스프링 시스템

2차원 스프링 시스템입니다.

공학 및 물리학에서 스프링 시스템 또는 스프링 네트워크는 각 정점에 위치가 있고 각 가장자리를 따라 주어진 강성과 길이의 스프링을 가진 그래프로 묘사되는 물리 모델입니다.이것은 후크의 법칙을 더 높은 차원으로 일반화한다.이 간단한 모델을 사용하여 크리스털 격자에서 스프링까지 정적 시스템의 자세를 해결할 수 있습니다.스프링 시스템은 정역학의 문제를 해결하기 위한 유한 요소 방법의 가장 단순한 경우라고 생각할 수 있다.선형 스프링과 작은 변형(또는 1차원 운동으로 제한)을 가정할 때 스프링 시스템은 선형 방정식의 (과다하게 결정될 수 있는) 시스템 또는 에너지 최소화 문제로 주조될 수 있습니다.

알려진 스프링 길이

스프링의 공칭 길이 L이 각각 1유닛과 2유닛으로 알려진 경우 다음과 같이 시스템을 해결할 수 있습니다.두 개의 스프링으로 연결된 세 개의 노드가 있는 단순한 경우를 생각해 보십시오.그런 다음 두 스프링의 스트레칭이 노드 위치의 함수로 주어집니다.

\Delta \mathbf {L} =mathbf {x} -\mathbf {x} -\mathbf {L} =B^{\top} -\mathbf {x} -\mathbf {L

$B^{\top }$ 서 B $⊤$ ( \ $displaystyle$ B^ { \ $top }$ )는 $B^{\top }$ 발생 매트릭스의 전치 행렬입니다.

({displaystyle B=begin{bmatrix}1&-0\-1&1\\0&-1\end{bmatrix}})

각각의 자유도를 스프링이 당기는 방향과 관련짓는다.스프링에 가해지는 힘은

F_{\text{springs}=-W\Delta \mathbf {L}=-W(B^{\top}\mathbf {x}-WB^{\top}}\mathbf {L}}

여기서 W는 매년 스프링의 강성을 나타내는 대각 행렬이다.그런 다음 노드에 가해지는 힘은 B $(\displaystyle$ B $B$ 를 왼쪽으로 곱하면 주어집니다. B(\displaystyle B)는 평형을 구하기 위해 0으로 설정합니다.

F_{\text{nodes}}=-BWB^{\top}\mathbf {x}+BW\mathbf {L}=0

선형 방정식을 제공합니다.

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

B

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

x

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

B

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}

{\

displaystyle BWB^{\top

}\

mathbf

{x}

= BW\mathbf {L}

$BWB^{\top }$ $BWB^{\top }$ W $BWB^{\top }$ ${\$ ( \ $displaystyle BWB^$ { \ $top$ } )는 $BWB^{\top }$ 특이합니다.왜냐하면 모든 솔루션은 강체 변환과 동등하기 때문입니다.예를 들어, 디리클레 경계 조건을 지정합니다( $예$ : $x_{1}=2$ 1 $=$ 2 {\ $displaystyle x_{$ }=2 $x_{1}=2$

예를 들어 W를 아이덴티티 매트릭스로 합니다.

BWB^{\top}={bmatrix}1&1&0\1&2&1\0&1\end{bmatrix}

라플라시안 행렬입니다. $x_{1}=2$ $x_{1}=2$ $=$ ({ $style x_{1$ }= $2})$ 플러그를 $x_{1}=2$ 꽂으면

SWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

BW\mathbf {L}

=

beginb

{

bmatrix

} -

1

\ \ \

1

\ \

2

\

end

{ bmatrix

}

。

좌측에 2를 통합하면

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

0

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

+

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

[ -

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

0

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

3

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

]

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

[ -

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

2

{\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}

{

bmatrix

}

2

\ \ \

2

\ \ 2 \ \ \ \ \ \ \

ex

} + { \

bmatrix

} -

1

& 0 \ 0 \ 0 \ 0 \

1

\ 1 \

b matrix

}

이미 알고 있는 시스템의 행을 삭제하고 심플화함으로써

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

0

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

+ [

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

2 -

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

]

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

[ -

{\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}

2 ]{

style \

display

{

bmatrix

} 2 &

1

\ \ \ \

1

\

end

{

bmatrix } 2

& 1 \ \ \ \ b

matrix

} { \ \

b

matrix } { \

3 }

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

x

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

]

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}

2

]{ displaystyle

{

bmatrix

}

2

&

1

\ \ \ \ 1 \

\ end

{ bmatrix }{ \

scaper

{

bmatrix }x

_ {

2 }

\

x

_ {

bmatrix

}

= scaper

{

bmatrix

}

그러면 우리가 해결할 수 있다

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

2

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

3

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

]

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

2

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

]

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}

]{

display

{

style { bmatrix }

\ \ \

x _

{

3 } = display

{

bmatrix

}

2 &

1

& 1 &

1

\

bmatrix

} =

display

{ bmatrix { 1 - 1

}

즉, x $x_{1}=2$ $=$ $({style$ x_{1}= $2$ $x_{2}=3$ $x_{3}=5$ $x_{2}=3$ $x_{3}=5$ 3({ $displaystyle x_{$ 2}=3 $x_{2}=3$ 은 첫 번째 $x_{3}=5$ 을 $x_{3}=5$ 느슨하게 $유지$ 하고 x 3 = 5({displaystyle $x_{3$ }= $5$ 는 두 번째 스프링을 느슨하게 유지합니다.

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