회전확산

회전 확산은 입자나 분자의 전체 방향의 평형 통계 분포를 유지하거나 복원하는 과정이다.회전 확산은 공간 내 입자 위치의 평형 통계 분포를 유지하거나 복원하는 변환 확산의 상대적인 것이다.

분자(또는 더 큰 시스템)의 무작위 재방향화는 많은 생물물리학적 탐사에 중요한 과정이다.등전 정리 때문에, 큰 분자는 작은 물체를 하는 것보다 더 느리게 방향을 바꾸며, 따라서 회전 확산 상수의 측정은 물체 내 전체 질량과 그것의 분포를 통찰할 수 있다.정량적으로, 물체의 주요 축에 대한 각 속도의 평균 제곱은 그 축에 대한 관성 모멘트와 반비례한다.따라서 3개의 회전 확산 상수 - 회전 확산 텐서의 고유값 - 5개의 회전 시간 상수가 있어야 한다.^[1][2]확산 텐서의 고유값 2개가 같을 경우, 입자는 고유 확산율 2개와 시간 상수 3개를 가진 스피로이드로서 확산된다.그리고 모든 고유값이 같다면 입자는 한 번 상수를 가진 구체로서 확산된다.확산 텐서는 변환 확산의 아인슈타인 관계와 유사하게 페린 마찰 인자에 의해 결정될 수 있지만 부정확한 경우가 많고 직접적인 측정이 필요하다.

회전 확산 텐서는 피코세컨드 또는 느린 회전 과정에 민감한 형광 비등점, 유량 이등분광, 유전분광학, NMR 이완 및 기타 생물물리학적 방법을 통해 실험적으로 결정할 수 있다.형광등과 같은 일부 기법에서는 전체 확산 텐서(full diffusion tensor)를 특성화하는 것이 매우 어려울 수 있다. 예를 들어, 특정 바이러스와 같은 매우 길고 얇은 타원체들 사이에 큰 차이가 있을 때 두 확산 속도를 측정하는 것이 가능할 수 있다.그러나 이는 매우 정밀하게 회전 확산 텐서(tension tensor)를 완전히 결정하는 데 사용할 수 있는 NMR 이완의 극도로 민감한 원자 분해능 기법의 경우는 아니다.

기본 방정식

단일 축에 대한 회전 확산의 경우 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 평균 제곱 각도 편차는$$

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 2}$ D ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \left\langle \teta ^{2}\right\angle =2D_{r}t$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$는 회전 확산 계수(라디안²/s 단위)이다$$.The angular drift velocity ${\displaystyle \Omega _{d}=(d\theta /dt)_{\rm {drift}}}$ in response to an external torque ${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$ (assuming that the flow stays non-turbulent and that inertial effects can be neglected) is given by

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\frac{{\gamma }_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{r_{}}{}}$ ${\$

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$는 마찰 드래그 계수다.회전 확산 계수와 회전 마찰 드래그 계수 사이의 관계는 아인슈타인 관계(또는 아인슈타인-스몰루코프스키 관계)에 의해 주어진다.

${\$$T}{f_{r$

여기서 ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$B}}$은(는) 볼츠만 상수, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 절대 온도다.이러한 관계는 번역적 확산과 완전히 유사하다.

반경 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$의 구에 대한 회전 마찰력 드래그 계수는$$

${\displaystyle f_{r,{\textrm {sphere}=8\pi \eta R^{3}}$

여기서 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) 동적(또는 전단) 점성이다.^[3]

나노입자와 같은 구의 회전 확산은 폴리머 용액이나 젤과 같은 복잡한 환경에서 예상되는 것과 다를 수 있다.이러한 편차는 나노입자 주위에 고갈층이 형성됨으로써 설명할 수 있다.^[4]

픽의 법칙의 회전 버전

Fick의 확산 법칙의 회전 버전을 정의할 수 있다.각 회전 분자를 단위 벡터 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$hat{$$n$과(와) 연결하도록 두십시오. $예$를 들어,${\displaystyle \stackrel{}{}}$n $^$ {\$displaystyle {\n}$은(는) 전기 또는 자기 쌍극 모멘트의 방향을 나타낼 수 있다$$.let f(θ, φ, t)는 시간 t에서 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 방향에 대한 확률 밀도 분포를 나타낸다.여기서 θ과 φ은 구면 각도를 나타내며, $\theta$은 n${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 극각이며, z축과$$ φ은 x-y 평면에서 $n$ ^ ${\$displaystyle ${n}$의 방위각각이다.

Fick's law의 회전판에는 다음과 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }}}{\frac {\partial f}{\partial t}}=\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\p$$artial$ f$}{\cHB \theta }}}{\frac$ {$1}{\sin ^{2}\theta }{\frac$ {\$f}{\phi ^{2$

이 부분미분방정식(PDE)은 수학적 정체성이 유지되는$$ 구형 고조파 Y ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m ${\$에서 f((, φ, t)를 확장하여 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y_{l}^{m}}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\thet$$a }}{\frac {\cHB ^{$$2}$$Y_{l}^{m}}}{{\partial \phi^{2}}=-l($$l+1)$$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi$ $)\}.$

따라서, PDE의 해결책은 쓰여질 수 있다.

$displaystyle$$Y_{l}^{m}(\teta ,\phi )e^{-t/\tau _{l$

여기서 C는_lm 초기 분포에 적합하고 시간 상수가 같음

${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{D{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{o}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{l_{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{l}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\$

참고 항목

• 확산방정식
• 페린 마찰 계수
• 회전상관시간
• 허위확산

참조

추가 읽기

• Cantor, CR; Schimmel PR (1980). Biophysical Chemistry. Part II. Techniques for the study of biological structure and function. W. H. Freeman.
• Berg, Howard C. (1993). Random Walks in Biology. Princeton University Press.