셸 정리

고전 역학에서, 셸 정리는 구대칭 물체의 내부 또는 외부의 물체에 적용될 수 있는 중력적 단순화를 제공한다.이 정리는 천문학에 특히 적용된다.

아이작 뉴턴은 셸 정리를^[1] 증명하고 다음과 같이 말했다.

1. 구체적으로 대칭인 물체는 모든 질량이 중심점에 집중된 것처럼 중력에 의해 외부 물체에 영향을 미칩니다.
2. 만약 신체가 구형 대칭 셸(즉, 속이 빈 공)이라면, 셸 안에 있는 물체의 위치와 상관없이 셸에 의해 작용하는 순 중력은 없습니다.

결론적으로 일정한 밀도의 고체 구체 안에서 물체 내의 중력은 중심으로부터의 거리에 따라 선형으로 변화하며 질량 중심에서의 대칭에 의해 0이 된다.이는 다음과 같이 볼 수 있습니다. 구 중심에서 r$\displaystyle$r의$$ $거리$에 있는 구 내의 점을 취하십시오.그러면 셸 정리 (1)에 따라 반지름이 더 큰 셸을 모두 무시할 수 있습니다.그러나 지점은 반지름 r의 나머지 구면 외부에 있는 것으로 간주할 수 있으며 (2)에 따라 이 구면의 모든 질량이 중심에 집중된 것으로 간주할 수 있다.나머지 $질량{\displaystyle }$m(\$displaystyle$ m$)$은 r $(\$ r$^{3})$에 비례합니다(볼륨에 기초하기 때문입니다).반지름 r에서 물체에 가해지는 중력은 m $\frac{{}^{}}{}$ $(\$r$^{2}}})$에 비례하므로 전체 중력 효과는 $\frac{{r\mathrm{}}^{}}{}$ 3 $\frac{{r\mathrm{}}^{}}{}$ 2 $=$ {\$textstyle {r^{3}}$ {$r}=r$에 비례하므로$$r $display$ r$\}$에서는 선형이다.

이러한 결과는 뉴턴의 행성 운동 분석에 중요했다; 그것들은 즉시 명백하지는 않지만, 미적분학을 통해 증명될 수 있다.

중력에 더해 셸 정리는 정구대칭 전하밀도에 의해 발생하는 전계를 기술하거나 역제곱법칙을 따르는 다른 현상에 대해서도 동일하게 사용할 수 있다.아래의 도출은 중력에 초점을 맞췄지만, 결과는 쉽게 정전기력으로 일반화 될 수 있습니다.

고체구 외부 중력장 유도

뉴턴의 셸 정리를 증명하는 세 가지 단계가 있다.먼저 질량 고리에 의한 중력장의 방정식을 도출한다.무한히 얇은 고리를 배열하여 원반을 만드는 이 방정식은 원반으로 인한 중력장을 구하는 데 사용됩니다.마지막으로, 무한히 많은 얇은 원반을 배열하여 구를 만들면서, 원반을 포함하는 이 방정식은 구에 의한 중력장을 구하는 데 사용될 것입니다.

원점에서의 $질량{\displaystyle }$M 점({$displaystyle$ $M$$$$})$으로 인해 X축의 $0) 위치$에 있는 $중력장{\displaystyle }$ E$({displaystyle$P$})$는 다음과 같습니다${\displaystyle .}$

이 질량이 Y축을 따라${\displaystyle \mathrm{위쪽}}$으로 ${\displaystyle \mathrm{이동}}$한다고$$가정합니다( 0 , R ) { $displaystyle$ ($0$ ${\displaystyle ,}$ R$$)$$。P ${$ $displaystyle$( 0$$$$ , $\sqrt{{}^{}}$$$) 。$P{\displaystyle }$ { $displaystyle$ P$$$}$ $the$ the is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is $\sqrt{{is\mathrm{}}^{}}$ is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is$\sqrt{{}^{}}$is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is$({$ 따라서 상승점의 중력장은 다음과 같습니다.

$({displaystyle$P})에서 X방향으로 입자를 끌어당기는 중력장의 크기는 중력장${\displaystyle }$θ($)$에 cos θ(\$displaystyle \cos(\theta)$를 곱한 값입니다. 여기서$\theta {\displaystyle }$ {$displaystyle \theta }$는 X축에 인접한 각도입니다.${\displaystyle 이}$ 경우, cos${\displaystyle \theta }$ (${\displaystyle }$) ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{p\mathrm{}}^{}}}{}}$p ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$ +$$ 2 ( \ $displaystyle$ \ cos ( \ $theta$ ) =$scs frac$ { p$}$ {\ $scsrt$ { $p ^$ {2} + R ^ {2$\}\}\}\}$ 입니다. ${\displaystyle {따라서}_{}}$ x$$(\ $displaystyle E_x})$ 방향$$ 중력장의 크기는 다음과 같습니다.

cos ${\displaystyle (}$ ($$ ) ( \ $displaystyle$ \ cos ( \ $theta )$로 치환하면,$이{\displaystyle }$ 질량이 원점 및 $대향점{\displaystyle }$$$P$(\$$displaystyle$ P$)$를 중심으로 한 링에 동일한 반경 R(\$displaystyle$ R$)$로 균등하게 분포되어 있다고 가정합니다. 왜냐하면 모든 질량은 x축에 대해 동일한 각도로 배치되어 있고 링 위의 점 사이의 거리는 이전과 같기 때문에 중력은링으로 인해 P$지점{\displaystyle }$({$displaystyle$P})에서$$ x 방향의 al 필드는 Y축 위의$$R $지점{\displaystyle }$({$displaystyle$ R$}$ 단위$$)에 위치한 점 질량과 동일합니다.

$디스크$로 인한 P점$({displaystyle$ P$})$의 중력장을 구하려면 반경 $(\displaystyle$ y$),$ 폭 $(\displaystyle$ dy$)$ 및 질량 $(\displaystyle dM)$을 가진$$P점({$displaystyle$P$\})$을 향해 무한히 많은 얇은 링을 서로 내부에 배치하여 디스크를 형성합니다.어느 ${\displaystyle \mathrm{하나}}$의$$링 $dM의$질량은$$ ${\displaystyle 디스크}$의 ${\displaystyle \mathrm{면적}}$과 ${\displaystyle {디스크\mathrm{}}^{}}$ 전체 ${\displaystyle {}^{}}$과의 비율$({$$$R$^{2$을 곱한 값입니다.따라서 $D$ $M$ $=$ $M\frac{}{}$ $\frac{\cdot }{}$ $\frac{2}{}$ $dtext$ 2$$따라서 중력장 E$(\displaystyle$ E$)$의 작은 변화는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle dM)$으로 대체하고 양쪽을 통합하면 디스크의 중력장을 얻을 수 있습니다.

이 고리들 각각에서 중력장에 대한 기여도를 더하면 원반으로 인한 중력장에 대한 식을 얻을 수 있습니다.이는 위의 식을 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$({$displaystyle y$${\displaystyle =}$0$$})에서 y$$= R({$displaystyle y=$R$\})$로 통합하는 것과 같으며, 그 결과 다음과 같은 결과가 나옵니다.원점을 중심으로 한 구(球)에 의한$$$$P $지점{\displaystyle }$({$displaystyle$$$P$\})$의 중력장을 구하려면 각각 $반경{\displaystyle }$R({$displaystyle$R$\},$ 폭 $(displaystyle$ dx$)$ 및 ${\displaystyle \mathrm{질량}}$ M$({displaystyle DM)$을 $가진{\displaystyle }$무한대량의 얇은 디스크를 함께 배치할 수 있습니다.

이 디스크의 반지름 $R{\displaystyle }$$(\displaystyle$ R$)$은 R $=$ $a\sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - $\sqrt{{}^{}}$ (\$textstyle$ R =$sqrt {a^{2}-$$x$$^{2$의 방정식인 구(\$displaystyle$$$a$)$의 단면 높이를 $따릅니다$$.$$ystyle$ a$\}$ 입니다.

$디스크{\displaystyle }$ d ${\displaystyle M}$$(\$$displaystyle$ dM$)$의 질량은$$ $무한히{\displaystyle }$ 얇은 디스크의 부피를 구의 부피로 나눈 비율(\$displaystyle$ a)에 곱한$$ 값입니다(\$displaystyle{\displaystyle }$ a).$$무한히 얇은 디스크의 볼륨은 ${\displaystyle {}^{}}$ R ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle d}$x \ $displaystyle$\$pi R^${ 2 ,$$dx $\}$ 또는${}^{}$$text\frac{}{}$ ( 2${}^{}$- ${x\mathrm{}}^{}$ 2) $d$ x$$\ $textstyle$\$pi$ \$left$( a $^ {$2} - $x$^ {$2}$ \$right$)$$$\frac{texttexttexttexttexttext}{}$ $\mathrm{texttexttext}$ $=\frac{{}^{}}{}$( $\frac{{}^{}}{}$ -$\frac{{}^{}{x\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{2}{}$ )$\frac{{x\mathrm{}}^{}}{}$3 $\frac{\mathrm{dx}}{}$ text $style$ 。$s$ d $M$ $=$ $3\frac{\mathrm{}M}{}$ ( $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$- $\frac{{x\mathrm{}}^{}}{}$2 ) $\frac{d}{}$ x $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{a\mathrm{}}^{}}{}$ 3$${ { $textstyle$ dM = 3 M ( a$$^ { $2$} - $x$^ {$2}$ ) , $dx$} { 4 a ^ {3}$$} 。

P$(디스플레이$ 스타일 P$)$에서 떨어진 각 디스크의 위치는 디스크의 '구' 내 위치에 따라 $다르므로{\displaystyle }$ p$(디스플레이 스타일$ p$)$를 p${\displaystyle }$+ $(디스플레이 스타일$p+$x$로 교체해야 합니다.

$디스크{\displaystyle }$' 방정식에서 M$(\displaystyle$ M$)$을$$(\$displaystyle dM$로,$$R(\$displaystyle$$$R$)$을 $(\$로,$p{\displaystyle }$(\$displaystyle$ p$)$를 p$x로$바꿉니다$$.

플,,$x$에 대해 $x$$=$ - $(\$$displaystyle$ x=-$a)$에서 x $=$ +$$(\$displaystyle$ x=+$a)$까지 각 씬 디스크의 중력장을 통합하고 몇 가지 세심한 대수를 수행하면 뉴턴의 셸 정리를 얻을 수 있습니다.$여기$서$$p {\$displaystyle$ p$}$는 구형 질량의 중심과 임의의 $점{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle$ P$\}$ 사이의 거리입니다.구형 질량의 중력장은 모든 질량을 구 중심에 있는 점 입자로 처리함으로써 계산될 수 있다.

외부 outside outside

고체, 구체대칭체는 무한히 많은 동심원, 무한히 얇은 구형 쉘로 모델링할 수 있습니다.이러한 셸 중 하나를 점 질량으로 처리할 수 있는 경우 셸 시스템(구)도 점 질량으로 처리할 수 있습니다.이러한 셸 중 하나를 고려합니다(그림은 단면을 나타내고 있습니다).

(주의: 다이어그램의 d ${\$ { $displaystyle$ d$\theta }$는 호 길이가 아닌 작은 각도를 나타냅니다.호 길이는 R $d$ ${\$ { $textstyle$R ,$d$ \ $theta$ }$$ 입니다$).$

뉴턴의 만유인력의 법칙을 적용하면, 음영 대역의 질량 원소에 의한 힘의 합은 다음과 같습니다.

${\displaystyle dF=sfrac {Gm}{s^{2}}dM.}$

그러나 원형 띠의 대칭과 관련된 힘의 벡터 특성으로 인해 부분 상쇄가 존재하기 때문에 남은 성분$(m$을 $가리키는{\displaystyle }$ $방향$은 다음과 같이 주어진다.

$displaystyle dF_{r}=sfrac {Gm}{s^{2}}\cos(\varphi),dM}$

따라서 m$\displaystyle$m에 $가해지는{\displaystyle }$ 총 힘은 모든 대역이 가하는 힘의 합입니다.각 밴드의 폭을 축소하고 밴드 수를 늘림으로써 합계는 적분식이 됩니다.

$displaystyle F_{r}=\int dF_{r}}$

G$(\displaystyle$ G$)$와 m$(\displaystyle$ m$)$은 $상수$이므로 적분에서 제외할 수 있습니다.

$\displaystyle F_{r}=Gm\int {frac(\varphi)}{s^{2}},dM.}$

이 적분을 평가하려면 ${\displaystyle \mathrm{먼저}}$ d ${\displaystyle M}$$({$$displaystyle$ $dM})$을 d $†$ {$displaystyle$ d$\theta}$의 함수로 $표현$해야 합니다.

구형 쉘의 전체 표면은 다음과 같습니다.

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

$한편{\displaystyle }$, ${\(\displaystyle \theta)$와 ${\displaystyle +}$ + $(\displaystyle \theta$ +$d\theta)$ 사이의$$얇은$$ 슬라이스의 표면적은

$2 R R }{\displaystyle 2\pi R\sin(\theta)R, d\theta = 2\pi R^{2}\sin(\theta }$

셸의 질량이 M$(\displaystyle$ M$)$인 경우 다음과 같이 됩니다.

$R}\ R(\synfrac2\ta}{\sin(\ta}){\ta}$

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

$F_}{\displaystyle F_{r}=syn{GM}{2}}\int {(\ta)\cosi(\varphi)}}{s^{2}}, d\theta }$

코사인 법칙에 따라

$\cos(\displaystyle \cos(\varphi)=sfrac {r^{2}+s^{2}-R^{2rs}}}}$

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

$}{\displaystyle \cos(\theta)=sfrac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2R}}.$

이들 2개의 관계는 적분에 표시되는3개의 파라미터 $"\displaystyle \theta$ $"\displaystyle \varphi"$ $및$ "$s{\displaystyle }$$\displaystyle$ s$"$를 링크합니다.$【{$$displaystyle$$\theta$$$$}$가$0$에서 $【{displaystyle \pi$}라디안으로$$ 증가함에 따라 $【{$$displaystyle \theta$ $=\pi$$}$로 돌아가기 전에 】({$displaystyle \theta$ =\pi$$})는 초기값에서 최대값으로 바뀝니다. 동시에 【{$displaystyle style$ s $}$에서 최대값으로 $증가$합니다.$초기값{\displaystyle }$${\displaystyle }$r -$$ (\$displaystyle$ $r-R)$에서 $최종값{\displaystyle }$r +$$ (\$displaystyle$ r$+R)$ (\displaystyle $\theta$}) (\$displaystyle \pi$ ） $。$이는 다음 애니메이션에 설명되어 있습니다.

(주: m$${$display$ m$$${\displaystyle \}<img\; alt="m"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.04ex;\; height:1.676ex;">}$에서 보았을 때, 음영 처리된 파란색 띠는 얇은 고리 모양으로 나타나며$,$ ${\displaystyle \mathrm{안쪽}}$과 바깥쪽 반지름은 ${\displaystyle d}$ {$display style$$$d$\theta$$$$}$로 $수렴$합니다.)

integrand에 대한 기본 함수를 찾으려면$$integrand\$displaystyle$$theta$가 $아닌$ 독립적 적분변수로 $만들어야{\displaystyle }$ 합니다.

산출량 이상의 "코사인 법칙" 표현 중 두 번째 표현에 대한 암묵적 미분 수행

$d\thetads}\displaystyle -\sin(\theta), d\theta = frac {-2s}{2Rds},$

$\displaystyle \sin(\theta), d\theta = frac {s}{rR},ds.}$

, ★★★★★★★★★★★★★.

$ds}{}{ds}\ds}styleflac {\display},}{s^{2}},ds=parfrac {GM}{2R}}\int {frac cos(\varphi)}{s}},$

여기서$$ $새로운$ $적분변수{\displaystyle }$$s는$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \mathrm{R에서r<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; r-R\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/38ecf5b8f06f327c77acb677282c3d4839afc6dc"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:5.653ex;\; height:2.343ex;">}}$+ R$($$displaystyle$$$r$+R$

$위$의 "cosine law" 표현 중 첫 번째를 사용하여 cos ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle )}$) \$displaystyle$\ $cos$ ( \ varphi$$)의$$ ${\displaystyle \mathrm{표현}}$을 삽입하면, 드디어 다음과 같이 됩니다.

$}{\displaystyle F_{r}=frac {GM}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^2}-R^{2}}{s^{2}}\right}\ds\.}$

적분에 대한 기본 함수는

$displaystyle s-{\frac {r^2}-R^{2}}{s},}$

이 원시 함수에 적분 $s$의 r${\displaystyle }$-$$ (\$displaystyle$ $r-R)$ 및$$${\displaystyle }r{\displaystyle }$ +$$ (\$displaystyle$$$r$+R)$ $경계$를 삽입하면 다음과 같이 됩니다.

$frac displaystyle F_{r}=블랙 {GM}{r^{2}}},$

중력은 같은 질량을 가진 껍데기 중심에 있는 점의 질량과 같다고 말한다.

마지막으로, 모든 무한히 얇은 구형 쉘을 ${\displaystyle d}$ M$(\displaystyle dM$의 질량에 통합하면 볼 바깥 물체에 대한 고체 볼의 총 중력 기여도를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}=blac {Gm}{r^{2}}\int dM.}$

$x$의$$${\displaystyle \mathrm{반지름}}$({$displaystyle$$$x$$} ~${\displaystyle }$x +$dx$ $사이$에서 ${\displaystyle d}$ M$({displaystyle dM})$은 x$({displaystyle$x$\})$의 함수로 표현될 수 있습니다.

$x R {displaystyle dM=black {4\pi x2}flac {3}{3}{3}}}{3}}{3}}}{\flac$

총 은 라라 therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore

$F_texttotal=blash 3displaystyle F_{\text{total}}=blash frac {3}2}, {text {GM}}}}{{{{{}}}}}R}}}}M}M}{R}}}}}M}M}M}{{{}}}}}}}}}}}}$

이는 외부 물체에 대한 고체 구형 공의 중력이 동일한 질량의 공 중심에 있는 점 질량의 중력으로 단순화될 수 있음을 시사한다.

내부 inside inside

셸 내부의 포인트는 θ가 0일 때 θ는 값 θ radians를 취하고 radians를 s로 합니다. θ가 0에서 θ radians로 증가하면 θ는 초기 값 R - radians에서0으로 감소하며 s는 초기 값 R - r에서 R + r로 증가합니다.

을 다음 에서 볼 수.

기본 함수에 이러한 경계 삽입

$}-displaystyle s-{\frac {r^2}-R^{2}}:{s}}$

알 수 있다

$displaystyle F_{r}=0,}$

조개껍데기의 질량 요소에서 점 질량에 작용하는 순 중력이 측정점 밖에서 상쇄된다고 말한다.

일반화:f ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ r$$ {\$displaystyle$ f$=parc$ frac ${k}{r^{p$인 $경우{\displaystyle }$ 셸 내부의 힘은 다음과 같습니다.

$F _displaystylefrack {{{{rightdisplay}\display}\displaystyle}{R}{R}\disterylef},$

위의 결과는 p ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ p$=2}$인 경우에만 F$)$ {$displaystyle$ F$(r)}$이(가) 0이 됩니다.

셸 외부( > R \ $displaystyle r$> 또는r < - \ $displaystyle$ r < -$R$ ） :

$Fint _F오른쪽$

가우스의을

셸 정리는 가우스의 중력 법칙이 다음과 같이 말하는 즉각적인 결과이다.

$_ \{S GMdisplaystyle \int _{S}{\mathbf {g}\cdot}=-4\pi GM}$

여기서 M은 반지름이 r이고 구 안에 있는 구형 대칭 질량 분포 부분의 질량이다.

$_ {\ \ _ {\ \displaystyle \int _ \mathbf {g} } \displaystyle \int {s} \mathbf {g} \cdf}$

총 질량이 M인 닫힌 표면에 대한 중력장 g의 표면 적분이며, $단위{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ 벡터${\displaystyle \stackrel{}{}}$n$$^ ${\$style ${\hat$ {$n}}$은 표면에 대한 외부 법선이다.

질량점, 구형 셸 또는 균질 구와 같은 구형 질량 분포의 중력장도 구형 대칭이어야 한다.n$^$ ${\displaystyle${\$mathbf {n}}}$이 대칭점에서 다른 점까지의 방향 단위 벡터일 $경우{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ 이 다른 점의 중력장은 다음과 같아야 합니다.

$= {\ { {\displaystyle \mathbf {g} = g(r) {\hat \mathbf {n}}}}$

여기서 g(r)는 대칭점까지의 거리 r에만 의존합니다.

닫힌 표면을 반지름 r이 대칭점에 있는 구로서 표면의 한 점에 대한 외측 법선$^(\$으로 선택하는 것은 질량 분포의 대칭점에서 정확히 벗어난 방향입니다.

그런 것이

$= {\ { {\displaystyle \mathbf {g} = g(r) {\hat \mathbf {n}}}}$

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

$_ _ rdisplaystyle \int mathbf {g}\cdot \int mathbr() =$

구면적이 4µr이기² 때문이다.

가우스의 법칙에 따르면 다음과 같다.

$g r= GMdisplaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM,})$

는,,

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

및

셸 정리의 역설이 사실인지, 즉 정리의 결과가 만유인력의 법칙을 내포하고 있는지, 또는 정리가 가지고 있는 더 일반적인 힘의 법칙이 있는지를 묻는 것은 자연스러운 일이다.구체적으로 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다.

사실, 이것은 (뉴턴식) ^[2][3]역제곱보다 정확히 한 가지 더 많은 힘의 클래스를 허용합니다.(구르자디안 정리)에서 바헤 구르자디안이 도출한 가장 일반적인 힘은 다음과 같다.

$Fdisplaystyle F=-{\frac {r^{2}}-{\frac { Mmr}{3}}-{\frac {\frac}}$

$여기$서$$G(\$displaystyle$ G$)$ 및$$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Lambda)$는 임의의 값을 갖는 상수입니다.첫 번째 항은 친숙한 만유인력의 법칙이고, 두 번째 항은 일반 상대성 이론의 우주 상수 항과 유사한 추가 힘입니다.

만약 정리의 두 번째 부분에도 힘이 존재하도록 요구함으로써 힘을 더 구속한다면, 즉 중공 볼 내부에 힘이 존재하지 않을 가능성을 배제하고, 역제곱 법칙은 정리를 만족시키는 고유한 힘 법칙이다.

한편, 조건을 완화하고, 구대칭체 바깥의 장과 중심(질량)의 어떤 점질량에서의 장과 동일하도록 요구한다면, 우리는 역제곱 법칙이 특수한 경우인 유카와 퍼텐셜에 의해 주어지는 새로운 종류의 해법을 허용한다.

또 다른 를 할 수.

$R }}{2}}}Mtheta displaystyle dAC {}{}{}{DRCARH}$

: ★★★★★★★★★★★★★★★★~

$displaystyle F_{r}=frac {GM}{2\pi}}\ {\cos}(\ta})}{s^{2}}, d\theta,$

$여기$서 M $=$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ R 2$ρ$ { { $displaystyle$M = \$pi R^{2$} \rho$\},$ ${\$ { \$displaystyle$ \rho$$}는 신체 밀도입니다.

다 해 '중간계산을 하다'입니다.

$F}{}}\R-r$

★★★

명제 70, 71은 표면상의 질량밀도가 일정하고 표면이 극히 얇은 중공구로부터의 입자에 작용하는 힘을 고려한다.구체 표면의 작은 영역에서 입자에 가해지는 힘은 면적의 질량에 비례하고 입자와 입자의 거리의 제곱에 반비례합니다.첫 번째 명제는 입자가 구 안에 있을 때, 두 번째 명제는 입자가 구 밖에 있을 때를 고려합니다.기하학적 구조에서 무한소수 및 제한 프로세스를 사용하는 것은 간단하고 우아하며 통합이 필요하지 않습니다.그것들은 프린키피아에서 많은 명제들을 증명하는 뉴턴의 방법을 잘 보여준다.

칠십 명다음에서는 뉴턴이 제공하는 것보다 약간 더 자세히 설명하겠습니다.

발의안 71의 증거는 역사적으로 더 중요하다.그것은 구 내부의 어떤 점에서의 밀도가 구 중심으로부터의 거리만의 함수라면, 구 바깥의 입자에 작용하는 고체 구체의 중력이 구 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다는 그의 증거의 첫 번째 부분을 형성한다.

다음은 뉴턴의 증명에 완전히 충실하지만, 그것들을 명확하게 하기 위해 아주 작은 변화가 있었다.

의 구 에 있는 .

그림 2는 중심 S와 구 내부의 임의의 점 P를 관통하는 중공구의 단면이다.P 를 KPL p p IL p HK p j 。은 이.JMM의 PMMMMMM은 PM을 사용합니다.원의 지오메트리에서 보면 삼각형 IPH와 KPL은 유사합니다.KH 및 IL 선은 축 JM을 중심으로 회전하여 2개의 닫힌 곡선으로 구와 교차하는 2개의 원뿔을 형성합니다.그림 1에서는 선 PE를 따라 떨어진 거리에서 구를 볼 수 있으며, 양곡선을 볼 수 있도록 투명하다고 가정한다.

원뿔이 교차하는 구면의 표면은${\displaystyle \mathrm{}p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle J}$ I ${\displaystyle =\mathrm{}p}$ P ${\displaystyle M}$K \ $displaystyle$\$angle$ PJI = \ $angle$ PMK$\}$로 볼 수 있습니다.

원뿔과 평면의 교차점은 타원형이기 때문에 이 경우 교차점은 장축 IH와 KL을 가진 두 개의 타원형을 형성합니다. $여기$서 I ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{K}{}}$ L ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ J ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{M}{}}${\$displaystyle${\$frac}$$IH} {KL}} = flac {PJ}$${$$PM$

유사한 인수로, 보조 축은 같은 비율입니다.이것은 위에서 구를 볼 때 명확합니다.따라서 두 타원은 비슷하므로 면적이 주축의 제곱과 같습니다.표면의 모든 섹션의 질량은 해당 섹션의 면적에 비례하므로 두 타원 영역에 대한 질량 비율 $†{\displaystyle }$ ${\displaystyle P\frac{}{}}$ J ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ P ${\displaystyle \frac{{M\mathrm{}}^{}}{}}$ 2$$\ $display$style \ $propto$\$frac${ $PJ$^ {$2}}{$$PM^{2$

두 타원영역 중 하나에서 JM방향으로 P에 대한 흡인력은 면적의 질량과 직결되며 P로부터의 거리의 제곱과 역방향이므로 구로부터의 P의 거리와는 무관하다.JM을 사용하다

P의 위치와 JM의 방향은 모두 제멋대로이므로 중공구 내의 입자는 구체의 질량에 의한 순력을 경험하지 않는다.

주의: Newton은 단순히 호 IH와 KL을 '최소 작음'으로 표현하며, 선 IL과 HK로 구분되는 영역은 반드시 타원형은 아니지만 항상 비슷합니다.

라.

림 1 은 S 를 S 를 S 바 S 、 S 다 P 다 D 있 。 P를 이다.PT p P 、 T pt T 、 PT pt P 、 T pt T pt 。HI PH PT hi hi hi PH hi PT hi 、 hi hi PH hi PT 、 。PI를 연장하여 L에서 구를 교차시키고 SF를 IL을 이등분하는 점 F로 그립니다.PH를 연장하여 K에서 구를 교차시키고 SE를 HK를 이등분하는 E점까지 그리고 SF를 연장하여 D에서 HK를 교차시킵니다.아이큐가 있다PS D-D-A-D-A-D-A-D-A-D-A-D-A-D-A-A-A-A-A-A-PS-PS-D-A-D-A-A

아크 IH를 다이어그램의 평면으로부터 약간 거리 θ만큼 수직으로 연장하도록 하자.생성되는 수치는 ${\displaystyle I}$ H ${\displaystyle \cdot }$（ \ $display style$ IH \ $cdot$\ $zeta$ ）이며$,$ 질량은 이 제품에 비례합니다.

이 질량에 의한 ${\displaystyle \frac{P}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cdot }{}}$ ${\displaystyle I\frac{}{}}$ H$$⋅ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{I\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 \ display $style$ \ propto \$frac {$$IH\cdot\zeta}{$$PI$$^{2}}}}}:$ PI 라인을 따릅니다.

중심을 향한 이 힘의 구성요소${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$ H ${\displaystyle \frac{\cdot }{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ Q${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ I$$ \ $displaystyle$\ $propto$\$frac {$$IH\cdot PQ\cdot \zeta}{$$PI^{3$

이때 아크 HI를 PS선을 중심으로 완전히 회전시켜 폭 HI와 반지름 IQ의 링을 형성하면 링의 길이는 2µ··가 됩니다.IQ의 면적은 2⁄이다.IQ·IH. PS 방향의 P 입자에 대한 이 링에 의한 힘의 성분은${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{IH}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$I Q ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ P I 3$$(\ $displaystyle$\ $propto$\$frac {$ })가 됩니다.$IH\cdot IQ\cdot PQ}{$$PI^{3$

링의 질량이 PS를 중심으로 대칭적으로 분포되어 있기 때문에 PS로 향하는 힘의 수직 성분이 상쇄됩니다.따라서 PS방향의 성분은 PS에 대한 회전호 HI에 의해 형성된 링에 의한 P에 대한 총력이다.

유사한 삼각형에서:$displaystyle$$$$PI}}=flac {FS}{D$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle PI\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ D$(\$$PI}}$=$flac {PF}$ {$D}$ $\}$ 、 ${\displaystyle \frac{R}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{D}{}}$ F ${\displaystyle \frac{P}{}}$ F$$F { \ $displaystyle$ {$RI$} {$PI}} = flac {DF}$${$$PF$

HI가 직선으로 볼 수 있을 정도로 작으면${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \mathrm{display}}$ S ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$$$（ \ $displaystyle$\$angle$ SIH$$） angle$$ R I ${\displaystyle H}{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{=}}$ $f$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$ S$$（ \ $displaystyle$\ $angle$ FIS$$）가 직각이므로 H ${\displaystyle \frac{I}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$f f f ${\displaystyle \frac{\mathrm{fr}}{}}$ $style {$）$HI}{RI}}=black{a}{$$IF$

따라서 링${\displaystyle }$'${\displaystyle \frac{I}{}}$ H${\displaystyle \frac{\text{'}}{}}$ '${\displaystyle \frac{I}{}}$ Q${\displaystyle \frac{\text{'}}{}}$ '${\displaystyle \frac{P}{}}$ Q ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{I\mathrm{}}^{}}{}}$ 3 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{a}{}}$ '${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ '${\displaystyle \frac{F}{}}$ '${\displaystyle \frac{}{}}$F ' ${\displaystyle \frac{P}{}}$ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ '${\displaystyle \frac{P}{}}$ F${\displaystyle \frac{}{}}$' D ${\displaystyle \frac{}{}\frac{a}{}}$ '${\displaystyle \frac{}{}}$' D F '${\displaystyle \frac{}{}}$ ' ${\displaystyle \frac{S}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$' (\ D )$IH\cdot IQ\cdot PQ}{$$PI^{3}}=param frac {a\cdot DF\cdot FS\cdot PF}{$$IF\cdot PF\cdot D\cdot D}}=440frac {a\cdot DF\cdot FS}{$$IF\cdot$ D$^{2$

그림 2에서 다른 입자가 구체의 중심에서 다른 거리인 p 지점에 있고 해당 지점이 소문자로 쓰여 있다고 가정합니다.비교하기 쉽도록 그림 1의 P의 구성을 그림 2와 같이 ph는 pt 미만이다.

$각도{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{fiS}}$ $=$ $(\displaystyle fiS$=)를 ${\displaystyle \mathrm{만들어}}$ 폭 ih 및 반지름 iq의 링을 생성합니다.$FIS}$ 및$$ 약간 큰 $각도{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{dh}}$ S $=$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle H}$ (\$displaystyle dhS$=)$DHS$ 거리 PS가 i에서의 pS와 같은 각도로 I에서 하위 조정되도록 합니다.각각 H와 h에 대해서도 마찬가지입니다.

에 가해지는 총 은 " " " 입니다.

$\3} {}{if\cdot ddisplaystyle {ih\cdot iq\cdot pq}}={cdot df\cdot df}$

${\displaystyle \mathrm{선명}}$하게 f S ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle F}$ S$$\ $displaystyle fS =$$FS$ ${\displaystyle \mathrm{if}}$ $=$ ${\displaystyle I}$ $(표시 스타일$ if=)$IF$ 및 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle E}$ S$${$displaystyle eS=ES$

뉴턴은 DF와 dpf가 '함께 사라진다'는 각도만큼 한계에서 DF와 dpf를 동일하게 받아들일 수 있다고 주장한다.DPF dpf로 하다.DS와 dS는 제한에서는 같아지지만 DF와 df가 모두0에 가까워졌을 때 DF 대 df의 비율이 유니티와 같아지는 것은 아닙니다.유한한 경우 DF는 D에 의존하며 df는 d에 의존하기 때문에 이들은 동일하지 않습니다.

한계에서 DF 대 DF의 비율이 매우 중요하기 때문에 보다 상세한 분석이 필요하다.유사한 직각 $삼각형$에서 D $\frac{F}{}$ $\frac{P}{}$ F $\frac{}{}$ $E\frac{}{}$ $\frac{}{}$ $\frac{E}{}$ S${\textstyle$ {\$frac {DF}}{$${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$$}}$=$flac {ED}$ {$ES$} $}$ = $E$ ${\displaystyle D}$ 2 ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle \mathrm{DF}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle F{}^{}}$S )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ( \ $display$ ED ^ {2} = ($$${\displaystyle \frac{{DF\mathrm{}}^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{FS\mathrm{}}^{}}{}}$$)^{2}$ - ${\displaystyle \frac{\mathrm{ES}}{}}$$、$ ${\displaystyle \frac{{F\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\frac{{}^{}}{}）}{\displaystyle \frac{}{}}$。$DF^{2}}{$$PF^{2}}+2\cdot$ FS$\cdot$DF+$FS^{2}-ES^{2}=0$ ES가 FS에 접근할 때 한계에서 DF에 대한 2차 $해법{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{DF}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ - ${\displaystyle F}$ S$(\displaystyle$ DF$=ES-FS$는 0에 접근할수록 간단하다.$ystyle$ 2$\cdot$ FS$\cdot$DF+$FS^{2}-ES^{2}=0}$이(가) 같은 결과를 초래합니다.확실히 df는 같은 한계를 가지고 있어, 뉴턴의 주장을 정당화한다.

PS에 대해 회전하는 링 HI와 pS에 대해 회전하는 링 HI의 힘을 비교하면 이들 2개의 힘의 비율은 $\frac{{d2\mathrm{}}^{}}{}$D2$({textstyle {d$^{2$}}{D^{2$와 $같습니다\frac{{}^{}}{}$.

아크 AT와 Bt를 대응하는 극소환으로 분할함으로써 PS에 대해 회전하는 아크 AT에 의한 힘의 비율과 pS에 대해 회전하는 Bt에 의한 힘의 비율이 동일하고, 마찬가지로 아크 TB에 의한 힘의 비율과 tA에 대한 힘의 비율도 동일하게 회전한다.

따라서 중공구 중심에서 D까지의 거리 D에 대한 힘은 $D2에$반비례하며, 이는 명제를 증명한다$.$

의 셸

셸 정리의 유사점은 일반상대성이론(GR)에 존재한다.

구면 대칭은 중심 질량이 중력 붕괴를 겪고 있더라도 미터법이 시간 독립적인 슈바르츠실트 기하학을 갖는다는 것을 의미한다(Misner et al. 1973; Birkhoff의 정리 참조).따라서 메트릭은 형식을 갖습니다.

$}+rdisplaystyle ds}=-1-2M/r,dt^{2-2-R^{}{\displaystyle ds^{2}}$

($G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ G$=c$=$$1}의 기하 단위 사용).r> > { $displaystyle$ r $> R$ > $0$} ($여기$서$$R { $displaystyle$ R$$}은$$ 매스셸의 반지름)의 경우 매스는 원점에서 델타함수로 기능합니다.< {$displaystyle$ r < $R$의 질량의 셸이 외부에 존재할 수 있지만, 원점에서 단일이 아닌 메트릭을 사용하려면 M$${ $displaystyle$ M$}$이 메트릭에서 0이어야 합니다.이것은 평탄한 민코프스키 공간에 대한 메트릭을 감소시킨다. 따라서 외부 껍질은 중력 효과가 없다.

이 결과는 블랙홀로 이어지는 중력 붕괴와 사건 지평선 외부 및 내부의 광선과 입자의 움직임에 미치는 영향을 밝혀준다(Hartle 2003, 12장).

「 」를 참조해 주세요.

• 축척 높이
• 샤슬스의 정리(중력)

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