유니터리 표현

수학에서, 그룹 G의 단일 표현은 복잡한 힐버트 공간 V에서 G의 선형 표현 π이며, 따라서 ((g)은 모든 g ∈ G에 대한 단일 연산자다.G가 국소적으로 콤팩트한(하우스도르프) 위상학 집단이고 그 표현이 강하게 지속되는 경우에 일반 이론은 잘 발달되어 있다.

이 이론은 1920년대부터 양자역학에 널리 적용되어 왔으며, 특히 헤르만 바일의 1928년 저서 그루펜테오리와 콴텐메커니즘의 영향을 받았다.응용에 유용한 특정 그룹만을 위한 것이 아니라 어떤 그룹 G를 위한 단일 표현에 대한 일반적인 이론을 구축하는 데 있어서 선구자 중 한 명은 조지 맥키였다.

조화 분석의 컨텍스트

위상학 집단의 단일 표현 이론은 조화 분석과 밀접하게 연관되어 있다.아벨 그룹 G의 경우 G의 대표이론의 상당히 완전한 그림은 폰트랴긴 이원화에 의해 주어진다.일반적으로 G에 대한 수정 불가능한 단일적 표현에 대한 단일적 동등성 등급(아래 참조)은 그 단일적 이중성을 구성한다.이 세트는 그룹 C*-알지브라 구조에 의해 G와 연관된 C*알지브라 스펙트럼으로 식별할 수 있다.이곳은 위상학적 공간이다.

플랑쉐럴 정리의 일반적인 형태는 L²(G)에 대한 G의 정기적인 표현을 유니터리 듀얼에 대한 측정에 의한 방법으로 기술하려고 한다.G 아벨리아인에게 이것은 폰트랴긴 이원론에 의해 주어진다.G 콤팩트의 경우, 이것은 Peter-Weyl 정리에 의해 수행된다. 이 경우, 단일 이중은 이산 공간이며, 측정치는 각 질량 지점에 그 정도와 동일한 원자를 부착한다.

형식 정의

G를 위상학 집단이 되게 하라.힐베르트 공간 H에 G를 강하게 연속적으로 나타내는 것은 G에서 H의 단일 집단으로 가는 동형상 집단이다.

${\displaystyle \pi :G\오른쪽 화살표 \operatorname {U}(H)}$

그러한 g → π(g) ξ은 모든 ξ H에 대한 표준 연속 함수다.

G가 Lie 그룹인 경우 힐버트 공간도 기초가 되는 매끄럽고 분석적인 구조를 인정한다는 점에 유의한다.H의 벡터 ξ은 맵 g → π(g) ξ이 부드럽거나 분석적인 경우(일반적으로 H의 위상이나 약한 위상에서는) 매끄러우거나 분석적인 것이라고 한다.^[1]소형 지지대의 부드러운 기능에 의한 콘볼루션은 부드러운 벡터를 산출하기 때문에 Lars Gåding의 고전적인 주장에 의해 부드러운 벡터가 H에 밀도 있다.분석 벡터는 G의 보편적 포락 대수에서 타원 미분 연산자 D에 해당하는 열 연산자 e의^–tD 영상에 있는 벡터가 분석적이기 때문에 Roe Goodman에 의해 증폭된 Edward Nelson의 고전적 논거에 의해 밀도가 높다.매끄러운 벡터나 분석적인 벡터는 밀집된 서브스페이스를 형성할 뿐만 아니라, 스펙트럼 이론의 의미에서 리 대수 원소에 해당하는 무한 스큐-어답트 연산자의 공통 코어를 형성한다.^[2]

G에서₁ G 전체 G에 대해₁ G → U(H₁), G₂ → U(H₂₁) 2개의 단일 표현 π는 ((g) = A^*₂ ((g) a A ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ such₂ such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such such이것이 유지되면, A는 표현$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {11\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$, (${\displaystyle {\pi 2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ) ${\displaystyle$(\$pi _{1}, H_{1}),$ (\$pi$ _${2},)$를 서로 뒤얽힌 연산자라고 한다.$H_{2}}}$^[3].

If ${\displaystyle \pi }$ is a representation of a connected Lie group ${\displaystyle G}$ on a finite-dimensional Hilbert space ${\displaystyle H}$, then ${\displaystyle \pi }$ is unitary if and only if the associated Lie algebra representation ${\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}}\r$$ightarrow \mathrm {End}(H)}$ 맵을$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 스큐-자체 적응 연산자 공간으로 이동하십시오$.$^[4]

완전 환원성

하나의 단일 표현은 완전히 축소할 수 있으며, 닫힌 불변성 하위 공간의 경우 직교 보완물이 다시 닫힌 불변성 하위 공간이라는 점에서.이것은 관찰 수준이지만 근본적인 속성이다.예를 들어, 그것은 유한 차원 단일적 표현은 항상 대수적 의미에 있어서 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합계라는 것을 암시한다.

단일 표현은 일반적인 경우보다 훨씬 다루기 쉬우므로 적절한 복잡한 힐버트 공간 구조의 도입에 따라 단일화된 표현인 단위화할 수 있는 표현을 고려하는 것은 당연하다.이것은 임의의 은둔자 구조에 적용되는 평균적인 논거에 의해 유한집단에, 그리고 더 일반적으로 소형집단에 매우 효과적이다.^[5]예를 들어, 마슈케의 정리에 대한 자연적인 증거는 이 경로에 있다.

단위성 및 단일 이중 질문

일반적으로 비구체 집단의 경우, 단위화가 가능한 더 심각한 문제다.수학에서 풀리지 않는 중요한 문제들 중 하나는 모든 실제 환원성 Lie 집단의 단일성 표현에 대한 효과적인 분류인 단일성 이중성의 기술이다.모든 불가해한 단일적 표현은 허용되며(또는 그들의 Harish-Chandra 모듈이 허용됨), 허용 가능한 표현은 랭글랜드 분류에 의해 주어지며, 이들 중 어느 것이 비종교적 불변성 sesquilinar 형식을 가지고 있는지 쉽게 알 수 있다.문제는 일반적으로 이차적 형태가 긍정적일 때 구별하기 어렵다는 점이다.많은 환원성 Lie 그룹의 경우 이 문제가 해결되었다. 예는 SL2(R)의 표현 이론과 로렌츠 그룹의 표현 이론을 참조하라.

메모들

참조

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, ISBN 0-12-585002-6
• Warner, Garth (1972), Harmonic Analysis on Semi-simple Lie Groups I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-05468-5

참고 항목

• 유도 표현
• 등형 표현
• SL2(R)의 표현 이론
• 로렌츠 그룹의 표현
• 스톤-본 노이만 정리
• 리 초거브라 별의 단일체 표현
• 영역 구면 함수