미터법 텐서(일반상대성이론)

일반 상대성 이론에서, 미터법 텐서(이 문맥에서 종종 단순히 미터법으로 축약됨)는 연구의 기본 대상이다.그것은 대략 뉴턴 ^{[clarification needed]}중력의 일반화로 생각될 수 있다.측정 기준은 시간, 거리, 부피, 곡률, 각도, 미래와 과거의 분리 등의 개념을 정의하는 데 사용되는 모든 기하학적 및 인과적 구조를 포착합니다.

표기법 및 표기법

이 문서에서는 대부분 플러스 $(++)$ 인 메트릭 서명을 사용합니다. 부호 규칙을 참조하십시오.중력 $상수$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 명시적으로 유지됩니다.이 기사는 반복된 지수를 자동으로 합산하는 아인슈타인 합산 규칙을 사용한다.

정의.

수학적으로, 시공간은 4차원 미분 $M$ 한 다양체M(\ $displaystyle$ M $)$ 으로 $M$ $나타내며$ , 메트릭 텐서는M $(\displaystyle$ M $g$ 에 $공변량$ 2도 대칭 텐서로 주어진다. 또한 메트릭은 서명과 함께축퇴되지 않아야 한다(\ $displaystyle$ g $)$ $-$ + + $+)$ 이러한 메트릭을 갖춘 $매니폴드$ M(\ $displaystyle$ M $)$ 은 $M$ 로렌츠식 매니폴드의 일종이다.

명시적으로 미터법 텐서는 $M$ 의 각 접선 공간(\ $displaystyle$ M $)$ 에서 $M$ 점마다 매끄러운(또는 미분 가능한) 방식으로 변화하는 대칭 쌍선형 형태이다. $M의$ 점 $x$ {\ $displaystyle$ m $M$ 에 $x$ 접선 $벡터$ u ${\$ $displaystyle$ v $}$ 와 $u$ $v$ v {\ $displaystyle$ v}가 2개 있을 경우 메트릭은u {\ $displaystyle$ u}와 $u$ v {\ $displaystyle$ v $}$ 에서 $v$ $u$ 되어 실수가 됩니다.

\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R}

이것은 일반적인 유클리드 공간의 점곱의 일반화이다.유클리드 공간과는 달리, 도트곱이 양의 확정인 경우, 메트릭은 무한하며 각 탄젠트 공간에 민코프스키 공간의 구조를 부여한다.

로컬 좌표 및 매트릭스 표현

물리학자들은 보통 로컬 좌표(즉 $,$ $M$ 의 일부 로컬 패치에 정의된 좌표 $)$ 에서 작업합니다. $x^{\mu }$ $x^{\mu }$ x $x^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ x $^{\mu}}($ $\mu$ 서 $μ$ {\displaystyle $\mu}$ 는 $\mu$ 0부터 3까지 이어지는 인덱스)에서 메트릭은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

g=g_{\mu \nu }squal^{\mu }\otimes dx^{\nu }

dx^{\mu }

d

dx^{\mu }

μ(\

displaystyle

dx

^{\mu})

는

dx^{\mu }

스칼라 좌표

x^{\mu }

x^{\mu }

μ(\

displaystyle

x

^{\mu

의 1폼그레이드입니다.따라서 측정지표는 좌표의 단일 형태 구배의 텐서 곱의 선형 조합이다.

g_{\mu \nu }

g_{\mu \nu }

g_{\mu \nu }

†

{\

displaystyle

g_{\mu \nu

}}은

g_{\mu \nu }

(는

g

)

시공간 매니폴드의 모든 포인트에서 정의되는 텐서 필드이므로) 16개의 실수값 함수 집합입니다.메트릭이 대칭이 되기 위해서는

\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }

10개의 독립 계수를 제공합니다.

로컬 좌표를 지정하거나 컨텍스트에서 이해하는 경우 메트릭은 g $g_{\mu \nu }$ ${\$ \ $displaystyle g_{\mu \nu$ $g_{\mu \nu }$ 를 가진 4 × $4$ 대칭 매트릭스로 쓸 수 있습니다. $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle g_{\mu \nu}}$ 의 $g_{{\mu \nu }}$ 비특이성은 이 행렬이 비단수적(즉, 소멸하지 않는 결정인자)임을 의미하며 $,$ g {\ $displaystyle$ g $}$ 의 $g$ 로렌츠 시그니처는 행렬에 하나의 음의 고유값과 3개의 양의 고유값이 있음을 의미합니다.물리학자들은 종종 이 매트릭스 또는 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle g_{\mu \nu$ }} 자체를 $g_{\mu \nu }$ 메트릭이라고 부릅니다(단, 추상 지수 표기 참조).

양 $dx^{\mu }$ $dx^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ dx $^{\mu}}$ 은 $dx^{\mu }$ (위의 같은 표기법의 1가지 형식과 혼동하지 말 것) 무한소 좌표 변위 4벡터의 성분으로 간주되므로 메트릭은 종종 간격이라고 불리는 무한소 선 요소의 불변 제곱을 결정합니다.간격은 종종 표시됩니다.

ds^{2}=g_{\mu \nu }display^{\mu }display^{\nu }

$ds^{2}$ $ds^{2}$ s $({$ ds $^{2})$ 는 $ds^{2}$ 시공간 인과구조에 대한 정보를 제공합니다. $ds^{2}<0$ $ds^{2}<0$ $ds^{2}$ $ds^{2}<0$ < $ds^{2}<0$ \ $displaystyle$ ds $ds^{2}$ $^$ { $ds^{2}$ $0$ 인 $ds^{2}$ 경우 간격은 timelike이며 $ds^{2}$ s $2의$ 절대값의 제곱근은 적절한 증분 시간입니다.거대한 물체에 의해 물리적으로 통과할 수 있는 것은 시간적인 간격뿐입니다. $ds^{2}=0$ s $ds^{2}=0$ $=$ {\ $style ds^{2$ }= $0$ 일 때 간격은 빛과 같으며 빛의 속도로 움직이는 (질량이 없는) 물체만 통과할 수 있습니다. $ds^{2}>0$ s $ds^{2}>0$ > $ds^{2}>0$ {\ $displaystyle$ $ds$ $^{$ 2} $ds^{2}$ > $0$ 의 $ds^{2}$ $ds^{2}>0$ 간격은 공백이며 d $ds^{2}$ 의 $ds^{2}$ 은 $증분$ 적정 길이로서 기능합니다.공간 간격은 서로의 광원뿔 외부에 있는 이벤트를 연결하기 때문에 통과할 수 없습니다.사건들은 서로의 광원뿔 안에 있는 경우에만 인과관계가 있을 수 있다.

측정지표의 구성요소는 지역 좌표계의 선택에 따라 달라집니다. $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ μ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ μ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ （ \ $displaystyle$ x^ { \ $mu$ } \ ） x^ x^ { \ $bar$ { \ $mu }$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ x change change of of of of of compon under compon under compon under under under under under underents under under

g_{\bar {\mu }}=par frac {\mu }}{\frac {\par x^{\mu }}}{\frac {\par x^{\far }}}{\par x^{\rho }}}}{\frac x^{\lambda }}}{\lambda } {\r}

특성.

메트릭 텐서는 지수 조작에 핵심적인 역할을 한다.지수 표기법에서 메트릭 $\mathbf {g}$ 의 $\mathbf {g}$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ {\ {\ $displaystyle$ $g_{\mu$ $\nu$ $}}$ 는 $g_{\mu \nu }$ 다른 텐서의 공변 성분과 반변 성분 간의 연결을 제공한다.공변 메트릭 텐서 계수 중 하나로 텐서의 역변 지수를 수축하면 지수를 낮추는 효과가 있다.

g_{\mu\nu}A^{\nu}=A_{\mu}

마찬가지로 반변치 측정계수는 지수를 상승시킨다.

g^{\mu\nu}A_{\nu}=A^{\mu}

지수를 올리고 내리는 이 속성을 메트릭 텐서 구성요소에 적용하는 것 자체가 속성으로 이어진다.

g_{\mu \nu }g^{\nu \nu \nu displayda }=\display_{\mu }^{\nu displayda }

대각선 메트릭(

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

ν

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

≠ {\

{\

\

displaystyle g_{\mu \nu

}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

0,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

; 즉, 기저 벡터가 서로 직교하는 메트릭 텐서의 공변 계수가 대응하는 00의 역수(

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

)임을

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

한다

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

-

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

,

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

=

(

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

) -

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

({

displaystyle g_{00

}=(

g^{00})^{-1}, g_{11

}=(

g^{11})^{-1

등

예

평탄한 시공간

로렌츠 다양체의 가장 단순한 예는 평면 시공간으로 $(t,x,y,z)$ 좌표 ( $(t,x,y,z)$ , $(t,x,y,z)$ , $(t,x,y,z)$ , $(t,x,y,z)$ ) { $style ( t$ , $x$ , $y$ , $z$ ) } 및 $(t,x,y,z)$ 메트릭을 R로 $지정$ 할⁴ 수 있습니다.

\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }display^{\mu }display ^{\nu }}displaystyle ^{\nu }}.}

이 좌표는 실제로 모든

R

을⁴ 포함한다는 점에 유의하십시오.평면공간측정법(또는 민코프스키측정법)은 종종 기호

θ

로 나타나며 특수상대성이론에 사용되는 측정법이다.위의 좌표에서

θ

의 행렬 표현은

\displaystyle \eta = pmatrix {2} - c^{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ end { pmatrix }

(대체 규칙에서는

좌표

t

\displaystyle

t를

t

\displaystyle

ct로 대체하고 민코프스키 공간 standard 표준 기준과

\eta

{\\displaystyle \eta

를 정의합니다

\eta

.)

구면 좌표 $(t,r,\theta ,\phi )$ , $(t,r,\theta ,\phi )$ , $(t,r,\theta ,\phi )$ , $(t,r,\theta ,\phi )$ ) $(t,r,\theta ,\phi )$ { $displaystyle ( t$ , $r$ , \ $theta$ , \ $phi$ ) } $(t,r,\theta ,\phi )$ 에서는 평면 공간 메트릭은 다음과 같이 됩니다.

ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}

어디에

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta ^{2}

는 2-sphere의 표준 메트릭입니다.

블랙홀 측정 기준

슈바르츠실트 측정법은 충전되지 않은, 회전하지 않는 블랙홀을 나타냅니다.또한 회전하는 블랙홀과 대전하는 블랙홀을 설명하는 지표도 있습니다.

슈바르츠실트 측정법

평면 공간 측정계 외에도 일반 상대성 이론에서 가장 중요한 측정계는 슈바르츠실트 측정계이며, 이는 다음과 같이 국부 좌표의 한 세트에 주어질 수 있다.

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2})GM}{rc^{2}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac{2})GM}{rc^{2}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}

여기서 d

d\Omega ^{2}

2

d\Omega ^{2}

(\

displaystyle

d

\Omega ^{2})

는

d\Omega ^{2}

2-sphere의 표준 메트릭입니다.여기서 G

(디스플레이

스타일 G

)

는

G

중력 상수,

(디스플레이 스타일

M

)

은

M

질량 치수에 따른 상수입니다.그 유래는 여기서 찾을 수 있다.M(\

displaystyle

M

)

이

M

0에 가까워지면 슈바르츠실트

M

은 민코프스키 메트릭에 접근합니다(정의되지 않은 원점은 제외).마찬가지로 r

\displaystyle

r이

r

무한대로

되면

슈바르츠실트 메트릭은 민코프스키 메트릭에 접근합니다.

좌표 포함

\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta,\varphi),},

메트릭을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

g_{\mu \nu}=syslog {bmatrix}-\left(1-{\frac {2})GM}{rc^{2}}\right)&0&0\0&\left(1-{\frac{2})GM}{rc^{2}}\right)^{-1}&0\0\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin^{2}\theta\end{bmatrix},

슈바르츠실트 측정법에 대해 몇 가지 좌표계가 고안되었다.에딩턴-핀켈슈타인 좌표, 굴스트랑-페인레베 좌표, 크루스칼-제케레스 좌표 및 레마트레 좌표.

회전 및 대전 블랙홀

슈바르츠실트 해는 우주에서 회전하지 않고 대전되지 않는 물체를 가정한다.전하를 설명하기 위해, 미터법은 곡면 시공간에서 맥스웰 방정식뿐만 아니라 이전과 같은 아인슈타인 장 방정식을 만족시켜야 합니다.하전된 비회전 질량은 Reissner-Nordström 메트릭으로 설명된다.

회전하는 블랙홀은 커 메트릭과 커-뉴먼 ^{[further explanation needed]}메트릭으로 설명된다.

기타 지표

기타 주목할 만한 지표는 다음과 같습니다.

알쿠비에르 미터법
de Sitter/anti-de Sitter 메트릭,
Friedmann-Lematretr-Robertson-Walker 미터법,
등방 좌표,
레마슈트르Tolman 미터법,
페레스 메트릭,
린들러 좌표,
와일-루이스-파파페트로우 좌표,
괴델 미터법

그들 중 일부는 사건의 지평선이 없거나 중력 특이점이 없을 수 있다.

용량

$미터법$ g는 (부호까지) 자연 체적 형태를 유도하며, 이는 다지관의 영역에 걸쳐 적분하는 데 사용될 수 있다.다지관에 대한 $x^{\mu }$ $x^{\mu }$ x $x^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ x^{\ $mu}}}$ 이 $x^\mu$ (가) 지정되면 볼륨 형식을 쓸 수 있습니다.

\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {rt {left \det(g_{\mu \nu }}\right }}, right }}, right dx^{0}\display dx^{2}\dxdxdxdx dx {3}

\det(g_{\mu \nu })

서

\det(g_{\mu \nu })

det (

\det(g_{\mu \nu })

μ

\det(g_{\mu \nu })

δ

\det(g_{\mu \nu })

) {

displaystyle \det(g_{\mu \nu }}}

은

\det(g_{\mu \nu })

주어진 좌표계에 대한 메트릭 텐서의 성분 행렬 행렬식이다.

곡률

$미터법$ g(\ $displaystyle$ g $)$ 는 $g$ 시공간 곡률을 완전히 결정합니다.리만 기하학의 기본 정리에 따르면, 어떤 반 리만 다양체에서도 미터법과 비토션으로 양립할 수 있는 고유한 연결θ가 존재한다.이 연결을 Levi-Civita 연결이라고 합니다.이 연결의 크리스토펠 기호는 x μ $x^{\mu }$ {\ $displaystyle$ x $^{\mu$ }}의 $x^\mu$ $x^{\mu }$ 좌표계 편도함수 측면에서 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \Gamma ^{\gamma }_{\mu \nu }=g^{\gambda \rho }\leftfrac {\frac g_{\rho \mu }}+{\frac {\frac g_{\rho }\rho } {\rho } } } {{\rho } } } } } } } } } } } }

(여기서 쉼표는 부분파생물을 나타냅니다).

시공간 곡률은 Levi-Civita 연결 θ로 정의된 리만 곡률 텐서에 의해 주어진다.로컬 좌표에서 이 텐서는 다음과 같이 주어진다.

{R^{\rho}}_{\mu \nu }=\gamma ^{\rho}_{\nu \nu }-\gamma ^{\rho }-\gamma ^{\r}_{\nu

그러면 곡률은 순전히 $미터법$ g와그 $g$ 도함수로 표현될 수 $있다$ .

아인슈타인의 방정식

일반 상대성 이론의 핵심 아이디어 중 하나는 미터법(및 시공간의 관련 기하학)이 시공간의 물질과 에너지 함량에 의해 결정된다는 것입니다.아인슈타인의 장 방정식:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}=black {8\pi G}{c^{4}},T_{\mu \nu }

여기서 리치 곡률 텐서는

{displaystyle R_{\nu \rho}\{stackrel {mathrm {def} {=}}\{\mu }}_{\nu \mu \rho }}

그리고 스칼라 곡률

R\{stackrel {def}{=}}\g^{\mu \nu}R_{\mu \nu}

메트릭(및 관련 곡률 텐서)을 응력-에너지

T_{\mu \nu }

T_{\mu \nu }

μ

T_{\mu \nu }

{\

displaystyle T_{\mu \nu

T_{\mu \nu }

에 관련짓는다.이 텐서 방정식은 메트릭 성분에 대한 복잡한 비선형 편미분 방정식 세트입니다.아인슈타인의 장 방정식의 정확한 해법을 찾기는 매우 어렵다.

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목차

표기법 및 표기법

정의.

로컬 좌표 및 매트릭스 표현

특성.