공분산 함수

확률 이론과 통계에서 공분산은 두 변수가 함께 얼마나 변화하는지 측정하는 척도로, 공분산 함수, 즉 커널은 랜덤 변수 프로세스나 필드의 공간적 또는 시간적 공분산을 설명한다.도메인 D의 랜덤 필드 또는 확률적 공정 Z(x)의 경우 공분산 함수 C(x, y)는 다음 두 위치 x와 y에서 랜덤 필드 값의 공분산을 제공한다.

$C(x,y):=\operatorname {cov}(Z(x), Z(y)=\mathb {E} \좌측[\{Z(x)-\mathb {E}[Z(x)]\}\cdot \{Z(y)-\mathb {E}[Z(y)]\}\right].\,}$

동일한 C(x, y)를 두 가지 예: 시계열(x와 y가 공간보다는 시간의 위치를 가리키는 것을 제외하고 정확하게 동일한 개념을 나타내는 것)과 다변량 랜덤 필드(두 변수 사이의 교차 공분산과 반대로 그 자체와 변수의 공분산을 참조하는 것)에서 자기공분산함수라고 한다.다른 위치에서 Cov(Z(x₁), Y(x₂)).^[1]

아드미실리티

위치 x₁, x₂, …, x_N ∈ D 모든 선형 조합의 분산

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{{N}w_{i}Z(x_{i}})}$

으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {var}(X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{n}w_{n}C(x_{i},x_{j}}w_{j}.}$

함수는 이 분산이 N과 가중치 w₁, …, w의_N 모든 가능한 선택에 대해 음이 아닌 경우에만^[2] 유효한 공분산 함수로, 이 특성을 가진 함수를 양의 세미데마인이트라고 한다.

위치추적성을 통한 단순화

약하게 정지된 무작위 필드의 경우, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle C(x_{i},x_{j}}=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$

모든 지연 h에 대해 공분산 함수는 단분산 함수로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$

공변량(covariogram)과 공분산함수라고도 한다.암묵적으로 C(x_i, x_j)는 C_s(h)에서 다음 방법으로 계산할 수 있다.

$[\displaystyle C(x,y)=C_{s}(y-x)]\,}$

공분산 함수의 이 단일론 버전의 양적인 정의는 보치너의 정리로 확인할 수 있다.^[2]

공분산 함수의 모수 패밀리

단순 정지 파라메트릭 공분산 함수는 "exponential 공분산 함수"

${\디스플레이 스타일 C(d)=\exp(-d/V)}$

여기서 V는 스케일링 파라미터이고, d = d(x,y)는 두 점 사이의 거리입니다.지수 공분산 함수를 갖는 가우스 공정의 표본 경로는 평탄하지 않다."제곱 지수 공분산 함수"

${\d(d)=\exp(-(d/V)^{2}}$

부드러운 샘플 경로를 갖는 고정 공분산 함수.

Matérn 공분산 함수와 합리적인 2차 공분산 함수는 고정 공분산 함수의 두 모수 제품군이다.Matérn 계열은 지수 공분산 함수와 제곱 지수 공분산 함수를 특별한 경우에 포함한다.

참고 항목

• 변수
• 랜덤 필드
• 확률적 과정
• 크리깅
• 자기 상관 함수
• 상관함수
• 양확정 커널

참조