행 동등성

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선형대수학에서 두 행렬은 일련의 초등 행 연산에 의해 한 행렬을 다른 행렬로 변경할 수 있는 경우 행에 동등하다.또는 2 m × n 행렬이 동일한 행 공간을 가진 경우에만 행과 동일하다.이 개념은 가장 일반적으로 선형 방정식의 시스템을 나타내는 행렬에 적용되며, 이 경우 동일한 크기의 행렬 2개가 동일한 동질계통에서 동일한 솔루션 집합을 갖는 경우 또는 동등하게 행렬이 동일한 null 공간을 갖는 경우에만 행에 동등하다.

기본 행 연산은 되돌릴 수 있기 때문에 행 동등성은 동등성 관계가 된다.흔히 tild(~)^{[citation needed]}로 표기된다.

기본 열 연산에 의해 정의되는 열 동등성의 유사한 개념이 있다. 두 행렬은 전치 행렬이 행 등가인 경우에만 열 등가물이다.두 개의 직사각형 행렬이 서로 변환되어 기본 행과 열 연산을 모두 허용하는 것을 단순히 등가라고 부른다.

기본 행 작업

기본 행 연산은 다음 동작 중 하나이다.

1. 스왑: 행렬의 두 행을 스왑하십시오.
2. 척도: 행렬의 행에 0이 아닌 상수를 곱하십시오.
3. 피벗: 행렬의 한 행 중 여러 행을 다른 행에 추가하십시오.

A와 B 두 행렬은 일련의 초등 열 연산을 통해 A를 B로 변환할 수 있는 경우 행에 동등하다.

행공간

행렬의 행 공간은 행 벡터의 가능한 모든 선형 조합의 집합이다.행렬의 행이 선형 방정식의 시스템을 나타내는 경우, 행 공간은 시스템의 행에서 대수적으로 추론할 수 있는 모든 선형 방정식으로 구성된다.2 m × n 행렬은 동일한 행 공간을 가진 경우에만 행과 동일하다.

예를 들어, 행렬

${\displaystyle {\pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}\\\\\\\\\\\\\\\\\pmatrix}1&0&0\1&1\end{pmatrix}}}$

행 공간은 동등한 것으로, 행 공간은 형식의 모든 벡터가 된다 ) ${\$동질 방정식의 해당 시스템은 동일한 정보를 전달한다.

${\displaystyle {\display}x=0\\y+z=0\end{data}\;\;\\\\text{and}\;\;\;\\\\put}x=0\x+y+z=0.\end{{11}}}$

특히 이 두 시스템은 ${\displaystyle \mathrm{모두}}$ $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\$.을 의미한다$.$$\,}$

정의의 등가성

두 행렬이 같은 행 공간을 가진 경우에만 행에 등가한다는 사실은 선형대수학에서 중요한 정리다.그 증거는 다음과 같은 관찰에 근거한다.

1. 기본 행 연산은 행렬의 행 공간에 영향을 주지 않는다.특히 어떤 두 개의 행 등가 행렬도 같은 행 공간을 가지고 있다.
2. 모든 행렬은 기본 행 연산에 의해 축소된 행 에셀론 형식의 행렬로 축소될 수 있다.
3. 축소된 행 에슐론 형식의 두 행렬은 동일할 경우에만 동일한 행 공간을 갖는다.

이 추론 선은 또한 모든 행렬이 감소된 열 에셀론 형태를 가진 고유한 행렬과 동등한 행이라는 것을 증명한다.

추가 속성

• 행렬의 null 공간은 행 공간의 직교 보완물이기 때문에 두 행렬은 동일한 null 공간을 가진 경우에만 행과 동일하다.
• 행렬의 순위는 행 공간의 치수와 같으므로 행 등가 행렬의 순위는 같아야 한다.이는 축소된 행 에셀론 형식의 피벗 수와 동일하다.
• 행렬은 ID 행렬과 동일한 행인 경우에만 변환할 수 있다.
• 행렬 A와 B는 A=PB와 같은 반전 행렬 P가 존재하는 경우에만 행에 해당한다.^[1]

참고 항목

• 기본 행 작업
• 행공간
• 기준(선형 대수)
• 행수축소
• (축소)행 에셀론 양식

참조

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Roman, Steven (2008). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 135 (3rd ed.). Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.

외부 링크

위키북 선형대수학에는 다음과 같은 주제에 관한 페이지가 있다.