공간 확장 구현

축척 공간
축척 공간 공리
공간 확장 구현
피쳐 검출
에지 검출
블롭 검출
코너 감지
능선 검출
이자점탐지
척도 선택
아핀 형태 적응
축척 공간 분할
v t

컴퓨터 비전, 이미지 분석 및 신호 처리 분야에서 스케일 공간 표현 개념은 여러 척도로 측정 데이터를 처리하고 특히 다양한 척도에 걸쳐 이미지 기능을 강화하거나 억제하는 데 사용된다(스케일 공간에 관한 기사 참조).N 치수의 영상 데이터가 가우스 콘볼루션에 의해 평활화 대상이 되는 가우스 스케일 공간에 의해 특별한 유형의 스케일 공간 표현이 제공된다.가우스 스케일 공간에 대한 이론의 대부분은 연속 영상을 다루는 반면, 이 이론을 구현할 때 하나는 대부분의 측정 데이터가 이산적이라는 사실에 직면해야 할 것이다.따라서 가우스 커널을 선택하게 하는 바람직한 이론적 성질을 보존하거나 잘 근사하게 하면서 연속적 이론을 검증하는 방법에 관한 이론적 문제가 발생한다(척도 공간 공리에 관한 기사 참조).이 글은 문헌에서 개발된 이것에 대한 기본적인 접근법을 설명한다.

문제성명

N차원 연속 신호의 가우스 축척 공간 표현,

${\displaystyle f_{C}\left(x_{1},\cdots ,x_{N}t\right),}$

N차원 가우스 커널로 f를_C 경련시켜 얻는다.

${\displaystyle g_{N}\왼쪽(x_{1},\cdots,x_{N},t\right).}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle L\left(x_{1},\cdots ,x_{N},t\right)=\int _{u_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \int _{u_{N}=-\infty }^{\infty }f_{C}\left(x_{1}-u_{1},\cdots ,x_{N}-u_{N},t\right)\cdot g_{N}\left(u_{1},\cdots ,u_{N},t\right)\,du_{1}\cdots du_{N}.}$

그러나 이 정의는 연속적이기 때문에 이 구현에 비실용적이다.이산 신호 f에_D 스케일 공간 개념을 적용할 때, 다른 접근법을 취할 수 있다.이 글은 가장 자주 사용되는 몇 가지 방법을 간략히 요약한 것이다.

분리성

가우스 커널의 분리 가능성 속성 사용

${\displaystyle g_{N}\왼쪽(x_{1},\dots,x_{N},t\right)=G\left(x_{1},t\right)\cdots G\left(x_{N},t\right)}$

N차원 콘볼루션 연산은 각 차원을 따라 1차원 가우스 커널 G로 분리 가능한 평활 단계 세트로 분해될 수 있다.

${\displaystyle L(x_{1},\cdots ,x_{N},t)=\int _{u_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \int _{u_{N}=-\infty }^{\infty }f_{C}(x_{1}-u_{1},\cdots ,x_{N}-u_{N},t)G(u_{1},t)\,du_{1}\cdots G(u_{N},t)\,du_{N},}$

어디에

${\displaystyle G(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}e^{-{\frac{x^{2}}:}}}{2t}}}}}}}}$

그리고 가우스 σ의 표준 편차는 t = to에² 따른 척도 파라미터 t와 관련이 있다.

치수의 분리가 특히 더 큰 규모에서 다차원 평활을 구현하는 가장 실용적인 방법이기 때문에 커널이 정확하게 가우스적이지 않은 경우에도 분리가능성은 다음에 오는 모든 경우에 가정될 것이다.따라서 나머지 기사는 1차원 사례에 초점을 맞추고 있다.

샘플링된 가우스 커널

실무에서 1차원 평활 단계를 구현할 때, 추정컨대 가장 간단한 접근방식은 분리된 신호_D f를 샘플링된 가우스 커널로 혼동하는 것이다.

${\displaystyle L(x,t)=\sum _{n=-\nf(x-n)\,G(n,t)}$

어디에

${\displaystyle G(n,t)={\frac {1}{\pi t}{2\pi t}e^{-{\frac{n^{2}}:}}{2t}}}:{\frac {n^}}}}:{\frac {n^}}}}:{2t}}}}}}}}$

(t = σ² 포함) 유한 임펄스 반응 필터를 제공하기 위해 끝부분을 차례로 절단한다.

${\displaystyle L(x,t)=\sum _{n=-M}^{M}f(x-n)\,G(n,t)}$

다음과 같이 충분히 큰 M에 대해(오류 함수 참조)

${\displaystyle 2\int_{M}^{{M}^{}G(u,t)\,du=2\int_{\frac {M}{\sqrt{t}^{\not}^{\npty }^{\g(v,1)\,dv<\v\vpesilon.}}}}$

일반적인 선택은 M을 가우스 커널의 표준 편차에 곱한 상수 C로 설정하는 것이다.

${\displaystyle M=C\sigma +1=C{\sqrt{t}+1}$

여기서 C는 종종 3과 6 사이의 어딘가로 선택된다.

그러나 샘플링된 가우스 커널을 사용하면 특히 가우스 커널의 샘플링된 파생상품을 적용하여 더 미세한 규모로 고차량의 파생상품을 계산할 때 구현 문제가 발생할 수 있다.정확성과 견고성이 주요 설계 기준인 경우, 대안적 구현 접근법을 고려해야 한다.

ε(10⁻⁶ ~ 10⁻⁸)의 작은 값의 경우, 가우스어를 잘라냄으로써 발생하는 오차는 대개 무시할 수 있다.그러나 ε의 큰 값에 대해서는 직사각형 창 기능 대신 더 나은 대안이 많이 있다.예를 들어, 주어진 점 수에 대해 해밍 창, 블랙먼 창 또는 카이저 창은 단순한 잘림 현상보다 가우스안의 스펙트럼 및 기타 특성에 더 적은 손상을 입힐 것이다.그럼에도 불구하고 가우스 커널은 꼬리에서 빠르게 감소하기 때문에, 자르기 효과가 더 이상 중요하지 않게 of의 충분히 작은 값을 여전히 사용하는 것이 주요 권장사항이다.

이산 가우스 커널

보다 정제된 접근방식은 이산 가우스 커널 T(n, t)^[1][2][3]로 원래 신호를 교란하는 것이다.

${\displaystyle L(x,t)=\sum _{n=-\infit }^{\f(x-n)\,T(n,t)}$

어디에

${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$

및 $I{\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle I_{n}(t)}$은(는) 정수 순서 n의 수정된 Besel 함수를 나타낸다$$.이는 연속적인 가우스안이 연속적인 확산방식에 대한 해결책인 것처럼 이산 확산방정식의 해결책이라는 점에서 연속적인 가우스안의 이산적인 대응책이다.^[1][2][4]

이 필터는 샘플링된 가우스와 마찬가지로 공간 영역에서 잘릴 수 있다.

${\displaystyle L(x,t)=\sum _{n=-M}^{M}f(x-n)\,T(n,t)}$

또는 별도의 시간 푸리에 변환에 대해 닫힌 형식 식을 사용하여 푸리에 도메인에서 구현될 수 있다.

${\displaystyle {\theta}}=\sum _{n=-\infit }^{\n=-\nt(n,t)\,e^{-i\ta n}=e^{t(\cos \teta -1)}}$

이 주파수 영역 접근방식으로 스케일 공간 속성은 정확히 이산 영역으로 전달되거나, 주기적 확장을 사용한 뛰어난 근사치와 평활화되는 신호의 이산 시간 푸리에 변환에 근사치를 갖는 적절한 길이의 이산 푸리에 변환을 사용한다.또한, 고차량의 파생상품 근사치는 이산 스케일 공간 표현에 작은 지원 중심 차이 연산자를 적용하여 (그리고 스케일 공간 특성을 보존) 간단한 방법으로 계산할 수 있다.^[5]

샘플링된 가우스안과 마찬가지로, 대부분의 경우 무한충동 응답의 일반적 잘림은 ε의 작은 값에 대한 충분한 근사치가 되는 반면, ε의 더 큰 값의 경우 이산 가우스안을 일반화된 이항 필터의 계단식으로 분해하거나 또는 다른 방법으로 유한한 근사 k를 구성하는 것이 좋다.창 함수를 곱하여 에르넬을 만들다절삭 오류의 영향이 나타나기 시작할 정도로 ε이 너무 크게 선택되었다면(예를 들어, 고차파생상품 사업자에 대한 가짜 극단 또는 거짓 대응) 옵션은 ε의 값을 감소시켜 더 큰 유한 커널을 사용하며, 서포트가 매우 작은 곳에서 컷오프를 사용하거나 테이퍼된 창을 사용하는 것이다.

재귀 필터

계산 효율성이 중요한 경우가 많기 때문에 저차 재귀 필터는 스케일 스페이스 평활을 위해 자주 사용된다.예를 들어 Young과 Van Vliet은^[6] 평활화 스케일에 대해 계산 복잡도가 낮은 가우스파에 6차 대칭 근사치를 만들기 위해 실제 극 1개와 복잡한 극 1쌍을 앞뒤로 적용한 3차 재귀 필터를 사용한다.

몇 개의 공리를 완화시킴으로써, 린데버그는^[1] 좋은 스무딩 필터는 "정상화된 풀리아 주파수 시퀀스"가 될 것이라고 결론지었다. 풀리아 필터는 0 < Z < 1 및/또는 Z > 1에 실제 극이 있는 모든 필터를 포함하는 이산 커널의 제품군이며, Z < 0>에도 실제 0이 포함되어 있다.대략적인 방향 동질성으로 이어지는 대칭성의 경우, 이러한 필터는 0상 필터로 이어지는 극과 0 쌍으로 더욱 제한되어야 한다.

이산 가우스 주파수 0에서 전송 함수 곡률을 일치시키기 위해, 가우스 주파수 0에서 두 극의 첨가제 t의 대략적인 반군 속성을 보장한다.

${\displaystyle Z=1+{\frac {2}-{t}-{\\sqrt {\좌측(1+{\frac {2}{t}\우측)^{2}-1}$

대칭성과 안정성을 위해 앞뒤로 적용할 수 있다.이 필터는 어떤 스무딩 스케일에 대해서도 작동하는 정규화된 Polya 주파수 시퀀스 커널을 가장 간단하게 구현한 것이지만, 복잡한 폴 때문에 Polya 주파수 시퀀스를 정규화하지 않은 Young 및 van Vliet의 필터만큼 가우스 필터에 대한 근사치가 훌륭하지는 않다.

대칭 극-공기 재귀 필터의 전송 함수 H는₁ 지수 근사치를 1차적으로 통해 이산 가우스 커널의 이산 시간 푸리에 변환과 밀접하게 관련되어 있다.

${\displaystyle {\widehat{T}(\teta ,t)={\frac {1}{e^{t(1-\cos \ta )}}}\약 {\frac {1}{1+t(1-\cos \ta )}}}}=H_{1}(\teta ,t),}$

여기서 t 매개변수는 다음을 통해 안정적 폴 위치 Z = p와 관련된다.

${\displaystyle t={\frac {2p}{(1-p)^{2}}.}$

또한, 이 절에 설명된 두 극 쌍과 같이 극의 N 쌍이 있는 필터는 지수화에 훨씬 더 나은 근사치다.

${\displaystyle {\frac {1}{\왼쪽(1+{\frac {t}{N}(1-\cos \teta )\오른쪽)^{N}}=H_{N}(\teta ,t),}$

안정적 극 위치를 다음과 같이 해결하여 조정하는 경우:

${\displaystyle {\frac {t}{N}={\frac {2p}{(1-p)^{2}}.}$

이들 필터의 임펄스 반응은 두 개 이상의 극 쌍을 사용하지 않는 한 가우스와 그리 가깝지 않다.그러나 척도당 한두 개의 극 쌍만 사용하더라도 증가된 척도에서 연속적으로 평활화된 신호는 가우스-스무팅 신호에 매우 근접하게 된다.너무 적은 수의 극 쌍을 사용할 경우 반군 특성은 제대로 추정되지 않는다.

이러한 필터에 의해 여전히 충족되는 스케일 공간 공리는 다음과 같다.

• 직선성
• 교대 불변(교대 교대)
• 국소극(교차 제로)을 한 차원에서는 생성하지 않음
• 국소 극단값이 여러 차원에 걸쳐 비반복됨
• 긍정의
• 정상화

다음은 대략적으로만 만족하며, 근사치는 더 많은 수의 극 쌍에 더 적합하다.

• 최소 생성기 A(이연 가우스안의 최소 생성기 또는 그것에 근접한 필터는 거의 무한히 큰 t 중 하나에 재귀 필터 응답을 매핑한다)의 존재
• 연관된 계단식 평활 특성을 가진 반그룹 구조(이 특성은 커널이 상당히 동일하지 않더라도 t 값이 동일할 때 동등하다고 간주하여 근사치)
• 회전 대칭
• 비늘 불침투

가우스 평활뿐만 아니라 가우스 평활도 계산하기 위한 이 재귀 필터 방법과 변화는 여러 저자에 의해 설명되었다.^[6][7][8][9]탄 외이러한 접근법 중 일부를 분석하고 비교한 결과, 영과 반 Vliet 필터는 전진 및 후진 필터의 계단식(복제)인 반면, 데릭과 진 등 필터는 전진 및 후진 필터의 합이라고 지적했다.^[10]

미세한 규모에서, 재귀 필터링 접근법뿐만 아니라 다른 분리 가능한 접근법도 회전 대칭에 대한 가능한 최상의 근사치를 보장하지 않기 때문에 2D 영상에 대한 분리 불가능한 구현을 대안으로 고려할 수 있다.

N-제트의 여러 파생상품을 동시에 계산할 때 가우스 커널의 이산 아날로그 또는 작은 지지 차이 연산자를 따르는 재귀 필터 근사치를 이용한 이산 스케일 공간 평활은 각 파생상품 연산자의 재귀 근사 계산보다 빠르고 정확할 수 있다.

유한-임펄스-반응(FIR) 매끄러움

작은 저울의 경우 저차 FIR 필터는 재귀 필터보다 평활 필터가 더 나을 수 있다.t ≤에 대한 대칭 3-커널[t/2, 1-t, t/2]은 Z < 0에서 한 쌍의 실제 0을 사용하여 t의 축척으로 평활하고, 작은 t의 한계에 있는 이산 가우스에게 접근한다.실제로 극소수 t를 사용하면 이 2-제로 필터나 극이 Z = t/2 및 Z = 2/t인 2극 필터를 위에서 설명한 이산 가우스 커널의 극소수 생성기로 사용할 수 있다.

FIR 필터의 0은 재귀 필터의 극과 결합하여 일반적인 고품질 스무딩 필터를 만들 수 있다.예를 들어, 평활 프로세스가 항상 양극(2극, 2-0) 필터를 각 데이터 행(및 2D 케이스의 각 열)에 앞뒤로 적용하는 경우, 극과 0은 평활의 일부를 수행할 수 있다.0은 t = 한 쌍당 0.5로 제한되므로(Z = –1) 큰 척도의 경우 극이 대부분의 작업을 수행한다.더 미세한 눈금에서 극과 0이 각각 평활화의 절반 정도를 하는 경우 이 조합은 이산 가우스와 훌륭한 근사치를 만든다.평활의 각 부분(폴더, 0, 전진 및 후진 다중 적용 등)에 대한 t 값은 대략적인 반군 속성에 따라 첨가된다.

FIR 필터 전송 기능은 재귀 필터와 마찬가지로 이산 가우스 DTFT와 밀접한 관련이 있다.0의 단일 쌍에 대해 전송 함수는

${\displaystyle {\ta}(\ta ,t)=e^{-t(1-\cos \teta )}\약 {1-t(1-\cos \ta )=F_{1}(\ta ,t),}$

여기서 t 매개변수는 다음을 통해 0 위치 Z = z와 관련된다.

${\displaystyle t=-{\frac {2z}{(1-z)^{2}}},}$

전달 함수를 음성이 아닌 상태로 유지하려면 t require 0.5가 필요하다.

또한, 0 쌍이 N개인 필터는 지수화에 훨씬 더 좋은 근사치로, t :의 높은 값으로 확장된다.

${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{N})}(1-\cos \teta )\오른쪽)^{N}=F_{N}(\teta ,t),}$

안정적 영점 위치가 해결되어 조정되는 경우:

${\displaystyle {\frac{t}{N}=-{\frac {2z}{(1-z)^{2}}.}$

이러한 FIR 및 폴 영점 필터는 유효한 스케일 공간 커널로, 올폴 재귀 필터와 동일한 공리를 만족한다.

피라미드 내 실시간 구현 및 규모 정규화된 파생 모델의 이산적 근사치

정규화된 파생상품에 기반한 자동 스케일 선택 주제에 대해서는 실시간 성능을 얻기 위해 피라미드 근사치를 자주 사용한다.^[11][12][13]피라미드 내에서 대략적인 스케일-스페이스 연산의 적합성은 일반화된 이항 커널로 계단식 평활을 반복하면 가우스에게 접근하는 동등한 평활 커널로 이어진다는 사실에서 비롯된다.또한 이항 커널(또는 더 일반적으로 일반화된 이항 커널의 종류)은 크기가 증가하는 국소 극단 또는 제로 크로스의 비창조성을 보장하는 유한 지원 커널의 고유한 클래스를 구성하는 것으로 보일 수 있다(자세한 내용은 다중 스케일 접근법에 관한 기사 참조).그러나 탈부착 유물을 방지하기 위해 각별한 주의가 필요할 수 있다.

기타 다중 규모 접근 방식

1차원 커널의 경우, 스케일 증가와 함께 새로운 국소 극단이나 제로 크로스를 만들지 않는 필터에 대해 다차원 접근법이 잘 발달되어 있다.연속 신호의 경우, s-평면에 실제 극이 있는 필터는 이 등급에 속하며, 이산 신호의 경우 위에서 설명한 재귀 및 FIR 필터는 이 기준을 만족한다.연속적인 반군 구조의 엄격한 요건과 결합하여 연속적인 가우스와 이산 가우스안은 연속적이고 이산적인 신호에 대한 고유한 선택을 구성한다.

Wavelet과 다양한 다른 커널을 사용하는 다른 많은 멀티 스케일 신호 처리, 이미지 처리 및 데이터 압축 기법이 있으며, 이들은 스케일 공간 설명과 동일한 요구사항을 이용하거나, 더 미세한 스케일에 존재하지 않는 새로운 극단값을 생성하지 않는 더 큰 스케일에 의존하지 않는다().1D) 또는 인접 척도 수준 사이의 국부 극치 비강화(모든 치수).

참고 항목

• 축척 공간
• 피라미드(이미지 처리)
• 다단계 접근법
• 가우스 필터

참조