스피너 번들

In differential geometry, given a spin structure on an ${\displaystyle n}$-dimensional orientable Riemannian manifold ${\displaystyle (M,g),\,}$ one defines the spinor bundle to be the complex vector bundle ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ associated to the corresponding principal bundle ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ of spin frames over ${\displaystyle M}$ and the spin representation of its structure group ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ on the space of spinors ${\displaystyle \Delta _{$$n$

스피너 번들 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ $displaystyle {\mathbf {S} }\,}$의 섹션을 스피너 필드라고 한다$$.

형식 정의

Let ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ be a spin structure on a Riemannian manifold ${\displaystyle (M,g),\,}$that is, an equivariant lift of the oriented orthonormal frame bundle ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ with respect to the double covering ${\displaystyle \rho }$: 스핀 그룹별 특수 직교 그룹의 S ${\displaystyle \mathrm{p}}$ i ${\displaystyle \mathrm{n}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle O}$(${\displaystyle n}$ )${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }\to {\mathrm {SO}}}}(n)}.$

스피너 번들 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ $displaystyle {\mathbf {S} }\,}$은(는) 복합 벡터 번들로 정의된다.

${\displaystyle {\mathbf {S}={\mathbf {P}\time _{\capa }\Delta _{n}\,}$

associated to the spin structure ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ via the spin representation ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$ where ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ denotes the group of unita힐버트 공간 $W{\displaystyle \mathbf{}.}$ ${\$ 스핀 표현 $representation{\displaystyle }${\$displaystyle \kappa }}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ S p ${\displaystyle \mathrm{in}}$ $){\displaystyle {\mathrm {Spin}}(n)$의 충실하고 단일화된 표현이라는 점에$$ 유의할 필요가 있다$.$^[2]

참고 항목

• 직교 프레임 묶음
• 스피너
• 스피너 표현
• 스핀 기하학
• 클리포드 다발
• 클리포드 모듈 번들

메모들

추가 읽기

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2055-1