스퀴즈 정리

압착 정리 그림

같은 한계를 가진 두 개의 다른 수렴 시퀀스 사이에 시퀀스가 있을 때, 그것은 또한 이 한계로 수렴된다.

미적분학에서 핀칭 정리, 샌드위치 정리, 샌드위치 규칙, 경찰 정리, 중간 정리, 때로는 압착 보조정리라고도 하는 압착정리는 함수의 한계에 관한 정리다. 이탈리아에서는 이 정리를 카라비니에리의 정리라고도 한다.

스퀴즈 정리는 미적분과 수학적 분석에 사용된다. 그것은 일반적으로 한계를 알거나 쉽게 계산되는 두 가지 다른 함수와의 비교를 통해 함수의 한계를 확인하는 데 사용된다. $수학자$ 아르키메데스(Archimedes)와 에우독수스가 π을 계산하기 위한 노력에서 처음으로 기하학적으로 사용하였으며, 칼 프리드리히 가우스에 의해 현대적인 용어로 공식화되었다.

많은 언어(예: 프랑스어, 독일어, 이탈리아어, 헝가리어, 러시아어)에서 스퀴즈 정리는 두 장교(그리고 취객)의 정리 또는 그 일부 변형이라고도 한다.^{[citation needed]} 두 명의 경찰관이 그들 사이에 술 취한 죄수를 호송하고 있고, 두 경찰관이 감방으로 간다면, (걸린 길, 그리고 죄수가 경찰관들 사이에서 흔들릴지도 모른다는 사실에 관계없이) 죄수 역시 감방에 종지부를 찍어야 한다는 이야기다.

성명서

압착 정리는 공식적으로 다음과 같이 명시되어 있다.^[1]

정리 — 내가 한계점으로 점 a를 갖는 간격이 되도록 하자. g, f, h를 I에 정의된 함수로 두되, 그 자체일 가능성은 제외한다. 내가 a와 같지 않은 모든 x에 대해

g(x)\leq f(x)\leq h(x)

그리고 또한 이라고 가정한다.

\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.

그러면 $\lim _{x\to a}f(x)=L.$ $\lim _{x\to a}f(x)=L.$ → $\lim _{x\to a}f(x)=L.$ ( $\lim _{x\to a}f(x)=L.$ ) $\lim _{x\to a}f(x)=L.$ = $\lim _{x\to a}f(x)=L.$ . $\lim _{x\}f(x)=L.$

함수 ${\textstyle g}$ ${\textstyle g}$ 및 ${\textstyle g}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$ 은 ${\textstyle h}$ (는) ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ 의 하한 및 상한(존중)이라고 한다 ${\textstyle f}$
여기서 ${\textstyle$ a}은(는 $)$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle$ I $}$ 의 내부에 있을 필요가 없다 ${\textstyle a}$ ${\textstyle I}$ 실제로 ${\textstyle a}$ 이(가) ${\textstyle I}$ ${\textstyle I}$ 의 끝점이라면 ${\textstyle a}$ 위의 제한은 왼쪽 또는 오른쪽 제한이다 ${\textstyle I}$
${\textstyle x\to \infty }$ 한 문장이 무한 간격으로 유지된다. 예를 들어, ${\textstyle I=(0,\infty )}$ = ( ${\textstyle I=(0,\infty )}$ ${\textstyle I=(0,\infty )}$ ) ${\textstyle I=(0,\infty )}$ {\ $textstyle$ I $=(0,\fty$ ${\textstyle I=(0,\infty )}$ x → ${\textstyle x\to \infty }$ → ${\textstyle x\to \infty }$ {\ $textstyle$ x $\to \infty$

이 정리는 시퀀스에도 유효하다. $(a_{n}),(c_{n})$ ) $(a_{n}),(c_{n})$ , $(a_{n}),(c_{n})$ ( $(a_{n}),(c_{n})$ ) ${\displaystyle (a_{n}),$ ( $c_$ ${$ $n}})$ 순서에 let {\ $displaystyle \ell$ $(b_{n})$ ( $(b_{n})$ ) ${\displaystyle (b_{n})$ 로 $(b_{n})$ 수렴하는 두 시퀀스가 되도록 $(a_{n}),(c_{n})$ 하십시오. If $\forall n\geq N,N\in \mathbb {N}$ we have $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ , then $(b_{n})$ also converges to $\ell$ .

증명

위의 가설들에 따르면, 한계는 열등하고 우월하다.

L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf_{x\to a}f(x)\leq \limp_{x\to}h(x)=L,}

그래서 모든 불평등은 정말로 평등하다. 그리고 논문은 즉시 뒤따른다.

한 직접적인 증거, 한계의(ε, δ){\displaystyle(,\delta\varepsilon)}-definition 모두 진짜 ε 을에를 증명하기;0{\textstyle \varepsilon>0} 있는 실질적 δ 을이 존재한다; 것 0{\displaystyle \delta>0}등으로){\displaystyle)}과 x−<>δ{\displaystyle X좌표.<>\delta}, $|f(x)-L|<\varepsilon$ 는 f $|f(x)-L|<\varepsilon$ ( $|f(x)-L|<\varepsilon$ ) $|f(x)-L|<\varepsilon$ - $|f(x)-L|<\varepsilon$ < $|f(x)-L|<\varepsilon$ $f(x)-L <\varepsilon$ 상징적으로

\displaystyle \for \varepsilon >0,\exists \delta >0:\delta x, (x-a <\delta \Rightarrow f(x)-L <\varepsilon).}

로서

\lim _{x\to a}g(x)=L

라는 뜻이다.

\displaystyle \for \varepsilon >0,\exists \delta _{1}\forall x\ (x-a <\delta _{1}\Rightarrow \ g(x)-L <\varepsilon \val.}

(1)

그리고

\lim _{x\to a}h(x)=L

라는 뜻이다.

\displaystyle \for \varepsilon >0,\exists \delta _{2}\\Rightarrow \ h(x)-L <\varepsilon },}

(2)

그러면 우리는

g(x)\leq f(x)\leq h(x)

g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L

$\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ { $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ 1 $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ , $|x-a|<\delta$ $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ 2 $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ {\ $displaystyle \delta :=\min$ \delta $_{1},\delta _{2}\delta$ _ ${$ 2}\ $delta$ $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ $}}}$ 을 선택하면 (1)과 (2)를 $|x-a|<\delta$ 합친다면 $|x-a|<\delta$ 는 $|x-a|<\delta$ 를 $갖게$ 된다.

[\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\\varepsilon ,}

-\barepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,

그럼 증거가 완성되는 거지 Q.E.D.

시퀀스 제한의 $\varepsilon$ ${\displaystyle \varepsilon }-$ definition을 $\varepsilon$ 사용하여 시퀀스에 대한 증거는 매우 유사하다.

시리즈 문

시리즈에 대한 압착 정리도 있는데, 다음과 같이 말할 수 있다.^{[citation needed]}

정리 — $\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ $\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ n , $\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ $\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ ${\$ 을(를) 두 개의 수렴 시리즈가 되게 한다 $\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ . If $\exists N\in \mathbb {N}$ such that $\forall n>N,a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ then $\sum _{n}b_{n}$ also converges.

증명

${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ , ${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ ${\$ 을(를) 두 개의 수렴 영상 시리즈로 ${\textstyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ 두십시오. Hence, the sequences $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty },\left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ are Cauchy. 즉, 고정 $\varepsilon >0$ > $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ 의 경우 $\varepsilon >0$

$\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ ${\$ 에 $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ 다음과 같이 표시됨

\displaystyle \forall n>m>N_{1},\left \sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\right <\varepsilon \Longrightarrow \left \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right <\varepsilon \Longrightarrow -\varepsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}<\varepsilon }

(1)

및 이와 유사하게 $\exists N_{2}\in \mathbb {N}$ N 2 $\exists N_{2}\in \mathbb {N}$ N $\exists N_{2}\in \mathbb {N}$ {\ $displaystyle \exists N_{2}\in$

\displaystyle \forall n>m>N_{2},\left \sum _{k=1}^{n}c_{k}-\sum _{k=1}^{m}c_{k}\right <\varepsilon \Longrightarrow \left \sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\right <\varepsilon \Longrightarrow -\varepsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}<\varepsilon }

(2)

We know that $\exists N_{3}\in \mathbb {N}$ such that $\forall n>N_{3},a_{n}\leq b_{k}\leq c_{k}$ . Hence, ${\displaystyle \forall n>m>\max\{$ N_ ${1}, N_{2}, N_{3$ (1)과 (2)를 결합한 것이 있다.

a_{n}\leq b_{k}\leq c_{k}\Longrightarrow \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\leq\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\leq\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\Longrightarrow -\varepsilon<>\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}<,\varepsilon \Longrightarrow \left \sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\right<>\varepsilon \Longrightarrow \left\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{m}b_{k}\right<>\varep.silon.

따라서 ( $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ = $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ b $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ ) $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ = $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ ${\$ n= $1}^{\inflt }}}}}}}$ 는 $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ 코우치 시퀀스다. 그래서 $\sum _{n}b_{n}$ b $\sum _{n}b_{n}$ ${\$ 수렴한다 $\sum _{n}b_{n}$ . Q.E.D.

예

첫 번째 예

x가² 0으로 이동할 때 한도에서 압착되는 x sin(1/x)

한계

\lim_{x\to 0}x^{2}\sinsin\tfrac {1}{x}}

한계법으로 결정할 수 없다.

\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),

때문에

\lim _{x\to 0}\sinfrac\tfrac {1}{x}}

존재하지 않는다.

단, 사인함수의 정의에 따라

-1\leq \sin({\tfrac {1}{x}}\leq 1.

그 뒤를 잇는다.

{\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}}\leq x^{2}}:

Since $\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$ , by the squeeze theorem, $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ must also be 0.

두 번째 예

영역 비교:

{\displaystyle{\begin{정렬}&, \,A(ADF\triangle)\geq A({\text{부문}}\,ADB)\geq A(ADB\triangle)\\\Rightarrow&\,{\frac{1}{2}}\cdot \tan())\cdot 1\geq{\frac{)}{2\pi}}\cdot\pi \geq{\frac{1}{2}}\cdot \sin())\cdot 1\\\Rightarrow&\,{\frac{\sin())}{\cos())}}\geqx\geq \sin())\\\Rightarrow&\,{\frac{\cos())}{\sin())}}\leq{\f.rac{1}{)}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}\\Rightarrow &\\\\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}\leq 1\end}}}}

아마도 쥐어짜서 한계를 찾는 가장 잘 알려진 예는 평등의 증거일 것이다.

{\cos(x)}{x\to 0}{x\frac {\sin(x)}{x}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}}}=0.\end{정렬}}

첫 번째 한계는 다음과^[2] 같은 사실로부터 압착 정리에 의한 것이다.

\cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}\leq 1

0에 가까운 x에 대해. 양의 x에 대한 정확성은 음의 x에도 확장될 수 있는 단순한 기하학적 추론(그림 참조)으로 볼 수 있다. 두 번째 한계는 압착 정리와 그 사실에 따른다.

0\leq {\frac {1-\cos(x)}{x}\leq x

0에 가까운 x에 대해.

{\textstyle {\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}}

는 이전의 사실에서

\sin(x)

\sin(x)

\sin(x)

(

){\displaystyle \sin(x)}

을(를) 1 -

{\textstyle {\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}}

{\textstyle {\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}}

(

{\textstyle {\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}}

) 2

{\

만큼 대체하고

{\textstyle {\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}}

그에 따른 불평등을 제곱함으로써 도출할 수 있다.

이 두 한계는 사인함수의 파생상품이 코사인함수라는 사실을 증명하는 데 사용된다. 그 사실은 삼각함수의 파생상품에 대한 다른 증거에 의존한다.

세 번째 예

라는 것을 보여줄 수 있다.

{\daystyle {\frac {d}{d\theta }\tan \theta =\sec ^{2}\theta }

다음과 같이 짜서

오른쪽 그림에서 원의 음영 부분 두 개 중 작은 부분의 면적은

{\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},

반지름은 초 θ이고 단위 원의 호는 길이 Δθ이다. 마찬가지로 두 음영 섹터 중 큰 부분의 영역은

{\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\\\delta \theta }{2}.

그들 사이에 압착되는 것은 그 밑부분이 수직 부분이고 끝부분이 두 개의 점인 삼각형이다. 삼각형의 밑부분의 길이는 황갈색(θ+δδ) - 황갈색(θθ)이며, 높이는 1이다. 따라서 삼각형의 영역은

{\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}.

불평등에서.

{\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}

우리는 그것을 추론한다.

\sec ^{2}\theta \frac {\tan(\theta +\delta \delta \tan)({\delta \theta )-\tan(\theta }}}{\delta \ta +\delta \theta }),

Δδ > 0을 제공하였고, Δθ < 0이 되면 불평등이 역전된다. 첫째와 셋째 표현은 Δ expressions → 0으로 sec에 접근하고², 중간 표현은 Δ expression → 0으로 접근하기 때문이다. d/dna tann θ, 원하는 결과는 다음과 같다.

네 번째 예

스퀴즈 정리는 여전히 다변량 미적분학에서 사용될 수 있지만, 하위(및 상위 기능)는 단지 경로를 따라가는 것이 아니라 관심 지점의 전체 부근에 있는 목표 함수보다 낮아야 하며, 함수에 실제로 한계가 있는 경우에만 효과가 있다. 그러므로 그것은 한 지점에 한계가 있다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있지만, 한 지점에 한도가 없다는 것을 증명하는 데는 결코 사용될 수 없다.^[3]

\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}

지점을 통과하는 경로를 따라 몇 개의 제한을 가하는 것으로는 찾을 수 없지만, 그 때문에.

0\leq {\frac {x^{2}}:{x^{2}+y^{2}}}}\leq 1

\displaystyle -\좌측 y\우측\vert \leq y\leq \좌측 y\우측\vert }

-\왼쪽 y\오른쪽\vert \leq {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}\leq \왼쪽 y\오른쪽\vert

\lim _{(x,y)\to (0,0)}-\왼쪽 y\오른쪽\vert =0

\lim _{(x,y)\to (0,0)}\왼쪽 y\오른쪽\vert =0

0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}\leq 0

그러므로, 압착 정리에 의해,

\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}=0

참조

^ Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis (2nd ed.). Birkhäuser. p. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9.
^ 셀림 G. 크레옌, V.N. 우샤코와: 보르스투페 수르 호헤렌 수타틱. 스프링거, 2013, ISBN 9783322986283, 페이지 80-81(독일어). 참고 항목: Sal Khan: 증명: x=0(비디오, 칸 아카데미)에서 (sin x)/x의 제한
^ Stewart, James (2008). "Chapter 15.2 Limits and Continuity". Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Squeezing Theorem". MathWorld.
브루스 앳우드(벨로이트 칼리지)가 작업 후 'Selwyn Hollis(Armstrong Attlantic State University)', '울프램 시연 프로젝트' 등의 작업을 거쳤다.
ProofWiki에 대한 정리를 짜십시오.

[1] Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis (2nd ed.). Birkhäuser. p. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9.

[2] 셀림 G. 크레옌, V.N. 우샤코와: 보르스투페 수르 호헤렌 수타틱. 스프링거, 2013, ISBN 9783322986283, 페이지 80-81(독일어). 참고 항목: Sal Khan: 증명: x=0(비디오, 칸 아카데미)에서 (sin x)/x의 제한

[3] Stewart, James (2008). "Chapter 15.2 Limits and Continuity". Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.

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