2차 원뿔 프로그래밍

2차 콘 프로그램(second-order cone program, SOCP)은 다음과 같은 형태의 볼록 최적화 문제입니다.

\ f^{T}x\

x

\ f^{T}x\

{\

displaystyle \f^{T}x\}

\ f^{T}x\

의 대상이 되는

\lVert A_{i}x+b_{i}\rVert_{2}\leq c_{i}^{T}x+d_{i},\quad i=1,\twa,m

Fx=g\

여기서 문제 매개 $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 는 f ∈ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ ∈ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ × $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ ∈ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ ∈ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ n $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ ∈ R $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ ∈ $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ ${\displaystyle$ f $\in \mathbb {R}$ ^{ $n}},\A_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}\times$ n $},\b_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\d_{i}\in \mathbb {R}$ ^{ $p\times$ n $f\in \mathbb {R} ^{n},\ A_{i}\in \mathbb {R} ^{{n_{i}}\times n},\ b_{i}\in \mathbb {R} ^{n_{i}},\ c_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\ d_{i}\in \mathbb {R} ,\ F\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ $g\in \mathbb {R} ^{p}$ $g$ ∈ $g\in \mathbb {R} ^{p}$ p $g\in \mathbb {R} ^{p}$ {\ $displaystyle$ g $\in \mathbb {R}$ $^{p$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $g\in \mathbb {R} ^{p}$ ∈ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle$ x $\in \mathbb {R} ^{n}$ 는 최적화 변수입니다. $\lVert x\rVert _{2}$ $\lVert x\rVert _{2}$ $\lVert x\rVert _{2}$ {\ $displaystyle \lVert$ x $\rVert$ _ ${2}}$ 는 유클리드 노름이고 T ${\displaystyle$ ^{ $T}$ 는 전치를 나타냅니다.SOCP의 "2차 원뿔"은 아핀 $(Ax+b,c^{T}x+d)$ 를 필요로 하는 것과 같은 제약 조건에서 발생합니다. ( $(Ax+b,c^{T}x+d)$ + $(Ax+b,c^{T}x+d)$ , $(Ax+b,c^{T}x+d)$ T $(Ax+b,c^{T}x+d)$ + d) $(Ax+b,c^{T}x+d)$ {\ $display$ style ( $Ax + b, c^{$ $\mathbb {R} ^{n_{i}+1}$ $}x$ $\mathbb {R} ^{n_{i}+1}$ + $\mathbb {R} ^{n_{i}+1}$ 의 2차 원뿔에 놓입니다. ${\$ ^[1]

SOCP는 내부 포인트^[2] 방법으로 해결할 수 있으며 일반적으로 SDP(^[3]semidfinite programming) 문제보다 더 효율적으로 해결할 수 있습니다.SOCP의 일부 공학적 응용에는 필터 설계, 안테나 배열 무게 설계, 트러스 설계, 로봇 ^[4]공학에서의 파지력 최적화 등이 있습니다.양적 금융의 응용 분야에는 포트폴리오 최적화가 포함됩니다. 선형적이지 않기 때문에 일부 시장 영향 제약은 2차 프로그래밍으로 해결할 수 없지만 SOCP ^[5]^[6]^[7]문제로 공식화할 수 있습니다.

2차 원뿔

$n+1$ n + $n+1$ ${\displaystyle$ n $+1}$ 의 $n+1$ 표준 또는 단위 2차 원뿔은 다음과 같이 정의됩니다.

${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ n + ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ $=$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ] ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ∈ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ≤ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ ${\mathcal {C}}_{n+1}=\left\{{\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}}{\Bigg |}x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} ,||x||_{2}\leq t\right\}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {C$ }=\ $left\{{\bmatrix}x\t\end{bmatrix}}{\bigg}x\in \mathbb {R}^{n},$ t $\in \mathbb {R},$ x _ ${2}\leq$ t $\right$

2차 원뿔은 2차 원뿔, 아이스크림 원뿔 또는 로렌츠 원뿔로도 알려져 있습니다. $\mathbb {R} ^{3}$ 3 $\mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $3}$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ 2차 원뿔은 $\left\{(x,y,z){\Big |}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq z\right\}$ $\left\{(x,y,z){\Big |}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq z\right\}$ 2 + $\left\{(x,y,z){\Big |}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq z\right\}$ $\left\{(x,y,z){\Big |}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq z\right\}$ $\left\{(x,y,z){\Big |}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq z\right\}$ $\left\{(x,y,z){\Big |}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq z\right\}$ {\ $displaystyle \left\{(x,y,z){\Big }{\sqrt {x^{2}+y^{2$ } $}}}\leq$ z\ $right$

2차 원뿔 제약 조건을 만족하는 점들의 집합은 아핀 매핑 하에서 단위 2차 원뿔의 역상입니다.

$\lVert A_{i}x+b_{i}\rVert_{2}\leq c_{i}^{T}x+d_{i}\좌측 화살표 {\bmatrix}A_{i}\c_{i}^{T}\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}b_{i}\d_{i}\end{bmatrix}}\in{\mathcal {C}_{n_{i}+1$

따라서 볼록합니다.

2차 원뿔은 다음과 같이 양의 반무한 행렬의 원뿔에 내장될 수 있습니다.

$x \leq\왼쪽 오른쪽 화살표 {\begin{bmatrix}tI&x\x^{T}&t\end{bmatrix}}\succuryeq 0,$

즉, 2차 원뿔 제약은 선형 행렬 부등식과 같습니다( $M\succcurlyeq 0$ 서 M $M\succcurlyeq 0$ $M\succcurlyeq 0$ {\ $displaystyle$ M $\succuryeq$ 0 $}$ 은 $M\succcurlyeq 0$ M ${\displaystyle$ M $}$ 이 $M$ 반무한 행렬임을 $M$ 합니다).마찬가지로, 우리도,

$\lVert A_{i}x+b_{i}\rVert _{2}\leq c_{i}^{T}x+d_{i}\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}(c_{i}^{T}x+d_{i})I&A_{i}x+b_{i}\\(A_{i}x+b_{i})^{T}&c_{i}^{T}x+d_{i}\end{bmatrix}}\succcurlyeq 0$ $I&A_{i}x+b_{i}\\(A_{i}x+b_{i})^{$ $T}&c_{i}^{T}x+d_{i}\end{bmatrix}}\succuryeq 0$

다른 최적화 문제와의 관계

$i=1,\dots ,m$ = $i=1,\dots ,m$ $i=1,\dots ,m$ m $i=1,\dots ,m$ {\ $displaystyle$ i = 1,\displaystyle i = 1 $,\display,m$ 에 $i=1,\dots ,m$ $A_{i}=0$ = $A_{i}=0$ {\ $displaystyle A_{i$ }0 $A_{i}=0$ 0인 $A_{i}=0$ SOCP가 선형 프로그램으로 줄어듭니다. $i=1,\dots ,m$ = $i=1,\dots ,m$ $i=1,\dots ,m$ m ${\displaystyle$ i = $1,\n2,$ m}에 대해 ci = 0 {\ $displaystyle c_{i$ $i=1,\dots ,m$ = $0일$ $c_{i}=0$ , SOCP는 볼록 사각형 제약 선형 프로그램과 같습니다.

볼록 2차 제약 2차 프로그램은 목표 함수를 ^[4]제약 조건으로 재구성하여 SOCP로 공식화할 수도 있습니다.반무한 프로그래밍은 SOCP 제약 조건이 선형 행렬 부등식(LMI)으로 기록될 수 있고 반무한 ^[4]프로그램의 한 예로 재구성될 수 있기 때문에 SOCP를 포함합니다.그러나 그 반대는 유효하지 않습니다. 어떤 2차 원뿔 ^[3]표현도 허용하지 않는 양의 반정형 원뿔이 있습니다.사실, 평면에 있는 임의의 닫힌 볼록 반대수 집합은 ^[8]SOCP의 실현 가능한 영역으로 쓸 수 있지만, SDP로 표현할 수 없는 볼록 반대수 집합이 존재하는 것으로 알려져 있습니다. 즉, SDP의 ^[9]실현 가능한 영역으로 쓸 수 없는 볼록 반대수 집합이 존재하는 것으로 알려져 있습니다.

예

이차 제약 조건

폼의 볼록 이차 제약 조건을 고려합니다.

x^{T}Ax+b^{T}x+c\leq 0.

이는 SOCP 제약 조건에 해당합니다.

\lVert A^{1/2}x+{\frac {1}{2}}A^{-1/2}b\rVert \leq \left({\frac {1}{4}}b^{T}A^{-1}b-c\right)^{\frac {1}{2}

확률적 선형 프로그래밍

부등식 형태의 확률적 선형 프로그램을 고려합니다.

\ c^{T}x\

\ c^{T}x\

x

\ c^{T}x\

{\

displaystyle \c^{T}x\}

의 대상이 되는

\mathbb {P}(a_{i}^{T}x\leq b_{i})\geq p,\displaystyle i=1,\display,m

여기서 $a_{i}\$ 변수 $a_{i}\$ $displaystyle a_{i}\}$ 는 ${\bar {a}}_{i}$ a ¯ ${\bar {a}}_{i}$ {\ $displaystyle {a}_{i}$ 이고 공분산 σ i $\Sigma _{i}\$ {\ $displaystyle \Sigma_{$ i}\}이고 $\Sigma _{i}\$ p ≥ $p\geq 0.5$ {\ $displaystyle$ p $\geq$ 0 $.5$ 인 독립 가우스 랜덤 벡터입니다. 이 문제는 SOCP로 표현할 수 있습니다.

\ c^{T}x\

\ c^{T}x\

x

\ c^{T}x\

{\

displaystyle \c^{T}x\}

의 대상이 되는

{\bar {a}}_{i}^{T}x+\Phi ^{-1}(p)\lVert \Sigma _{i}^{1/2}x\rVert _{2}\leq b_{i},\lotic i=1,\lotic,m

여기서 $\Phi ^{-1}(\cdot )\$ - $\Phi ^{-1}(\cdot )\$ ( ⋅ ) $\Phi ^{-1}(\cdot )\$ {\ $displaystyle \Phi ^{-1}(\cdot$ )\ $\Phi ^{-1}(\cdot )\$ }는 역정규 누적 분포 함수입니다.

확률적 2차 원뿔 프로그래밍

우리는 2차 원뿔 프로그램을 정의하는 데이터가 결정론적이기 때문에 2차 원뿔 프로그램을 결정론적 2차 원뿔 프로그램이라고 부릅니다.확률적 2차 원뿔 프로그램은 결정론적 2차 원뿔 ^[10]프로그램을 정의하는 데이터의 불확실성을 처리하기 위해 정의된 최적화 문제의 한 종류입니다.

해결사 및 스크립트(프로그래밍) 언어

이름.	면허증.	간략정보
AMPL	상업의	SOCP 지원 대수 모델링 언어
아틀리스 니트로	상업의
CPLEX	상업의
FICO 익스프레스	상업의
구로비 옵티마이저	상업의
매트랩	상업의	그`coneprog`함수는 내부 점 알고리즘을^[12] 사용하여 SOCP^[11] 문제를 해결합니다.
모섹	상업의	병렬 내부 점 알고리즘
NAG 수치 도서관	상업의	SOCP Solver가 적용된 범용 수치 라이브러리

참고문헌

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