로 움직이는 것이 아니라 대각선으로 움직이는 것처럼 보인다.이를 시각화하려면 한 지점에서 빛을 방출한 다음 차량 상단에 있는 거울에 빛이 닿을 때까지 차량을 움직인 다음 광선이 차량 바닥으로 돌아올 때까지 열차를 더 움직이도록 합니다.이 광선은 열차와 함께 대각선 위쪽으로 이동한 후 대각선 아래로 이동한 것으로 보입니다.이 경로는 높이가 변의 한 쪽이고 경로의 두 직선 부분이 각각 가설인 두 개의 오른쪽 삼각형을 형성하는 데 도움이 됩니다. $\displaystyle c^{2}\leftfrac {t'}{2}\right)^{2}=h^{2}+v^{2}\leftflac\frac {t'}{2}}\right)^{2}$ $t{\displaystyle {}^{}}$ $»$ {$displaystyle$ t$\}$를 얻기 위해 재배치 중: $\displaystyle \flac {t'}{2}\right)^{2}=black {h^{2}}{c^{2}-v^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {t'} {h} {\fracrt {c^2}-v^{2}}}}$ ${\displaystyle t'=black {2h}{\displayrt {c^{2}-v^{2}}}}$ c의 계수를 뺀 다음 t에 연결하면 다음과 같은 결과가 나옵니다. ${\displaystyle t'=snotfrac {2h}{c}}{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}}}}=snotfrac {t}{1-{\frac {v^{2}}}}}}}}}}}}}}}$ 시간 연장에 대한 공식은 다음과 같습니다. ${\displaystyle t'=\display t}$

이 예에서는 차량의 프레임에서 측정된 시간 t를 적정 시간이라고 합니다.차량에서 빛이 방출되는 이벤트와 차량에서 빛이 수신되는 이벤트와 같은 두 이벤트 사이의 적절한 시간은 이벤트가 동일한 위치에서 발생하는 프레임에서 두 이벤트 사이의 시간입니다.따라서 위에서 빛의 방출과 수신은 모두 차량 프레임에서 이루어졌고, 차량 프레임에 있는 관찰자가 적절한 시간을 측정할 수 있게 되었습니다.

길이 수축(같은 관성 프레임에서 같은 순간 t에 다른 위치 x와 x')

$(\displaystyle\ell'=black{\displaystyle})$

길이 수축의 도출

지상에 대해 속도 v로 움직이는 긴 열차와 기둥 옆에 서 있는 열차의 관찰자 한 명과 지상의 관찰자 한 명을 생각해 보십시오.열차의 관찰자는 열차의 앞부분이 기둥을 통과하는 것을 보고, 얼마 후 열차의 끝부분이 같은 기둥을 통과하는 것을 봅니다.그리고 나서 그는 다음과 같이 열차의 길이를 계산합니다. ${\displaystyle\ell=display'}$ 그러나 지상의 관측자는 같은 측정을 통해 다른 결론을 도출한다.이 관찰자는 포스트를 통과하는 열차의 앞부분과 포스트를 통과하는 열차의 뒷부분 사이에 시간 t가 경과했음을 발견합니다.두 사건, 즉 열차의 각 종점이 포스트에 의해 통과하는 것이 지상 관측자의 프레임에서 동일한 장소에서 발생했기 때문에, 이 관측자가 측정한 시간은 적절한 시간입니다.그래서: $\displaystyle \ell ' = v \ leftflac { t } { \ flac } = displayflac { \ el } { \ flac }$

이것은 길이 축소의 공식입니다.시간 연장에 적절한 시간이 존재하기 때문에 길이 수축에 적절한 길이(이 경우 ℓ)가 존재합니다.오브젝트의 적절한 길이는 오브젝트가 정지해 있는 프레임 내의 오브젝트의 길이입니다.또한, 이 수축은 물체와 관찰자 사이의 상대 속도에 평행한 물체의 치수에만 영향을 미친다.따라서 운동 방향에 수직인 길이는 길이 수축의 영향을 받지 않습니다.

로렌츠 변환

$(\displaystyle x'=\displays \left(x-param\오른쪽))$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

$\displaystyle t'=\flac \left(t-{\frac {flac}{c^{2}}\right)}$

시간확장 및 길이수축을 이용한 로렌츠 변환의 도출

이제 길이 수축 결과를 갈릴레오 변환(즉, x = θ)으로 대입하면 다음과 같이 됩니다. ${\displaystyle {x'}{\display }=x-display}$ 즉, 다음과 같습니다. $(\displaystyle x'=\displays \left(x-param\오른쪽))$ 프라이밍된 프레임에서 프라이밍되지 않은 프레임으로 이동합니다. ${\displaystyle x=\left(x'+light'\right)}$ 프라이밍된 프레임에서 프라이밍되지 않은 프레임으로 이동하는 것은 첫 번째 방정식의 v를 음으로 만든 다음 프라이밍되지 않은 변수와 프라이밍되지 않은 변수를 교환함으로써 이루어졌으며, 그 반대도 마찬가지입니다.또한 길이 수축은 물체의 수직 치수에 영향을 주지 않기 때문에 다음 사항은 갈릴레오 변환과 동일하게 유지됩니다. ${\displaystyle y'=y}$ ${\displaystyle z'=z}$ 마지막으로 t와 t의 변환 방법을 결정하려면 x↔x의 변환을 역변환으로 바꿉니다. $(\displaystyle x=\display \left(\displaystyle\right)+time'\right)}$ $\displaystyle x=\displays \left(\display x-\displays vt+displays'\오른쪽)}$ ${\displaystyle x=\display ^{2}x-\display ^{2}svt+\display vt',}$ ${\displaystyle \displaystyle vt'=\display ^{2}x+x,}$ $\displaystyle \displaystyle vt'=\display ^{2}x\left(1-\display ^{2}\right)}$ :의 값을 꽂습니다. ${\displaystyle \displaystyle vt'=\display ^{2}x\left(1-{\frac {1}{1-\display ^{2}}\right)}$ $({displaystyle \displaystyle vt'=\displays ^{2}x\frac {1-\displays ^{2}}-{\frac {1}{1-\displays ^{2}}\right})$ $\displaystyle \displaystyle vt'=\display ^{2}x\frac {frac ^{2}{1-\display ^{2}}\right}$ ${\displaystyle \displaystyle vt'=\display ^{2}\display ^{2}x,}$ 마지막으로 µv로 나누면 다음과 같습니다. $(\displaystyle t'=\displays \left(t-\displaystyle {x}{c}\right)}$ 또는 보다 일반적으로: $\displaystyle t'=\flac \left(t-{\frac {flac}{c^{2}}\right)}$ 또한 v 기호를 변경하고 프라이밍되지 않은 변수를 프라이밍된 변수와 교환하여 그 반대의 값을 얻을 수 있습니다.이러한 변환은 모두 로렌츠 변환입니다. $(\displaystyle x'=\displays \left(x-param\오른쪽))$ ${\displaystyle y'=y}$ ${\displaystyle z'=z}$ $\displaystyle t'=\flac \left(t-{\frac {flac}{c^{2}}\right)}$

속도 가산

${\displaystyle V'_{x}=vfrac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}$

${\displaystyle V'_{y}=frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}\right)}}}$

${\displaystyle V'_{z}=frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}\right)}}}$

속도 가산 유도

로렌츠 변환은 미분에도 적용되므로 다음과 같습니다. $(\displaystyle dx'=\displays \left (vdt\right))$ $(\displaystyle dy=dy)$ $({displaystyle dz`=dz})$ ${\displaystyle dt'=\displays \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}\right)}$ 속도가 dx/dt이므로 ${\displaystyle {dt`}{dt`}=flac\left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}\right)}}}$ $({displaystyle {dt`}{dt`}=black {dt-vdt}{dt-{\flac {vdx}{c^{2}}}})$ ${\displaystyle {\frac {dt'}=param frac {\frac {dt}}-v}{1-{\frac {dt}{dt}}{\frac {v}{c^{2}}}}}}$ 현재 대체: ${\displaystyle V_{x}=syslogfrac {dt},\syslog V'_{x}=syslogfrac {dt'}}$ 는 속도 덧셈을 제공합니다(실제 아래는 뺄셈입니다. 덧셈은 Vy, Vz 및 V의x 부호를 반대로 돌리기만 합니다). ${\displaystyle V'_{x}=vfrac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}$ ${\displaystyle V'_{y}=frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}\right)}}}$ ${\displaystyle V'_{z}=frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}\right)}}}$ 또한 위와 같이 프레임 변화에 수직인 방향의 속도도 영향을 받는다.이는 dt/dt' 변환에 캡슐화된 시간 연장에 의한 것입니다.V'y 및 V'z 방정식은 둘 다 적절한 공간 미분(예: dy' 또는 dz')을 시간 미분으로 나누어 도출했습니다.

메트릭과 4벡터

다음 예에서 볼드 산세리프는 4-벡터에 사용되며, 일반 볼드 로만은 3-벡터에 사용됩니다.

내부 제품(즉, 길이의 개념)

$(\displaystyle\boldsymbol\mathsf {a}\cdot\boldsymbol\mathsf {b}=\eta(\boldsymbol\mathsf {a}}},{\boldsymbol\mathsf {b}})$

여기서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \eta)$는 메트릭 텐서로 알려져 있습니다.특수 상대성 이론에서 메트릭 텐서는 민코프스키 메트릭이다.

$\displaystyle \eta = pmatrix { pmatrix }-1&0&0\ 0&0&0\ 0&1&0\ 0&1\ end {pmatrix}$

시공간 간격

${\displaystyle ds^{2}=dy^{2}+dz^{2}-c^{2}-c^{2}dt^{2}=displays{pmatrix}cdt&dt&dz\end{pmatrix}}{\display {pmatrix}-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&$

위의 경우 ds는² 시공간 간격이라고 불립니다.이 내부 생성물은 로렌츠 변환 하에서 불변합니다. 즉,

$\displaystyle \eta(\boldsymbol\mathsf {a}), {\boldsymbol\mathsf {b}'=\eta \left(\Lambda\boldsymbol\mathsf {a}),\Lambda(\boldsf {b}\light)=\eta(\boldsymbol {a}}, {\boldsymbol {b}})$

메트릭 기호와 ct, cdt, cdt' 및 cdt'의 시간 기반 용어의 배치는 작성자의 선택에 따라 달라집니다.예를 들어, 대부분의 경우 시간 기반 항이 4 벡터에 먼저 배치되고 공간 항이 그 뒤를 따릅니다.또, θ를 -θ로 치환하는 경우도 있어, 공간항은 점곱이나 시공간 간격에 음의 기여가 되는 한편, 시간항은 양의 기여가 된다.이러한 차이는 수행된 계산 전반에 걸쳐 표준 선택을 완전히 따르는 한 어떤 조합에서도 사용할 수 있다.

로렌츠 변환

위의 좌표 변환을 행렬로 표현할 수 있습니다.간단하게 하기 위해서는 t, t, dt, dt'를 ct, ct', cdt, cdt'로 치환하는 것이 좋습니다.그래서:

${\displaystyle x'=\display x-\display ct,}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

$\displaystyle ct'=\display ct-\displays \displays x,}$

매트릭스 형식:

$(\displaystyle {pmatrix}ct\\x'\y'\end{pmatrix}=cisco {pmatrix}\display {pmatrix}\display {pmatrix}\display {pmatrix}\display {pmatrix}\catrix &-\display {pmatrix}\display {pmatrix &-\dispm}\dis &-\disc&-\dister &-\discdister &-\display {pmatrix &$

위의 변환 방정식의 벡터는 4 벡터로 알려져 있으며, 이 경우 특히 위치 4 벡터가 됩니다.일반적으로 특수 상대성 이론에서 4 벡터는 다음과 같이 하나의 기준 프레임에서 다른 프레임으로 변환할 수 있습니다.

$(\displaystyle\boldsymbol\mathsf {a}'=\Lambda\boldsymbol\mathsf {a}}}$

$위$에서는 ${\$ style \$display$ \ $style$ \ bold $symbol$ \$mathsf$ { a$}$ 와$display$ style \ display \ $bold symbol$\ mathsf { $a}$ 가$$$$ $각각{\displaystyle \mathsf{}}$ 4 벡터와 변환된 4 벡터가 되고 λ 는 변환 매트릭스이며, λ는 4 벡터가 모두 원하는 변환 매트릭스입니다.$따라서$ $【{$ $displaystyle$}{ $bold$symbol {$mathsf$ {a$}}}}}$은 위치, 속도 또는 운동량을 나타내는 4개의 벡터가 될 수 있으며, 동일한 2개의 프레임 간에 변환하는 경우에도 동일한 δ를 사용할 수 있습니다.가장 일반적인 로렌츠 변환에는 승압과 회전이 포함됩니다. 구성 요소는 복잡하고 변환에는 스피너가 필요합니다.

4중간격 및 프레임 정합성이 뛰어난 결과

물리적 양의 불변성과 통합은 모두 4 ^[1]벡터에서 발생한다.4 벡터의 내적 자체는 스칼라(내적 정의상)와 같으며, 4 벡터는 물리량이기 때문에 그 크기는 물리량에 대응한다.

특성/효과	3소켓	4소켓	불변 결과
시공간 이벤트	3-위치: r = (x1, x2, x3) $\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \equiv r^{2}\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,\!}$	4 위치: X = (ct, x1, x2, x3)	$\displaystyle \boldsymbol \mathsf {X}\cdot \boldsymbol \mathsf {X}=\left(c\tau \right)^{2},\!}$ ${\displaystyle {arged}&\left(ct\right)^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\오른쪽)\\=\left(ct\right)^{2}-r^{2}\\&=-\chi^{2}=\left(c\left\right)^2}\end{aligned},\!}$ τ = 적정시간 χ = 적정 거리
운동량-에너지 불변성	${\displaystyle \mathbf {p} =\display m\mathbf {u} \,\!}$ 3-소수: p = (p1, p2, p3) $\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} \equiv p^{2} \equiv p_{1}^{2} + p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\,\!}$	4-픽셀: P = (E/c, p1, p2, p3) ${\displaystyle {\mathsf {P}}=m{\boldsymbol {\mathsf {U}},\!}$	$\displaystyle\boldsymbol\mathsf {P}\cdot\boldsymbol\mathsf {P}=\left(mc\right)^{2},\!}$ ${\displaystyle {begin{aligned}&\left({\frac {E}{c}}\right)^2}-\left(p_{1}^2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\오른쪽)\\=\leftfac {E}{c}\right)^{2}-p^{2}\&=\left(mc\right)^{2}\end{aligned},\!}$ 그 결과 다음과 같습니다. $\displaystyle E^{2}=\left(pc\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2},\!}$ E = 총 에너지 m = 불변 질량
속도	3단계: u = (u12, u3, u) ${\displaystyle \mathbf {u} = flac {mathrm {d} \mathbf {r} {\mathrm {d} t},\!}$	4 소켓:U = (U0, U1, U2, U3) $\displaystyle \boldsymbol \mathsmbol \mathsmbol {D} = \mathsmbol {D} {\mathsf {X}} = \mathbf {u} \right }$	$\displaystyle\boldsymbol\mathsf {U}\cdot\boldsymbol\mathsf {U}=c^{2},\!}$
액셀러레이션	3-연산: a = (a1, a2, a3) ${\displaystyle \mathbf {a} = flac {mathrm {d} \mathbf {u} {\mathrm {d} t},\!}$	4-연계:A = (A0, A1, A2, A3) ${\displaystyle {\mathsymbol {A}}={boldsymbol {d}{\mathsf {U}}}}{\mathrm {d}}}=\frac \left(c4frac {d} \mathrm {d} t}}, {\frmathrm {d}{d}}}}$	$(*displaystyle\boldsymbol\mathsf {A}\cdot\boldsymbol\mathsf {U}=0,\!}$
힘.	3포스: f = (f1, f2, f3) ${\displaystyle \mathbf {f} = spec frac {mathrm {d} \mathbf {p} {\mathrm {d} t},\!}$	4포스:F = (F0, F1, F2, F3) ${\displaystyle {\mathsmbol {F}}={boldsymbol {d}{\mathsmbol {d}}}{\mathrm {d}}=\mathrm {d} t}, {\frac {d}{d}$	$(*displaystyle\boldsymbol\mathsf{F}\cdot\boldsymbol\mathsf{U}=0,\!)}$

도플러 시프트

일반 도플러 이동:

$\displaystyle \nu '=\display \nu \left(1-\cos \theta \right)}$

이미터와 관찰자가 서로를 향해(또는 직접) 이동하는 도플러 이동:

${\displaystyle \nu'=\nu {frac {1-\flac}}{\flacrt {1+\flac}}}$

이미터와 관찰자를 연결하는 라인에 수직 방향으로 이동하는 도플러 이동:

${\displaystyle \nu'=\displaystyle \nu}$

상대론적 도플러 이동 유도

물체가 광선 또는 방사선을 방출하는 경우, 그 광선 또는 방사선의 주파수, 파장 및 에너지는 이미터에 대해 정지해 있는 관측자와는 다르게 보입니다.관찰자가 이미터를 기준으로 x축을 따라 움직이고 있다고 가정하면 에너지를 포함한 4모멘텀의 표준 로렌츠 변환은 다음과 같습니다. $\displaystyle {\frac {pmatrix}{c}\p'_{x}\p'_{y}\p'_{z}\end{pmatrix}="begin{pmatrix}\gamma &-"\displays & 0&0"\frac & 0&0&0"$ $(\displaystyle\frac {E'}{c}=\gamma(\frac {E}{c})-\gamma\frac p_{x}$ 자, 만약 ${\displaystyle p_{x}=\p\cos\theta}$ 여기서 θ는 $p$와 p $→$ 사이의 각도x(\$displaystyle\vec {p$이며, 운동량과 에너지와의 주파수 관계에 대한 공식을 꽂습니다. $\displaystyle \frac { h \ nu } { c } = \cos \theta = \display \ frac { h \ nu } { c } \ cos \theta = \ frac { h \ nu } { c } } = \ coseta }$ $\displaystyle \nu '=\display \nu -\display \nu \cos \theta =\display \nu \left(1-\display \cos \theta \right)}$ 이것은 상대론적 도플러 이동의 공식으로, 이미터와 관찰자 사이의 속도 차이가 x축에 있지 않습니다.이 방정식에는 두 가지 특별한 경우가 있습니다.첫 번째는 이미터와 관찰자 사이의 속도가 x축을 따르는 경우입니다.이 경우 θ = 0, cos θ = 1로 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다. ${\displaystyle\displaystyle\nu '&=\displaystyle\left(1-\displaystyle\right)\&=\nu {frac {1}{\flacrt {1-\flac ^{2}}}}}\left(1-\flac \right)\&=\nu {\frac {1}{\fracrt {\left(1-\frac \right)\left(1+\frac \right)}\left(1-\frac \right)}\left(1-\frac \right)\&=\nu {frac {1-\frac}}{\fracrt {1+\frac}}\end {aligned}}$ 이것은 이미터와 관찰자 사이의 속도가 x축을 따르는 경우의 도플러 시프트 방정식입니다.두 번째 특수한 경우는 상대 속도가 x축에 수직인 경우로, 따라서 θ = θ/2, cos θ = 0으로 다음과 같은 조건을 만족합니다. ${\displaystyle \nu'=\displaystyle \nu}$ 주파수가 시간의 역수이기 때문에, 이것은 실제로 시간 확장과 완전히 유사합니다.따라서 방사체와 관측자가 서로 연결되는 선에 수직으로 움직이는 것은 완전히 시간 연장의 영향 때문입니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

원천

• 물리학 백과사전 (제2판), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC출판사, 1991년, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3.
• 다이내믹스와 상대성, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
• 상대성 분석, D.McMahon, McGraw Hill(미국), 2006, ISBN 0-07-1455-0
• 캠브리지 물리 공식 핸드북, G. Woan, 캠브리지 대학 출판부, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• 기계개론, D.Kleppner, R.J. Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9