반파생적

F

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

(

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

)

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

-

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

-

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

+

F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c

c {\

displaystyle

F

(x

) =

flac

{

x^{3

}}

{\frac {x^{2}}

{

x+c

의 기울기 필드로서 임의의 상수

c를 변화시켜 생성할 수 있는 무한히 많은 용액 중 3개를 나타낸다.

미적분학에서 $함수$ f의 역도함수, 원시함수, 원시적분 또는 부정적분은^{[Note 1]} 도함수가 원래 $함수$ f와 동일한 $미분가능함수$ F이다.이것은 F' = ^[1]^[2] $f$ 로 $상징적$ 으로 표현될 수 있다.반파생물을 푸는 과정을 반미분화(또는 무한적분)라고 하며, 그 반대 연산을 미분화라고 하는데, 이것은 미분체를 찾는 과정이다.반파생물은 종종 $F$ 나 G와 $같은$ 대문자 로마자로 표시된다.

반파생물은 미적분의 두 번째 기본 정리를 통해 확실한 적분들과 관련이 있다: 함수가 리만 적분 가능한 닫힌 간격에 걸친 함수의 확실한 적분은 구간의 끝점에서 평가된 반파생물의 값의 차이와 같다.

물리학에서, 반파생물은 직선 운동의 맥락에서 발생한다(예를 들어, 위치, 속도,^[3] 가속도 사이의 관계를 설명할 때).반파생 개념의 이산적 등가물은 반파생이다.

예

${\tfrac {x^{3}}{3}}$ F $($ $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ $($ ) = 3(x) $f(x)=x^{2}$ $tfrac$ ${x^{$ $3}}$ { $3}}$ 은 $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ $($ 는 $)$ f( $f(x)=x^{2}$ = 2 $($ 의 역도함수이다. x $($ 의 ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ 도함수는 x $(x)$ 이므로 x 2(x)의 역도함수이다. ${\displaystyle$ x $^{2$ }}는 $x^{2}$ ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ $1$ , ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ - ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ (\ $displaystyle {x^{3}},$ {\ $tfrac {x^{3}}+1$ , {\ $tfrac {x3}}{$ 3}}{\tfrac { $x}}{3$ }}- $2$ ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ 무한히 많은 반파생물이 있습니다. $x^{2}$ x $x^{2}$ 의 $x^{2}$ $반파생물$ 은 F $($ $x^{2}$ $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$ $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$ $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$ + $(x$ ) = c(x) = $tfrac {x^{3}}$ { $c$ 의 값을 $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$ 하면 $x^{2}$ 얻을 수 있다. $여기$ 서 c는 적분 상수라고 하는 임의의 상수이다.기본적으로, 주어진 함수의 역도함수 그래프는 서로 수직변환이며, 각 그래프의 수직위치는 $값$ c에 따라 달라진다.

보다 일반적으로, $f(x)=x^{n}$ f $f(x)=x^{n}$ ) $=$ n({ $displaystyle$ f( $x)=x^{$ n $f(x)=x^{n}$ }) $=$ $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ + $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ + $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ c $(x$ ) { $x^{n+$ 1} ${n+1$ } { $F(x)=\ln |x|+c$ $}$ $n$ $=$ $x$ ln $F(x)=\ln |x|+c$ $F(x)=\ln |x|+c$ ${x$ $F(x)=\ln |x|+c$ } $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ $f(x)=x^{n}$ function $F(x)=\ln |x|+c$ function = x ln = $F(x)=\ln |x|+c$ ） function function more more more ⁡ ⁡ $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ more ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ more more more more more ⁡ ⁡ more more ⁡ $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ more more more more more more more

물리학에서 가속도의 적분은 속도와 상수를 더한다.상수항은 속도 도함수를 구할 때 손실되는 초기 속도항이다. 상수항의 도함수는 0이기 때문이다.이 패턴은 운동의 추가 통합 및 파생 요소(위치, 속도, 가속도 등)^[3]에도 적용됩니다.

용도 및 속성

미적분학의 기본정리를 사용하여 확실한 적분을 계산하기 위해 반미분법을 사용할 수 있다.F가 [ $[a,b]$ $[a,b]$ b $]$ $[a,b]$ $displaystyle [ a$ , $b$ ] \ displaystyle [ a , b $[a,b]$ 의 구간에서 $적분함수$ f의 반미분법이라면 $다음$ 과 같다.

\displaystyle \int _{a}^{b(x),\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}

이 때문에, $주어진$ 함수 f의 무한히 많은 역도함수는 각각 f의 "무한 적분"이라고 불리며, 무한 적분 기호를 사용하여 쓸 수 있다.

\displaystyle \int f(x),\mathrm {d} x.}

F가 $f$ 의 역도함수이고 $함수$ f가 일정 간격으로 정의되어 있는 $경우$ , $f$ 의 다른 모든 $역도함수$ G는 $F$ 와 상수로 다릅니다. 즉, $모든$ $x$ c에 대해 G $G(x)=F(x)+c$ $G(x)=F(x)+c$ $G(x)=F(x)+c$ + $G(x)=F(x)+c$ (\ $display$ $style$ G $(x$ ) $= F(x)+c$ }가 $G(x)=F(x)+c$ 존재하기 때문에 적분 상수라고 합니다. $F$ 의 도메인이 두 개 이상의 (열린) 구간의 분리된 결합일 경우, 각 구간에 대해 다른 적분 상수를 선택할 수 있습니다.예를 들어.

F(x)=begin{case}-{\frac {1}\frac {1}\frac x<0\\\frac {1}{x}+c_{2}\flac x>0\end{case}

는 f $f(x)=1/x^{2}$ ( $f(x)=1/x^{2}$ ) $f(x)=1/x^{2}$ $f(x)=1/x^{2}$ / $f(x)=1/x^{2}$ 2 ( - $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ $displaystyle$ f ( x ) $=$ 1 / x 2 ( $f(x)=1/x^{2}$ - displaystyle $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ ( x ) $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ 1 / $x$ ^ {2} $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ )의 $f(x)=1/x^{2}$ $f(x)=1/x^{2}$ 일반적인 $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ 역도함수입니다 $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ (0 , $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ 0 ) . $displaystyle$ ( - \ $infty , 0$ $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ $cup$ ( $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ 0 ) $。$ $}$

모든 연속 $함수$ f는 반파생물을 가지며, 1개의 $반파생$ F는 가변 상한을 갖는 f의 $유한$ 적분에 의해 주어진다.

F(x)=\int _{0}^{x}f(t),\mathrm {d}t.

하한선을 변경하면 다른 반파생물이 생성된다(그러나 반드시 모든 가능한 반파생물은 아니다).이것은 미적분학의 기본정리의 또 다른 공식이다.

역도함수가 존재하더라도 기본함수(다항식, 지수함수, 로그, 삼각함수, 역삼각함수 및 이들의 조합 등)로 표현할 수 없는 함수가 많습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

\displaystyle \int e^{-x^{2},\mathrm {d} x,\qquad \int \sin x^{2},\mathrm {d} x,\mathrm {d} x,\qquad \int \frac {1} {\ln x,\mathqad {d} x,\mathrm {d}

왼쪽에서 오른쪽으로, 함수는 오류 함수, 프레넬 함수, 사인 적분, 로그 적분 함수 및 2학년생의 꿈입니다.자세한 내용은 미분 갈로아 이론을 참조하십시오.

통합 기술

기본 함수의 반미분수를 찾는 것은 종종 그 미분수를 찾는 것보다 상당히 어렵다(실제로, 무한 ^[4]적분을 계산하는 사전 정의된 방법은 없다).일부 기본 함수의 경우, 다른 기본 함수의 관점에서 역도함수를 찾는 것은 불가능하다.자세한 내용은 기본 함수와 비부적분을 참조하십시오.

반파생물을 찾기 위한 많은 특성들과 기술들이 있다.여기에는 다음이 포함됩니다.

통합의 선형성(복잡한 통합을 단순한 통합으로 분할)
치환에 의한 적분, 종종 삼각함수 항등식 또는 자연 로그와 결합
- 역쇄규칙법(치환적분하는 특수한 경우)
부품별 통합(기능 제품 통합)
역함수 적분(f와 $f$ 의⁻¹ 역함수 f의 $역도함수$ f의 역도함수를 $f$ 와⁻¹ f의 역도함수로 나타내는 공식)
적분에서의 부분 분수 방법(모든 유리 함수를 통합할 수 있음-두 다항식의 분수)
Risch 알고리즘
다중 적분을 위한 추가 기술(예: 이중 적분, 극좌표, 야코비안 및 스토크스의 정리 참조)
수치적분(exp $(- x 2)$ 의 $경우$ 와 같이 기본 반파생물이 존재하지 않을 때 일정한 적분을 근사하는 기술)
적분(치환에 의한 적분 등 다른 적분 기술을 사용할 수 있도록)의 대수적 조작
반복 적분을 위한 코시 공식(함수의 n배 역도함수 계산) $\int _{x_{0} {{x_{1}} \cdots \int _{x_{0}} {x_{n-1} f(x_n}),\mathrm {d} x_{n} \cdots 、\mathrm {d} x_{d} x_{{{1}}},\mathrm {d} t.$

컴퓨터 대수 시스템은 위의 기호 기술에 관련된 작업의 일부 또는 전부를 자동화하는데 사용될 수 있으며, 이것은 관련된 대수적 조작이 매우 복잡하거나 길 때 특히 유용합니다.이미 도출된 적분은 적분표에서 조회할 수 있습니다.

비연속 함수의 경우

비연속 함수는 반파생 함수를 가질 수 있습니다.이 영역에는 아직 미해결 질문이 남아 있지만, 다음과 같이 알려져 있습니다.

그럼에도 불구하고 불연속성이 큰 일부 고병리 함수는 반파생물을 가질 수 있다.
어떤 경우에는 이러한 병리 함수의 반파생물이 리만 적분에 의해 발견될 수 있는 반면, 다른 경우에는 이러한 함수가 리만 적분할 수 없다.

함수의 도메인이 오픈인터벌인 경우:

$함수$ f가 역도함수를 갖는 데 필요하지만 충분하지 않은 조건은 f가 중간값 특성을 갖는 $것$ 이다.즉, [ $a,$ $b]$ 가 f $영역$ 의 하위 $구간$ 이고 y가 f $(a)$ 와 f $(b)$ $사이$ 의 실수라면, f $(c)$ = $y$ 가 $되는$ a와 $b$ $사이$ 에 $c$ 가 존재한다.이것은 Darboux의 정리의 결과이다.
$f$ 의 불연속성 집합은 근소한 집합이어야 합니다.이 집합은 F-시그마 집합이어야 합니다(함수의 불연속성 집합은 이 유형이어야 하기 때문입니다).또한 임의의 미미한 F 시그마 집합에 대해 주어진 집합을 불연속 집합으로 하는 역도함수 $f$ 를 구성할 수 있다.
만약 f가 역도함수를 가지며, 영역의 닫힌 유한 부분간격에 유계되며, 르베게 측도 0의 불연속성 집합을 $갖는다면$ , 르베게의 의미에서의 적분에 의해 역도함수를 찾을 수 있다.실제로 헨스톡-쿠르즈와일 적분과 같은 보다 강력한 적분을 사용하면, 반미분수가 존재하는 모든 함수는 적분 가능하며, 그 일반 적분은 반미분수와 일치한다.
만약 f폐쇄된 간격[a, b]{\displaystyle[a,b]}, 그때 칸막이의 어떤 선택을 위한antiderivative F가 있는=-10<>x1<>x2개체, ⋯<>)nxb,{\displaystyle a=x_{0}<, x_{1}<, x_{2}<, \dots <, x_{n}=b,}하나를 선택하는 샘플 포인트 나는{\displaystyle∈[)나는, 음 나는 1−]∗ x. x_{나는}^{*}\in -LSB- x_{i-1},x_{ $i}}$ 평균값 $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$ 정리에 따라 대응하는 리만 합계가 F ( b $F(b)-F(a)$ ) - $F(b)-F(a)$ ( $F(b)-F(a)$ ) { $displaystyle$ F ( $b$ )-F $(a)}$ {displaystyle F (b $)-F$ (a $F(b)-F(a)$ 로 망원경 됩니다 $.$

({displaystyle {displaystyle}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^*})(x_{i}-x_{i-1})&={i=1}^{n}-F(x_{i-1})})\&=F(x_0)

그러나 f가 무한하거나 f가 경계가 있지만

f

의 불연속성 세트가 양의 Lebege 측정값을 갖는

경우

,

x_{i}^{*}

x

x_{i}^{*}

{\

display x_{

i}^{*}}의

x_{i}^{*}

다른 선택은 분할이 아무리 미세하더라도 리만 합에 유의한 값을 제공할 수 있습니다.아래의 예 4를 참조해 주세요.

몇 가지 예

함수
$(\displaystyle f(x)=2x\sin\leftfrac {1}{x}\right)-\cos \leftfrac {1}{x}\right)}$

$f(0)=0$ $f(0)=0$ $f(0)=0$ { $displaystyle$ f(0)= $0}$ 은 $f(0)=0$ (는) x $x=0$ { $display x=0}$ 에서 $x=0$ 연속적이지 않지만 반파생성이 있습니다.

$({displaystyle F(x)=x^{2}\sin\leftflac {1}{x}}\right)$
$F(0)=0$ ( $F(0)=0$ 0 ) $F(0)=0$ { $style$ F(0)=0 $F(0)=0$ 이다. f는 닫힌 유한 구간에서 제한되고 0에서만 불연속적이므로, $역파생$ $F$ 는 적분을 통해 구할 수 있다. $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ ( $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ ) $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ 0 $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ ( $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ ) $d$ $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ { $displaystyle$ F ( x ) = \ $int _ 0xf }$ { $mathrm,$
함수
$({displaystyle f(x)=2x\sin \leftfrac {1}{x^{2}}\right)-{\frac {2}{x}\cos \leftfrac {1}{x^{2}}\right})})$
$f(0)=0$ $f(0)=0$ $f(0)=0$ { $displaystyle$ f(0)= $0}$ 은 $f(0)=0$ (는) x $x=0$ { $display x=0}$ 에서 $x=0$ 연속적이지 않지만 반파생성이 있습니다.
$({displaystyle F(x)=x^{2}\sin \leftflac {1}{x^{2}}\right)}$
$F(0)=0$ ( $F(0)=0$ ) $=$ { $style$ F(0)= $0$ 입니다. 예제 1과 달리 f $(x)$ 는 0을 포함하는 구간에서 제한되지 않으므로 리만 적분은 정의되지 않습니다.
f $(x)$ 가 예 1의 $함수$ 이고 F가 그 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 이고 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ { $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ } ${\$ 1 { $displaystyle$ $(-1,1),$ \ {x $_$ { n $} _$ { n \ $geq$ 1 $}$ 이 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $오픈$ $(-1,1),$ 간격 $(-1,1),$ - $(-1,1),$ 1, $(-1,1),$ )의 $(-1,1),$ dense countables subset인 $경우$ 함수는 다음과 같습니다 $.$
$g(x)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {f(x-x_{n}}}{2^{n}}$
반파생물이 있다
$G(x)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {F(x-x_{n}}}{2^{n}}}.$
$g$ 의 불연속성 집합은 정확히 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ { $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ n $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 1 { $displaystyle$ \ { $x_{n}\}_{$ n\ $geq$ 1 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 이다. g는 닫힌 유한 구간에서 유계되고 불연속성 집합은 측정값 $0$ 이므로, $반파생성$ G는 적분에 의해 구할 수 있다.
$\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ n $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 1 { $displaystyle$ \ { x $_$ { $n }$ \ { $n$ \ $geq$ 1 } 로 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 합니다( - $(-1,1).$ , $).\$ (- $1,$ 1) . $}$ 어디서나 $(-1,1).$ 지속적으로 엄격하게 증가하는 기능을 고려
$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{/3}.$
라는 것을 알 수 있다
$F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$

그림 1

그림 2

시리즈가 수렴되는 모든 값 $x$ 및 F $(x)$ 의 그래프에는 x의 $다른$ 모든 값에 수직 접선이 있습니다. 특히 그래프에는 집합 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ { $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ n $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 1 { $displaystyle$ \ { $x_{n}_{n\geq$ 1 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 의 모든 지점에 수직 접선이 있습니다.
$F(x)\geq 0$ 도함수가 정의되어 있는 $모든$ x에 대해 F $F(x)\geq 0$ 0(\ $displaystyle F($ x)\ $geq$ 0 $).$ 따라서 $G=F^{-1}$ G $G=F^{-1}$ - $G=F^{-1}$ ({ $displaystyle$ G $=F^{-1})$ 은 $G=F^{-1}$ 어디에서나 미분할 수 있습니다.

$g(x)=G'(x)=0$

{ $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ ( $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ n ) $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ 1 $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ { $displaystyle$ \ { $F$ ( $x$ _ { $n$ ) \ } $_$ { $n$ \ $geq$ 1 $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ } 。{ $displaystyle$ [ $F$ ( $[F(-1),F(1)].$ - $[F(-1),F(1)].$ 1 ) $[F(-1),F(1)].$ , $[F(-1),F(1)].$ ( $[F(-1),F(1)].$ ) $[F(-1),F(1)].$ } $}$ 。{ displaystyle [ F $($ - $1$ , F ( 1 ) $[F(-1),F(1)].$ } } $[F(-1),F(1)].$ $따라서$ g는 $반파생$ G를 가진다.다른 한편으로, 라는 것은 사실이 아니다.

$\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x),\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}$
[ $[F(-1),F(1)]$ ( - $[F(-1),F(1)]$ ) $[F(-1),F(1)]$ $[F(-1),F(1)]$ ( $[F(-1),F(1)]$ 1 ) $]{ displaystyle$ [ $F$ ( - 1 , F ( $1$ ) $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ displaystyle \ { $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ F ( $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ n )} ${\$ 1 { $displaystyle \$ { F ( $x$ n $)\$ } $_{ n\ geq$ 의 임의의 파티션에서 리만 합계의 샘플 포인트를 선택할 수 있습니다. $따라서$ g는 양의 르베그 측정의 불연속성 세트를 가진다.오른쪽 그림 1은 g $(x)$ $그래프$ 에 대한 근사치를 나타냅니다. $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ 서 $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ x $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ ( ( $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ ) $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ } $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ 1 { $displaystyle$ \ { x $_$ { n } $=$ \ $cos$ ( n ) \ { n \ $}$ _ { n \ $geq$ 1 }은 8개의 $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ 항으로 잘립니다. $그림$ 2는 8개의 항으로 잘린 대도함수 G( $x)$ 에 대한 근사 그래프를 보여준다.반면에, 만약 리만 적분이 르베그 적분으로 대체된다면, 파투의 보조정리 혹은 지배적인 수렴정리는 g가 그 맥락에서 미적분의 기본정리를 충족한다는 $것$ 을 보여준다.
예 3과 4에서는 $함수$ g의 불연속성 세트는 한정된 오픈 $(a,b).$ 간격 $(a,b).$ $).\displaystyle(a,$ b)에서만 조밀합니다.} 그러나 $(a,b).$ 이러한 예는 실제 라인 $(-\infty ,\infty )$ 전체 $(-\infty ,\infty )$ - $,$ , $)$ )에 $(-\infty ,\infty )$ 조밀도가 높은 불연속부 세트를 $갖도록$ 쉽게 수정할 수 있습니다 $.$
$\displaystyle \displayda (x) = flac {a+b} {2}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan^{-1}x}$
$g(\lambda (x))\lambda '(x)$ 으로 g $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ ( $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ ( $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ ) $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ ( $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ $){$ $displaystyle$ g ( \ $lambda$ ( x )\ $lambda '$ ( x )}는 $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ ( $(-\infty ,\infty )$ - $(-\infty ,\infty )$ 、 $(-\infty ,\infty )$ ) $(-\infty ,\infty )$ \ $displaystyle$ ( \ $infty$ , \ $infty$ )위의 $(-\infty ,\infty )$ $(-\infty ,\infty )$ 조밀한 불연속성을 가지며 $,$ \ $displaystyle$ G $（$ \ $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ $cda$ ） \ $display$ styleamb }를 가집니다 $.$
예 5와 같은 방법을 사용하여 예 4의 g를 $수정$ 하여 모든 유리수로 소거할 수 있습니다.왼쪽 또는 오른쪽 리만 합계의 한계로 정의된 순한 버전의 리만 적분을 정규 파티션에 사용할 경우 $[a,b]$ 이러한 $함수$ g의 적분은 G $G(b)-G(a)$ - $(b$ $a$ 와 $b$ 가 $[a,b]$ 모두 합리적일 $때$ 마다 0이라는 것을 얻을 수 $.$ $G(b)-G(a)$ 따라서 미적분의 기본정리는 극적으로 실패할 것이다.
역도함수를 갖는 함수는 여전히 리만 적분가능하지 않을 수 있다.볼테라 함수의 도함수가 그 예이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 반파생물은 일반 적분이라고도 하며 때로는 적분이라고도 합니다.후자의 용어는 일반적이며, 무한 적분(반대파생)뿐만 아니라 확실한 적분도 언급한다.적분이라는 단어가 추가 명세 없이 사용될 경우, 독자는 그것이 한정된 적분인지 아니면 무한 적분인지를 문맥에서 추론해야 한다.일부 저자는 함수의 무한 적분을 무한히 많은 가능한 반파생물의 집합으로 정의한다.다른 사람들은 임의로 선택된 그 집합의 요소로 정의합니다.이 기사는 후자의 접근법을 채택하고 있다.영어 A-Level 수학 교과서에서 완전 원초적 용어인 L. Bostock과 S를 찾을 수 있다.챈들러(1978) 순수 수학 1; 임의의 상수를 포함한 미분 방정식의 해는 일반해(때로는 완전한 원시해)라고 불립니다.

레퍼런스

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
^ ^a ^b "4.9: Antiderivatives". Mathematics LibreTexts. 2017-04-27. Retrieved 2020-08-18.
^ "Antiderivative and Indefinite Integration Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-18.

추가 정보

Karl R.의 고전적 실해석 입문.Stromberg; Wadsworth, 1981 (참조)
Dave L. Renfro의 파생상품의 연속성에 관한 역사 에세이

외부 링크

Wolfram Integrator - Mathematica와의 무료 온라인 심볼 통합
Mathical Assistant on Web - 심볼릭 계산 온라인.Maxima를 통해 사용자가 작은 단계(부품별 통합, 대체, 부분 분수, 공식 적용 등)로 통합할 수 있습니다.
WIMS 함수 계산기
Hyper Physics에 통합
칸 아카데미의 반파생과 부정 적분
Symbolab의 통합 계산기
MIT의 대파생성
SparkNotes의 통합 소개
Harvy Mudd College의 반파생물

[1] 반파생물은 일반 적분이라고도 하며 때로는 적분이라고도 합니다.후자의 용어는 일반적이며, 무한 적분(반대파생)뿐만 아니라 확실한 적분도 언급한다.적분이라는 단어가 추가 명세 없이 사용될 경우, 독자는 그것이 한정된 적분인지 아니면 무한 적분인지를 문맥에서 추론해야 한다.일부 저자는 함수의 무한 적분을 무한히 많은 가능한 반파생물의 집합으로 정의한다.다른 사람들은 임의로 선택된 그 집합의 요소로 정의합니다.이 기사는 후자의 접근법을 채택하고 있다.영어 A-Level 수학 교과서에서 완전 원초적 용어인 L. Bostock과 S를 찾을 수 있다.챈들러(1978) 순수 수학 1; 임의의 상수를 포함한 미분 방정식의 해는 일반해(때로는 완전한 원시해)라고 불립니다.

[2] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[3] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[:1-4] "4.9: Antiderivatives". Mathematics LibreTexts. 2017-04-27. Retrieved 2020-08-18.

[5] "Antiderivative and Indefinite Integration Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-18.

[Note 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 미적분학.
계산 전	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차이 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 섹트 경사 접선
한계	부정 형식 함수의 한계 단측 한계 시퀀스의 제한 근사순서 제한의 정의(약어, ))-한도의 정의
미적분	파생상품 이차 도함수 편도함수 차동 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합 체인 로피탈스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타 기술 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련 요금 정지점 제1도함수 검정 2차 도함수 극단값 정리 맥시멈과 미니마 기타 응용 프로그램 뉴턴의 방법 테일러의 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률 미분 방정식
적분학	반파생적 호 길이 리만 적분 기본 속성 통합 상수 미적분의 기본 정리 적분 기호로 구분 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각형의 오일러 접선 반각 치환 적분에서의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방법 셸 방식 적분 방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분	파생상품 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 인테그레이션 녹색의 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학 헤시안 행렬 야코비 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 편도함수 표면적분 볼륨 적분 상세 토픽 미분 형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분
시퀀스 및 시리즈	산술-기하수열 시리즈의 종류 교대로 이항 푸리에 기하학 고조파 인피니트 힘 마크로린 테일러 텔레스코핑 수렴 테스트 아벨스 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레즈 일체형 한계 비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 및 숫자	베르누이 수 e(역학적 상수) 지수 함수 자연 로그 스털링 근사
미적분의 역사	적절성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소수 미적분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션법 역학적 이론의 방법
리스트	차별화 규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선 함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리함수 적분 목록 로그 함수 적분 목록 합리적인 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 섹트 세컨트 큐브 제한 목록 적분 목록
기타 토픽	복소 미적분 등고선 적분 미분 지오메트리 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 슈타인메츠 고체

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