아폴로니우스 문제의 특례

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유클리드 기하학에서 아폴로니우스의 문제는 주어진 세 개의 원과 접하는 모든 원들을 구성하는 것이다. 아폴로니우스 문제의 특수한 경우는 주어진 원 중 적어도 하나 이상이 점이나 선, 즉 0이나 무한 반경의 원인 경우다. 아폴로니우스 문제의 9가지 유형은 다음과 같은 원들을 형성하는 것이다.

1. 3점(표시가 된 PPP, 일반적으로 1개 솔루션)
2. 3개 라인(표시된 LLL, 일반적으로 4개 솔루션)
3. 선 1개 및 점 2개(LPP, 일반적으로 2개 솔루션)
4. 두 개의 선과 한 개의 점(LLP, 일반적으로 두 개의 솔루션)
5. 원 1개 및 점 2개(CPP, 일반적으로 2개 솔루션으로 표시됨)
6. 원, 선, 점(CLP로 표시됨, 일반적으로 4개 솔루션)
7. 원 2개 및 점(CCP, 일반적으로 4개 솔루션으로 표시됨)
8. 원 1개 및 선 2개(CLL로 표시됨, 일반적으로 8개 솔루션)
9. 두 개의 원과 한 개의 선(CCL로 표시됨, 일반적으로 8개의 솔루션)

다른 유형의 제한 사례에서, 주어진 세 가지 기하학적 요소는 두 개의 평행선과 하나의 원에 접하는 원을 구성하는 것과 같은 특별한 배치를 가질 수 있다.

역사소개

수학의 대부분의 분야처럼, 유클리드 기하학은 최소의 가정으로부터 일반적인 진리의 증거와 관련이 있다. 예를 들어, 간단한 증거는 적어도 이등변 삼각형의 두 각도가 같다는 것을 보여줄 것이다. 유클리드 기하학에서 중요한 유형의 증명 중 하나는 기하학적 물체가 나침반과 표시되지 않은 직선 가장자리로 구성될 수 있다는 것을 보여주는 것이다; 물체는 (iff) (제곱근보다 높지 않은 것을 취했을 때)에만 구성될 수 있다. 따라서, 물체를 나침반과 직선자로 구성할 수 있는지 그리고 만약 그렇다면, 어떻게 구성할 수 있는지를 결정하는 것이 중요하다.

유클리드는 나침반과 직선자를 가진 수많은 건축물을 개발했다. 예로는 오각형, 육각형 등의 일반 다각형, 주어진 점을 통과하는 다른 다각형과 평행한 선 등이 있다. 일부 켈트 매듭뿐만 아니라 고딕 성당의 많은 장미 창문들은 유클리드 건축물만을 사용하여 설계될 수 있다. 그러나 헵타곤과 삼각형 각도를 포함한 일부 기하학적 구조는 그러한 도구로는 불가능하다.

아폴로니우스는 많은 구성, 즉 "요소"가 점, 선 또는 원이 될 수 있는 세 가지 기하학적 원소에 동시에 접하는 원을 찾는 데 기여했다.

유클리드 건축의 규칙

유클리드 건축에서는 다음 5가지 연산이 허용된다.

1. 두 점을 통과하여 선을 그어라.
2. 지정된 중심이 있는 점을 통해 원을 그리십시오.
3. 두 선의 교차점 찾기
4. 두 원의 교차점 찾기
5. 선과 원의 교차점 찾기

기하학적 구조에서 초기 원소는 주어진 점, 주어진 선 또는 주어진 원과 같이 "기븐"이라고 불린다.

예제 1: 수직 이등분자

두 점 사이에 선 세그먼트의 수직 이등분선을 구성하려면 각각 끝점을 중심으로 다른 끝점을 통과하는 두 개의 원이 필요하다(작동 2) 이 두 원(작동 4)의 교차점은 엔드포인트와 동일하다. 이들을 통과하는 선(작동 1)은 수직 이등분선이다.

예제 2: 각도 이등분자

주어진 두 광선^{[clarification needed]} 사이의 각도를 이등분하는 선을 생성하려면 두 선(2)의 교차점 P를 중심으로 임의 반지름의 원이 필요하다. 주어진 두 선(5)을 가진 이 원의 교차점은 T1과 T2이다. T1과 T2를 중심으로 같은 반경의 두 원은 P와 Q 지점에서 교차한다. P와 Q(1)를 통과하는 선은 각도 이등분선이다. 광선은 하나의 각 이등분선을 가지고 있고, 선은 서로 수직인 두 개의 각을 가지고 있다.

예비 결과

아폴로니우스 문제의 특수한 경우를 해결하는 데는 몇 가지 기본적인 결과가 도움이 된다. 선과 점을 각각 무한히 크고 무한히 작은 반지름의 원으로 생각할 수 있다는 점에 유의하십시오.

• 원은 점을 통과하면 점에 접하고, 단일 점 P에서 교차하거나 선이 원의 중심에서 P까지 그려진 반경에 수직인 경우 선에 접한다.
• 주어진 두 점에 접하는 원은 수직 이등분선에 놓여야 한다.
• 두 개의 주어진 선에 접하는 원은 반드시 각도 이등분선에 놓여 있어야 한다.
• 주어진 점에서 원의 접선은 원의 중심과 주어진 점 사이의 중간점을 중심으로 반원을 그린다.
• 점의 검정력과 조화 평균^{[clarification needed]}
• 두 원의 급진적 축은 동일한 접선, 또는 보다 일반적으로 동등한 힘의 점 집합이다.
• 원은 선으로, 원은 원으로 반전될 수 있다.^{[clarification needed]}
• 두 원이 내부적으로 접선된 경우 반지름을 같은 양만큼 늘리거나 줄이면 두 원은 그대로 남는다. 반대로 두 원이 외부적으로 접선된 경우 두 원은 남아서 반경이 같은 양으로 바뀌면 한 원은 증가하고 다른 원은 감소한다.

솔루션 유형

유형 1: 3점

PPP 문제는 일반적으로 단일 해결책을 가지고 있다. 위와 같이 원이 주어진 두 점 P와₁ P를₂ 통과하면 그 중심이 두 점의 수직 이등분선 어딘가에 놓여 있어야 한다. 만약 해결책이 셋 준 점 P1, P2및 P3를 통과한다 그러므로, 그 중심 P1의 수직 bisectors P2에 ¯{\displaystyle{\overline{\mathbf{P}_{1}\mathbf{P}_{2}}}}, P1P3¯{\displaystyle{\overline{\mathbf{P}_{1}\mathbf{P}_{3}}}}P. 거두어야 한다${\displaystyle \stackrel{}{2_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{\mathbf{}}_{}}}$ $"{\$ 이 이 이등분자들 중 적어도 두 개는 교차해야 하며, 이들의 교차점은 솔루션 원의 중심이다. 솔루션 원의 반지름은 해당 중심에서 주어진 세 점 중 하나까지의 거리다.

유형 2: 세 줄

LLL 문제는 일반적으로 4가지 해결책을 제공한다. 위와 같이 원이 주어진 두 선에 접하면 그 중심은 두 선 사이의 각도를 이등분하는 두 선 중 하나에 놓여 있어야 한다. 따라서 원이 주어진 선 L₁, L, L에₂₃ 접하는 경우, 중심 C는 주어진 선 세 개의 이등분선 교차점에 위치해야 한다. 일반적으로 그런 점이 네 가지 있는데, LLL 아폴로니우스 문제에 대해 네 가지 다른 해결책을 제시한다. 각 용액의 반지름은 주어진 선 사이의 3개의 교차점 P 중 하나를 선택하여 행할 수 있는 접선 T의 점을 찾고, C와 P 사이의 거리와 동일한 지름의 C와 P의 중간점을 중심으로 원을 그려서 결정된다. 주어진 선과 교차하는 원의 교차점은 접선의 두 지점이다.

유형 3: 점 하나, 선 두 개

PL 문제에는 일반적으로 두 가지 해결책이 있다. 위와 같이 원이 주어진 두 선에 접하면 그 중심은 두 선 사이의 각도를 이등분하는 두 선 중 하나에 놓여 있어야 한다. 대칭에 의해, 그러한 원이 주어진 점 P를 통과할 경우, 그것은 또한 각도 이등분자에 대한 P의 "거울 이미지"인 점 Q를 통과해야 한다. 두 솔루션 서클은 P와 Q를 모두 통과하며, 이들의 급진적인 축은 이 두 지점을 연결하는 선이다. 급진 축이 주어진 두 선 중 하나를 교차하는 지점 G를 고려한다. 급진축의 모든 지점은 각 원과 비교하여 동일한 힘을 가지므로, $G{\displaystyle \stackrel{}{{\mathbf{}}_{}}}$ T${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$1의 ${\$와 $G{\displaystyle \stackrel{}{{\mathbf{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\mathbf{T}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$거리${\$}는$$ 솔루션 접선 T와₁₂ 서로 동일하다.

${\displaystyle {\overline {\mathbf {GP} }}\cdot {\overline {\mathbf {GQ} }}={\overline {\mathbf {GT} _{1}}}\cdot {\overline {\mathbf {GT} _{1}}}={\overline {\mathbf {GT} _{2}}}\cdot {\overline {\mathbf {GT} _{2}}}}$

Thus, the distances ${\displaystyle {\overline {\mathbf {GT} _{1-2}}}}$ are both equal to the geometric mean of ${\displaystyle {\overline {\mathbf {GP} }}}$ and ${\displaystyle {\overline {\mathbf {GQ} }}}$. From G and this distance, the tangent points T₁ and T₂ can be found. 그러면 두 솔루션 원은 각각 3점(P, Q, T)과 (P, Q, T₁₂)을 통과하는 원이다.

유형 4: 두 점, 한 줄

PPL 문제에는 일반적으로 2가지 해결책이 있다. 주어진 점 P와 Q를 통해 그려진 선 m이 주어진 선 l과 평행인 경우, l를 가진 원의 접선점 T는 l와 $P{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{Q}}$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$수직 이등분선${\$의 교차점에 위치한다. 그 경우에 유일한 해결 원은 3점 P, Q, T를 통과하는 원이다.

만약 선 m이 주어진 선 l에 평행하지 않으면, 그것은 G 지점에서 l를 교차한다. 점 정리의 힘으로 G에서 접선점 T까지의 거리는 기하 평균과 같아야 한다.

${\displaystyle {\mathbf {GT}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\mathbf {GP}}}}}}{\mathbf {GP}}}}}}$

주어진 선 L의 두 점은 G 지점으로부터$$ $G{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{T}}}$의${\$ 거리에 위치하며, T와₁ T로₂ 나타낼 수 있다. 두 솔루션 서클은 각각 3점(P, Q, T₁)과 (P, Q, T₂)을 통과하는 서클이다.

나침반 및 직선 구조

P와 Q를 통과하는 선이 주어진 선 l에 평행하지 않은 한 선 문제인 두 점의 두 원은 나침반과 직선 가장자리로 구성될 수 있다:

• 주어진 점 P와 Q를 통하여 선 m을 그린다.
• 점 G는 선 l과 m이 교차하는 곳이다.
• PQ를 직경으로 하는 C 원을 그린다.
• G에서 C 원으로 접선 중 하나를 그린다.
• A 지점은 접선과 원이 닿는 곳이다.
• 중심 G에서 A까지로 D 원을 그리시오.
• 원 D는 T1과 T2 지점에서 선 l를 절단한다.
• 필요한 원 중 하나는 P, Q, T1을 통과하는 원이다.
• 다른 원은 P, Q, T2를 통과하는 원이다.

5종류: 원 1개, 점 2개

CPP 문제에는 일반적으로 두 가지 해결책이 있다. 두 번째 점인 Q를 통과하는 주어진 점 P를 중심으로 원을 생각해보자. 솔루션 원이 P를 통과해야 하기 때문에, 이 원의 역전은 솔루션 원을 선 람다로 변환한다. 같은 역전은 Q를 그 자체로 변환하고, (일반적으로) 주어진 원 C를 다른 원 c로 변환한다. 따라서 Q를 통과하여 c에 접하는 솔루션 라인을 찾는 것이 문제가 되고, 위에서 해결된 해결책은 두 개의 라인이 있다. 다시 뒤집으면 원래 문제의 두 개의 해당 솔루션 원이 생성된다.

유형 6: 원, 선, 점 하나

CLP 문제에는 일반적으로 4가지 해결책이 있다. 이 특수한 경우의 해법은 CPP 아폴로니우스 해법과 유사하다. 주어진 점 P를 중심으로 원을 그리십시오. 솔루션 원이 P를 통과해야 하므로, 이 원의^{[clarification needed]} 역전은 솔루션 원을 선 람다로 변환한다. 일반적으로 같은 역행은 주어진 선 L과 주어진 원 C를 두 개의₁ 새로운 원인 c와 c로₂ 변형시킨다. 따라서 위에서 해결된 두 개의 반전 원에 접하는 해결선을 찾는 것이 문제가 된다. 그런 선은 네 가지인데, 역행은 아폴로니우스 문제의 네 가지 해결 동그라미로 변모한다.

7타입: 원 2개, 1점

중앙청산소 문제는 일반적으로 4가지 해결책이 있다. 이 특별한 경우의 해결책은 CPP의 해결방법과 유사하다. 주어진 점 P를 중심으로 원을 그리십시오. 솔루션 원이 P를 통과해야 하므로, 이 원의 역전은 솔루션 원을 선 람다로 변환한다. 일반적으로 같은 역행은 주어진 원 C와₁ C를₂ 두 개의₁ 새로운₂ 원, c와 c로 변형시킨다. 따라서 위에서 해결된 두 개의 반전 원에 접하는 해결선을 찾는 것이 문제가 된다. 그런 선은 네 가지인데, 재반전은 그것을 원래의 아폴로니우스 문제의 네 가지 해결 원리로 변형시킨다.

8종류: 원 하나, 선 두 개

CLL 문제에는 일반적으로 8가지 해결책이 있다. 이 특별한 경우는 스케일링을 이용하여 가장 쉽게 해결된다. 주어진 원은 한 점으로 축소되고, 용액 원의 반지름은 같은 양(내부 탄젠트 용액일 경우)으로 감소하거나 증가(외부 탄젠트 원일 경우)한다. 용액 원을 반지름으로 증가시키느냐 감소시키느냐에 따라 주어진 두 선은 용액 원의 중심이 어느 사분면에 떨어지는가에 따라 동일한 양만큼 자신과 평행하게 변위된다. 주어진 원을 한 점으로 축소하면 위에서 해결된 PLL 문제로 문제를 줄일 수 있다. 일반적으로 이러한 솔루션은 사분면당 2개로 총 8개의 솔루션을 제공한다.

유형 9: 원 두 개, 한 줄

CCL 문제에는 일반적으로 8가지 해결책이 있다. 이 특별한 경우의 해결책은 CLL과 비슷하다. 작은 원은 한 점으로 축소되는 한편, 주어진 큰 원과 어떤 용액 원의 반지름을 조정하고, 작은 원과 내부 또는 외부적으로 접선되는지에 따라 그 선은 그 자체와 평행하게 치환된다. 이것은 문제를 CLP로 줄인다. 각 CLP 문제에는 위에서 설명한 바와 같이 네 가지 해결책이 있으며, 솔루션 원이 작은 원과 내부 또는 외부적으로 접선되는지에 따라 그러한 두 가지 문제가 있다.

해결책이 없는 특수 사례

주어진 원이 내포된 경우, 즉 한 원이 특정 원 안에 완전히 둘러싸여 있고 나머지 원이 완전히 배제된 경우 아폴로니우스 문제는 불가능하다. 이것은 어떤 해법 원이라도 그 접선에서 내부 원까지의 접선에서 바깥 원과의 접선으로 이동하기 위해서는 중간 원 위를 건너야 하기 때문이다. 이 일반적인 결과는 주어진 원을 점(반경 0)으로 축소하거나 직선으로 확장(무한반경)하는 몇 가지 특별한 경우를 가진다. 예를 들어, 두 원이 선의 반대편에 있는 경우, 어떤 해결책 원이 한 원의 접선 지점에서 다른 원의 접선 지점으로 이동하려면 비 접선적으로 주어진 선을 넘어야 하기 때문에 CCL 문제는 해결책이 0이다.

참고 항목

• 아폴로니우스의 문제
• 나침반 및 직선 구조

참조

• Altshiller-Court N (1952). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd edition, revised and enlarged ed.). New York: Barnes and Noble. pp. 222–227.
• Benjamin Alvord (1855) Google Books의 서클과 스피어스의 접선성, 스미스소니언 기고 제8권.
• Bruen A, Fisher JC, Wilker JB (1983). "Apollonius by Inversion". Mathematics Magazine. 56 (2): 97–103. doi:10.2307/2690380. JSTOR 2690380.
• Hartshorne R (2000). Geometry:Euclid and beyond. New York: Springer Verlag. pp. 346–355. ISBN 0-387-98650-2.