회전파 근사치

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회전파 근사치는 원자 광학 및 자기 공명에 사용되는 근사값이다.이 근사치에서, 빠르게 진동하는 해밀턴어로 된 용어는 무시된다.적용된 전자파 방사선이 원자 전환과 공명에 가깝고 강도가 낮을 때 유효한 근사치다.^[1]명시적으로, ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ L${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$으로 진동하는 $해밀턴식$ 용어는 $무시되며$$,$${\displaystyle {\Omega }_{}}$ L -${\displaystyle {}_{}}$Ω ${\displaystyle 0_{}}$으로 진동하는 용어는 Ω L - ${\displaystyle {}_{}}$ 0으로 유지되며, Ω L -$\omega$ \{L$$$}-\omega _{0}$ Ω으로 진동하는 용어는 유지되며, ${\displaystyle {여기}_{}}$서 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ L ${\$은 빛이다$$.d $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 전환 주파수다$$.

근사치의 이름은 아래와 같이 상호작용 그림에서 해밀턴인의 형태에서 유래한다.이 그림으로 전환함으로써 해당 원자 해밀턴에 의한 원자의 진화는 시스템 케트에 흡수되어 원자와 고려해야 할 광장의 상호작용에 의한 진화만을 남긴다.앞서 언급한 급변하는 용어들을 소홀히 할 수 있는 것이 이 그림이다.어떤 의미에서는 상호작용 그림이 대략적으로 공회전하는 전자파의 그 부분만 시스템 케트와 회전하는 것으로 생각할 수 있기 때문에 역회전 요소는 폐기된다.

회전파 근사치는 세속적인 근사치와 밀접하게 관련되어 있지만, 세속적인 근사치와는 다르다.^[2]

공식화화

단순성을 위해 지상 및 흥분 상태가 각각 g${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\text{g}\rangele$$}$ 및 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle {\text{e}\rangele}$인 2-수준 원자 시스템을 고려하십시오$($Dirac 괄호 표기법 사용).${\displaystyle {상태\mathrm{}}_{}}$ 간의 에너지 차이가 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \hbar \omega_{0}$이 되도록 하여 Ω 0 {\$displaystyle \omega_{0}$이 시스템의 전환 주파수가 되도록$$ 한다$$.그러면 원자의 동요하지 않는 해밀턴인은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}} {\text{e}}\rangle \langle {\text{e}} -{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}} {\text{g}}\rangle \langle {\text{g}} }$.

Suppose the atom experiences an external classical electric field of frequency ${\displaystyle \omega _{L}}$, given by ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$; e.g., a plane w우주에서 전파되는 ave그러면 쌍극자 근사치 아래에서 원자와 전기장 사이의 상호작용 해밀턴은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {}_{}H\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$- d${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle E\stackrel{}{}}$→ ${\$

여기서 $d{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$는 원자의 쌍극 모멘트 연산자다.The total Hamiltonian for the atom-light system is therefore ${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$ The atom does not have a dipole moment when it is in an energy eigenstate, so ${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left {\vec {d}}\right {\text{$$e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left {\vec {d}}\right {\text{g}}\right\rangle =0.}$ This means that defining ${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left {\vec {d}}\right {\text{g}}\right\rangle }$ allows the dipole operator to be written as

${\dplaystyle{\vec}}={\vec{d}_{\ext{e}}}{\text{e}}}{\wext{d}}}+{\vec{d}{\ext}^{*}{\text{d}}}}{\cext}}}}}}}}}}}}}}}}"$

$({\$ 복합 결합을 나타낸다$$.그러면 해밀턴의 상호작용은

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right) {\text{e}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right) {\text{g}}\rangle \langle {\text{e}} }$

where ${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$ is the Rabi frequency and ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$ is th역방향 주파수.$\Omega {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$~ ${\$ 용어를$$ 역회전이라고 하는 이유를 확인하려면 변환된 해밀턴 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$I ${\$ 여기서 교호작용 또는 Dirac 그림에 대한 단일 변환을 고려하십시오.$I}}$은(는) 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right) {\text{e}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right) {\text{g}}\rangle \langle {\text{e}} ,}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle :=}$ Ω 0 -$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$는 광장과 원자 사이의 분리이다.

근사치 만들기

회전파 근사치가 이루어지는 지점이다.쌍극자 근사치를 가정했으며, 이를 유효하게 유지하려면 전기장이 원자 전환과 공진 근처에 있어야 한다.This means that ${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$ and the complex exponentials multiplying ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ and ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$ can be considered to be rapidly oscillating.따라서 모든 주목할 만한 시간 척도에서 진동은 빠르게 평균을 0으로 한다.따라서 회전파 근사치는 이러한 용어들이 무시될 수 있고 따라서 해밀턴인은 상호작용 그림에서 다음과 같이 기록될 수 있다는 주장이다.

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \i\Delta \omega t}{\text{e}}\\langle \langle \langle {\text{g} -\hbar \Oomega^{*e^}{*e^}{\text{g}}\langle \langle {\langle}.$

마침내 슈뢰딩거의 그림으로 다시 변신한 해밀턴인은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}} {\text{e}}\rangle \langle {\text{e}} -{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}} {\text{g}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t} {\text{e}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t} {\text{g}}\rangle \langle {\text{e}} .}$

회전파 근사치의 또 다른 기준은 약한 결합 조건, 즉 Rabi 주파수가 전환 주파수보다 훨씬 작아야 한다는 것이다.^[1]

이 지점에서 회전파 근사치가 완성된다.이것 이상의 일반적인 첫 단계는 또 다른 단일 변형을 통해 해밀턴인에 남아 있는 시간의존성을 제거하는 것이다.

파생

위의 정의에 따르면 해밀턴의 상호작용은

${\displaystyle {\reasoned}H_{1}=-{\vec{d}}\cdot{\vec{E}}&=-\left({\vec{d}}_{\text{즉 유효}}{\text{e}}\rangle \langle{\text{g}}와{\vec{d}}_{\text{즉 유효}}^{*}{\text{g}}\rangle \langle{\text{e}}\right)\cdot \left({\vec{E}}_{0}일 경우 e^{-i\omega_{L}t}와{\vec{E}}_{0}일 경우 ^{*}e^{i\omega_{L}t}\right)\\&, =-\left({\vec{d}}_{\text{즉 유효}}\cdot{\vec{E}}_{0}e^{-i\omega_{나는}t}+{\vec{d}.}_{\text{즉 유효}}\cdot{\vec{E}}_{0}^{*}e^{i\omega_{나는}t}\right){\text{e}}\rangle \langle{\text{g}}-\left({\vec{d}}_{\text{즉 유효}}^{*}\cdot{\vec{E}}_{0}일 경우 e^{-i\omega_{L}t}와{\vec{d}}_{\text{즉 유효}}^{*}\cdot{\vec{E}}_{0}일 경우 ^{*}e^{i\omega_{L}t}\right){\text{g}}\rangle \langle{\text{e}}\\&,=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega_{나는}t}+{\tilde{\Omega}}e^{i\omega._{나는}t}\right) {\text{e}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right) {\text{g}}\rangle \langle {\text{e}} ,\end{aligned}}}$

명기한 바와 같이다음 단계는 상호작용 사진 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle I_{}}$ ${\$ 스타일 $H_{1,I}$에서 해밀턴인을 찾는 것이다$.$ 필요한 단일 변환은

${\displaystyle U=e^{iH_{0}t/\hbar }=e^{i\omega _{0}t {\text{e}}\rangle \langle {\text{e}} }= {\text{g}}\rangle \langle {\text{g}} +e^{i\omega _{0}t} {\text{e}}\rangle \langle {\text{e}} }$,

where the last step can be seen to follow e.g. from a Taylor series expansion with the fact that ${\displaystyle {\text{g}}\rangle \langle {\text{g}} + {\text{e}}\rangle \langle {\text{e}} =1}$, and due to the orthogonality of the states ${\displaystyle {\text{g}}\rangle }$ and $$$⟩{\displaystyle{\text{e}\rangele$ 두 번째 ${\displaystyle {단계}_{}}$에서 H $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 이전 절에서 주어진 정의와 다른 ${\displaystyle 대체}$는 g${\displaystyle }${$${\$displaysty}에 에너지가$0${\$display}이$($가)가 되도록 전체 에너지 레벨을 이동함으로써 정당화할 수 있다.$aystyle 0}$ 및$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\text{e}\\displaystyle {\$$displaystyle {\$}\$hbar \obe _{0}}}$을$($를) 가지고$$ 있거나$$$,$ 단일 운영자에 대한 전체 단계별 곱셈(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$/${\$은 기초 물리학에 영향을 주지 않는다.우리는 지금 가지고 있다.

${\displaystyle {\reasoned}H_{1,I}&, \equiv UH_{1}U^{\dagger}\\&, =-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega_{L}t}+{\tilde{\Omega}}e^{i\omega_{L}t}\right)e^{i\omega_{0}t}{\text{e}}\rangle \langle{\text{g}}-\hbar \left({\tilde{\Omega}}^{*}e^{-i\omega_{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega_{L}t}\right){\text{g}}\rangle \langle{\text{e}}e^{-i\omega_{0}t}\\&,=-\hbar \left(\Om.ega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right) {\text{e}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right) {\text{g}}\rangle \langle {\text{e}} \ .\end{aligned}}}$

이제 앞 절에서 설명한 역회전 항을 제거하여 RWA를 적용하고, 마지막으로 대략적인 해밀턴 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}}$I ${\displaystyle {\text{RWA}}_{}^{}}$ ${\$$1$,$I}^{\text{$슈뢰딩거 사진으로 돌아온$$ $RWA}:$

${\displaystyle {\reasoned}H_{1}^{\text{RWA}&=U^{\doger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&,=-\hbar \Omega e^{-i\Delta\omega지}e^{-i\omega_{0}t}{\text{e}}\rangle \langle{\text{g}}-\hbar\Omega ^{*}e^{i\Delta\omega지}{\text{g}}\rangle \langle{\text{e}}e^{i\omega_{0}t}\\&,=-\hbar \Omega e^{-i\omega_{나는}t}{\text{e}}\rangle \langle{\text{g}}-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega_{나는}t}{\text{g}}\rangle \langle{\text{e}}.\end{권투 선수 muhammedali는gned}}$

원자 해밀턴은 근사치의 영향을 받지 않았기 때문에 회전파 근사치 아래의 슈뢰딩거 그림의 총 해밀턴인은

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}} {\text{e}}\rangle \langle {\text{e}} -{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}} {\text{g}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t} {\text{e}}\rangle \langle {\text{g}} -\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t} {\text{g}}\rangle \langle {\text{e}} .}$

참조