가우스 함수

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수학에서 가우스 함수는 종종 단순히 가우스라고 언급되는 기본 형태의 함수이다.

$${\displaystyle f(x)=\expairx^{2}}$$

$${{displaystyle f(x)=a\exp \leftflac{(x-b)^{2}}{2c^{2}}\right}$$

가우스 함수는 기대값 = 및 분산 =으로 정규 분포 랜덤 변수의 확률 밀도 함수를 나타내는 데 자주 사용됩니다. 이 경우 가우스 함수는 다음과 같습니다^[1].

$${\displaystyle g(x)=syslogfrac {1}{\exp \leftfrac {\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu)^2}}{\frac ^{2}}\right}.}$$

가우스 함수는 정규 분포를 기술하기 위해 통계학에서, 가우스 필터를 정의하기 위해 신호 처리에서, 2차원 가우시안이 가우스 블러에 사용되는 이미지 처리에서, 그리고 열 방정식과 확산 방정식을 풀고 바이어스트라스 변환을 정의하기 위해 수학에서 널리 사용됩니다.

특성.

가우스 함수는 지수 함수를 오목한 2차 함수로 구성함으로써 발생합니다.

$$(\displaystyle f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\display x+\displays )}$$

• ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2}}$
• $(\displaystyle \displaystyle = b/c^{2})$
• $(\displaystyle \displaystyle =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).}$

따라서 가우스 함수는 로그가 오목한 2차 함수인 함수입니다.

파라미터 c는 다음과 같이 피크의 절반 최대(FWHM) 전폭과 관련되어 있습니다.

$$디스플레이 스타일FWHM}=2{\sqrt {2\ln2}},c\약 2.35482,c}$$

이 함수는 다음과 같이 FWHM으로 표현할 수 있다.

$${\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.}$$

또는 파라미터 c는 함수의 두 변곡점이 = ±에서 발생한다고 해석할 수 있다.

가우스에서는 최대 10분의 1의 전폭(FWTM)이 중요할 수 있으며,

$$디스플레이 스타일FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}},c\약 4.29193,c}$$

가우스 함수는 분석적이며, → δ와 같은 한계는 0입니다(위의 경우 = 0).

가우스 함수는 기본적이지만 기본 반파생 함수가 없는 함수 중 하나입니다. 가우스 함수의 필수 요소는 오류 함수입니다.그럼에도 불구하고, 전체 실제 라인에 걸친 부적절한 적분은 가우스 적분을 사용하여 정확하게 평가할 수 있다.

$$\displaystyle \int _{-\infty }^{-x^{2}}, e^{-x^{2}}, syslog=syslogrt {{pi}}}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{-(x-b)^{2}/(2c^{2}}}, sc=ac\cdot {2\pi}}.}$$

기대값μ 및σ² 분산을 갖는 정규화된 가우스 곡선.대응하는 파라미터는 $=$ $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}$ 2$$ { $textstyle$ a =$tfrac {$1$} {\textrt {2\pi$ $\}\}\},$ = 및 = 입니다.

이 적분은 a $=$ $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{c}{}$ $\frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}$ {\$textstyle$ a= t $tfrac {1}{csqt {2\pi }}}}($정규화 상수)인 $경우$에만 1이며, 이 경우 가우스 값은 기대값 = 및 분산 =인 정규 분포 랜덤 변수의 확률 밀도 함수입니다.

$${\displaystyle g(x)=syslogfrac {1}{\syslogrt {2\pi }}}\exp \left\frac {-(x-\mu)^{2}}{2\syslog ^{2}}\right}.}$$

이 가우시안들은 첨부된 그림에 표시되어 있다.

0을 중심으로 하는 가우스 함수는 푸리에 불확도 원리를 최소화합니다.

2개의 가우스 함수의 곱은 가우스이며, 2개의 가우스 함수의 수렴도 가우스이며, 분산은 원래 분산의 합입니다. $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}${\$display style$ c$^{2}$ = $c_{1}^{$2} + $c_{2$}$}^{2$그러나 두 개의 가우스 확률 밀도 함수(PDF)의 곱은 일반적으로 가우스 PDF가 아니다.

매개 변수가 있는 가우스 함수의 푸리에 변환(unitary, angular-frequency 대회)을 a=1, b)0과 c수익률 변수 c{\displaystyle c}, b)0과 1/c{1/c\displaystyle}특히 .[2]그래서 b는 가우스 기능)0과 c=1{\displaystyle c=1}과 다른 가우스 함수, k이다.ept 관념d 푸리에 변환(고유값이 1인 푸리에 변환의 고유 함수)물리적인 실현은 회절 패턴의 실현이다.예를 들어 투과율이 가우스 변동을 갖는 사진 슬라이드도 가우스 함수이다.

가우스 함수가 연속 푸리에 변환의 고유 함수라는 사실은 포아송 합계 공식에서 다음과 같은 흥미로운^{[clarification needed]} 항등식을 도출할 수 있게 해준다.

$$\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z}\exp \left\pi \cdot \leftsum \frac {k} {c}} \right) = c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} \exp \p \p \p \p \p \pcdot ( 222222222222222222222 222222222222222 222222222222}$$

가우스 함수의 적분

임의의 가우스 함수의 적분은 다음과 같습니다.

$${\displaystyle \int _{-\infty}^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}, param=paramrt {2}a, c, {\pi}}.}$$

대체 형식은 다음과 같은 형식이 있습니다.

$$\displaystyle \int _{-\infty }^{-fx^{2}+gx+h}, e^{-\infty }^{\infty }k, e^{-fbig}^2+g^{\infty}k, e^{-f}{-infty}k}(x-g/(2f)=2/f)^2/f)^2+g+h}(f)^2+f)=4/f)$$

표준 가우스 적분과의 관계

적분

$$\displaystyle \int _{-\infty }^{-(x-b)^{2}/2c^{2}},parames},parames}$$

$${\displaystyle a\int_{-\infty}^{-y^{2}/2c^{2}},dy,}$$

그런 다음 z${\displaystyle =}$ ${\displaystyle y}$ / ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{c\mathrm{}}^{}}}$2 {\$displaystyle$ z$=y/{\displayrt {2c^{2$로 이동합니다.

$${\displaystyle a440rt {2c^{2}}\int _{-\infty}^{\infty}e^{-z^{2}},dz.}$$

그런 다음 가우스 적분 항등식을 사용하여

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{-z^{2}},dz=sqrt {{pi}},$$

우리는 가지고 있다.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}, syslog=a440rt {2\pi c^{2}}}.}$$

2차원 가우스 함수

2차원 영역을 가진 가우스 함수의 3D 그림

기본 양식:

$${\displaystyle f(x,y)=\exp440x^{2}-y^{2}}$$

2차원에서, 가우스 함수에서 e가 상승하는 힘은 음의 2차 형식이다.따라서 가우스의 레벨 세트는 항상 타원형입니다.

2차원 가우스 함수의 특정 예는 다음과 같습니다.

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^2}}+{\frac {(y-y_{0}^2}}{2\sigma _{Y}^2}}\right}\exp \left(-frac {xp {x_x_x_x_{{0}^{{{}^2}^2}^2})\right}^2}{{{{{{{{{{{}}\f}\f}}}}$$

여기서 계수 A는 진폭, x₀, y는₀ 중심, θ_x, θ는_y 블럽의 x 및 y 스프레드이다.오른쪽₀ 그림은 A = 1, x = 0, y₀ = 0, σ_x = σ_y = 1을 사용하여 작성되었습니다.

가우스 함수의 부피는 다음과 같습니다.

$${\displaystyle V=\int _{-\infty}^{\infty}{\infty}f(x,y),dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

일반적으로 2차원 타원형 가우스 함수는 다음과 같이 표현된다.

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp {Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})+c(y-y_{0})^2}{\big}},$$

$$(\displaystyle\bmatrix\b&c\end{bmatrix})$$

이 공식을 사용하여 오른쪽 그림은 A = 1, (x₀, y₀) = (0, 0), a = c = 1/2, b = 0을 사용하여 생성할 수 있습니다.

일반 방정식에 대한 모수의 의미

방정식의 일반 형태에서 계수 A는 피크의 높이이고 (x₀, y₀)는 블럽의 중심입니다.

설정했을 경우

$${\displaystyle {displaystyle {cos ^{2}\theta}{2\displayfrac {X}{2}+{\frac {2\sin ^{2},\b&=frac {sin 2\theta }{4\fr}{x}{2}{2}^2}{x}{{{{}}}{frc}{{{}}}{frc}{frc}{fr}{frc}}{fr}{frc}{fr}}}}{$$

그런 다음 블럽을 시계 반대 방향으로 양의 각도$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \theta)$만큼 회전시킵니다(부정수, 시계 방향 회전의 경우 b ^[3]계수의 기호를 반전합니다).

$계수$를 되돌리려면$${{$displaystyle$$\theta$$\},$$${$X}$ 및$$ {$Y$$}(\displaystyle$$$a$\},$ $\displaystyle$ b$}$ $및$ c${displaystyle$ c$}$에서 $사용$합니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\theta&={\frac{1}{2}}\arctan \left({\frac{2b}{O-b}}\right),\quad \theta\in[-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&, ={\frac{1}{2(a\cdot\cos ^{2}\theta+2b\cdot \cos \theta\sin \theta +c\cdot\sin ^{2}\theta)}},\\\sigma _{Y}^{2}&, ={\frac{1}{2(a\cdot\sin ^{2}\theta-2b\cdot \cos \theta\sin \theta +c\cdot\cos ^{.2}\theta)}}.\end {aligned}}$

가우스 블럽의 회전 예는 다음 예에서 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle \theta = 0$

${\displaystyle \theta =-\pi /6$

${\displaystyle \theta =-\pi /3}$

다음 옥타브 코드를 사용하면 파라미터 변경 효과를 쉽게 확인할 수 있습니다.

A = 1; x0 = 0; y0 = 0; sigma_X = 1; sigma_Y = 2; [X, Y] = 메쉬그리드δ5:.1:5, -5:1:5). 세타 = cos(theta)^2 / 2 (2 sigma_X)Y^2); b = sin(2 * theta) / (4 * sigma_X^2) - sin(2 * seta) / (4 * sigma_)Y^2); c = sin(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + cos(theta)^2 / (2 * sigma_)Y^2); Z = A * exp(a * (X - x0).^2 + 2 * b * (X - x0) .* (Y - y0) + c * (Y - y0)^2); 서핑(X, Y, Z), 음영 인터; 뷰(-36, 36) 버튼 누름 대기 끝

이러한 기능은 영상 처리 및 시각 시스템 기능의 계산 모델에 자주 사용됩니다. 스케일 공간과 아핀 형태 적응에 대한 기사를 참조하십시오.

다변량 정규 분포를 참조하십시오.

고차 가우스 또는 슈퍼 가우스 함수

지수 함량을 $검정력{\displaystyle }$ P$({displaystyle$ P$\})$로 높임으로써 플랫톱 및 가우스 폴오프를 포함한 가우스 함수를 보다 일반적으로 공식화할 수 있습니다.

$${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}}{2\sigma _{X}^2}}\right)^{P}\right)}$$

이 함수는 슈퍼 가우스 함수로 알려져 있으며 가우스 빔 ^[4]공식화에 자주 사용됩니다.2차원 공식에서는 x$(\displaystyle$ x$)$ $및$ y(\$displaystyle$ y$)$에 따른 가우스 함수를 잠재적으로^[5] $다른{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ X$(\$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ Y$(\$X})와$$ 결합할 수 있습니다.$Y$$}}:$ 타원형 가우스 분포를 형성합니다.

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}) {2\sigma _{X}^2}} + {\frac {(y-y_{0})^2}} {2\sigma _{Y}^{2}}\right}^^^{2}P}\right)}$$

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}}{2\sigma _{X}^2}}\right)^{P_{X}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^2}}\right)^{P_{Y}}\right).}$$

다차원 가우스 함수

$\displaystyle$n차원$$ 공간에서 가우스 함수는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$${\displaystyle f(x)=\exp4x^{\mathsf {T}}Cx}}}$$

전체$n{\displaystyle }$ \\displaystyle n \$차원$ 공간에 $걸친$ 이$$가우스 함수의 적분은 다음과 같이 주어진다.

$$\displaystyle \int _{\mathbb {R}^{n}}\expx^{\mathsf {T}}Cx},dx=sqrt {\frac ^{n}}{\det C}}}}.}$$

$행렬{\displaystyle }$ C$(\displaystyle$ C$)$를 대각선으로 하고 적분 변수를 C$(\displaystyle$ C$)$의 고유 벡터로 변경하면 쉽게 계산할 수 있습니다.

보다 일반적으로 시프트된 가우스 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\displaystyle f(x)=\exp4x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}x}},}$$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 s [ n$]$ {{ $displaystyle$ s $=$$cdots$ { $bmatrix } s_{1$}&\$cdots &s_$${$$n}\$$end$${bmatrix$$\}\}\}\}$는 이동 벡터이며 행렬 $C{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ C$}$는 ${\displaystyle \mathrm{대칭}}$이라고$가정$할 수 $있다{\displaystyle {}^{}}$.이 함수를 사용한 다음 적분은 동일한 방법으로 계산할 수 있습니다.

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R}^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}},dx=mathsqrt {{pi ^{n}}}}{\det {clef}}}}}}:\exp \maths {tleft\maths}{t}{t}{t}{t}{t}{t}{t}{t}{t}{t}{-maths}{t}$$

$$\displaystyle \int _{\mathbb {R}^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}cx+v^{\mathsf {T}x}(a^{\mathsf {T}}x},dx=(a^{})T)\cdot {mathcal {M}, {\text{여기서}u=sqfrac {1}{2}}C^{-1}v.}$$

$$\displaystyle \int _{\mathbb {R}^{-x^{\mathsf {T}}cx+v^{\mathsf {T}x}(x^{\mathsf {T}}Dx}), dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac}{\frac}}{\frac}}{\f}}}{\frac}}{f}}}}{t}}{t}}}{t}}}}}}}}{t}}{$$

$${\displaystyle{\begin{정렬}&, \int _{\mathbb{R}^{n}}e^{-x^{\mathsf{T}}C'x+s'^{\mathsf{T}}x}\left(-{\frac{}{\partial x}}\Lambda{\frac{}\partial{\partial x}}\right\partial)e^{-x^{\mathsf{T}}Cx+s^{\mathsf{T}}x}\,dx\\&, \qquad =\left(2\operatorname{tr}(C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf{T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf{T}}(C'\Lambda s+C\L.sambda')+s'^{\mathsf {T}\Lambda s\right}\cdot {M},\end {aligned}}$$

$여기$서 $u\frac{\mathrm{}}{}$ $=$ $\frac{1}{}$ 2${}^{}B{}^{}$ - $1^{}{}^{}$ , $\text{v}$ $=s$ + ${}^{}$ $,$ , $\text{B}$ $=C$ + ${}^{}$ $\prime$. { \ $textstyle$ u =$sfrac {1}{2}B^{-1}v$, \ v$$=$s+s',$ \ B$$=$C+C$' 입니다$.$$}$

파라미터의 추정

항성 측광학, 가우스 빔 특성 분석, 방출/흡수 라인 분광학 등의 여러 필드가 샘플링된 가우스 함수와 함께 작동하며 함수의 높이, 위치 및 폭 파라미터를 정확하게 추정해야 합니다.1D 가우스 함수(a, b, c)에는 3개의 알 수 없는 파라미터가 있으며, 2D 가우스${\displaystyle \mathrm{함수}({}_{}}$ ;${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 0 ,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ; ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ Y$$)에는 5개의 알 수 없는 파라미터가 있습니다.\ $displaystyle ( A$ ;$x$ _ 0 , y _ 0 ) ; y _ { $0$} ; \ $sigma _$ { $Y$$}$

가우스 파라미터를 추정하는 가장 일반적인 방법은 데이터의 로그를 취하여 포물선을 결과 데이터 세트에 ^[6][7]맞추는 것입니다.이것은 간단한 곡선 적합 절차를 제공하지만, 결과 알고리즘은 작은 데이터 값에 과도한 가중치를 부여함으로써 편향될 수 있으며, 이는 프로파일 추정치에 큰 오류를 발생시킬 수 있다.가중 최소 제곱 추정을 통해 이 문제를 부분적으로 보정하여 작은 데이터 값의 무게를 줄일 수 있지만, 이 역시 가우스의 꼬리가 적합성을 지배하도록 함으로써 편향될 수 있다.편향을 제거하기 위해 각 ^[7]반복에서 가중치가 업데이트되는 반복적 최소 제곱 절차를 사용할 수 있다.로그 데이터 변환 없이 데이터에 대해 직접 비선형 회귀 분석을 수행할 수도 있습니다. 자세한 옵션은 확률 분포 적합을 참조하십시오.

파라미터 정밀도

일단 가우스 함수 매개변수를 추정하기 위한 알고리즘이 있다면, 그러한 추정치가 얼마나 정확한지 아는 것도 중요하다.최소 제곱 추정 알고리즘은 각 모수의 분산(즉, 함수의 추정 높이, 위치 및 폭의 분산)에 대한 수치 추정치를 제공할 수 있습니다.또한 ^[8][9]데이터에 대한 특정 가정이 주어지면, 크라메르-라오 한계 이론을 사용하여 매개변수 분산의 하한에 대한 분석식을 얻을 수 있다.

1. 측정 프로파일의 노이즈는 i.i.d. 중 하나입니다.가우스 또는 노이즈가 포아송 분포입니다.
2. 각 샘플링 사이의 간격(즉, 데이터를 측정하는 픽셀 사이의 거리)은 균일합니다.
3. 피크는 "잘 샘플링"되므로 피크 아래의 영역 또는 볼륨(1D 가우스인 경우 볼륨, 2D 가우스인 경우 볼륨)의 10% 미만이 측정 영역 밖에 있습니다.
4. 피크의 폭은 샘플 위치 사이의 거리보다 훨씬 큽니다(즉, 검출기 픽셀은 가우스 FWHM보다 최소 5배 작아야 합니다).

$이러한$ 전제 조건이 충족되면 i.$i$$.$$d$의$1D$ 프로파일 $파라미터$에 다음 공분산 매트릭스 K가 $적용$됩니다$.$가우스 노이즈 및 포아송 노이즈:^[8]

$${\displaystyle \mathbf{K}_{\text{가우스}}={\frac{\sigma ^{2}}{{\sqrt{\pi}}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac{3}{2c}}&0&,{\frac{)}{를}}\\0&,{\frac{2c}{a^{2}}}&0\\{\frac{)}{를}}&0&,{\frac{2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}),\qquad\mathbf{K}_{\text{Poiss}}={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}{\begin{pmatrix}{\frac{3}{2c}}&0&.앰프, -{\frac{1}{2}}\\0&,{\frac{c}{a}}&0\\{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end {pmatrix}\,}$$

여기서 ${\displaystyle x_{}}$X {\$displaystyle \delta$ _${X}}$는 함수를 샘플링하는 데 사용되는 픽셀의 폭,$Q{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ Q$}$는 검출기의 양자 효율, ${\$ {\$displaystyle \sigma$}는$$ $측정{\displaystyle }$ 노이즈의 표준 편차를 나타냅니다.따라서, 매개변수에 대한 개별 분산은, 가우스 소음의 경우,

$${{displaystyle {ar}\operatorname {var}(a)&=operatorname {3\flac ^{2}}{2c},\operatorname {var}(b)&=operatorname {2\flac ^{c}{x}$$

포아송 소음의 경우,

$${\displaystyle {displaystyle}\operatorname {var}(a)&=operatorname {var}(b)&=operatorname {var}(b) {{\pi }}}}{{\operatorname {var}(c}) {c}\operatorname {var}(c}\end { aligned}}$$

$진폭{\displaystyle }$ A(\$displaystyle$ A$),$ 위치$({\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ y $)$ {$displaystyle (x_{0}, y_{0})$ 및$$폭$({\displaystyle }$ ( X ,${\displaystyle {}_{}{y}_{}}$ Y$$) {$displaystyle (\sigma$ _${X ,\sigma$ _${Y})$을 제공하는 2D 프로파일 파라미터의 경우 다음 공분산 매트릭스가 적용됩니다.^[9]

$${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{K}_{\text{가우스}}={\frac{\sigma ^{2}}{\pi \delta_{X}\delta _{Y}Q^{2}}}&{\begin{pmatrix}{\frac{2}{\sigma_{X}\sigma _{Y}}}&0&, 0&,{\frac{)}{A\sigma_{Y}}}&{\frac{)}{A\sigma_{X}}}\\0&,{\frac{2\sigma_{X}}{A^{2}\sigma _{Y}}}&0&, 0&, 0\\0&, 0&,{\frac{2\sigma_{Y}}{A^{2}.\sigma _{X}}}&0&, 0\\{\frac{)}{A\sigma_{y}}}&0&{\frac {2\flac _{X}} {A^{2}\sigma _{y}} {\{\frac {-1} {A\sigma _{X}}} {0&0&{\frac {2\flac {2\fm} {\sigma} {X}} {end} {X} {\}A}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}&0&{\frac {-1}{\sigma _{Y}}&{\frac {-1}{\sigma _{X}}}}\0&{\frac {\sigma _{X}}}\0}&0}&0}A\sigma _{Y}}&{\frac {1}{3}A}}\{\frac {-1}{\sigma _{X}}}&0&{\frac {1}{3}A}}&{\frac {2\sigma_{Y}}{3}A\sigma _{X}}\end{pmatrix}.\end { aligned}}$$

이산 가우스

$이산{\displaystyle }$ 가우스 커널(고체)과 스케일 t ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0.5,1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$에 대한 샘플링된 가우스 커널(고체) 비교. ${{displaystyle$ t= 0.$5,$1$, 2$, $4}$

가우스의 이산형 아날로그를 요구할 수 있습니다.이는 이산형 애플리케이션, 특히 디지털 신호 처리에서 필요합니다.간단한 답은 연속 가우스를 샘플링하여 샘플링된 가우스 커널을 생성하는 것입니다.그러나 이 이산 함수는 연속 함수의 특성에 대한 이산적 아날로그를 가지지 않으며, 기사 스케일 공간 구현에서 기술된 바와 같이 바람직하지 않은 효과를 초래할 수 있다.

대체 접근법은 이산 가우스 ^[10]커널을 사용하는 것이다.

$${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 I n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$)$${ $displaystyle I_{n}(t)$은 정수 차수의 수정된 베셀 함수를 나타냅니다.

이것은 연속 가우스가 연속 ^[10][11]확산 방정식의 해인 것처럼 이산 확산 방정식의 해(이산 공간, 연속 시간)라는 점에서 연속 가우스의 이산 유사체이다.

적용들

가우스 함수는 자연과학, 사회과학, 수학 및 공학 분야의 많은 맥락에서 나타납니다.예를 들어 다음과 같습니다.

• 통계학 및 확률론에서 가우스 함수는 중앙 한계 정리에 따라 복잡한 합계의 제한 확률 분포인 정규 분포의 밀도 함수로 나타난다.
• 가우스 함수는 (동질 및 등방성) 확산 방정식(및 열 방정식, 같은 것)에 대한 녹색 함수이며, 확산 중인 질량 밀도의 시간 진화를 기술하는 편미분 방정식입니다.구체적으로 시간 t=0에서의 질량밀도가 Dirac delta에 의해 주어지는 경우(기본적으로 질량이 처음에 단일 점에 집중된다는 의미), 시간 t에서의 질량분포는 파라미터 a가 1/µt에 선형적으로 관련되고 c가 δt에 선형적으로 관련되는 가우스 함수에 의해 주어진다.열 커널에 의해 설명됩니다.보다 일반적으로 초기질량밀도가 δ(x)일 경우 이후질량밀도는 가우스함수로 θ의 거듭제곱으로 구한다.가우스를 사용한 함수의 컨볼루션은 바이얼스트라스 변환이라고도 합니다.
• 가우스 함수는 양자 고조파 발진기의 접지 상태의 파동 함수입니다.
• 계산 화학에서 사용되는 분자 궤도는 가우스 궤도라고 불리는 가우스 함수의 선형 조합일 수 있습니다(기준 집합(화학 참조).
• 수학적으로 가우스 함수의 도함수는 에르미트 함수를 사용하여 나타낼 수 있습니다.단위 분산의 경우, 가우스의 n번째 도함수는 가우스 함수 자체에 n번째 에르미트 다항식을 곱한 값이다.
• 이것에 의해, 양자장 이론의 진공 상태에도 가우스 함수가 관련지어진다.
• 가우스 빔은 광학 시스템, 마이크로파 시스템 및 레이저에 사용됩니다.
• 스케일 공간 표현에서 가우스 함수는 컴퓨터 비전 및 화상 처리에서 멀티 스케일 표현을 생성하기 위한 평활 커널로서 사용된다.특히, 가우스 함수(Hermite 함수)의 도함수는 다수의 시각적 연산 유형을 정의하기 위한 기준으로 사용된다.
• 가우스 함수는 일부 유형의 인공 신경망을 정의하는 데 사용됩니다.
• 형광 현미경 검사에서는 2D 가우스 함수를 사용하여 에어리 디스크의 근사치를 계산하고, 점 소스에 의해 생성된 강도 분포를 설명합니다.
• 신호 처리에서는 2D 가우시안이 가우스 블러에 사용되는 이미지 처리와 같이 가우스 필터를 정의하는 역할을 합니다.디지털 신호 처리에서는 이산 가우스 커널을 사용합니다.이 커널은 가우스 샘플링을 통해 정의되거나 다른 방식으로 정의될 수 있습니다.
• 지리 통계학에서는 복잡한 트레이닝 이미지의 패턴 간의 가변성을 이해하기 위해 사용되고 있습니다.기능 공간의 ^[12]패턴을 클러스터화하기 위해 커널 메서드와 함께 사용됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 정규 분포
• 로렌츠 함수
• 반지름 기저 함수 커널

레퍼런스

외부 링크

• Mathworld, c와 FWHM 사이의 관계에 대한 증명 포함
• "Integrating The Bell Curve". MathPages.com.
• Haskell, Erlang 및 Perl의 가우스 분포 구현
• Bensimhoon Michael, N차원 누적 함수 및 가우시안 및 정규 밀도에 관한 기타 유용한 사실(2009)
• ImageJ 및 피지에서 가우시안 피팅을 위한 코드.