콤팩트 연산자

In functional analysis, a branch of mathematics, a compact operator is a linear operator ${\displaystyle T:X\to Y}$, where ${\displaystyle X,Y}$ are normed vector spaces, with the property that ${\displaystyle T}$ maps bounded subsets of ${\displaystyle X}$ to relatively compact subsets of ${\displ$$aystyle Y}($$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 콤팩트하게 닫힌 하위 세트).$$그러한 연산자는 반드시 경계 연산자일 뿐이고, 그렇게 연속적이다.^[1]일부 저자들은 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$를 Banach라고 요구하지만, 그 정의는 더 일반적인 공간으로 확장될 수 있다.

등급이 유한한$$ 모든 경계 $연산자{\displaystyle }$ T$${\$displaystyle T$}은 소형 연산자인데, 실제로 콤팩트 연산자의 등급은 무한 차원 설정에서 유한 순위 연산자 등급의 자연 일반화다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 힐버트 공간인 경우, 모든 콤팩트 연산자는 유한 순위 연산자의 한계이므로,^[1] 콤팩트 연산자의 클래스가 표준 위상에서의 유한 순위 연산자 집합의 폐쇄로서 대안으로 정의될 수 있는 것이 사실이다.이것이 바나흐 공간(근사적 속성)에 대한 일반적인 사실인지 아닌지는 여러 해 동안 풀리지 않은 질문이었다; 1973년 페르 엔플로(Per Enflo)는 그로텐디크(Grotendieck)와 바나흐(Banach)^[2]의 작업을 바탕으로 한 반례를 제시하였다.

콤팩트 연산자 이론의 기원은 적분 방정식 이론에 있으며, 적분 연산자는 그러한 연산자의 구체적인 예를 제공한다.전형적인 프레드홀름 적분 방정식은 함수 공간에서 콤팩트 연산자 K를 발생시킨다; 콤팩트함 속성은 등비례성으로 나타난다.유한 순위 연산자에 의한 근사 방법은 그러한 방정식의 수치 해법에서 기본이다.프레드홀름 운영자의 추상적인 생각은 이 연결에서 파생된 것이다.

등가제식

두 위상 벡터 공간 사이의$$ 선형 지도 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y $[\displaystyle T:X\to$ Y$}$은(는) $T{\displaystyle }$ (${\displaystyle U)}$ ${\displaystyle$ T$(U)}$이(가) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$^[3]의 비교적 컴팩트한 부분 집합인$$$$ 것처럼 $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X}$에 오리진$$ $U}$이 있는 경우 컴팩트하다고 한다.

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$을(를) 표준화된 공백으로$$ $하고{\displaystyle }$T :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle T:X\to$ Y$}$을(를) 선형$$ 연산자로 한다.그렇다면 다음의 진술은 동등하며, 그 중 일부는 다른 저자에^[4] 의해 주요한 정의로 사용된다.

• ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은(는) 소형 연산자임.
• $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 아래에$$ $있는{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 단위 볼 이미지는 Y ${\displaystyle Y}$에서 비교적 소형이다$.$
• T ${\displaystyle$ $T$$}$ 아래에$$ 있는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경계 부분 집합 이미지는 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$\};$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 원본$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$과(와) T${\displaystyle (U)}$ ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$과(와) 같은 소형 하위 집합 V$v$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystystyeq$ Y}이 있다$.$
• 모든 경계 시퀀스${\displaystyle {}_{}{}_{}{xn}_{}}$ ) n${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}${\$displaystyle (x_{n})_{n\in \mathb{N$$\}\}\}$ $X$ ${\$의 경계가 있는${\displaystyle }$시퀀스에 수렴이 포함되어$$ 있다.

또한 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) Banach인 경우 이러한 문장은 또한 다음과 같다.

• $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경계 부분 집합 이미지는 Y ${\displaystyle$ Y$}$에서 완전히 경계된다$.$

선형 연산자가 소형이면 연속이다.

중요 특성

In the following, ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ are Banach spaces, ${\displaystyle B(X,Y)}$ is the space of bounded operators ${\displaystyle X\to Y}$ under the operator norm, and ${\displaystyle K(X,Y)}$ denotes the space of compact operators ${\displaystyle X\to Y}$. ${\displaystyle }$${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ denotes the identity operator on ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$, and ${\displaystyle K(X)=K(X,X)}$.

• ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle K(X,Y)}$은(는) $B{\displaystyle (X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle B(X,Y)}($표준 위상)의 닫힌 하위 공간이다$$.동등하게,^[5]
  • given a sequence of compact operators ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ mapping ${\displaystyle X\to Y}$ (where ${\displaystyle X,Y}$are Banach) and given that ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ converges to ${\displaystyle T}$ with r연산자 규범에 따라 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 압축된다$$.
• 반대로 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$이(가) 힐버트 공간이라면 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$의 모든 콤팩트 연산자는 유한 순위$$ 연산자의 한계다.특히 이 "추정 특성"은 일반 바나흐 공간 X와 Y에 대해 거짓이다.^[4]
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).}$ In particular, ${\displaystyle K(X)}$ forms a two-sided ideal in ${\displaystyle B(X)}$.
• 어떤 콤팩트한 연산자는 엄격히 단수적이지만, 그 반대는 아니다.^[6]
• Banach 공간 사이의 경계 선형 연산자는 그 부재가 콤팩트한 경우에만 콤팩트하다(Schauder의 정리).
  • $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$이(가) 경계되고 압축된 경우$$:
    • $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 범위의 폐쇄는 분리할 수 있다$$.^[5][7]
    • $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 범위가 Y에서 닫히면$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 범위는 유한 차원이다$$.^[5][7]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Banach 공간이고 변환 가능한 경계 컴팩트 $연산자{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to$ X$}$이(가) 있는 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$은(가) 반드시 유한 차원이다$$.^[7]

이제 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) Banach 공간이고${\displaystyle }T{\displaystyle }$ : ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$이(가) 콤팩트 선형 연산자이며$$, $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ : X ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$이 $T$의 조정 또는 전치(으)라고$$ 가정해보자.

• $모든{\displaystyle }$ T${\displaystyle k}$ K${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X ) ${\displaystyle T\in$ K$(X)}$의 경우$,$ ${\displaystyle {ID}_{}}$X - ${\displaystyle T}${\$displaystyle {\operatorname {Id} _{X}-T}$은(는) 지수 0의 Fredholm 연산자다.특히 ${\displaystyle 임({Id}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \operatorname {Im} \,({\operatorname {Id} _{X}-T)}$은(는) 닫힌다$$.이것은 콤팩트 연산자의 스펙트럼 특성을 개발하는데 필수적이다.이 속성의 유사성과 $M{\displaystyle }$ {\$displaystyle M}$과$$N {\$displaystyle$ N$}$이($)$ X {\$displaystyle$ X}의$$ 하위 공간인 경우$$, $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $N$$}$은(는$)$ 유한 차원인 경우$$ $M{\displaystyle }$ +${\displaystyle N}$ ${\displaystystyle M+N}$도 닫힌다는 사실을$$ 알 수 있다.
• $S{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S:X\to$ X$}$이(가) 경계 선형 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$일 경우 $S{\displaystyle }${ T$${\$displaystyle S\circ T}$ $및{\displaystyle }$ T ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystytle T\circle$ S$}$ 모두$$ 소형 연산자다$$.^[5]
• If ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ then the range of ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ is closed and the kernel of ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ is finite-dimensional.^[5]
• If ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ then the following are finite and equal: ${\displaystyle \dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\righ$$t)=\dim X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)}$^[5]
• $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$의 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle (T}$) ${\displaystyle \sigma(T)}$은 콤팩트하고 카운트할 수 있으며, 최대 한 개의 한계점을 가지며, 이는 반드시 원점이 될 것이다.^[5]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 무한 차원일 경우 $0{\displaystyle \mathrm{}\in (T}$) ${\displaystyle 0\in \sigma(T)}$^[5].
• $\lambda {\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$과 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in t(T}$ ) ${\displaystyle$ $\lambda$ $\in \sigma(T)}$인 경우$$$\lambda$ ${\displaystyty$ T$}$과 $T$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\$의 고유값이다$.$^[5]
• 모든 r>;0}일 경우 유한한 것, 그리고 모든 0이 아니∈σ(T)λ T− λ IdX{\displaystyle T-\lambda \operat의 범위{\displaystyle \lambda \in \sigma(T)}은 집합 Er){λ∈σ(T):λ>r}{\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda\in \sigma(T):\lambda>r\right\}{\displaystyle r>0}.orname{Id}$_{X}}$는 X의 적절한 부분집합이다.^[5]

적분 방정식 이론에서의 기원

콤팩트 연산자의 중요한 특성은 프레드홀름 대안으로, 형태에 대한 선형 방정식의 해법이 존재한다고 주장한다.

$(\displaystyle (\lambda K+I)u=f}$

(여기서 K는 콤팩트 연산자, f는 주어진 함수, u는 해결되어야 할 알 수 없는 함수)는 유한 치수에서와 같이 많이 작용한다.이어서 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론이 따르며, 프리지예스 리에츠(1918년) 때문이다.무한 차원 바나흐 공간의 콤팩트 연산자 K는 0을 포함하는 C의 유한 부분집합이거나 스펙트럼이 0을 유일한 한계점으로 하는 C의 무한 부분집합이라는 것을 보여준다.더욱이 어느 경우든 스펙트럼의 0이 아닌 요소는 유한한 승수를 갖는 K의 고유값이다(그래서 K - λI는 모든 복합 complex ≠ 0에 대한 유한 차원 커널을 갖는다).

콤팩트한 연산자의 중요한 예는 소볼레프 공간의 콤팩트한 내장인데, 이 공간은 게딩 불평등 및 락스-밀그램 정리와 함께 타원 경계 값 문제를 프레드홀름 적분 방정식으로 변환하는데 사용할 수 있다.^[8]용액의 존재와 스펙트럼 특성은 콤팩트 연산자의 이론에서 따르며, 특히 경계 영역의 타원 경계 값 문제는 무한히 많은 고립된 고유값을 갖는다.한 가지 결과는 고유값에 의해 주어진 고립된 주파수에서만 고체 신체가 진동할 수 있고 임의의 높은 진동 주파수가 항상 존재한다는 것이다.

바나흐 공간으로부터 그 자체에 이르는 소형 연산자는 그 공간에 있는 모든 경계 연산자의 대수학에서 양면 이상을 형성한다.실제로 무한 차원 분리 가능한 힐버트 공간의 콤팩트한 연산자는 최대 이상을 형성하기 때문에 칼킨 대수라고 알려진 인용 대수학은 단순하다.보다 일반적으로 소형 연산자는 연산자의 이상을 형성한다.

Hilbert 공간의 컴팩트 연산자

힐버트 공간의 경우 콤팩트 연산자의 또 다른 동등한 정의는 다음과 같다.

무한 차원 Hilbert 공간 $H$ ${\${H$}$의 $연산자{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T:{\mathcal {H}\to {\mathcal {H}}$

양식으로 쓸 수 있으면 콤팩트하다고 한다.

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infit }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \angle g_{n}\}}$

where ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$ and ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$ are orthonormal sets (not necessarily complete), and ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ is a sequence of positive numbers with limit zero, called t연산자의 단수 값.단수 값은 0에서만 누적될 수 있다.If the sequence becomes stationary at zero, that is ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ for some ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$ and every ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, then the operator has finite rank, i.e, a finite-dimensional range and can be written as

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\n}\cdot \angle g_{n}\,}$

브래킷 ${\displaystyle ⟨}$ ,${\displaystyle \cdot }$ { { { ${\displaystyle \langle$\langle \$cdot \cdot \angle }$은 힐버트 공간의 스칼라 제품이며$$, 우측의 합은 연산자 규범에서 수렴된다.

소형 사업자의 중요한 하위 등급은 추적 등급 또는 원자력 사업자들이다.

완전 연속 연산자

X와 Y를 바나흐 공간이 되게 하라.경계 선형 연산자 T : X → Y는 X로부터$$ 약하게 수렴되는 모든 시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (x_{n})$에 대해 시퀀스$({\displaystyle T}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (Tx_{n})$가 Y에서 표준 수렴인 경우 완전히 연속이라고 한다(Conway 1985, §VI.3).바나흐 공간의 소형 연산자는 항상 완전히 연속적이다.X가 반사적인 Banach 공간이라면, 모든 완전 연속 연산자 T : X → Y는 콤팩트하다.

다소 혼란스러울 정도로, 콤팩트한 연산자는 현대 용어에서 그 구절의 정의에 의해 반드시 완전히 연속되는 것은 아니지만, 구 문헌에서는 때때로 "완전히 연속적인" 것으로 언급된다.

예

• 모든 유한 계급 운영자는 소형이다.
• $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$와 0으로 수렴하는_n 시퀀스(t)의 경우 곱셈 연산자(Tx)_n = t x가_nn 콤팩트하다.
• 일부 고정 g ∈ C([0, 1]; R)의 경우 다음을 기준으로 C([0, 1]; R)에서 C([0, 1]; R)까지 선형 연산자 T를 정의하십시오.
  $${\displaystyle(tf)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d}t.}$$

  
  연산자 T가 실로 콤팩트하다는 것은 아스콜리 정리로부터 따온 것이다.
• 보다 일반적으로 Ω이 R의ⁿ 어떤 도메인이고 적분 커널 k: Ω × Ω → R이 Hilbert-Schmidt 커널이라면, L²(Ω; R)에 대한 연산자 T는 다음과 같이 정의된다.
  $${\displaystyle (tf)(x)=\int _{\Oomega}k(x,y)f(y)\\mathrm {d}y}$$

  
  컴팩트한 연산자.
• Riesz의 보조정리기로, 아이덴티티 오퍼레이터는 공간이 유한한 경우에만 콤팩트한 오퍼레이터다.^[9]

참고 항목

• 콤팩트 임베딩
• Hilbert 공간의 컴팩트 연산자
• 프레드홀름 대안
• 프레드홀름 적분 방정식
• 프레드홀름 연산자
• 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론
• 단수 연산자

메모들

참조

• Conway, John B. (1985). A course in functional analysis. Springer-Verlag. Section 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Enflo, P. (1973). "A counterexample to the approximation problem in Banach spaces". Acta Mathematica. 130 (1): 309–317. doi:10.1007/BF02392270. ISSN 0001-5962. MR 0402468.
• Kreyszig, Erwin (1978). Introductory functional analysis with applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Kutateladze, S.S. (1996). Fundamentals of Functional Analysis. Texts in Mathematical Sciences. Vol. 12 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.
• Lax, Peter (2002). Functional Analysis. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Renardy, M.; Rogers, R. C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics. Vol. 13 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 978-0-387-00444-0. (제7.5절)
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

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