스핀 표현

수학에서 스핀 표현은 임의의 치수 및 서명(즉, 무한정 직교 그룹을 포함)에서 직교 또는 특수 직교 그룹의 특정한 투영적 표현이다.더 정확히 말하면, 그것들은 스핀 그룹의 표현이며, 이것은 특수 직교 그룹의 이중 커버이다.그것들은 보통 실제 수치나 복잡한 숫자에 걸쳐 연구되지만, 다른 분야에 걸쳐 정의될 수 있다.

스핀 표현 원소를 스피너라고 한다.그들은 전자와 같은 페르미온의 물리적 설명에 중요한 역할을 한다.

스핀 표현은 여러 가지 방법으로 구성될 수 있지만, 일반적으로 구성에는 그룹의 벡터 표현에서 최대 등방성 하위 공간의 선택(아마도 암묵적으로만)이 포함된다.실제 숫자에 걸쳐, 이것은 보통 벡터 표현의 복합화를 사용해야 한다.이 때문에 복잡한 숫자에 대한 스핀 표현을 먼저 정의하고, 실제 구조를 도입하여 실제 표현을 도출하는 것이 편리하다.

스핀 표현 특성은 직교 그룹의 치수와 서명에 따라 미묘하게 달라진다.특히 스핀 표현은 불변 이선형 형태를 인정하는 경우가 많은데, 이는 스핀 그룹을 고전적인 리 그룹에 내장하는 데 사용할 수 있다.낮은 차원에서는 이러한 임베딩이 굴절적이며 스핀 그룹과 더 친숙한 리 그룹 사이의 특별한 이형성을 결정한다. 이는 이러한 차원들에서 스피너의 특성을 설명한다.

셋업

V는 비탈장 이차적 형태 Q를 가진 유한차원 실제 또는 복합 벡터 공간이다.Q를 보존하는 (실제 또는 복잡한) 선형 지도는 직교 그룹 O(V, Q)를 형성한다.집단의 아이덴티티 구성요소를 특수직교집단 SO(V, Q)라고 한다(무제한 2차 형태를 가진 V real의 경우 이 용어는 표준이 아니다: 이 경우 특수직교집단은 보통 두 개의 구성요소를 가진 하위집단으로 정의된다).그룹 이형성까지, SO(V, Q)는 독특한 커넥티드 더블 커버, 스핀 그룹 스핀(V, Q)이 있다.따라서 그룹 동형상 h: 스핀(V, Q) → SO(V, Q)의 두 가지 요소가 {1, -1}을(를) 나타내는데, 여기서 1은 ID 요소다.따라서 스핀(V, Q)의 그룹 요소 g와 -g는 SO(V, Q)에 대한 동형성 후 동등하다. 즉, 스핀(V, Q)의 g에 대한 h(g) = h(-g)이다.

그룹 O(V, Q), SO(V, Q), 스핀(V, Q)은 모두 리 그룹이며, 고정(V, Q)의 경우 리 대수학(V, Q)이 동일하므로(V, Q)이다.V가 진짜라면 V는 그 복합화_C V = V _R⊗ C의 실제 벡터 서브공간이며, 2차 형태 Q는 V의_C 2차 형태 Q로_C 자연스럽게 확장된다.이는 SO(V, Q)를 SO(V_C, Q_C)의 하위 그룹으로 포함하므로 스핀(V, Q)을 스핀(V_C, Q_C)의 하위 그룹으로 실현할 수 있다.더욱이, so_C(V, Q_C)는 so(V, Q)의 복잡화다.

복합적인 경우, V의 차원 n에 의해 이형상까지 2차적 형태가 고유하게 결정된다.구체적으로는 V = C 및ⁿ

${\displaystyle Q(z_{1},\ldots,z_{n}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+{2}+\cdots +z_{n}^{n}^{2}.}$

해당 Lie 그룹은 O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C) 및 그들의 Lie 대수학으로 표시된다.

실제의 경우, 2차 형태는 비음성 정수의 쌍(p, q)에 의해 이형까지 결정되는데 여기서 n = p + q는 V의 치수, p - q는 시그니처다.구체적으로는 V = R 및ⁿ

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n}=x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).}$

해당 Lie groups와 Lie 대수학은 O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q), so(p, q) 등으로 표기된다.우리는 R 대신에ⁿ R을^p,q 써서 서명을 명시한다.

스핀 표현은 어떤 의미에서 SO(n, C)와 SO(p, q)의 표현에서 나오지 않는 스핀(n, C)과 스핀(p, q)의 가장 단순한 표현이다.따라서 스핀 표현은 스핀(n, C) 또는 스핀(p, q)에서 일반 선형 그룹 GL(S)까지의 집단 동형성 ism과 함께 실제 또는 복합 벡터 공간 S와 함께 원소 -1이 ρ의 커널에 있지 않도록 하는 것이다.

만약 S가 그러한 표현이라면, Lie 그룹과 Lie Algebras의 관계에 따라, Lie 대수표현, 즉 Lie 대수동형주의(n, C) 또는 Lie 대수동형주의(p, q)를 Commutator bracket과 함께 S의 내형성의 Lie 대수 gl(S)에 유도한다.

스핀 표현은 다음과 같은 전략에 따라 분석할 수 있다:S가 스핀(p, q)의 실제 스핀 표현인 경우, S의 복잡화는 스핀(p, q)의 복잡한 스핀 표현이다. 따라서 so(p, q)의 표현으로서 so(n, C)의 복잡한 표현으로 확장된다.따라서 역순으로 진행하면서 먼저 스핀(n, C)의 복잡한 스핀 표현을 구성한 다음, 이를 so(p, q)와 spin(p, q)의 복잡한 스핀 표현으로 제한한 다음, 마지막으로 실제 스핀 표현을 위해 가능한 감소를 분석한다.

복잡한 스핀 표현

V = C를 표준 2차 형식 Q로ⁿ 설정하여 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle {\mathfrak {so}(V,Q)={\mathfrak {so}(n,\mathb{C})={\mathfrak {so}.}$

양극화에 의해 Q와 연관된 V의 대칭 이선형 형태는 ⟨, .⟩로 표시된다.

등방성 하위공간 및 루트 시스템

so(n, C)의 스핀 표현 표준 구성은 W = 0인^∗ V의 최대 등방성 서브 스페이스(Q에 대한)의 쌍(W, W^∗)을 선택하는 것으로 시작한다. 그런 선택을 하자.n = 2m 또는 n = 2m + 1이면 W와 W는^∗ 모두 치수 m을 가진다.If n = 2m, then V = W ⊕ W^∗, whereas if n = 2m + 1, then V = W ⊕ U ⊕ W^∗, where U is the 1-dimensional orthogonal complement to W ⊕ W^∗. The bilinear form ⟨.,.⟩ associated to Q induces a pairing between W and W^∗, which must be nondegenerate, because W and W^∗ are totally isotropic subspaces and Q is nondegenerate.따라서 W와 W는^∗ 이중 벡터 공간이다.

좀 더 구체적으로 말하자면, a₁, …을_m W의 기초가 되게 하라.그러면 W의^∗ 독특한 기초 α₁, … α가_m 있다.

${\displaystyle \langle \langle \langle _{i}a_{j}\angle =\regnment _{ij}.}$

A가 m × m 행렬인 경우, A는 이 기준에 대해 W의 내형성을 유도하고 전치 A는^T W의^∗ 변형을 유도한다.

${\displaystyle \langle Aw,w^{*}\angle =\langle w,A^{\mathrm {T}}w^{*}\angle }}}$

W와 W의^∗∗ 모든 w에 대하여.따라서 V의 내형성 ρ은_A W의 A, W의^∗ -A^T, U의 0(n이 홀수인 경우)과 같다.

${\displaystyle \langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle }$

모든 u, v in V 및 따라서 (클래식 그룹 참조) so(n, C) ⊂ End(V)의 요소.

이 구조에서 대각 행렬을 사용하여 so(n, C)의 카르탄 하위 격자 h를 정의한다. so(n, C)의 등급은 m이고, 대각 n × n 행렬은 m-차원 아벨리안 하위 격자를 결정한다.

대각 행렬 A에 대해 ε_1mk(ρ_A)은 A의 k번째 대각선 입력인 h의^∗ 기본이 되도록 한다.분명히 이것은 h의^∗ 기초가 된다. 양면 형태는 $\wedge {\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \wedge ^{2}V$로 so(n, C)를 식별하기 때문에, 명시적으로,

${\displaystyle x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),}$^[1]

이제 h와 연관된 뿌리 시스템을 구축하는 것이 쉽다.루트 공간(h의 작용에 대한 동시 에겐스페이스)은 다음과 같은 요소로 확장된다.

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$, ${\displaystyle ij}$ j${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a_{i}\reas a_{j},\i\neq j,$ 루트(${\displaystyle {일반}_{}}$ 고유값)가 $있는{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i + ${\displaystyle j_{}}$ j의$$\$displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon_{j}}}}}}$

${\displaystyle {}_{}}$∧${\displaystyle {}_{}{\alpha j}_{}}${\$displaystyle a_{i}\properties \j}($i = j인 경우) in $i$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j{}_{}}$, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ne }$ j${\displaystyle }$, ${\displaystyle \property_{$i$$$}\neq$ j$, 루트 - },$ i -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, ${\displaystyle -\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}},}$

그리고, n이 홀수이고, u가 U의 0이 아닌 원소라면,

${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$${\displaystyle {}_{}u}$, ${\displaystyle a_{i}\$$displaystyle \varepsilon_{i}$ 루트 with$$$.$

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u}$u$$, {\$displaystyle$\$_ _{i$}\$prot$ - $}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle$ -$\varepsilon _{i}.$$}$

따라서 기초 ε₁, … ε에_m 관해서 뿌리는 h의^∗ 순열인 벡터들이다.

${\displaystyle(\pm 1,\pm 1, 1,0,\pm ,0)}$

의 순열과 함께

${\displaystyle(\pm 1,0,0,\reason ,0)}$

n = 2m + 1이 홀수인 경우

양근의 체계는 ε_i + ε_j (i ≠ j), ε_i - ε_j (i < j) 및 (n 홀수) ε에_i 의해 주어진다.그에 상응하는 단순한 뿌리는

${\displaystyle \varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{{118}\오른쪽.}$

양의 뿌리는 단순 뿌리의 음수가 아닌 정수 선형 결합이다.

스핀 표현 및 가중치

so(n, C)의 스핀 표현 중 하나의 구조는 외부 대수학을 사용한다.

${\displaystyle S}$= ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$=\wedge ^{\bullet }W}$ 및$$/또는 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ = ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle$ S$'=\wedge$^{\$bullet }{}W^{*}}}$

어떤 요소 v = W + W의^∗ 경우 W의^∗ 경우 W의 경우 그리고 S의 in에 대해 다음과 같은 V의 동작이 주어진다.

${\displaystyle v\cdot \cdot \cdot =2^{\frac {1}{1}:{2}}(w\properties \iota (w^{*})),}$

여기서 두 번째 항은 이선형식을^∗ 사용하여 정의된 수축(내부 곱셈)으로, W와 W를 쌍으로 한다.이 작용은 클리포드 관계² v = Q(v)1을 존중하므로, V의 클리포드 대수학 CLC에서_n 엔드(S)로 동형성을 유도한다.S 에서는 유사한 동작을 정의할 수 있으므로 S와 S 모두 클리포드 모듈이다.

Lie 대수 so(n, C)는 커버링 Spin(n) → SO(n)에 의해 유도된 매핑을 통해 CLC에서_n 복합화된 Lie 대수 스핀과_n^C 이형화된다.

${\displaystyle v\properto w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].}$

S와 S가 모두 so(n, C)의 표현이라는 것을 따른다.그것들은 실제로 동등한 표현들이기 때문에 우리는 S에 초점을 맞춘다.

명시적 설명은 Cartan 하위골격자 h의_i α α α α α α α_i α α a 원소가 S에 대해 작용하는 것을 보여준다.

${\displaystyle (\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).}$

S에 대한 근거는 폼의 요소들에 의해 주어진다.

${\displaystyle a_{i_{1}:{2}}:\cdots \cdots \cdots a_{i_{k}}}}$

0_k ≤ ≤ m m과₁ i < ... < < <.이러한 값들은 h: α_i α α α의_i 작용에 대한 분명하게 넓은 중량 공간에 걸쳐 있으며, i = 일부 j에 대해 i가_j 아닌 경우 주어진 기준 벡터에 고유값 -1/2가 있고, 그렇지 않은 경우 고유값 1/2이 있다.

S의 가중치는 모두 가능한 조합이다.

${\displaystyle {\bigl (}\pm {\tfrac {1}{1}:{2}},\dots \pm {\tfrac {1}{1}{{\bigr )}}}}}}}$

그리고 각각의 무게 공간은 1차원이다.S의 원소는 디락 스피너라고 불린다.

n이 짝수일 때 S는 취소할 수 없는 표현이 아니다.${\displaystyle S_{}}$+ =${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{v}}^{}}$ e ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{W}}^{}}${\$displaystyle S_{+}=\wedge$^{\$mathrm {ven} }W$$}$${\displaystyle {}_{}}$및 S${\displaystyle {}_{}}$- = ${\displaystyle o^{}}$ d W ${\displaystyle S_{-}=\wedge$^{\$mathrmatrm$ {$odd}}}}}}}}}}}}$은 불변속 하위 공간이다$$.가중치는 마이너스 부호가 짝수인 경우와 마이너스 부호가 홀수인 경우로 나뉜다.S와₊ S는₋ 둘 다 Weyl 스피너라고 불리는 요소들을 가진 차원^m−1 2의 수정 불가능한 표현이다.그들은 또한 키랄 스핀 표현 또는 반 스핀 표현으로도 알려져 있다.위의 양의 뿌리 시스템에 관해서, S와₊ S의₋ 가장 높은 가중치는 다음과 같다.

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ and ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$$$

각각클리포드 작용은 CLC와_n End(S)를 식별하고 짝수 하위게브라는 S와₊ S를₋ 보존하는 내형성으로 식별된다.다른 Clifford 모듈 S′는 이 경우 S와 이형이다.

n이 홀수일 때, S는 차원 2의^m so(n,C)를 수정할 수 없는 표현이다: 단위 벡터 u ∈ U의 클리포드 작용은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.}$

따라서 u∧w 또는 u∧w^∗ 형식의 (n,C) 요소들은 W의 외부 대수학의 짝수 부분과 홀수 부분을 보존하지 않는다.S의 가장 높은 무게는

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{1}{1}:{2}},\ldots {\tfrac {1}{1}{{\bigr )}.}$

클리포드 작용이 S: CLC는_n End(S) ⊕ End(S)로 식별될 수 있으며, 여기서 당신은 S ′에서 반대 기호를 가지고 행동한다.보다 정확히 말하면, 이 두 가지 표현은 짝수 아발골에 있는 정체성인 CLC_n(일명 주자동형이라고도 함)의 패리티 비자발 α와 ClC의_n 홀수 부분에 있는 정체성을 뺀 것과 관련이 있다.즉, S에서 S까지 선형 이형성이 있는데, S에서는 CLC에서_n A의 작용을 S에서는 α(A)의 작용으로 식별한다.

이선형식

만약 λ이 S의 무게라면, - so도 그렇다.S가 이중표현 S에^∗ 대해 이형성이라는 것을 따른다.

n = 2m + 1이 홀수일 때, 이형성 B: S → S는^∗ S가 불가해하기 때문에 Schur의 보조마사에 의해 스케일 업까지 고유하며, S를 통해 S에 비감속성 불변성 이선성 형태 β를 정의한다.

${\displaystyle \beta(\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi).}$

여기서 불침조는 다음을 의미한다.

${\displaystyle \cdot \varphi ,\cdot \property )+\properties (\varphi ,\xi \cdot \propert )=0}$

so(n,C)의 모든 φ과 s의 ψ에 대하여 ξ의 작용은 β에 대하여 기울어진다.사실 더 많은 것이 사실이다:S는^∗ 반대편 클리포드 대수학의 표현이며, 따라서 CLC는_n 패리티 비자발 α에 의해 관련되는 두 개의 비종교적 단순 모듈 S와 S ′만을 가지고 있기 때문에, 다음과 같은 CLC의_n 반유동성 τ이 존재한다.

$\displaystyle \quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad(1)}$

CLC의_n 모든 A에 대해사실 τ은 짝수 m의 경우 역전(V의 정체성에 의해 유도된 항유동형)이고, m 홀수의 경우 결합(V의 정체성을 뺀 것에 의해 유도된 항유동형)이다.이 두 가지 반동형성은 패리티 비자발 α에 의해 관련되는데, V에 있는 정체성을 빼서 유도하는 자동형성이다.둘 다 τ(ξ) = ξ에 대한 -ξ을 so(n,C)에서 만족한다.

n = 2m일 때 상황은 m의 평등에 더 민감하게 의존한다.m의 경우, 중량 λ은 -spin이 있는 경우에만 -spin의 경우 -spin의 경우 -spin의 경우 -spin의 경우 -spin의 경우 -spin의_± 경우 -spin의 경우 -spin의_±±^∗ 짝수 수가 있다. -spin은 각각 규모에 따라 고유하게 결정된다.이것들은 이형성 B: S → S로^∗ 결합될 수 있다. m 홀수의 경우, λ은 S의₋ 무게일 경우에만 S의₊ 중량이다. 따라서 S에서₊ S로₋^∗ 이형성이 존재하며, 다시 규모에 맞게 고유하게 되며, 그 전이가 S에서₋ S로₊^∗ 이형성을 제공한다.이것들은 다시 이형성 B: S → S로^∗ 결합될 수 있다.

짝수 m과 홀수 모두에 대해, B에 해당하는 이선형식 β를 만족한다고 주장함으로써 B의 선택의 자유는 전체 척도로 제한될 수 있다. 여기서 τ은 고정 반관형성(역전 또는 결합)이다.

대칭 및 텐서 사각형

β: S ⊗ S → C의 대칭 성질은 클리포드 알헤브라스나 표현 이론을 이용하여 결정할 수 있다.사실 훨씬 더 많은 것을 말할 수 있다: 텐서 제곱 S s S는 다양한 k에 대해 V에서 k-폼의 직접적인 합으로 분해되어야 한다. 왜냐하면 그것의 가중치는 모두 {-1,0,1}에 속하는 h의^∗ 원소들이기 때문이다.이제 등가 선형 지도 S ⊗ S → ∧^k V는^∗ 불변 지도 ∧^kV ⊗ S c S → C에 주관적으로 대응하며 이러한 지도는 클리포드 대수학에 ^kintoV를 포함시켜 구성할 수 있다.더욱이 β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ)와 τ이 ∧^kV에 sign_k 기호가 있으면 then.

${\displaystyle \beta(A\cdot \varphi ,\psi )=\var렙실론 \varpsilon _{k}\beta(A\cdot \psi ,\varphi )}}$

A에 ^k대하여

n = 2m+1이 홀수인 경우, 슈르의 보조마에서 다음과 같이 한다.

${\displaystyle S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}}}}}}}$

(양쪽 모두 차원 2가^2m 있고 오른쪽의 표현은 불평등하다.)대칭은 결합 또는 역전인 비자발 τ에 의해 지배되기 때문에 ∧^2jV^∗ 성분의 대칭은 j와 교대한다.기본 조합은 다음과 같은 효과를 준다.

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)}$

그리고 이 기호는² SS에서 어떤 표현이 발생하며 ∧²S에서 어떤 표현이 발생하는지 결정한다.^[2]특히

${\displaystyle \beta (\varphi }$,${\displaystyle \psi }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2m}}^{}}$(${\displaystyle m^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \psi }$,${\displaystyle \varphi }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=(-1)^{\frac {1}{1}{2}}m(m+$1)}\$ch(\phi$ ) 및 }, 그리고$$ $}$

${\displaystyle \phi ,\cdot \phi )=(-1)^{m(1)^{\frac {1}{1}{2}}m(m+1)}\pi(v\cdot \pi )={m}\pi(\phi ,vcdot \p)}}$

v ∈ V (∧^2mV로 이형화됨)에 대하여, τ은 m 짝수의 경우 역전이고, m 홀수의 경우 결합임을 확인한다.

n = 2m가 짝수인 경우 분석은 더 관여하지만 결과는 보다 정제된 분해: SS²_±, ∧²S_±, S₊ ⊗ S는 각각₋ k-폼의 직접 합으로 분해될 수 있다(k = m의 경우 자기dual 및 반-이중 m-폼으로 분해되는 추가 분해가 있다).

주요 결과는 다음 표에 따라 n modulo 8에 따라 S에 대한 고전적 Lie 대수학의 하위 대수로서 so(n,C)를 실현하는 것이다.

n mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
스피너 대수	${\displaystyle {\mathfrak {so}(S_{+})\플러스 {\mathfrak {so}(S_{-})}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}(S_{\pm })}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}(S_{+})\plus {\mathfrak {sp}(S_{-})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}(S_{\pm })}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(S)}$

n ≤ 6의 경우, 이러한 임베딩은 이형성(n = 6의 경우 gl이 아닌 sloto sl)이다.

${\displaystyle {\mathfrak {so}(2,\mathb {C})\cong {\mathfak {gl}(1,\mathb {C})\qquad(=\mathb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}(3,\mathb {C} )\cong {\mathfrak {sp}(2,\mathb {C})\qquad(={\mathfrak {sl},\mathb {C})}}}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}(4,\mathb {C})\cong {\mathfrak {sp}(2,\mathb {C})\oplus {\mathfrak {sp}(2,\mathb {C} )}}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}(5,\mathb {C})\cong {\mathfrak {sp}(4,\mathb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}(6,\mathb {C})\cong {\mathfrak {sl}(4,\mathb {C}).}$

실제 표현

so(n,C)의 복잡한 스핀 표현은 실제 서브algebras로 동작을 제한함으로써 so(p,q)의 실제 표현 S를 산출한다.그러나 실제 리알헤브라의 작용에 따라 불변하는 추가적인 "실재" 구조들이 있다.이것들은 세 가지 유형으로 나온다.

1. r² = id를_S 가진 불변 복합 반선형 지도 r: S → S가 있다.r의 고정점 세트는 S_R real C = S가 있는_R S의 실제 벡터 서브공간 S가 된다.이것을 실제 구조라고 한다.
2. j² = -id를_S 가진 불변 복합 반선형 지도 j:S → S가 있다.그 뒤를 이어 트리플 i, j, k:=ij가 S를 quaternionic 벡터 공간_H S로 만든다.이것을 쿼터니온 구조라고 한다.
3. 변치 않는 복잡한 반선형 지도 b:S → S가^∗ 있다.이것은 S에서 의사상 이선형식을 정의하며 은둔형 구조라 불린다.

so(p,q)에 따라 불변하는 구조물의 유형은 p - q modulo 8 서명에만 의존하며, 다음 표에 의해 주어진다.

p−q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
구조	R + R	R	C	H	H + H	H	C	R

여기서 R, C, H는 각각 실제, 은둔자 및 쿼터니온 구조를 나타내며, R + R 및 H + H는 반spin 표기가 각각 실제 또는 쿼터니온 구조를 인정한다는 것을 나타낸다.

설명 및 표

실제 표현에 대한 설명을 완성하기 위해, 우리는 이러한 구조들이 불변 이선형 형태와 어떻게 상호작용하는지를 설명해야 한다.n = p + q p - q mod 2이기 때문에 치수와 서명이 모두 짝수인 경우와 치수와 서명이 모두 홀수인 경우가 두 가지 있다.

홀수 케이스가 더 간단하고, 복잡한 스핀 표현 S가 하나뿐이며, 은둔자 구조는 발생하지 않는다.사소한 경우 n = 1을 제외하고, S는 항상 균일하다, dim S = 2N이라고 말한다.so(2N,C)의 실제 형태는 k + L = 2N 등으로 so(K,L)이며 sp^∗(2N,C)의 실제 형태는 sp(2N,R)와 sp(K,L)로 k + L = N으로 sp(K,L)이다.S에 대한 V의 클리포드 작용의 존재는 pq = 0이 아닌 한 두 경우 모두 K = L이며, 이 경우 KL=0은 단순하게 so(2N) 또는 sp(N)로 표시된다.따라서 홀수 스핀 표현은 다음 표에 요약될 수 있다.

	n mod 8	1, 7	3, 5
p-q mod 8		so(2N,C)	sp(2N,C)
1, 7	R	so(N,N) 또는 so(2N)	sp(2N,R)
3, 5	H	so∗(N,H)	sp(†N/2,n/2) 또는 sp(N)

(iii) N은 n > 3에 대한 짝수이며, n = 3에 대해서는 sp(1)이다.

이븐 차원 케이스도 비슷하다.n > 2의 경우, 복잡한 반 스핀 표현은 고른 차원이다.우리는 추가로 sl(2N, R), su(2N, L), k + L = 2N, sl(N, H)의 실제 sl(2N, C), sl(2N, C), sl(2N, L), sl(N, H)을 다루어야 한다.결과적인 짝수 스핀 표현은 다음과 같이 요약된다.

	n mod 8	0	2, 6	4
p-q mod 8		so(2N,C)+so(2N,C)	sl(2N,C)	sp(2N,C)+sp(2N,C)
0	R+R	so(N,N)+so(N,N)∗	sl(2N,R)	sp(2N,R)+sp(2N,R)
2, 6	C	so(2N,C)	su(N,N)	sp(2N,C)
4	H+H	so∗(N,H)+so∗(N,H)	sl(N,H)	sp(N/2,N/2)+sp(N/2,N/2)†

(*) pq = 0의 경우, 대신 so(2N) + so(2N)가 있다.

(iii) N은 n > 4에 대한 짝수이고 pq = 0(n = 4와 N = 1 포함), 대신 sp(N) + sp(N)가 있다.

복합 케이스의 저차원 이형성에는 다음과 같은 실제 형태가 있다.

유클리드 서명	민코우스키안 시그니처	기타 서명
${\displaystyle {\mathfrak {so}(2)\cong {\mathfrak {u}(1)$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(1,1)\cong \mathb {R}}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}(3)\cong {\mathfrak {sp}(1)$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}(2,\mathb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}(4)\cong {\mathfrak {sp}(1)\oplus {\mathfrak {sp}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}(2,\mathb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak{so}}\cong {\mathfrak {sl}(2,\mathb {R})\notus {\mathfrak{sl}(2,\mathb {R} )}}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}(5)\cong {\mathfrak {sp}(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}(1,1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}(4,\mathb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}(6)\cong {\mathfrak {su}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}(2,\mathb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(4,2)\cong {\mathfrak {su}(2,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}(4,\mathb {R} )}$

The only special isomorphisms of real Lie algebras missing from this table are ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).$$}$

메모들

참조

• Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935), "Spinors in n dimensions", American Journal of Mathematics, American Journal of Mathematics, Vol. 57, No. 2, 57 (2): 425–449, doi:10.2307/2371218, JSTOR 2371218.
• Cartan, Élie (1966), The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9.
• Chevalley, Claude (1954), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9.
• 예비 버전은 프로그램 웹 사이트를 참조하십시오Deligne, Pierre (1999), "Notes on spinors", in P. Deligne; P. Etingof; D. S. Freed; L. C. Jeffrey; D. Kazhdan; J. W. Morgan; D. R. Morrison; E. Witten (eds.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Providence: American Mathematical Society, pp. 99–135.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, vol. 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.