스핀 구조

미분 기하학에서 방향성이 있는 리만 다지관의 스핀 구조(M, g)는 관련 스피너 번들을 정의할 수 있게 하여 미분 기하학에서 스피너라는 개념을 갖게 한다.

스핀 구조는 수학 물리학, 특히 양자장 이론에 폭넓게 적용되며, 이 이론들은 무충전 페르미온으로 어떤 이론의 정의에 필수적인 요소다.그들은 또한 미분 기하학, 대수학 위상, K 이론에 순전히 수학적인 관심을 가지고 있다.그들은 스핀 기하학의 기초를 형성한다.

개요

기하학이나 필드 이론에서 수학자들은 주어진 방향의 리만 다양체(M,g)가 스피너를 인정하는지 여부를 묻는다.이 문제를 해결하는 한 가지 방법은 M이 스핀 구조를 갖도록 요구하는 것이다.^[1][2][3]스핀 구조의 존재에 잠재적으로 위상학적 장애가 있기 때문에 이것이 항상 가능한 것은 아니다.스핀 구조는 제2의 지펠-일 경우에만 존재할 것이다.M의 H(M) ∈ H²(M, Z₂)가₂ 있는 휘트니 클래스는 사라진다.더욱이 w₂(M) = 0일 경우, M에 있는 스핀 구조의 이형성 등급 세트는¹ H(M₂, Z)에 의해 자유롭고 트랜스적으로 작용한다. 다지관 M이 방향화되는 것으로 가정함에 따라, 첫 번째 스티펠-M의¹ 휘트니 클래스 w₁(M) , H₂(M, Z)도 사라진다.(스티펠-)다지관 M의 Hⁱ(M) ∈ H(M, Z₂)가_i 있는 휘트니 등급은 스티펠-로 정의된다.접선 번들 TM의 Whitney 클래스).

스피너 π_S: S → M over M의 묶음은 해당 주성분 π_P: P → M 위에 있는 스핀 프레임의 P → M과 관련된 복잡한 벡터 번들이며, 스피너 Δ의_n 공간에 있는 그것의 구조 그룹 Spin(n)의 스핀 표현이다.번들 S는 M에서 주어진 스핀 구조를 위한 스피너 번들로 불린다.

다지관 회전구조의 정확한 정의는 섬유다발 개념이 도입된 후에야 가능했다; 안드레 해피커(1956)는 방향성이 있는 리만 다지관에서 회전구조의 존재에 대한 위상학적 장애를 발견했고, 막스 카루비(1968)는 이 결과를 방향성이 없는 사이비-리만 사례로 확대했다.^[4][5]

리만 다지관의 스핀 구조물

정의

방향성 리만 다지관의 스핀 구조(M,g)는 oriented: 스핀(n) → SO(n)의 이중 피복에 관하여 방향성 정형 프레임 번들_SO F(M) → M의 등가선 리프트다.즉, 쌍(P,F_P)은 주된 번들의 스핀 구조인 (: F(M_SO) → M(When)을 말한다.

a) π_P: P → M은 M보다 스핀(n)-번들,

b) F_P: P → F_SO(M)는 다음과 같은 등가성 2배 커버 맵이다.

${\displaystyle }$π ${\displaystyle \circ {}_{}}$F ${\displaystyle {P\mathbf{}}_{}}$ = {$$P {\$displaystyle \pi \circle$F_{\$mathbf {$P$$$}}}}=\pi$_{\$mathbf {P}}}}}},$ F(p_P q_P) = F(p)ρ Spin(n)((n)}

주된 번들 π_P: P → M을 넘어 스핀 프레임의 번들이라고도 한다.

같은 방향의 리만 다지관(M,g)에 있는 두 개의 스핀 구조물(P_1P1, F)과 (P₂, F_P2)는 스핀(n) 등가 지도 f: P → P가₁₂ 존재한다면 "등가"라고 부른다.

${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}}$ and f(p q) = f(p)q for all ${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}}$ and q ∈ Spin(n).

Of course, in this case ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{1}}}$ and ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}}$ are two equivalent double coverings of the oriented orthonormal frame SO(n)-bundle F_SO(M) → M of the given Riemannian manifold (M,g).

(M,g)에 대한 스핀 구조의 이러한 정의는 (M,g) 주결합 F_SO(M) → M에 대한 스핀 구조로서 안드레 하페니거(1956년)에 기인한다.

방해물

안드레 하페피거는^[1] 방향의 리만 다지관(M,g)에 스핀 구조의 존재를 위해 필요하고도 충분한 조건을 발견했다.회전 구조의 방해물은 H²(M, Z₂)의 특정 요소 [k]이다. 회전 구조의 경우 클래스 [k]는 두 번째 스티펠-이다.M의 휘트니 클래스 w(M₂²) ∈ H(M₂, Z)따라서 스핀 구조는 제2의 스티펠-일 경우에만 존재한다.M의 H(M) ∈ H²(M, Z₂)가₂ 있는 휘트니 클래스는 사라진다.

벡터 번들의 스핀 구조

M을 파라콤팩트 위상학적 다지관과 섬유 메트릭이 장착된 차원 N의 M에 있는 E 지향 벡터 번들로 하자.이것은 M의 각 지점에서 E의 섬유는 내부 제품 공간이라는 것을 의미한다.E의 스피너 번들은 M의 모든 점에 스핀 표현을 일관되게 연관시키기 위한 처방이다.그것을 할 수 있는 데는 위상학적 장애물이 있고, 따라서 주어진 묶음 E는 어떤 스피너 묶음도 인정하지 않을 수 있다.만약 그렇다면, E 묶음은 돌고 있다고 한다.

이것은 주요 번들의 언어를 통해 엄격하게 만들어질 수 있다.벡터 번들의 지향적인 직교 프레임의 집합은 프레임 번들 P_SO(E)를 형성하는데, 이는 특수 직교 그룹 SO(n)의 작용에 따른 주요 번들이다.P_SO(E)를 위한 스핀 구조는 스핀 그룹 스핀(n)의 작용에 따라_SO P(E)를 P(E)로_Spin 들어 올리는 것으로, 우리는 번들 맵 φ : P_Spin(E) → P_SO(E)가 존재한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varphi }$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \rho }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g$ 모든 p ∈ P_Spin(E) 및 g ∈ Spin(n),

여기서 ρ : 스핀(n) → SO(n)는 스핀 그룹을 SO(n)의 더블커버로 제시하는 그룹의 매핑이다.

E가 베이스 매니폴드 M 위에 접선 번들 TM인 특별한 경우, 스핀 구조가 존재하면 M이 스핀 매니폴드라고 한다.M의 접선 섬유에 대한 정사각형 베이스의 SO(n) 주 다발이 주 스핀 다발의 Z 지수인₂ 경우 동등하게 M이 회전한다.

다지관이 세포분해나 삼각측량을 하는 경우 스핀 구조는 2-골격 위로 뻗어 있는 1-골격 위로 접선다발의 사소한 분류로 동등하게 생각할 수 있다.치수가 3보다 낮으면 먼저 사소한 선다발이 있는 휘트니 합을 취한다.

방해 및 분류

방향성 벡터 번들 $bundle{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E{}_{}}$: E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{E}:$$E\to M}$의 회전 구조는 두 번째 Stiefel이 ~인$$ $경우$에만 E$${\$displaystyle$E}에 존재한다.Whitney 클래스 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle w_{2}(E)}$은(는) 사라진다$$.아르망 보렐과 프리드리히 히르제브루치의 결과다.^[6]더욱이 $E{\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\to$ M$}$의 경우$$ 스핀 구조의 수는 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle M\mathbb{},}$ ${\displaystyle Z}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{1}(M,\mathb {Z} /2)}$과(와)의 바이어싱 상태에 있다$.$이러한 결과는 관련 주체 ${\displaystyle S}$ $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle SO(n)}$ -분할$$ P $E{\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P_{E}\to$ M$}$에 대한 스펙트럼 시퀀스 인수를 사용하여 쉽게 입증할^{[7]pg 110-111} 수 있다$.$

${\displaystyle SO(n)\to P_{E}\to M}$

따라서 세레 스펙트럼 시퀀스를 적용할 수 있다.스펙트럼 시퀀스의 일반적인 이론으로부터, 정확한 시퀀스가 있다.

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\{2}^{0,1}\x오른쪽 화살표 {d_{2}}: E_{2}^{2}\{3}^{0}^{2,0}\to 0}$

어디에

${\displaystyle {\reasoned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(SO(n),\mathb {Z} /2)=H^{1}(SO(n),\mathb {Z} /2)\\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(SO(n),\mathb {Z} /2)=H^{2}(M,\mathb {Z} /2)\end{aigned}}}$

In addition, ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$ and ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=$$H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))}$ for some filtration on ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$, hence we get a map

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}$

정확한 순서를 정해서

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathb {Z} /2)\to H^{1}(SO(n),\mathb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathb {Z} /2)}$

자, 스핀 구조는 $정확히{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle E_{}}$ ${\$의 이중 커버로 되어 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}Spin(n)&to &{\tilde{P}_{P}\to &M\downarrow &&\downarrow \\\\\\\\\downarrow \\\\\\\\\SO(n)&to &P_&to &M\mat &M\matrix}$

여기서 두 개의 왼쪽 수직 지도가 이중 표지 지도가 된다.Now, double coverings of ${\displaystyle P_{E}}$ are in bijection with index ${\displaystyle 2}$ subgroups of ${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$, which is in bijection with the set of group morphisms ${\displaystyle {\text{$$Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$. But, from Hurewicz theorem and change of coefficients, this is exactly the cohomology group ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$. Applying the same argument to ${\displaystyle SO(n)}$, the non-trivial covering ${\displ$$aystyle Spin(n)\to SO(n)}$ corresponds to ${\displaystyle 1\in H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$, and the map to ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$ is precisely ${\displaystyle w_{2}}$, hence ${$$\displaystyle w_{2$}($1)=w_{2}(E$ 사라지면 지도 아래$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$의 역 이미지

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathb {Z} /2)\to H^{1}(SO(n),\mathb {Z} /2)}$

스핀 구조를 제공하는 이중 커버 세트.Now, this subset of ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ can be identified with ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$, showing this latter cohomology group classifies the various spin structures on the vector bundle ${\displaystyle E\to M}$. This can be진동의 호모토피 그룹들의 긴 정확한 순서를 살펴봄으로써 행해진 것이다.

${\displaystyle \pi _{1}(SO(n))\to \pi _{1}(P_{E})\to 1}$

${\displaystyle \text{홈}(}$-${\displaystyle }$, ${\displaystyle Z}$/ 2${\displaystyle }$) 적용 ${\displaystyle {\text{$$Hom}}(-,\mathb {Z} /2$ 코호몰로지 그룹 순서 제공

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathb {Z} /2)\to H^{1}(SO(n),\mathb {Z} /2)}$

Because ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ is the kernel, and the inverse image of ${\displaystyle 1\in H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)}$ is in bijection with the kernel, we have the desired result.

구분에 관한 비고

스핀 구조가 존재할 때, 다지관의 불평등 스핀 구조는 H¹(M,Z₂)의 원소와 일대일 대응(규범적이지 않음)을 가지며, 보편 계수 정리에 의해 H₁(M,Z₂)와 이형화된다.보다 정확히 말하면 스핀 구조의 이형성 등급의 공간은 H¹(M,Z₂) 위에 아핀 공간이다.

직관적으로, M의 각 비경쟁 주기에 대해 스핀 구조는 SO(N) 번들 섹션이 루프를 둘러싸면 시트를 전환하는지 여부에 대한 이진 선택과 일치한다.w가₂^[8] 사라지면 이러한 선택은 2-골격 위로 확장될 수 있으며, 그 다음 (폐색 이론에 의해) M 전체에 걸쳐 자동으로 확장될 수 있다.입자물리학에서 이것은 각 루프를 도는 페르미온에 대한 주기적 또는 반주기적 경계 조건의 선택에 해당한다.복합 매니폴드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 두$$ 번째 Stiefel-Whitney 클래스는 첫 번째 체르 클래스 ${\displaystyle \text{모드}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {\text{mod}}$로 계산될 수 있다는 점에 유의하십시오$.$

예

1. 리만 속 표면은 2개의^2g 불평등 스핀 구조를 허용한다. 세타 특성을 참조하라.
2. H²(M,Z₂)가 사라지면 M은 스핀이다.예를 들어, S는ⁿ 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\neq 2$에 대해 회전한다. (S도² 회전하지만 다른 이유로 인해 회전한다는 점에 유의하십시오. 아래 참조)
3. 복잡한 투영 평면 CP는² 회전하지 않는다.
4. 보다 일반적으로 모든 고른 차원 복합 투영 공간 CP는²ⁿ 회전하지 않는다.
5. 모든 홀수차원 복합 투영 공간 CP는²ⁿ⁺¹ 회전한다.
6. 치수 3 이하의 소형 방향 다지관은 모두 회전한다.
7. 올칼라비-Yau 다지관은 회전한다.

특성.

• 스핀 다지관의 â 속은 정수이며, 치수가 4모드 8이면 짝수 정수다.

  일반적으로 â속은 어떤 다지관에 대해 정의되는 합리적인 불변성이지만, 일반적으로 정수는 아니다.

  이것은 원래 Hirzebruch와 Borel에 의해 증명되었고, Atiyah-Singer 지수 정리에서 증명할 수 있으며, Dirac 연산자는 2차 순서 연산자의 제곱근이며, 스핀 구조가 "제곱근"이기 때문에 존재한다.이것은 지수 정리를 위한 동기부여 사례였다.

스핀^C 구조물

스핀^C 구조는 지향적인 리만 다지관의 스핀 구조와 유사하지만,^[9] 정확한 순서에 의해 대신 정의되는 스핀^C 그룹을 사용한다.

${\displaystyle 1\to \mathb {Z} _{2}\to \operatorname {SPIN} ^{\mathbf {C} }(n)\time \operatorname {U}\to 1.}$

이것에 동기를 부여하기 위해, : : 스핀(n) → U(N)가 복잡한 스피너 표현이라고 가정한다.U(N)의 중심은 포함 i : U(1) → U(N), 즉 정체성의 스칼라 배수에서 오는 대각선 원소로 구성된다.따라서 동형성이 있다.

${\displaystyle \kappa \time i\colon {\mathrm {Spin}}}\time {\mathrm {U}\to {\mathrm {U}(N)}.}$

이것은 항상 커널에 요소(-1,-1)가 있을 것이다.이 요소를 인수하면 그룹 스핀^C(n)이 주어진다.이것은 꼬인 제품이다.

${\displaystyle {\mathrm {Spin}}^{\mathb {C}}(n)={\mathrm {Spin}}(n)\time _{\mathb {Z} _{2}}{\mathrm {U}(1)\}\}}}$

여기서 U(1) = SO(2) = S¹. 즉, 그룹 Spin^C(n)은¹ S에 의한 SO(n)의 중심 확장이다.

다른 방법으로 보면, 스핀^C(n)은 스핀(n) → SO(n) → 스핀(2) → SO(2) 번들에 대한 커버 변환 쌍에 의해 생성된 정상 Z에₂ 대해 스핀(n)× 스핀(2)에서 얻은 지수 그룹이다.이렇게 하면 스핀^C 그룹은 파이버 스핀(n)이 있는 원 위의 번들과 파이버 원이 있는 SO(n) 위의 번들이 모두 된다.^[10][11]

기본군 π₁(Spin^C(n))은 n ≠ 2일 경우 Z, n = 2일 경우 Z에 대해 이형성이다.

다지관이 세포분해 또는 삼각측량을 갖는 경우 스핀^C 구조는 3-골격 위로 확장되는 2-골격 위에 복잡한 구조의 호모토피 등급으로 동등하게 생각할 수 있다.스핀 구조의 경우와 유사하게, 다지관이 홀수차원이라면 사소한 선다발로 휘트니 합을 취한다.

그러나 또 다른 정의는 다지관 N의 스핀^C 구조는 TN ⊕ L의 스핀 구조와 함께 N의 복잡한 선다발 L이라는 것이다.

방해물

스핀^C 구조는 번들이 방향을 잡을 수 있고 두 번째 스티펠-이 있을 때 존재한다.번들 E의 휘트니 클래스는 지도 H²(M, Z) → H²(M, Z/2Z) (즉, 세 번째 일체형 스티펠–)의 이미지에 있다.휘트니 계급은 사라진다.이 경우 E가 회전한다고^C 한다.직관적으로 리프트는 획득한 스핀다발의^C U(1) 부분의 사각형의 체르누스 클래스를 제공한다.Hopf와 Hirzebruch의 정리에 의해, 닫힌 방향의 4마니폴드는 항상 스핀^C 구조를 인정한다.

분류

다지관이 스핀^C 구조를 전혀 운반하지 않을 때 스핀^C 구조 세트는 부속 공간을 형성한다.더욱이, 스핀^C 구조의 세트는 H²(M, Z)의 자유 전이 작용을 가지고 있다.따라서 스핀 구조는^C 자연적인 방법은 아니지만 H²(M, Z)의 요소에 해당한다.

기하학적 그림

이것은 다음과 같은 기하학적 해석을 가지고 있는데, 이는 에드워드 위튼 덕분이다.회전^C 구조가 0이 아닐 때 이 제곱근 다발은 비통합 체르누스 계급을 가지는데, 이것은 그것이 삼중 겹침 조건을 망친다는 것을 의미한다.특히, 3방향 교차로에서의 전환 기능의 산물은, 주된 번들에 필요한 것과 같이, 항상 1과 같지 않다.대신에 그것은 때때로 -1이다.

이 고장은 방해된 스핀다발의 전환 기능의 삼중 산물에서 정확히 동일한 교차로에서 발생한다.따라서 스핀과 U(1) 성분 번들의 트리플 제품인 풀 스핀^c 번들의 트리플 전환 기능의 트리플 제품은² 1 = 1 또는 (-²1) = 1이므로^C 스핀 번들은 트리플 오버랩 조건을 만족하므로 정당한 번들이다.

세부사항

위의 직관적인 기하학적 그림은 다음과 같이 구체화할 수 있다.0 → Z → Z → Z₂ → Z → 0의 짧은 정확한 순서를 고려하십시오. 여기서 두 번째 화살표는 2 곱하기이고 세 번째 화살표는 감소모듈로 2이다.이것은 코호몰로지(cohomology)에 대해 긴 정확한 순서를 유도한다.

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

여기서 두 번째 화살표는 곱하기 2에 의해 유도되고, 세 번째 화살표는 제한 모듈로 2에 의해 유도되며, 네 번째 화살표는 연관된 복스테인 동형성 β이다.

스핀다발의 존재에 대한 방해는 H²(M,Z₂)의 요소 w이다₂.항상 국소적으로 SO(n) 묶음을 스핀 묶음으로 들어올릴 수 있지만, 각 전환 기능의 Z 리프트를₂ 선택할 필요가 있다는 점이 반영된 것으로, 이는 기호의 선택이다.3중첩에 있는 이 세 부호의 곱이 -1일 때는 리프트가 존재하지 않으며, 이는 w의₂ 체흐 코호몰로지 그림을 산출한다.

이 장애물을 취소하려면 한 사람이 이 회전 번들을₂ 동일한 장애물 w의 U(1) 번들로 텐셔닝한다.스핀다발도 U(1)다발도 트리플 오버랩 조건을 만족시키지 못하기 때문에 실제로 묶음도 아니기 때문에 이것이 번들의 남용이라는 점에 유의하십시오.

합법적인 U(1) 묶음은 H²(M,Z)의 요소인 체르누스 계급에 의해 분류된다.위의 순서에서 첫 번째 요소로 이 클래스를 식별하십시오.다음 화살표는 이 체르누스 클래스를 두 배로 하여 합법적인 번들은 두 번째 H²(M, Z)의 짝수 원소에 대응하고, 홀수 원소는 삼중 겹침 조건을 실패한 번들에 대응하게 된다.그러면 장애물은 두 번째² H(M,Z)의 요소가 화살표의 영상에 있는 실패로 분류되며, 정확성에 따라 다음 화살표 아래의 H²(M,Z₂)에 있는 원소의 영상에 의해 분류된다.

스핀 번들의 해당 방해물을 취소하려면 이 이미지는 w가₂ 되어야 한다.특히 w가₂ 화살표 이미지에 없으면 w와₂ 같은 장애물을 가진 U(1) 번들이 존재하지 않기 때문에 장애물을 취소할 수 없다.정확성에 의해 w는₂ 다음 화살표의 알맹이에 있을 때만 앞의 화살표의 이미지에 나타나는데, 우리가 기억한 것은 복스테인 동형성 β이다.즉, 업무방해 취소의 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

여기서 우리는 제3의 필수 요소인 스티펠-라는 사실을 사용했다.휘트니 클래스 W는₃ 제2의 스티펠-의 복스테인이다.휘트니 클래스 w₂ (이것은 W의 정의로₃ 받아들일 수 있다.

스티펠의 일체형 승강기-휘트니 클래스

이 주장은 또한 제2의 스티펠-을 증명한다.휘트니 클래스는 Z₂ 코호몰로지뿐만 아니라 필수 코호몰로지 요소도 한 단계 더 높게 정의한다.사실 이것은 심지어 스티펠에게도 해당된다.휘트니 클래스결과 등급에 대해 W 대문자를 홀수도로 사용하는 것이 전통적이며, 이를 통합 스티펠-이라고 한다.휘트니 수업은 그 등급으로 분류된다(항상 이상하다.

예

1. 치수 4 이하의 모든 방향의 매끄러운 다지관은 회전한다^C.^[12]
2. 거의 복잡한 다지관은 모두 회전하고^C 있다.
3. 모든 회전 다지관은 회전한다^C.

입자물리학 적용

입자물리학에서 스핀-통계학적 정리는 충전되지 않은 페르미온의 파동 기능이 SO(N) 번들 E의 스핀 리프트에 연결된 벡터 번들의 한 부분임을 암시한다.따라서 스핀 구조의 선택은 파동 기능을 정의하는 데 필요한 데이터의 일부분이며, 파티션 함수에서 이러한 선택을 요약할 필요가 있는 경우가 많다.많은 물리 이론에서 E는 접선 묶음이지만 끈 이론에서 D-branes의 세계 화성에 관한 페르미온에게는 일반적인 묶음이다.

양자장 이론에서 충전된 스피너는 관련된 스핀^c 번들의 섹션이며, 특히 충전된 스피너는 회전하지^c 않는 공간에 존재할 수 없다.일부 초중력 이론에서는 예외가 발생하는데, 추가 상호작용은 다른 분야가 제3의 스티펠-을 취소할 수 있음을 암시한다.휘트니 클래스.초중력과 끈 이론에서 스피너에 대한 수학적인 설명은 특히 미묘한 개방적인 문제인데, 이것은 최근 참고문헌에서 다루어졌다.^[13][14]스핀 구조의 표준 개념은 초중력과 끈 이론에 적용하기에는 너무 제한적이며, 이러한 이론의 수학적 제형을 위한 스핀 구조의 올바른 개념은 '립시츠 구조'^[13][15]라는 것이 밝혀졌다.

참고 항목

• 메타폴로지 구조
• 직교 프레임 묶음
• 스피너

참조

추가 읽기

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000). Dirac Operators in Riemannian Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Karoubi, Max (2008). K-Theory. Springer. pp. 212–214. ISBN 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. "On the lifting of structure groups". Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics II. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 676. Springer-Verlag. pp. 217–246. doi:10.1007/BFb0063673. ISBN 9783540357216.
• Scorpan, Alexandru (2005). "4.5 Notes Spin structures, the structure group definition; Equivalence of the definitions of". The wild world of 4-manifolds. American Mathematical Society. pp. 174–189. ISBN 9780821837498.

외부 링크

• Sven-S의 스핀 구조에 관한 것.포스트는 수학 학생들을 위한 오리엔테이션과 스핀 구조에 대한 짧은 소개다.