아폴로니우스 문제

유클리드 평면 기하학에서 아폴로니우스의 문제는 평면에서 주어진 세 개의 원에 접하는 원을 만드는 것입니다(그림 1).페르가의 아폴로니우스 (기원전 262년경–기원전 190년경)는 그의 작품 πααα ( (Epaphai, "Tangencies")에서 이 유명한 문제를 제기하고 해결했다; 이 작품은 사라졌지만, 알렉산드리아의 파푸스에 의해 그의 결과에 대한 4세기 보고서에는 남아있었다.주어진 세 개의 원은 일반적으로 접하는 8개의 서로 다른 원을 가지고 있습니다(그림 2). 주어진 세 개의 원을 두 개의 서브셋으로 나누는 각 방법의 해결책 쌍입니다(한 세트의 카디널리티 3을 두 부분으로 나누는 4가지 방법이 있습니다).

16세기에 Adrian van Roomen은 교차하는 쌍곡선을 사용하여 이 문제를 해결했지만, 이 해법은 직선과 나침반 구조만을 사용하지 않는다.프랑수아 비에트는 주어진 세 개의 원 중 어느 것이든 0 반지름(점)으로 축소되거나 무한 반지름(선)으로 확장될 수 있다는 제한 사례를 이용하여 이러한 해결책을 찾아냈다.보다 복잡한 문제를 해결하기 위해 보다 단순한 제한 사례를 사용하는 비에트의 접근법은 아폴로니우스의 방법을 그럴싸하게 재구성한 것으로 여겨진다.반 로멘의 방법은 아이작 뉴턴에 의해 단순화되었는데, 그는 아폴로니우스의 문제가 알려진 세 지점까지의 거리의 차이에서 위치를 찾는 것과 같다는 것을 보여주었다.이것은 LORAN과 같은 내비게이션 및 포지셔닝 시스템에 적용됩니다.

후에 수학자들은 기하학적 문제를 대수 방정식으로 바꾸는 대수적 방법을 도입했다.이 방법들은 아폴로니우스 문제에 내재된 대칭을 이용하여 단순화되었다. 예를 들어, 솔루션 원은 일반적으로 쌍으로 발생하며, 다른 해는 제외되는 주어진 원을 감싸고 있다(그림 2).조셉 디아즈 게르곤은 이 대칭을 우아한 직선과 나침반 해법을 제공하기 위해 사용한 반면, 다른 수학자들은 주어진 원의 구성을 단순화하기 위해 원에서의 반사와 같은 기하학적 변환을 사용했다.이러한 발전은 (거짓말 구 기하학을 사용하여) 대수적 방법에 대한 기하학적 설정 및 주어진 원의 33가지 본질적으로 다른 구성에 따른 해 분류를 제공한다.

아폴로니우스의 문제는 훨씬 더 많은 연구를 자극했다.4개의 주어진 구에 접하는 구를 구성하는 등 3차원에 대한 일반화가 연구되었습니다.세 개의 서로 접하는 원의 구성이 특히 주목을 받고 있습니다.르네 데카르트는 해원의 반지름과 현재 데카르트의 정리라고 알려진 주어진 원의 반지름에 관한 공식을 제공했습니다.이 경우 아폴로니우스의 문제를 반복적으로 해결하면 아폴로니아 가스켓으로 이어지는데, 이것은 인쇄에 기술된 최초의 프랙탈 중 하나이며 포드 원과 하디-리틀우드 원 방법을 통한 수 이론에서 중요하다.

문제의 기술

아폴로니우스의 문제의 일반적인 진술은 평면에서 주어진 세 개의 물체에 접하는 하나 이상의 원을 만드는 것이다. 여기서 물체는 선, 점 또는 모든 ^[1][2][3][4]크기의 원일 수 있다.이러한 오브젝트는 임의의 방법으로 배열되어 서로 교차할 수 있습니다.다만, 일반적으로는 다른 것으로 간주됩니다.즉, 일치하지 않습니다.아폴로니우스의 문제에 대한 해법은 아폴로니우스와 관련된 다른 종류의 원에도 사용되지만, 때때로 아폴로니우스 원이라고 불린다.

접선의 속성은 다음과 같이 정의됩니다.첫째, 점, 선 또는 원은 그 자체에 접하는 것으로 가정된다. 따라서, 주어진 원이 다른 두 개의 주어진 물체에 이미 접하는 경우, 그것은 아폴로니우스의 문제에 대한 해결책으로 간주된다.두 개의 서로 다른 기하학적 물체가 공통점을 가지고 있는 경우 교차한다고 합니다.정의상 점은 교차하는 경우 원이나 선에 접선합니다. 즉, 점 위에 있는 경우 두 개의 개별 점이 접선될 수 없습니다.교차점에서 선이나 원 사이의 각도가 0이면 접선이라고 합니다.교차점은 접선점 또는 접선점이라고 불립니다.('접선'이라는 단어는 라틴어 현재 분사인 tanges에서 유래하여 '접선'을 의미합니다.)실제로 한 점에서만 교차하는 경우에는 두 개의 뚜렷한 원이 접선하고, 0 또는 두 점에서 교차하는 경우에는 접선이 아닙니다.선과 원에 대해서도 마찬가지입니다.두 개의 평행선은 무한대 반전 지오메트리의 점에서 접선으로 간주할 수 있지만 평면에서 두 개의 구별되는 선은 접선으로 간주할 수 없습니다(아래 ^[5][6]참조).

솔루션 원은 각 주어진 원에 내부 또는 외부 접선할 수 있습니다.외부 접선이란 접점에서 두 원이 서로 구부러지는 접선입니다.이 접선은 접선의 반대쪽에 있으며 서로 제외됩니다.중심 사이의 거리는 반지름의 합과 같다.반면, 내부 접선이란 두 원이 접점에서 동일한 방식으로 곡선을 그리고 두 원이 접선의 같은 쪽에 있고 한 원이 다른 원을 감싸는 것입니다.이 경우 중심 사이의 거리는 반지름의 차이와 같습니다.그림 1에서 분홍색 솔루션 원은 오른쪽의 중간 크기의 검은색 원에 내부적으로 접하는 반면 왼쪽의 가장 작고 큰 원에 외부적으로 접하는 것입니다.

아폴로니우스의 문제는 또한 주어진 3개의 점과의 거리 차이가 3개의 알려진 값과 같도록 하나 이상의 점을 찾는 문제로 공식화될 수 있다.반지름_s r의 솔루션 원과 주어진 반지름 r₁, r₂ 및₃ r의 세 개의 원을 고려합니다.솔루션 원이 주어진 세 개의 원에 모두 외부적으로 접하는 경우, 솔루션 원의 중심과 주어진 원의 중심 사이의 거리는 각각₁ d = r₁ + r_s, d₂ = r₂ + r_s 및 d₃ = r₃ + r입니다_s.따라서 이러한 거리의 차이는 d - d₂ = r₁ - r과₂ 같은₁ 상수이며, 이들은 주어진 원의 알려진 반지름에만 의존하며, 상쇄되는 솔루션 원의 반지름_s r에는 의존하지 않는다.아폴로니우스 문제의 이 두 번째 공식은 거리들의 차이를 거리들의 합으로 변화시킴으로써 (중심-중심 거리가 반지름의 차이와 같음) 내부적으로 접하는 솔루션 원으로 일반화 될 수 있다. 그래서 솔루션-원 반지름_s r은 다시 상쇄된다.중심 거리의 관점에서 재공식은 Adrian van Roomen과 Isaac Newton의 아래 해법, 그리고 거리의 차이에서 세 개의 알려진 점까지의 위치를 찾는 작업인 쌍곡 위치 결정 또는 삼변측정에서도 유용하다.예를 들어, LORAN과 같은 내비게이션 시스템은 3개의 고정 위치로부터의 신호의 도착 시간 차이에서 수신자의 위치를 식별하며,^[7][8] 이러한 송신기와의 거리 차이에 대응합니다.

역사

"모든 것 중에서 가장 유명한"^[3] 기하학 문제로 불려온 아폴로니우스의 ^[9][10]문제를 해결하기 위해 기하학과 대수학의 풍부한 레퍼토리가 개발되었습니다.페르가의 아폴로니우스의 원래 접근법은 사라졌지만, 알렉산드리아의 ^[11][12]파푸스가 묘사한 단서를 바탕으로 프랑수아 비에트와 다른 사람들에 의해 재구성이 제안되었다.첫 번째 새로운 솔루션 방법은 Adrian van Roomen에 의해 1596년에 발표되었습니다.Adrian van Roomen은 솔루션 원의 중심을 두 개의 하이퍼볼라의 교차점으로 ^[13][14]식별했습니다.밴 로멘의 방법은 1687년 아이작 뉴턴에 의해 그의 ^[15][16]프린키피아에서 그리고 ^[17]1881년 존 케이시에 의해 개선되었다.

아폴로니우스의 문제를 해결하는 데는 성공했지만, 반 로멘의 방법에는 단점이 있다.고전 유클리드 기하학에서 중요한 속성은 나침반과 ^[18]직선만을 사용하여 문제를 푸는 능력이다.각도를 3등분하는 등, 이러한 툴만을 사용해서는 불가능한 것이 많습니다.그러나 이러한 "불가능한" 많은 문제는 쌍곡선, 타원, 포물선(원뿔 단면)과 같은 곡선을 교차시킴으로써 해결할 수 있다.예를 들어, 큐브를 두 배로 하는 것(특정 큐브의 두 배 부피의 큐브를 만드는 문제)은 직선과 나침반만으로 할 수 없지만, 메네크무스는 두 ^[19]포물선의 교차점을 이용하면 문제를 해결할 수 있다는 것을 보여주었다.따라서 van Roomen의 솔루션(두 개의 하이퍼볼라의 교차를 사용)은 문제가 직선 모서리와 나침반의 속성을 충족하는지 여부를 판단하지 못했습니다.

반 로멘의 친구 프랑수아 비에트는 처음부터 반 로멘에게 아폴로니우스의 문제를 연구하라고 종용했던 나침반과 ^[20]직각만을 사용하는 방법을 개발했다.비에트의 해결책 이전에, 레지오몬타누스는 아폴로니우스의 문제가 직각과 ^[21]나침반으로 해결될 수 있을지 의심했다.비에트는 먼저 아폴로니우스의 문제의 간단한 특수 사례들을 풀었는데, 예를 들어, 주어진 점들이 구별된다면 하나의 해답만 갖는 세 개의 점을 통과하는 원을 찾는 것과 같은 것들이었다. 그리고 나서 그는 더 복잡한 특수 사례들을 풀어나갔고, 어떤 경우에는 주어진 ^[1]원을 축소하거나 부풀려서 풀어나갔다.파푸스의 4세기 보고서에 따르면, 이 문제에 관한 아폴로니우스의 저서인 παααί (Epaphai, "Tangencies")는 다음과 같다.De tactionbus, De contactibus)—비슷한 점진적 접근법을 ^[11]따랐다.따라서, 비록 다른 ^[22]재구성들이 세 명의 다른 저자들에 의해 독립적으로 출판되었지만, 비에트의 해법은 아폴로니우스의 해법을 그럴싸하게 재구성한 것으로 여겨진다.

아폴로니우스의 문제에 대한 몇몇 다른 기하학적 해법이 19세기에 개발되었다.가장 주목할 만한 해법은 장 빅터 폰슬렛(1811)^[23]과 조셉 디아즈 거곤(1814)^[24]의 해법이다.폰슬렛의 증명은 원의 동질 중심과 점 정리의 힘에 의존하는 반면, 게르곤의 방법은 원의 선과 극 사이의 공역 관계를 이용합니다.원 반전을 사용하는 방법은 1879년 ^[25]Julius Petersen에 의해 개척되었다. 한 예는 HSM Coxeter의 ^[2]고리형 해법이다.또 다른 접근법은 Sophus Lie에 의해 개발된 Lie ^[26]구 기하학을 사용한다.

아폴로니우스의 문제에 대한 대수적 해법은 17세기에 르네 데카르트와 보헤미아의 엘리자베스 공주에 의해 개척되었지만, 그들의 해법은 다소 ^[9]복잡했다.실용적인 대수적 방법은 18세기 후반과 19세기에 레온하르트 ^[27]오일러, 니콜라스 ^[9]호프,^[28] 칼 프리드리히 가우스, 라자르 카르노,^[29] 그리고 아우구스틴 루이 ^[30]코시를 포함한 몇몇 수학자들에 의해 개발되었다.

해결 방법

교차 쌍곡선

Adrian van Roomen (1596)의 해는 두 개의 하이퍼볼라의 ^[13][14]교차점에 기초한다.주어진 원을 C, C₂, C로₁₃ 표시하자.Van Roomen은 C와₂ C와₁ 같은 두 개의 주어진 원에 접하는 원을 찾는 간단한 문제를 풀어서 일반적인 문제를 해결했다.그는 주어진 원에 접하는 원의 중심이 주어진 원의 중심인 쌍곡선 위에 있어야 한다고 언급했다.이를 이해하기 위해 용액 원의 반지름과 주어진 두 개의 원을 각각 r, r₁, r로₂ 표시하도록_s 한다(그림 3).솔루션 원과₁ C의 중심 사이의₁ 거리 d는 각각 외부 또는 내부 접선으로 선택되었는지 여부에 따라 r + r₁ 또는_s r - r입니다_s1.마찬가지로, 솔루션 원과 C₂ 사이의 거리 d는 선택한₂ 접선도에 따라 r + r₂ 또는_s r - r입니다_s2.따라서 이러한 거리 간의₁ d - d는₂ 항상 r과 독립적인_s 상수입니다.이 성질은 포치까지의 거리 사이에 고정된 차이를 가지며, 쌍곡선을 특징으로 하므로, 솔루션 원의 가능한 중심은 쌍곡선에 있습니다.두 번째 쌍곡선은 주어진 원₂ C와₃ C의 쌍에 대해 그려질 수 있으며, 여기서 용액과₂ C의 내부 또는 외부 접선은 첫 번째 쌍곡선의 접선과 일관되게 선택되어야 한다.이 두 개의 하이퍼볼라(있는 경우)의 교차점은 세 개의 주어진 원에 선택된 내부 및 외부 접선을 갖는 솔루션 원의 중심을 제공합니다.아폴로니우스 문제에 대한 모든 해법은 주어진 세 개의 원에 대한 용액 원의 내부 및 외부 접선의 가능한 모든 조합을 고려함으로써 찾을 수 있다.

아이작 뉴턴(1687)은 반 로멘의 용액을 정제하여,^[15] 용액-원 중심이 원이 있는 선의 교차점에 위치하도록 했다.뉴턴은 아폴로니우스의 문제를 삼변측정의 문제로 공식화했다: 주어진 세 점 A, B, C에서 점 Z를 찾아 Z에서 주어진 세 점까지의 거리 차이가 알려진 ^[31]값을 가지도록 한다.이 네 개의 점은 솔루션 원의 중심(Z)과 주어진 세 개의 원(A, B, C)의 중심에 해당합니다.

두 개의 쌍곡선을 푸는 대신, 뉴턴은 대신 직행렬선을 만듭니다.모든 쌍곡선의 경우, 점 Z에서 초점 A 및 다이렉트릭스에 대한 거리의 비는 편심률이라고 불리는 고정 상수입니다.두 방향성은 점 T에서 교차하며, 두 개의 알려진 거리 비율에서 뉴턴은 Z가 놓여 있어야 하는 T를 통과하는 선을 구성합니다.단, 거리 비율 TZ/또한 TA는 알려져 있다.따라서 Z는 알려진 원 위에 놓여있다. 왜냐하면 아폴로니우스는 원이 두 고정점에 대해 주어진 거리 비율을 갖는 점들의 집합으로 정의될 수 있다는 것을 보여주었다.(여담이지만 이 정의는 양극 좌표의 기초입니다.)그러므로, 아폴로니우스의 문제에 대한 해답은 원과 선의 교차점이다.

비에트의 재건

아래에 기술한 바와 같이, 아폴로니우스의 문제는 주어진 세 개의 물체의 성질에 따라, 원(C), 선(L), 점(P)일 수 있는 10개의 특별한 경우를 가지고 있다.일반적으로 이들 10가지 케이스는 CCP 등의 ^[32]3가지 문자 코드로 구분됩니다.Viéte는 나침반과 직선 구조만을 사용하여 이러한 10개의 사례를 모두 해결했으며, 보다 복잡한 ^[1][20]사례를 해결하기 위해 보다 단순한 사례의 솔루션을 사용했습니다.

비에트는 요소에서 유클리드의 방법에 따라 PPP 사건(3점)을 해결하는 것으로 시작했다.이로부터, LPP 케이스(직선과 2점)를 푸는 데 사용한 점 정리의 거듭제곱에 대응하는 보조항목을 도출했다.두 번째로 유클리드에 이어 비에트는 각도 이등분선을 사용하여 LLL 케이스(3줄)를 해결했다.그런 다음 점을 통과하는 각도 이등분선에 수직으로 선을 구성하기 위한 보조항목을 도출하여 LLP 문제(2개의 선과 1개의 점)를 해결했습니다.이것은 아폴로니오스의 문제의 처음 네 가지 사례, 즉 원을 포함하지 않는 경우를 설명해준다.

Viéte는 나머지 문제를 해결하기 위해 주어진 원과 솔루션 원의 접선을 유지하면서 크기를 조정할 수 있다는 사실을 이용했다(그림 4).용액-원반경이 δr만큼 변경되면 내부접선원의 반지름도 마찬가지로 δr만큼 변경되어야 하며 외부접선원의 반지름은 -δr만큼 변경되어야 한다.따라서 솔루션 원이 부풀어오르면 내부 접선 원이 동시에 부풀어오르고 외부 접선 원이 수축해야 접선을 유지할 수 있습니다.

Viéte는 이 접근방식을 사용하여 주어진 원 중 하나를 하나의 점으로 축소하여 문제를 더 단순하고 이미 해결된 사례로 축소했습니다.그는 먼저 원을 한 점으로 축소하여 CLL 케이스(원 및 두 선)를 LLP 케이스로 만들었습니다.그런 다음 그는 세 개의 레몬을 사용하여 CLP 사례(원, 선, 점)를 해결했다.Viéte는 CCL 사례를 CLP 사례로 다시 한 번 축소했습니다.그런 다음 CPP 케이스(원 및 2점)와 CCP 케이스(원 및 1점)를 2개의 보조항목으로 해결했다.마지막으로 Viéte는 하나의 원을 한 점으로 축소하여 일반적인 CCC 케이스(3개의 원)를 해결하여 CCP 케이스로 만들었습니다.

대수적 해법

아폴로니우스의 문제는 해원의 ^[33]중심과 반지름에 대한 세 개의 방정식의 체계로 구성될 수 있다.주어진 세 개의 원과 모든 솔루션 원은 동일한 평면에 있어야 하므로 해당 중심들의 (x, y) 좌표로 위치를 지정할 수 있습니다.예를 들어 3개의 주어진 원의 중심위치는₁ (x₁, y), (x₂₂, y) 및 (x₃, y)로₃ 쓸 수 있고, 해원의 중심위치는_s (x_s, y)로 쓸 수 있다.마찬가지로 소정의 원의 반지름과 해원의₂ 반지름은₃ 각각 r, r, r, r로_s 쓸₁ 수 있다.솔루션 원이 주어진 세 개의 원 각각에 정확히 닿아야 한다는 요구 사항은 x, y_s 및_s r에 대해_s 세 개의 결합된 2차 방정식으로 표현될 수 있습니다.

$\displaystyle \left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^2}}$

${{displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^2}}$

$\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^2}.$

오른쪽에 있는 세 개의₁ 숫자 s, s₂ 및₃ s는 기호라고 하며 ±1이 될 수 있으며, 원하는 솔루션 원이 해당 주어진 원에 내부적으로 접촉해야 하는지(s = 1) 외부적으로 접촉해야 하는지(s = -1) 지정합니다.예를 들어 그림 1과 그림 4에서 분홍색 용액은 오른쪽의 중간 크기의 주어진 원에 내부적으로 접선하고 왼쪽의 가장 작고 큰 원에 외부적으로 접선합니다. 주어진 원이 반지름에 따라 정렬된 경우 이 솔루션의 부호는 "- + -"입니다.세 개의 부호는 독립적으로 선택될 수 있으므로, 8개의 가능한 방정식 집합(2 × 2 × 2 = 8)이 있으며, 각 집합은 8개의 솔루션 원 유형 중 하나에 해당합니다.

세 가지 방정식의 일반적인 시스템은 결과물의 방법으로 풀 수 있다.곱하면 세 방정식 모두 왼쪽에 x + y가_s² 있고_s² 오른쪽에 r이 있습니다_s².하나의 방정식을 다른 방정식에서 빼면 이러한 2차 항이 제거됩니다. 나머지 선형 항은 좌표_s x와_s y에 대한 공식을 산출하도록 다시 배열될 수 있습니다.

${\displaystyle x_{s}=M+Nr_{s}}$

${\displaystyle y_{s}=P+Qr_{s}}$

여기서 M, N, P 및 Q는 주어진 원의 알려진 함수와 부호의 선택이다.이 공식들을 초기 3개의 방정식 중 하나로 치환하면 r에 대한_s 2차 방정식을 얻을 수 있으며, 이는 2차 공식으로 풀 수 있다.r의 수치를_s 선형 공식으로 치환하면 x와_s y의 대응하는_s 값이 산출된다.

방정식의 오른쪽에 있는 부호₁ s, s₂ 및₃ s는 8가지 방법으로 선택할 수 있으며, r에 대한_s 등식이 2차이기 때문에 각 부호 선택은 최대 2개의 해답을 제공한다.이것은 아폴로니오스의 문제에는 최대 16개의 해결책이 있다는 것을 (잘못된) 암시할 수 있다.그러나 방정식의 대칭성으로 인해 (r_s, x_s, y_s)가 부호가_i s인 해라면 (-r_s, x_s, y_s)도 같은 해 원을 나타내는 반대 부호 -s인_i 해(-r, x, y)입니다.따라서 아폴로니우스의 문제에는 최대 8개의 독립적인 해법이 있다(그림2).이러한 이중 계수를 피하는 한 가지 방법은 음이 아닌 반지름을 가진 솔루션 원만 고려하는 것입니다.

어떤 2차 방정식의 두 근은 세 가지 가능한 유형일 수 있다: 두 개의 다른 실수, 두 개의 동일한 실수(즉, 퇴화 이중 근), 또는 한 쌍의 복소 공역 근이다.첫 번째 경우는 일반적인 상황에 해당하며, 각 루트 쌍은 아래에서 설명한 바와 같이 원 반전에 의해 관련된 솔루션 쌍에 해당된다(그림 6).두 번째 경우, 두 개의 루트는 모두 동일하며, 이는 밑반전으로 변환되는 솔루션 원에 해당합니다.이 경우, 주어진 원들 중 하나는 아폴로니우스 문제에 대한 해답이고, 구별되는 해답의 수는 1개씩 감소한다.복잡한 켤레 반지름의 세 번째 경우는 아폴로니우스 문제에 대해 기하학적으로 가능한 해답에 해당하지 않는다. 왜냐하면 솔루션 원은 가상의 반지름을 가질 수 없기 때문이다. 따라서, 솔루션의 수는 2개 감소한다.아폴로니우스의 문제는 7개의 해답을 가질 수 없지만, 0부터 ^[12][34]8까지의 다른 수의 해법을 가질 수는 있다.

구면 형상

같은 대수 방정식은 리 구면 ^[26]기하학의 맥락에서 도출될 수 있다.이 지오메트리는 5차원 벡터 X = (v_xy, c, c, w, sr)로 원, 선 및 점을 통일된 방식으로 나타냅니다. 여기서 c = (c_x, c_y)는 원의 중심이고 r은 원의 (음수 이외의) 반지름입니다.r이 0이 아닐 경우 부호 s는 양수 또는 음수일 수 있습니다. 시각화의 경우 s는 원의 방향을 나타내며, 반시계방향 원은 양의 s, 시계방향 원은 음수의 s를 가집니다.파라미터 w는 직선일 경우 0, 그렇지 않을 경우 1입니다.

이 5차원 세계에는 도트 곱과 유사한 쌍선형 곱이 있습니다.

$\displaystyle \left(X_{1}\mid X_{2}\오른쪽):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c}_{1}\cdot \mathbf {c}_{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.}$

Lie 4차 원소는 제곱 노름의 곱이 0인 벡터들로 정의된다. (X) = 0이다. X와 X가₂ 이 2차 원소에 속한다고 하자₁; 그들의 차이의 노름은 같다.

$\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c}_1-{1}\mathb} {f}_c}_2\f}$

곱은 덧셈과 뺄셈에 따라 분배됩니다(더 정확히는 쌍선형입니다).

$\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\left(X_{2}\mid)}$

(X₁₁ X) = (X₂₂ X) = 0(둘 다 Lie 4진법에 속함)이고 w = 원의₂ 경우 w = 1이므로₁, 2진법에 있는 두 벡터의 곱은 같다.

$\displaystyle -2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left \mathbf {c}_{1}-\left(s_{1}r_{2}-s_{2}\right)^{2}.$

여기서 c - c₂ 사이에 있는₁ 수직 막대는 그 차이 벡터의 길이, 즉 유클리드 노름을 나타낸다.이 공식은 두 개의 4차원 벡터₁ X와₂ X가 서로 직교(직교)하는 경우, 즉 (X₁₂) = 0이면 해당 원이 접선임을 나타냅니다.두 개의 기호₁ s와₂ s가 동일한 경우(즉, 원의 "방향"이 동일함), 원은 내부 접선이다. 중심 사이의 거리는 반지름의 차이와 같다.

${{displaystyle \left \mathbf {c} _{1} - \mathbf {c} _{2} = \left ( r _ {1} - r _ {2} \ right )^{2} }$

반대로 두 부호의₁ s와₂ s가 다른 경우(즉, 원의 방향은 반대) 원은 외부 접선이다. 중심 사이의 거리는 반지름의 합과 같다.

$\displaystyle \left \mathbf {c} _{1} - \mathbf {c} _{2} \right ^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

그러므로, 아폴로니우스의 문제는 리 4차원에서 수직 벡터를 찾는 문제로 리 기하학에서 다시 기술될 수 있다. 구체적으로는, 리 4차원에 속하고 주어진 원에 대응하는 벡터₁ X, X₂, X와₃ 직교하는 (수직인) 솔루션 벡터_sol X를 식별하는 것이다.

$\displaystyle \left(X_{\mathrm {sol})\mid X_{\mathrm {sol}\right)=\left(X_{\mathrm {sol}\right)=\left(X_{\mathrm {sol}\mathrm {sol}\right)=\mathright(X_{\left)$

이 리스테이트먼트의 장점은 선형 독립적이고 동시에 수직인 벡터의 최대 수에 대한 선형 대수의 정리를 이용할 수 있다는 것이다.이것은 최대 해 수를 계산하고 정리를 더 높은 차원 ^[26][35]공간으로 확장하는 또 다른 방법을 제공한다.

반전 방식

아폴로니우스 문제의 자연적 배경은 반전 ^[4][12]기하학이다.역방향 방법의 기본 전략은 주어진 아폴로니우스 문제를 더 쉽게 풀 수 있는 또 다른 아폴로니우스 문제로 바꾸는 것입니다; 원래 문제에 대한 해답은 변환을 취소함으로써 변형된 문제의 해법으로부터 발견됩니다.후보 변환은 하나의 아폴로니우스 문제를 다른 문제로 변경해야 합니다. 따라서 주어진 점, 원 및 선을 다른 점, 원 및 선으로 변환해야 하며 다른 모양은 변환하지 않아야 합니다.원 반전은 이 특성을 가지며 반전 원의 중심과 반지름을 신중하게 선택할 수 있습니다.다른 후보로는 유클리드 평면의 등각성이 있다.그러나 그들은 단지 원래의 문제를 옮기고, 회전시키고, 미러링하기 때문에 문제를 단순화하지 않는다.

중심 O와 반지름이 R인 원의 반전에는 다음과 같은 연산이 있다(그림 5). 모든 점 P는 O, P, P'가 공선상이 되도록 새로운 점 P'에 매핑되며, 중심 O까지의 거리의 곱은 반지름 R의 제곱과 같다.

${\displaystyle {\mathbf {OP}}\cdot {\prime }}=R^{2}.$

따라서 P가 원 밖에 있으면 P'는 원 안에 있고 P'는 원 안에 있습니다.P가 O와 같으면, 그 반전은 P를 무한대로 보낸다고 한다.(복소해석학에서 "무한"은 리만 구체의 관점에서 정의된다.)반전에는 선과 원이 항상 선과 원으로 변환되고 점이 항상 점으로 변환된다는 유용한 특성이 있습니다.원은 일반적으로 반전된 다른 원으로 변환되지만, 원이 반전된 원의 중심을 통과하면 직선으로 변환되고 그 반대도 마찬가지입니다.중요한 것은, 원이 직각으로 반전의 원을 교차하면(수직으로 교차하는 경우), 반전에 의해 변하지 않고, 그 자체로 변환됩니다.

원 반전은 리만 구면에서의 뫼비우스 변환의 서브셋에 해당합니다.평면 아폴로니우스 문제는 역입체 투영에 의해 구에 전달될 수 있다. 따라서 평면 아폴로니우스 문제의 해는 구에 대한 그것의 상대적인 것과 관련이 있다.다음에 ^[36]설명하는 일반적인 문제 외에 평면 문제에 대한 다른 반전적 해결책이 가능합니다.

반전별 솔루션 쌍

아폴로니우스 문제에 대한 해답은 일반적으로 쌍으로 발생한다. 각 해답 원에는 켤레 해원이 있다(그림 6).^[1]하나의 솔루션 원은 공역해로 둘러싸인 주어진 원을 제외하며, 그 반대도 마찬가지입니다.예를 들어 그림 6에서 하나의 솔루션 원(분홍, 왼쪽 위)은 두 개의 주어진 원(검은색)을 둘러싸지만 세 번째 원(오른쪽 아래)은 제외되고, 반대로 그 켤레 솔루션(분홍, 오른쪽 아래)은 세 번째 주어진 원을 둘러싸지만 나머지 두 개는 제외됩니다.두 켤레 해원은 반전에 의해 다음 인수에 의해 관련된다.

일반적으로 세 개의 뚜렷한 원은 모두 수직으로 교차하는 고유한 원, 즉 근원(근원)을 가지고 있습니다. 이 원의 중심은 세 ^[4]개의 원의 근원 중심입니다.그림 6의 주황색 원은 검정색 주어진 원과 직각으로 교차합니다.라디칼 원의 반전에서는 주어진 원이 변경되지 않고 두 개의 공역 핑크색 용액 원이 서로 변환됩니다.동일한 반전 하에서 두 솔루션 원의 대응하는 접선점은 서로 변환됩니다.그림 6에서는 각 녹색 선에 있는 두 개의 파란색 점이 서로 변환됩니다.따라서 이러한 켤레 접선점을 연결하는 선은 반전하에서는 불변합니다.따라서 이러한 선은 반전의 중심인 반전의 중심을 통과해야 합니다(그림 6의 주황색 점으로 교차하는 녹색 선).

환에 대한 반전

주어진 세 개의 원 중 두 개가 교차하지 않을 경우, 주어진 두 개의 원이 ^[2][12]동심원이 되도록 반전 중심을 선택할 수 있습니다.이 반전 하에서 용액원은 두 동심원 사이의 고리 안에 있어야 한다.따라서 두 개의 단일 모수 패밀리에 속합니다.첫 번째 패밀리(그림 7)에서는 용액이 내부 동심원을 감싸는 것이 아니라 고리 모양의 볼 베어링처럼 회전한다.두 번째 패밀리(그림 8)에서는 용액 원이 내부 동심원을 둘러싸고 있다.일반적으로 각 패밀리에는 4개의 해법이 있으며, 대수적 해법과 일치하는 8개의 가능한 해법을 산출합니다.

주어진 원들 중 두 개가 동심원일 때, 아폴로니우스의 문제는 ^[28]가우스의 방법을 사용하여 쉽게 풀 수 있다.주어진 세 개의 원의 반지름은 공통 동심원 중심에서 비동심원까지의 거리_non d와 같이 알려져 있다(그림 7).해원은 반지름_s r, 각도θ, 중심에서 공통의 동심원 중심 및 비동심원 중심까지의_s 거리 d, d에서_T 구할 수 있다.반지름과 거리_s d는 알려져 있으며(그림 7), 거리 d_T = r_s ± r은_non 솔루션 원이 비원형 원에 내부 또는 외부로 접하는지에 따라 달라집니다.따라서 코사인 법칙에 따라

${{displaystyle \cos \theta = spm frac {d_{\mathrm {s}^{2}-d_{\mathrm {t}^{2}}{2d_{\mathrm {s}}}{d_{\mathrm {non}}}}}\equiv_pm}{{{{{}}}}}}}{{{{{{{c}}}}}}}}}}}}}}}}}{cfm}}}}}.$

여기서는 간결성을 위해 새로운 상수 C가 정의되었으며, 첨자는 솔루션이 외부 또는 내부 접선인지 나타냅니다.단순한 삼각 재배열은 네 가지 해법을 산출한다.

$(\displaystyle \theta =\pm 2\arctan \leftrt {\frac {1-C}{1+C}}\right).}$

이 공식은 4개의 해를 나타내며, θ 기호 2개의 선택지와 C 기호 2개의 선택지에 대응합니다.나머지 4개의 용액은 그림 8에 표시된 r과_s d의_s 치환을 사용하여 동일한 방법으로 구할 수 있다.따라서 일반적인 아폴로니우스 문제의 8가지 해법은 모두 이 방법으로 찾을 수 있다.

처음 두 개의 분리된 원은 다음과 같이 동심원으로 렌더링할 수 있습니다.두 개의 주어진 원의 반지름 축을 구성합니다. 이 반지름 축에서 두 개의 임의의 점 P와 Q를 선택하면 P와 Q를 중심으로 두 개의 주어진 원을 직교로 교차하는 두 개의 원을 구성할 수 있습니다.이 두 개의 생성된 원은 두 개의 점에서 서로 교차합니다.이러한 하나의 교점 F에서의 반전에서는 생성된 원이 F에서 나오는 직선으로, 주어진 두 개의 원이 동심원으로 만들어지며, 세 번째 주어진 원은 (일반적으로) 다른 원이 된다.이것은 원의 체계가 양극 좌표계를 형성하는 아폴로 원들의 집합과 동일하기 때문입니다.

크기 조정 및 반전

크기를 ^[37][38]조정하면 반전의 유용성을 크게 높일 수 있습니다.Viéte의 재구축에서 언급되었듯이, 세 개의 주어진 원과 솔루션 원은 접선을 유지하면서 동시에 크기를 조정할 수 있습니다.따라서, 초기 아폴로니우스 문제는 해결하기가 더 쉬울 수 있는 또 다른 문제로 변형된다.예를 들어, 4개의 원을 하나의 점으로 축소하도록 크기를 조정할 수 있으며, 또는 2개의 원을 서로 접하도록 크기를 조정할 수 있습니다.셋째, 교차하는 원은 비교차하도록 크기를 조정할 수 있으며, 그 후에 환에 반전하는 방법을 적용할 수 있다.이러한 모든 경우, 원래의 아폴로니어스 문제의 해는 크기 조정과 반전을 되돌림으로써 변환된 문제의 해로부터 얻어진다.

주어진 원을 한 점으로 축소

첫 번째 방법에서는 주어진 원이 P점으로 ^[37]축소될 때까지 (그 접선도에 따라) 주어진 원이 축소되거나 부풀어 오른다.이 경우, 아폴로니우스의 문제는 점 P를 통과하는 나머지 두 개의 원에 접하는 해원을 찾는 문제인 CCP 한계 사례로 퇴화된다.P를 중심으로 한 원의 반전은 주어진 두 개의 원을 새로운 원으로, 솔루션 원을 선으로 변환합니다.따라서 변환된 솔루션은 변환된 두 원에 접하는 선입니다.두 원의 외부 및 내부 동질감각 중심으로부터 구성될 수 있는 4개의 솔루션 라인이 있습니다.P의 재반전 및 크기 조정은 이러한 솔루션 라인을 원래 Apolonius 문제의 원하는 솔루션 원으로 변환합니다.8개의 일반 용액은 모두 각 용액의 서로 다른 내부 및 외부 접선에 따라 원을 수축 및 팽창시킴으로써 얻을 수 있지만, 주어진 원이 서로 다른 용액에 대해 한 점까지 수축될 수 있습니다.

접선에 맞게 두 개의 주어진 원 크기 조정

제2의 어프로치에서는, 그 중 2개가 접선(터치)^[38]이 되도록, 소정의 원의 반지름을 적절히 δr만큼 변경한다.접선점은 두 곳에서 두 개의 접원 각각과 교차하는 원의 반전 중심으로 선택됩니다.반전 시 터치 원은 두 개의 평행선이 됩니다.그들의 유일한 교차점은 반전된 상태로 무한대로 보내져서 만날 수 없다.동일한 반전이 세 번째 원을 다른 원으로 변환합니다.역문제의 해답은 (1) 주어진 평행선에 평행하고 변환된 세 번째 원에 접하는 직선 또는 (2) 주어진 두 평행선과 변환된 주어진 원에 접하는 일정한 반지름의 원이어야 한다.모든 원의 반지름을 δr만큼 반전하여 조정하면 원래 3개의 원에 접하는 해원이 생성됩니다.

게르곤 용액

Gergonne의 접근방식은 솔루션 서클을 ^[1]쌍으로 고려하는 것입니다.한 쌍의 용액 원을 C와_B C(그림 6의 분홍색 원)로_A 표시하고 주어진 세 개의 원과의 접점을 각각 A, A₂, A₃, B₁, B₂₃, B로₁ 표시하도록 합니다.Gergonne의 솔루션은 이 6가지 포인트를 찾아 두 솔루션 서클을 해결하는 것을 목표로 하고 있습니다.

Gergonne의 통찰력은 A와₁ B가₁ L선 위에 확실히 놓이도록₁ L선을 구성할 수 있다면, 그 두 점은 주어진 원₁ C와 L의₁ 교차점으로 식별될 수 있다는 것이었다(그림 6).나머지 4개의 접선은 각각 A와₂ B, A와₃₃ B를 포함하는₂ 선 L과₂₃ L을 찾아 비슷하게 배치됩니다.L과 같은₁ 선을 생성하려면 L 위에 있는 두 점을 식별해야 하지만 이러한 점이 접선 점일 필요는 없습니다.Gergonne은 3개의 라인 각각에 대해 2개의 다른 포인트를 식별할 수 있었다.두 점 중 하나는 이미 확인되었습니다. 즉, 급진 중심 G는 세 선 모두에 있습니다(그림 6).

L₁, L₂ 및 L₃ 선에서 두 번째 점을 찾기 위해 Gergonne은 이들 선과 용액_B 원의 근축 R 사이의_A 상호 관계에 주목했다.이 상호 관계를 이해하려면 솔루션 원이 있는 접점 A와₁₁ B에 그려진 원₁ C에 대한 두 개의 접선을 고려합니다. 이 접선의 교점은 C에서₁ L의₁ 극점입니다.이 극점에서 접점₁ A와₁ B까지의 거리는 같기 때문에 이 극점은 정의에 따라 솔루션 원의 근축 R에도 위치해야 한다(그림 9).극점과 극선의 관계는 상호적이다. 만약 C의 L의₁ 극이₁ R에 있다면, C의₁ R의 극은 반대로 L에 있어야₁ 한다.따라서, R을 구성할 수 있다면, C에서₁ 극₁ P를 찾을 수 있고, L에서 필요한₁ 두 번째 포인트를 얻을 수 있습니다(그림 10).

Gergonne은 미지의 용액 원의 근축 R을 다음과 같이 구했다.모든 원의 쌍에는 유사성의 중심이 두 개 있습니다. 이 두 점은 두 원에 대한 두 접선의 가능한 교차점입니다.따라서, 주어진 세 개의 원에는 각각 다른 원의 쌍에 대해 두 개씩 여섯 개의 유사성 중심이 있습니다.놀랍게도 이들 6개의 점은 4개의 선, 즉 각 선에 3개의 점이 있습니다.또한 각 선은 솔루션 원의 잠재적 쌍의 근축에 해당합니다.이를 보여주기 위해 Gergonne은 A/A에₂ 의해₁ 정의된 선과 B/B에₂ 의해₁ 정의된 선과 같이 주어진 원 중 두 개의 접선 지점을 통과하는 선을 고려했다.X를 두 원의₁ C와₂ C에 대한 유사성의 중심이라고 가정하면₃, A/A와₂₁ B/B는₁₂ 반호몰로지 점의 쌍으로 X에서 선이₃ 교차한다.따라서 거리의 곱은 같다.

${\displaystyle {X_{3} 표시A_{1}}\cdot {X_{3}A_{2}}=오버라인 {X_{3}B_{1}}\cdot {X_{3}B_{2}}$

즉, X가 두 솔루션 원의 근축에 있다는 것을₃ 의미합니다.다른 원의 쌍에도 동일한 주장을 적용할 수 있으므로 주어진 세 개의 원에 대한 유사성의 세 개의 중심이 솔루션 원의 쌍의 급진 축에 있어야 합니다.

요약하면, 원하는 선₁ L은 주어진 세 개의 원의 근심 G와 호모테틱 중심을 연결하는 네 개의 선 중 하나의 C에 있는 극의₁ 두 점에 의해 정의된다.C와₃ C에서 동일한₂ 극을 찾으면 각각 L과₃ L이 됩니다₂. 따라서 6개의 점 모두를 찾을 수 있으며, 여기에서 한 쌍의 솔루션 원을 찾을 수 있습니다.나머지 3개의 동질 중심선에 대해 이 절차를 반복하면 6개의 솔루션이 더 생성되어 총 8개의 솔루션이 생성됩니다.그러나_k 선 L이 일부 k_k 동안 원 C와 교차하지 않으면 해당 동질 중심선에 대한 솔루션 쌍이 없습니다.

교차 이론

현대 대수기하학 기술, 특히 교차이론은 아폴로니우스의 문제를 해결하기 위해 사용될 수 있다.이 접근법에서, 문제는 복잡한 투영 평면에서의 원에 대한 진술로 재해석된다.복잡한 숫자를 포함하는 솔루션이 허용되며, 퇴화된 상황은 여러 가지로 계산됩니다.이렇게 하면 항상 ^[39]8가지 해결 방법이 있습니다.

X, Y, Z의 모든 2차 방정식은 고유한 원추형, 즉 사라지는 궤적을 결정한다.반대로, 복잡한 투영 평면의 모든 원뿔에는 방정식이 있으며, 그 방정식은 전체 스케일링 계수까지 고유합니다(방정식의 재스케일링이 소실 궤적을 바꾸지 않기 때문입니다).따라서, 모든 원뿔의 세트는 5차원 투영⁵ 공간 P에 의해 매개변수화될 수 있으며, 여기서 대응은 다음과 같다.

$\\displaystyle\]Y:Z]\in \mathbf {P}^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0\}\왼쪽 화살표 [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P}^{5}.}$

복소 투영 평면 내의 원은 O = [1 : i : 0] 및 O₋ = [1 : - i : 0] 두 점을₊ 통과하는 원뿔로 정의되며, 여기서 i는 -1의 제곱근을 나타낸다.점₊ O와₋ 점 O를 원형점이라고 합니다.모든 원의 투영 다양성은 원형 점을 통과하는 원뿔에 해당하는 점으로 구성된 P의 하위⁵ 변수입니다.일반적인 원뿔형 방정식에 원형 점을 대입하면 두 개의 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle A+Bi-C=0,}$

$(\displaystyle A-Bi-C=0).}$

이 방정식의 합과 차이를 취하는 것은 조건을 부과하는 것과 동등하다는 것을 보여준다.

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ A$=C}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ $=$ {\$displaystyle$ B$=$$0$}.

따라서, 모든 원의 다양성은 P의⁵ 3차원 선형 부분 공간이다. 정사각형을 다시 조정하고 완성한 후, 이 방정식은 또한 원형 점을 통과하는 모든 원뿔이 형태의 방정식을 가지고 있다는 것을 보여준다.

${{디스플레이 스타일(X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2}}$

이것은 아핀 평면에서 원의 일반적인 방정식의 균질화이다.따라서, 위와 같은 의미에서 서클을 공부하는 것은 전통적인 의미의 서클을 공부하는 것과 거의 같다.유일한 차이점은 위의 감각은 두 선의 결합인 퇴화된 원을 허용한다는 것이다.퇴화되지 않은 원은 매끄러운 원이라고 불리는 반면 퇴화되지 않은 원은 단수 원이라고 불립니다.단수 원에는 두 가지 유형이 있습니다.하나는 무한대 Z = 0의 선과 투영 평면의 다른 선과의 결합(무한의 선으로 다시 교차)이고, 다른 하나는 투영 평면에서 두 개의 원형 점 각각을 통과하는 두 개의 선의 결합이다.이것들은 반지름 r이 각각 +θ와 0을 나타내는 경향이 있기 때문에 부드러운 원의 한계입니다.후자의 경우, 원점을 제외하고 두 선 중 어느 점에도 실제 좌표가 없습니다 [0 : 0 : 1 ].

D를 고정된 매끄러운 원으로 하자.C가 다른 원이라면 원의 정의에 따라 C와 D는 원형 점 O와₊₋ O에서 교차한다.C와 D는 원추형이기 때문에, Bézou의 정리는 C와 D가 적절한 교차 다수로 계산될 때, 총 4개의 점에서 교차한다는 것을 암시합니다.즉, 교차로₊₋ O, O, P 및 Q의 4개 점이 있지만 이러한 점 중 일부는 충돌할 수 있습니다.아폴로니우스의 문제는 P = Q의 상황과 관련이 있다. 즉, 해당 지점의 교차 다중성이 2임을 의미한다. 만약 P가 원형 점과 같다면, 이는 교차 다중성이 3인 것으로 해석되어야 한다.

Z를 D에 접하는 원의 다양성이라고 하자_D.이 품종은 모든 원의 P에³ 있는 4각형 원뿔이다.이를 확인하기 위해 발생 관련성을 고려하십시오.

$\displaystyle \Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P}^{3}\text{는 }}r\}D에 접해 있습니다.}$

단일 방정식 f = 0의 소실 궤적인 곡선의 경우, 곡선이 r에서 D와 다중도 m으로 만나는 조건은 f의 테일러 급수 팽창이 r에서 m으로 사라지는 것을 의미하므로 f의 계수에 대한 m 선형 조건이다.이것은 각 r에 대해 δ over r의 섬유는 원의 공간에서 2개의 선형 방정식에 의해 잘라진 P임을¹ 나타냅니다.따라서 δ는 치수 2를 환원할 수 없다.단일 점에서만 D에 접하는 원을 표시할 수 있으므로 Z의 일반_D 요소는 단일 점에서만 접해야 합니다.따라서 C에 (r, C²)를 보내는 투영법 δ → P는 2차성 형태소이다.따라서 Z인_D δ의 영상도 축소할 수 없고 2차원입니다.

Z의 모양을_D 결정하려면 반드시 D에 접하는 것이 아니라 두 개의 서로 다른₀ 원 C와_∞ C를 고정합니다.이 두 개의 원이 연필을 결정하는데, 이는 원의 P에³ 있는 선 L을 의미합니다.C와_∞ C의₀ 방정식이 각각 f와 g이면 L 위의 점은 Sf + Tg인 원에 해당하며, 여기서 [S : T]는 P의 점입니다¹.L과 Z가 만나는_D 점은 연필의 D에 접하는 원입니다.

교차점 수에는 두 가지 가능성이 있습니다.하나는 f 또는 g, 예를 들어 f가 D에 대한 방정식이라는 것입니다.이 경우 L은 D를 통과하는 라인입니다.C가_∞ D에 접해 있으면 연필의 모든 원도 접해 있으므로 L은 Z에 포함됩니다_D.또 다른 가능성은 f도 g도 D에 대한 방정식이 아니라는 것이다.이 경우 함수(f/g)는 4차 방정식의 몫이며, 둘 다 동일하게 사라지지 않습니다.따라서, 그것은 두 지점에서 사라지고 두 지점에서 극이 생긴다.이것은 각각 C d D와_∞ C d D의₀ 점이며, 다수와 원점 차감된 값으로 계산된다.유리함수는 2차원의 형태소¹ D → P를 결정한다.파이버 오버 [S : T ]] P는¹ f(P)T = g(P)S인 포인트 P의 세트이다.이들은 정확히 방정식이 Tf - Sg인 원이 D를 만나는 지점이다.이 모피즘의 분기점은 D에 접하는 원이다.리만에 의해-Hurwitz 공식은 정확히 두 개의 분기점이 있기 때문에 L은 두 개의 점에서 Z와 만난다_D.L과_D Z의 교차점에 대한 이 두 가지 가능성을 모두 통해 Z가 4각형 원뿔임을_D 알 수 있습니다.P의 이러한³ 원뿔은 좌표를 바꿀 때까지 모두 같기 때문에 Z의 형상을_D 완전히 결정한다.

논쟁을 마무리하기 위해 D₂, D₃, D를 세 개의 원으로 합니다₁.만약 교집합_D1 Z z_D2D3 Z , Z가 유한하다면, 그것은 2도³ = 8이고, 따라서 아폴로니우스 문제에 대한 8개의 해답이 있으며, 다수로 계산된다.교차가 일반적으로 유한하다는 것을 증명하기 위해, 발생 관련성을 고려한다.

${\displaystyle \Psi =\{{1}, D_{2}, D_{3}, C)\in(\mathbf {P}^{3})^4}\display C{\text{는 모든 }}}D_{i}\}에 접선합니다.}$

P의 마지막³ 인자에 δ를 투영하는 형태론이 있다.파이버 오버 C는 Z입니다_C³.이것은 6차원이므로 δ는 9차원이 됩니다.(P³)³도 치수 9를 가지기 때문에 δ에서 처음 세 인자에 이르는 투영의 범용 섬유는 양의 치수를 가질 수 없다.이는 일반적으로 8개의 솔루션이 여러 개로 계산된다는 것을 증명합니다.8개의 솔루션이 다른 구성을 표시할 수 있으므로 일반 구성에서는 8개의 솔루션이 모두 고유해야 합니다.

반지름

8개의 해원에 관한 일반적인 문제에서, 4개의 해원의 반지름의 왕복은 다른 4개의 해원의 반지름의 왕복과 같은 값으로 합산된다.

특수한 경우

점, 원 및 선의 10가지 조합

아폴로니우스 문제는 평면 내에 세 개의 주어진 물체에 접하는 하나 이상의 원을 만드는 것입니다. 원, 점 또는 선일 수 있습니다.이로 인해 10가지 유형의 아폴로니우스 문제가 발생하는데, 그 중 하나는 원, 선, 점의 각 조합에 대응하며, C, L 또는 P라는 세 글자로 라벨이 붙여져 주어진 요소가 각각 원인지 선인지 점인지를 나타낼 수 있다(표 1).^[32]예를 들어, 주어진 원, 선 및 점의 아폴로니우스 문제의 유형은 CLP로 표시됩니다.

이러한 특수한 케이스 중 일부는 주어진 세 개의 원의 일반적인 케이스보다 훨씬 쉽게 해결할 수 있습니다.가장 간단한 두 가지 사례는 세 개의 주어진 점(PPP)을 통해 원을 그리는 문제 또는 세 개의 선(LL)에 접하는 문제이며, 유클리드가 그의 요소에서 먼저 해결했습니다.예를 들어 PPP 문제는 다음과 같이 해결할 수 있습니다.솔루션 원의 중심은 세 점 모두에서 동등하게 떨어져 있으므로 두 점의 수직 이등분선 위에 있어야 합니다.따라서 중심은 두 수직 이등분선의 교차점이다.마찬가지로, LLL의 경우, 중심은 주어진 세 개의 선 사이의 세 개의 교차점에서 각도를 이등분하는 선 위에 놓여야 한다. 따라서 중심은 두 개의 그러한 각도 이등분선의 교차점에 놓인다.주어진 3개의 선의 모든 교차점에는 이러한 이등분선이 2개 있기 때문에 일반적인 LLL 문제에 대한 4가지 해결책이 있습니다.

점과 선은 원의 특별한 경우로 볼 수 있습니다. 점은 무한히 작은 반지름의 원으로 간주할 수 있으며, 선은 또한 중심이 무한대에 있는 무한히 큰 원으로 간주할 수 있습니다.이러한 관점에서, 일반적인 아폴로니우스 문제는 주어진 세 개의 원에 접하는 원을 구성하는 것이다.점과 선이 관련된 다른 9가지 사례는 일반적인 ^[32][12]문제의 경우를 제한하는 것으로 볼 수 있다.이러한 제한 사례는 일반적인 문제보다 해결 방법이 적은 경우가 많습니다. 예를 들어, 특정 원을 특정 점으로 대체하면 점이 내부 또는 외부 접선인 극소 원으로 해석될 수 있기 때문에 해결 방법 수가 절반으로 줄어듭니다.

표 1: 아폴로니우스의 문제 10가지 유형

색인	코드	소정의 요소	솔루션 수 (일반)	예 (분홍색으로 표시, 검은색으로 지정된 물체)
1	PPP	삼점	1
2	LPP	한 줄 두 점	2
3	LLP	두 줄과 한 점	2
4	CPP	일원 이점	2
5	LLL	세 줄	4
6	CLP	원 하나, 선 하나, 점 하나	4
7	CCP	두 개의 원과 한 개의 점	4
8	CLL	일원 이선	8
9	CCL	두 개의 원과 한 개의 선	8
10	CCC	세 개의 원(일반적인 문제)	8

솔루션 수

아폴로니우스 문제의 다양한 유형에 대한 해법의 수를 세는 문제는 열거형 ^[12][41]기하학 분야에 속한다.아폴로니우스 문제의 10가지 유형 각각에 대한 일반적인 해답 수는 위의 표 1에 나와 있습니다.그러나 주어진 요소의 특별한 배열에 따라 솔루션의 수가 변경될 수 있다.예를 들어, 한 개의 원이 두 개를 분리하는 경우(그림 11), 두 개의 단단한 원을 모두 터치하려면 솔루션 원이 주어진 파선을 교차해야 하지만, 접선 방향으로 파선을 터치하려면 그럴 수 없습니다.반대로, 주어진 세 개의 원이 모두 같은 점에서 접선한다면, 같은 점에서 접선하는 모든 원은 해답이 된다. 그러한 아폴로니우스 문제는 무한한 수의 해답을 갖는다.주어진 원 중 하나가 동일한 경우, 마찬가지로 무한대의 솔루션이 존재합니다.주어진 두 개의 원만 동일하다면, 오직 두 개의 뚜렷한 원만 있는 것입니다; 아폴로니우스 문제에 대한 하나의 해법에서 사용된 것처럼, 솔루션 원의 중심은 쌍곡선을 형성합니다.

세 개의 원, 점 또는 선의 가능한 모든 구성에 대한 솔루션 수를 포괄적으로 열거하는 작업은 1896년에 ^[42]뮤어헤드에 의해 처음 수행되었지만, 이전 작업은 스톨과 ^[44]스터디에 의해^[43] 수행되었다.그러나 뮤어헤드의 연구는 불완전했다; 1974년에^[45] 연장되었고 33개의 다른 사례와 함께 1983년에 ^[12]최종 목록이 출판되었다.아폴로니우스 문제에 대한 해답은 일반적으로 반전에 의해 쌍으로 발생하지만, 예를 들어 PPP에 대한 단일 해답 또는 주어진 원 중 하나 또는 세 개가 그 자체로 해답일 때 홀수 수의 해답이 가능하다. (후자의 예는 데카르트의 정리 섹션에 나와 있다.)그러나 7가지 ^[34][43]해법에는 아폴로니우스 문제가 없다.원과 구의 기하학적 구조에 기초한 대체 솔루션이 개발되어 ^[26][35]고차원으로 사용되고 있습니다.

서로 접하는 주어진 원: 소디의 원과 데카르트의 정리

주어진 세 개의 원이 서로 접선한다면, 아폴로니우스의 문제는 다섯 개의 해답을 가지고 있다.세 개의 해는 각각이 자신과 다른 두 개의 주어진 원에 접하기 때문에 주어진 원 그 자체입니다.나머지 두 개의 해(그림 12에서 빨간색으로 표시됨)는 내접원 및 외접원에 해당하며, 이를 소디의 ^[46]원이라고 합니다.아폴로니우스 문제의 이 특별한 경우는 4개의 동전 ^[47]문제로도 알려져 있다.이 아폴로니우스 문제의 주어진 세 개의 원은 두 소디의 원에 접하는 스타이너 사슬을 형성합니다.

두 개의 소디 원을 주어진 세 개의 원과 함께 사용하면 6개의 점에서 서로 접하는 네 개의 원 세트가 생성됩니다.이 네 개의 원의 반지름은 데카르트의 정리라고 알려진 방정식에 의해 연관되어 있다.1643년 ^[48]보헤미아의 엘리자베스 공주에게 보낸 편지에서 르네 데카르트는 다음과 같이 말했다.

${{displaystyle(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2}}$

여기서_s k = 1/r과_ss r은 각각 용액 원의 곡률과 반지름이며, 마찬가지로 주어진 세 원의 곡선₁ k, k₂, k와₃ 반지름 r, r에₁ 대해서도₂₃ 마찬가지이다.4개의 서로 접하는 원의 모든 세트에 대해 동일한 ^[2][49]6개의 점에서 접하는 4개의 서로 접하는 원의 두 번째 세트가 있습니다.

데카르트의 정리는 1826년 야콥 스타이너에 ^[50]의해 독립적으로, 1842년 ^[2][49]필립 비크로프트에 의해, 그리고 1936년 프레드릭 소디에 ^[51]의해 다시 발견되었다.소디는 그의 발견을 시로 과학 저널 네이처에 실었고, 그 중 첫 두 구절은 아래에 재현되어 있다.첫 번째 구절은 소디의 원을 묘사하고, 두 번째 구절은 데카르트의 정리를 제시한다.소디의 시에서, 두 개의 원이 접선하면 "키스"라고 말하는 반면, "굽힘"이라는 용어는 원의 곡률 k를 가리킨다.

데카르트의 정리의 제반 연장은 다니엘 페도에 ^[52]의해 도출되었다.

일반화

아폴로니우스 문제는 주어진 세 개의 원을 정확한 각도 θ 또는 세 개의 지정된 교차 각도 θ₁, ^[50]θ로₂₃ 교차하는 모든 원을 구성하도록 확장할 수 있다. 일반 아폴로니우스 문제는 주어진 세 개의 원에 대해 교차 각도가 0인 특별한 경우에 해당한다.또 다른 일반화는 첫 번째 확장의 쌍대, 즉 주어진 세 개의 ^[26]원으로부터 세 개의 지정된 접선 거리를 가진 원을 구성하는 것이다.

아폴로니우스의 문제는 평면에서 구와 다른 2차 표면으로 확장될 수 있다.구의 경우, 문제는 구에 ^[24][53][54]있는 세 개의 주어진 원에 접하는 모든 원(구면 캡의 경계)을 구성하는 것입니다.이 구면 문제는 입체 투영을 사용하여 대응하는 평면 문제로 렌더링할 수 있습니다.일단 평면 문제에 대한 해답이 구성되면, 구상 문제에 대한 해당 해답은 입체 투영을 반전시킴으로써 결정될 수 있다.더 일반적으로는 임의의 2차 표면의 교차점과 4개의 평면의 교차점에서 발생하는 4개의 접선 곡선의 문제를 고려할 수 있는데, 이 문제는 찰스 듀팽에 ^[9]의해 처음 고려되었다.

아폴로니우스의 문제를 반복해서 풀고 내접원을 구함으로써 서로 접선원 사이의 틈새를 임의로 미세하게 채워 라이프니츠 패킹 또는 아폴로니아 ^[55]패킹이라고도 하는 아폴로니아 개스킷을 형성할 수 있다.이 개스킷은 프랙탈로, 자기 유사하며 정확하게는 알 수 없지만 대략 1.^[56]3의 치수입니다. 이는 일반(또는 정류 가능) 곡선보다 높지만 평면(d = 2)보다는 작습니다.아폴로 개스킷은 17세기에 고트프리드 라이프니츠에 의해 처음 기술되었으며, 20세기 시에르핀스키 ^[57]삼각형의 곡선 전조이다.아폴로니안 가스켓은 또한 다른 수학 분야와도 깊은 연관이 있습니다. 예를 들어, 클라이니아 군들의 ^[58]한계 집합입니다.

평면에서 4개의 원에 접하는 원의 구성은 Larmor(1891)^[59]와 Lachlan(1893)^[60]에 의해 설명되는 특별한 특성을 가지고 있다.그러한 구성은 케이시 [17]정리의 기초가 되기도 하며, 프톨레마이오스 ^[37]정리의 일반화이기도 하다.

아폴로니우스의 문제를 3차원으로 확장하는 것, 즉 주어진 네 개의 구에 접하는 다섯 번째 구를 찾는 문제는 유사한 ^[9]방법으로 해결할 수 있다.예를 들어 주어진 구와 ^[38]용액 구를 접선을 유지하면서 하나의 구가 점으로 축소되도록 크기를 조정할 수 있다.이 점에서 반전은 아폴로니우스의 문제를 주어진 세 개의 구에 접하는 평면을 찾는 것으로 줄인다.이러한 평면은 일반적으로 8개이며, 반전 및 크기 조정을 통해 원래 문제를 해결할 수 있습니다.이 문제는 피에르 드 페르마에 ^[61]의해 처음 고려되었고,^[62] 수세기에 걸쳐 많은 대안적인 해결 방법이 개발되었다.

아폴로니우스의 문제는 d차원까지 확장될 수 있으며, 주어진 d + 1 ^[41]초구 집합에 접하는 초구를 구성할 수 있습니다.1936년 프레데릭 소디의 데카르트의 정리 재유도 발표 이후, 몇몇 사람들은 소디의 원에 대응하는 상호 접선 사례를 d차원으로 ^[63]풀었다.

적용들

아이작 뉴턴에 의해 공식화된 아폴로니우스 문제의 주된 적용은 쌍곡선 삼변법이며, 이것은 적어도 세 ^[8]점까지의 거리 차이에서 위치를 결정하려고 한다.예를 들어, 선박은 3개의 동기 송신기로부터의 신호의 도착 시간의 차이로부터 그 위치를 결정하려고 할 수 있다.아폴로니우스의 문제에 대한 해결책은 3개의 다른 위치에서 ^[9]총성이 들렸을 때부터 포탄의 위치를 결정하기 위해 제1차 세계대전에서 사용되었고, 쌍곡선 삼변측정법은 데카 항법 시스템과 ^[7]LORAN에 의해 사용된 원리이다.마찬가지로, 항공기의 위치는 4개의 수신 스테이션에서 트랜스폰더 신호의 도착 시간 차이로부터 결정될 수 있다.이 다변측정 문제는 아폴로니우스 문제의 3차원 일반화와 동일하며 글로벌 내비게이션 위성 시스템에 적용됩니다(GPS#기하학적 ^[31]해석 참조).아폴로니우스의 문제는 소리의 속도가 방향에 따라 달라지는 경우(^[64]즉, 등방성이 아닌 전달 매체)에는 해당되지 않지만, 이것은 (새나 고래와 같은) 동물을 부르는 위치를 결정하는 데에도 사용된다.

아폴로니우스의 문제에는 다른 용도가 있다.제1권, 그의 프린키피아에서 제안 21, 아이작 뉴턴은 아폴로니우스 문제에 대한 그의 해답을 끌어당기는 중심과 순간 ^[9]속도에 대응하는 궤도에 대한 탄젠트선의 관측에서 천체 역학의 궤도를 구성하기 위해 사용했다.세 개의 원이 모두 접선할 때 아폴로니우스 문제의 특별한 경우는 해석 수 이론의 하디-리틀우드 원 방법에서 각각 여러 개의 서로 ^[65]접촉하는 포드 원의 무한 집합의 경계에 의해 주어진 복잡한 통합을 위한 한스 라데마허의 등고선을 구성하기 위해 사용된다.마지막으로, 아폴로니우스의 문제는 DVD에 사용된 오류 정정 코드와 병원성 ^[66]박테리아의 특정 효소에 결합하는 의약품 설계와 같은 이질적인 분야에서 발생하는 일부 유형의 포장 문제에 적용되었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 아폴로니우스 포인트
• 아폴로니우스의 정리
• 삼각형의 등역학적 점

레퍼런스

추가 정보

• Boyd, DW (1973). "The osculatory packing of a three-dimensional sphere". Canadian Journal of Mathematics. 25 (2): 303–322. doi:10.4153/CJM-1973-030-5.
• Callandreau, Édouard (1949). Célèbres problèmes mathématiques (in French). Paris: Albin Michel. pp. 219–226. OCLC 61042170.
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외부 링크

• "Ask Dr. Math solution". Mathforum. Retrieved 2008-05-05.
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